第二章 質點組力學

理論力學多媒體課件西南大學物理科學與技術學院基礎物理教研室主講：賈偉堯新浪微博：@賈湖居士1第2章質點組力學2§2.1

質點組§2.2動量定理與動量守恒律§2.3動量矩定理與動量矩守恒律§2.4動能定理與機械能守恒律

§2.5兩體問題(難點）§2.6質心坐標系與實驗室坐標系(難點）§2.7變質量物體的運動(難點）§2.8維里定理

(自學）本章主要學習內容§2.1質點組第2章質點組力學3教學基本要求和重點、難點1、教學基本要求（1）掌握質點組的特點和質點組動力學的基本定理和守恒律；（2）掌握質心和質心坐標系中的動力學基本定理以及質心系與實驗坐標系的相互關系；（3）掌握變質量物體的運動方程。2、重點、難點重點：質點組動量定理與動量守恒律、動量矩定理與動量矩守恒律、動能定理與機械能守恒律。難點：兩體問題；質心坐標系與實驗室坐標系?！?.1質點組第2章質點組力學4本章作業(yè)1、5、7、14、§2.1質點組第2章質點組力學5§2.1質點組第2章質點組力學一、質點組的內力和外力1、內力（internalforce）質點組內部各質點之間的相互作用力（滿足牛頓第三定律）。j對i

的作用力6內力的性質1：所有內力的矢量和等于零。內力的性質2：所有內力對任一點的矩（或對任一軸的矩）的矢量和等于零。內力§2.1質點組第2章質點組力學72、外力（externalforce）質點組以外的物體對質點組內任一質點的作用力?！?.1質點組第2章質點組力學8在力學中，如果一個質點組不受任何外力作用，則叫做孤立系或閉合系。3、孤立系（閉合系）§2.1質點組第2章質點組力學9二、質心（centerofmass）1、引入質心的目的（簡化問題的處理）2、質心(centroid)位置矢量的定義：質心的位矢是質點組中各質點的位置以其質量為權重的平均矢量。它可以代表質點組的整體位置。§2.1質點組第2章質點組力學10可以證明，質心是存在的，而且是唯一的。質心的另一定義法：質點組質量對質心的一次矩的矢量和等于零?！?.1質點組第2章質點組力學113、質心滿足疊加原理：質心位矢的分量形式為：§2.1質點組第2章質點組力學12

4、對于質量連續(xù)分布的物體，上述公式中的求和號應改為積分：(線，面，體)§2.1質點組第2章質點組力學13例1：求均勻扇形薄片的質心。此扇形的半徑為r=a，所對的圓心角為2θ，并證明半圓片的質點離圓心的距離為。證法1：14證法2：15證法3：16證法4：半圓形薄片如右圖所示：古魯金定理：有一塊平面圖形，繞這平面上的一條不穿過這圖形的直線為軸旋轉而成的立體的體積，等于這圖形的面積與它的重心在旋轉時所經(jīng)過的路徑長度的乘積。這里半圓形薄片繞y軸旋轉而成的球的體積，半圓形薄片的面積，由于對稱性，，為質心（或者重心）到O點的距離，其旋轉一周時所過的路徑的長度為，根據(jù)古魯金定理，則有17§2.2動量定理與動量守恒律第2章質點組力學一、質點組動量定理18稱為質點組的動量，質點組中所有質點動量的向量和。質點組動量定理19質點組動量定理分量表達式質系動量對時間的一階導數(shù)，等于作用在該質點組上的外力主向量－質點組動量定理。20實例分析人騎自行車在水平路面上由靜止出發(fā)開始前進。是什么力使它有向前運動的速度？

內力雖可改變質點組中質點的動量，但不能改變整個質點組的動量。21根據(jù)質點組的質心公式（2）質心運動定理質系的質量與質心加速度的乘積等于作用于質點組上外力主向量—質心運動定理。

22對于質點：牛頓第二定律，描述單個質點運動與力之間的關系對于質點系：質心運動定理，描述質點系整體運動與力之間的關系在研究質心的運動時，可以將質點組的質量及所受的外力均集中到質心。質心運動定理揭示了動量定理的實質：外力主向量只能改變質點組質心運動狀態(tài)。23實例分析質心的運動決定于外力主向量。只受力偶作用的剛體總是圍繞其質心轉動24（3）質點組動量守恒律質點組動量守恒質心運動守恒C1、C2

均為常向量，由初始條件確定。25實例分析1太空中拔河，誰勝誰負？系統(tǒng)不受外力作用，所以動量守恒不分勝負！第2章質點組力學§2.2動量定理與動量守恒律26實例分析2第2章質點組力學§2.2動量定理與動量守恒律27實例分析3炮彈在空中爆炸第一塊炮彈碎片落地前和落地后質心的運動軌跡？第2章質點組力學§2.2動量定理與動量守恒律28解：本題沿水平方向（設為x方向）無外力作用，因為火藥爆炸力是內力，故沿x方向動量守恒，即UVαxy（1）（用絕對速度，不能用相對速度）第2章質點組力學§2.2動量定理與動量守恒律

