第九章 第二節(jié) 用樣本估計總體

第二節(jié)用樣本估計總體抓基礎明考向提能力教你一招我來演練第九章統(tǒng)計、統(tǒng)計案例及算法初步

[備考方向要明了]考

什

么1.了解分布的意義和作用，會列頻率分布表，會畫頻率分布直方圖、

頻率折線圖、莖葉圖，理解它們各自的特點．2.理解樣本數(shù)據(jù)標準差的意義和作用，會計算標準差．3.能從樣本數(shù)據(jù)中提取基本的數(shù)字特征(如平均數(shù)、標準差)，并給出

合理的解釋．4.會用樣本的頻率分布估計總體分布，會用樣本的基本數(shù)字特征估計

總體的基本數(shù)字特征，理解用樣本估計總體的思想．5.會用隨機抽樣的基本方法和樣本估計總體的思想解決一些簡單的實

際問題.怎

么

考從高考內(nèi)容上來看，頻率分布直方圖、莖葉圖、樣本數(shù)據(jù)及數(shù)字特征是命題的熱點，各種題型都有，難度中低檔，多與概率問題相結(jié)合交匯考查．注重考查學生解決問題的能力.1．條形統(tǒng)計圖的特點數(shù)據(jù)量很大時，能直觀地反映數(shù)據(jù)分布的大致情況，且能清晰地表示出

．2．莖葉圖表示數(shù)據(jù)有兩個突出的優(yōu)點(1)統(tǒng)計圖上沒有

，所有的原始數(shù)據(jù)都可以從這個莖葉圖中得到；(2)莖葉圖可以隨時記錄，方便

．但是，當數(shù)據(jù)量很大或有多組數(shù)據(jù)時，莖葉圖就不那么直觀、清晰了．各個區(qū)間的具體數(shù)目信息的損失表示與比較(2)作頻率分布直方圖的步驟：①求極差(即一組數(shù)據(jù)中最大值與最小值的差)；②決定組距與組數(shù)；③將數(shù)據(jù)分組；④列頻率分布表；⑤畫頻率分布直方圖．4．樣本的數(shù)字特征數(shù)字特征定義眾數(shù)在一組數(shù)據(jù)中，出現(xiàn)次數(shù)

的數(shù)據(jù)叫做這組數(shù)據(jù)的眾數(shù).中位數(shù)將一組數(shù)據(jù)按大小依次排列，把處在位置的一個數(shù)據(jù)(或最中間兩個數(shù)據(jù)的平均數(shù))叫做這組數(shù)據(jù)的

.在頻率分布直方圖中，中位數(shù)左邊和右邊的直方圖的面積應該

.最多最中間相等中位數(shù)數(shù)字特征定義平均數(shù)方差s2＝

.其中s為標準差.樣本數(shù)據(jù)的算術(shù)平均數(shù)．即1．一個容量為32的樣本，已知某組樣本的頻率為0.375，則該組樣本的頻數(shù)為 (

)A．4

B．8C．12 D．16答案：

C解析：頻數(shù)＝32×0.375＝12.答案：A2．(教材習題改編)某同學進入高三后，

4次月考的數(shù)學成績的莖葉圖如圖，則該同學數(shù)學成績的平均分是(

)A．125

B．122.25C．45 D．129.511412681323．某部門計劃對某路段進行限速，為調(diào)查限速60km/h是否合理，對通過該路段的300輛汽車的車速進行檢測，將所得數(shù)據(jù)按[40,50)，[50,60)，[60,70)，[70,80]分組，繪制成如圖所示的頻率分布直方圖．則這300輛汽車中車速低于限速的汽車有 (

)A．75輛B．120輛C．180輛

D．270輛答案：

C解析：據(jù)直方圖可得300輛中車速低于限速的汽車所占的頻率為10×0.025＋10×0.035＝0.6，故其頻數(shù)為300×0.6＝180.4．一個容量為20的樣本數(shù)據(jù)，分組后，組別與頻數(shù)如下：則樣本在(20,50]上的頻率為________．組別(10,20](20,30](30,40](40,50](50,60]頻數(shù)234565．(教材習題改編)甲、乙兩人比賽射擊，兩人所得的平均環(huán)數(shù)相同，其中甲所得環(huán)數(shù)的方差為5.乙所得環(huán)數(shù)如下：5、6、9、10、5，那么這兩人中成績較穩(wěn)定的是________．答案：乙(1)在頻率分布直方圖中，中位數(shù)左邊和右邊的直方圖的面積相等，由此可以估計中位數(shù)的值，而平均數(shù)的估計值等于頻率分布直方圖中每個小矩形的面積乘以小矩形底邊中點的橫坐標之和，眾數(shù)是最高的矩形的中點的橫坐標．(2)對標準差與方差的理解：

標準差、方差描述了一組數(shù)據(jù)圍繞平均數(shù)波動的大

?。畼藴什?、方差越大，數(shù)據(jù)的離散程度越大，標準

差、方差越小，數(shù)據(jù)的離散程度越小，因為方差與原

始數(shù)據(jù)的單位不同，且平方后可能夸大了偏差的程

度，所以雖然方差與標準差在刻畫樣本數(shù)據(jù)的分散程

度上是一樣的，但在解決實際問題時，一般多采用標

準差．[精析考題][例1]

(2011·湖北高考)有一個容量為200的樣本，其頻率分布直方圖如圖所示．根據(jù)樣本的頻率分布直方圖估計，樣本數(shù)據(jù)落在區(qū)間[10,12)內(nèi)的頻數(shù)為(

)A．18

B．36C．54 D．72[自主解答]

由直方圖得樣本數(shù)據(jù)在[10,12)內(nèi)的頻率為0.18.則樣本數(shù)據(jù)在區(qū)間[10,12)內(nèi)的頻數(shù)為36.[答案]

B本例條件不變，問：(1)樣本數(shù)據(jù)的眾數(shù)約為多少？(2)樣本數(shù)據(jù)的平均數(shù)是多少？解：(1)眾數(shù)應為最高矩形的中點對應的橫坐標，故應為9.(2)平均數(shù)為3×0.02×2＋5×0.05×2＋7×0.15×2＋9×0.19×2＋0.09×11×2＝8.12.[巧練模擬]——————(課堂突破保分題，分分必保！)1．(2012·濟南模擬)為了了解某校今年準備報考飛行員的學生的體重情況，將所得的數(shù)據(jù)整理后，畫出了頻率分布直方圖(如圖)，已知圖中從左到右的前3個小組的頻率之比為1∶2∶3，第2小組的頻數(shù)為12，則報考飛行員的學生人數(shù)是________．答案：482．(2012·杭州模擬)某初一年級有500名同學，將他們的身高(單位：cm)數(shù)據(jù)繪制成頻率分布直方圖(如圖)，若要從身高在[120,130)，[130,140)，[140,150]三組內(nèi)的學生中，用分層抽樣的方法選取30人參加一項活動，則從身高在[130,140)內(nèi)的學生中選取的人數(shù)應為________．答案：

10[沖關(guān)錦囊](2)記甲組四名同學為A1，A2，A3，A4，他們植樹的棵數(shù)依次為9,9,11,11；乙組四名同學為B1，B2，B3，B4，他們植樹的棵數(shù)依次為9,8,9,10.分別從甲、乙兩組中隨機選取一名同學，所有可能的結