例一門大炮停在鐵軌上，炮彈質量為m，炮身和炮車質量和等于M，炮車可以自由地在鐵軌上反沖。如炮身與地面成一角度α，炮彈相對炮身的速度為V，試求炮彈離開炮身時對地面的速度v

及炮車反沖的速度U

。29又由相對運動關系，知：（2）UVαxy由（1）及（2）得：第2章質點組力學§2.2動量定理與動量守恒律30由于炮車反沖

而UVθxyαv第2章質點組力學§2.2動量定理與動量守恒律31例2已知:為常量,均質桿OA

=AB

=,兩桿質量皆為,滑塊B質量.求:質心運動方程、軌跡及系統(tǒng)動量.第2章質點組力學§2.2動量定理與動量守恒律32解:設，質心運動方程為消去t得軌跡方程第2章質點組力學§2.2動量定理與動量守恒律33系統(tǒng)動量沿x,y軸的投影為:系統(tǒng)動量的大小為:第2章質點組力學§2.2動量定理與動量守恒律34質量分別為mA和mB的兩個物塊A和B，用剛度系數(shù)為k的彈簧聯(lián)結。B塊放在地面上，靜止時A塊位于O位置。如將A塊壓下，使其具有初位移X0，此后突然松開，如所示。求地面對B塊的約束力NB。又X0多大時，B塊將跳起？BkxOA靜止平衡位置XO例3第2章質點組力學§2.2動量定理與動量守恒律35例2解取系統(tǒng)為研究對象，畫受力圖。kBx平衡位置靜止AONBxAmAgmBg系統(tǒng)的動量為A作簡諧振動，初始條件為所以質系動量定理第2章質點組力學§2.2動量定理與動量守恒律36B塊跳起的條件為NB=0，即kBx平衡位置靜止AONBxAmAgmBg第2章質點組力學§2.2動量定理與動量守恒律37§2.3質系的動量矩定理和動量矩守恒律（1）質系中各質點對固定點O的動量矩定理（2）質系中各質點對固定點O的動量矩守恒律（3）質點組對質心的動量矩定理（4）質系對任意動點的動量矩定理（5）質點組對任意點的動量矩與對質心的動量矩之間的關系§2.3動量矩定理與動量矩守恒律第2章質點組力學38（1）質系中各質點對固定點O的動量矩定理3940質系對定軸的動量矩對時間的一階導數(shù)等于作用于質系的外力對同軸的合力矩。41（2）質系中各質點對固定點O的動量矩守恒律42實例分析芭蕾舞演員花樣滑冰運動員§2.3動量矩定理與動量矩守恒律第2章質點組力學4344（3）質點組對質心的動量矩定理

'y'yiirCrxyzC'x'zOivCviirCrxyzC'x'zOivCv45討論：質點組每個質點受到的慣性力的合力通過質心，所以對質心的力矩為零。動量矩是一個向量，它與矩心O的選擇有關。如果M’=0，則對質點組質心的動量矩J’守恒46（4）質系對任意動點的動量矩定理zmiviAiCrirCxyAriOrA47（5）質點組對固定點的動量矩與對質心的動量矩之間的關系iviviirCrxyzC'x'zOCviirCrxyzC'x'zOCv'y48思考題一半徑為r的勻質圓盤在水平面上純滾動，如圖所示。已知圓盤對質心的轉動慣量為Io，角速度為，質心O點的速度為vo。試求圓盤對水平面上O1點的動量矩。49質量均為m的A和B兩人同時從靜止開始爬繩。已知A的體質比B的體質好，因此A相對于繩的速率u1大于B相對于繩的速率u2。試問誰先到達頂端并求繩子的移動速率u。例150例1解取滑輪與A和B兩人為研究對象，因為外力為兩人所受重力，故外力合力矩為零，系統(tǒng)對O點動量矩守恒：設繩子移動的速率為u又因為初始動量矩為零，所以任何時間動量矩均為零，即51例1總結西南大學52質量均為m的兩小球C和D用長為2l的無質量剛性桿連接，并以其中點固定在鉛垂軸AB上，桿與AB軸之間的夾角為

，軸AB以勻角速度轉動。A、B軸承間的距離為h。求(1).系統(tǒng)對O點的動量矩；(2).A、B軸承的約束反力。例253例2解(1).系統(tǒng)對O點的動量矩角速度向量兩小球的矢徑它們的速度由質系的動量矩的定義可得取整體系統(tǒng)為研究對象，建立固結桿坐標系54例2解(2).求A、B軸承的約束力55由質系的質心運動定理得外力對O點的主矩為質系對質心的動量矩定理：56例2以x軸的定軸轉動(非慣性系)加慣性力，畫受力圖由質心運動定理57§2.4動能定理與機械能守恒定律

（1）質點動能定理（2）機械能守恒定律（3）柯尼希定理

（4）對質心的動能定理§2.5兩體問題§2.4動能定理與機械能守恒律第2章質點組力學58質系動能的微分等于作用在質系上所有力的元功之和。質點動能定理（1）質系動能定理§2.4動能定理與機械能守恒律第2章質點組力學59注意：一般內力的功不為0，因為一對內力的功為：質系動能定理的積分形式質系從狀態(tài)1到狀態(tài)2的運動過程中，其動能的改變量等于作用于質系的所有力在這段路程中所作功的代數(shù)和?！?.4動能定理與機械能守恒律第2章質點組力學60內力雖然不能改變質系的動量和動量矩，但可能改變它的能量:實例分析炮彈爆炸碰撞若外力是保守力（如重力）,則能量不變,但是可以改變動量和動量矩.§2.4動能定理與機械能守恒律第2章質點組力學61當質系在勢力場中運動，有勢力所作的功：機械能守恒：（2）機械能守恒定律（3）柯尼希定理（質點組對固定點的動能定理）§2.4動能定理與機械能守恒律第2章質點組力學62（4）對質心的動能定理慣性力的功為0對質心的動能定理表明：質點組所受全部外力和內力對質心的位移的功等于質點組對質心動能的改變.

63小結質點組的三個動力學基本定理（靜系）動量定理動量矩定理動能定理或或§2.4動能定理與機械能守恒律第2章質點組力學64質點組的三個動力學基本定理（C系）動量定理動量矩定理動能定理或§2.4動能定理與機械能守恒律第2章質點組力學65質點組的三個守恒律動量動量矩機械能作用在質點組上的所有外力及內力都是保守力§2.4動能定理與機械能守恒律第2章質點組力學66三個動力學基本定理在分量形式下共有上面七個方程：質點組的獨立變量通常大于7，所以這些方程不能確定質點系中每一質點的運動（剛體除外）;這些方程可以得出質點組運動的總趨向和某些特征，特別是與質點有關的總趨向和某些特征；若質點組由兩個質點組成，特殊情況下利用動力學定理或者相關守恒律可以求解它們的運動。67例1P96兩自由質點互相吸引,力與質量成正比,與距離平方成反比.開始時,兩質點靜止,距離為a.求兩質點距離為開始距離一半時,兩質點的速度.解:動量守恒方法一：由機械能守恒求解§2.4動能定理與機械能守恒律第2章質點組力學68方法二：由動能定理求解積分得補充例題2.2和2.3P111－P112（自學）§2.4動能定理與機械能守恒律第2章質點組力學69§2.5兩體問題第2章質點組力學因為太陽并非靜止，故開普勒定律是近似的。一、（P,S）系統(tǒng)的運動特點對太陽:對行星：①+②式，得70而質心：因此，§2.5兩體問題第2章質點組力學71討論①質心不受力，作慣性運動。

(萬有引力是內力，質點組動量、能量守恒）②太陽、行星繞質心作圓錐曲線運動。證明：令行星對C的運動學方程為：§2.5兩體問題第2章質點組力學72同理，太陽對C的運動學方程為：

力與距離平方成反比，故太陽、行星均繞（P,S）系統(tǒng)的質心作圓錐曲線運動。§2.5兩體問題第2章質點組力學行星對C的運動學方程為：073兩體問題74③地球對太陽的相對運動方程（2）－（1）式，得定義：折合質量則§2.5兩體問題第2章質點組力學a.太陽質量變大（m+M）；b.地球質量變小(折合質量)a.地球相對太陽的動力學方程b.地球相對太陽的動力學方程75④開普勒第三定理的修正即：只有當行星質量遠小于太陽質量時，開普勒第三定律才是精確的。§2.5兩體問題第2章質點組力學⑤兩體問題：不考慮行星間的相互吸引。多體問題：天體力學、量子力學中經(jīng)常用到，用微擾法（攝動法）求解。76§2.6質心坐標系與實驗室坐標系第2章質點組力學散射碰撞兩體問題令其中一個不動另一個為折合質量單體問題散射角θc散射角θr（可在實驗室觀察出來）（需由等值單體問題計算出來）77觀測散射過程時所采用的靜止的坐標系。一、實驗室坐標系單體問題，為實驗工作者采用。散射角為觀測值§2.6質心坐標系與實驗室坐標系第2章質點組力學78兩體問題；為理論工作者采用。二、質心坐標系觀測散射過程時所采用的隨質心運動的坐標系。散射角為計算值。

:兩質點相對位矢散射前后所偏轉的角度；§2.6質心坐標系與實驗室坐標系第2章質點組力學79質心運動的坐標系80三、θc與θr的關系設質量為m1的質點1以速度v1被另一質量為m2

的靜止質點2散射。此兩質點的質心在散射前后都將沿v1方向以速度V運動，在散射前，有而，所以質心速度§2.6質心坐標系與實驗室坐標系第2章質點組力學81§2.6質心坐標系與實驗室坐標系第2章質點組力學此時質點1相對于質心的速度的量值為而質點2

相對于質心的速度的量值則為故有兩質點在質心坐標系動量守恒82從質心坐標系看，由動量守恒律，兩質點散射后必將沿相反方向運動，而質點1

散射后的速度與散射前的速度之間的夾角就是§2.6質心坐標系與實驗室坐標系第2章質點組力學83從實驗室坐標系看,質點1散射后的速度為，它與之間的夾角為.

由相對運動速度變換關系其分量形式為§2.6質心坐標系與實驗室坐標系第2章質點組力學84（2）cox

ym1

m2（3）（1）§2.6質心坐標系與實驗室坐標系第2章質點組力學85由（1）、（2）、（3）可得§2.6質心坐標系與實驗室坐標系第2章質點組力學86討論還可求得：（P.102）當時，粒子將把所有能量轉移給粒子。中子減速劑原理§2.6質心坐標系與實驗室坐標系第2章質點組力學87§2.7變質量物體的運動第2章質點組力學一、變質量物體的運動方程討論質量m是時間的函數(shù)，求這種變質量物體的動力學方程。設t時刻物體質量為m，速度為v。另有一微小質量Δm，速度為u。在t+Δt時間間隔內Δm與m相合并，合并后的共同速度為v+Δv。作用在m及Δm上的合外力為F。由質點組動量定理（廣義的牛頓定律）可得88略去二階小量，則變質量物體運動的基本方程為：⊿m未與m合并前或自m分出后瞬間的速度§2.7變質量物體的運動第2章質點組力學89若u=v，則若u=0，則§2.7變質量物體的運動第2章質點組力學90例(P137)

雨點開始自由下落時質量M，在下落過程中,單位時間內凝結在它上面的水汽質量λ，略去空氣阻力,求雨點在t秒后所下落的距離。解:積分91再積分92方程可改寫為即——密歇爾斯基方程

二、火箭§2.7變質量物體的運動第2章質點組力學93是放出物質(廢氣)相對于運動物體(火箭)的速度是每秒鐘放出的質量是放出物質引起的反作用力(即噴射廢氣產(chǎn)生的推力)故要增加火箭的推力，應從提高或著手?！?.7變質量物體的運動第2章質點組力學94中國重型火箭有望2014年立項具備載人登月能力未來的重型火箭運載能力將達到百噸級，起飛動力達到3000噸級，一次就可完成100噸的空間站發(fā)射。95§2.8維里定理第2章質點組力學對有n個質點的質點組，其中任一質點的基本運動方程為：設求G對時間的導數(shù)，得96而右邊第二項可變?yōu)橛疫叺谝豁椏勺優(yōu)椤?.8維里定理第2章質點組力學97因此對上式求時間的平均值，得由積分中值定理或§2.8維里定理第2章質點組力學98維里定理的物理意義：在長時間間隔內，質點組的動能對時間的平均值取負號后等于作用在此質點組上力的維里?？藙谛匏狗Q為維里（也叫均功）。若為周期運動（τ為一周期），或所有質點的坐標和動量均為有限值但取τ足夠長時，則上式左邊很小，幾乎為零。故在這兩種情況下，均有：維里定理（VirialTheorem）§2.8維里定理第2章質點組力學99討論1.系統(tǒng)中的耗散力對<T>無貢獻.（反證法）2.對有心力系統(tǒng)（屬保守力系），質點勢能：§2.8維里定理第2章質點組力學100思考題2.1一均勻物體假如由幾個有規(guī)則的物體并合（或剜去）而成，你覺得怎樣去求它的質心？

答：因均勻物體質量密度處處相等，規(guī)則形體的幾何中心即為質心，故先找出各規(guī)則形體的質心把它們看作質點組，然后求質點組的質心即為整個物體的質心。對被割去的部分，先假定它存在，后以其負質量代入質心公式即可。2.2一均勻物體如果有三個對稱面，并且此三對稱面交于一點，則此質點即均勻物體的質心，何故？答：物體具有三個對稱面已足以確定該物體的規(guī)則性，該三平面的交點即為該物體的幾何對稱中心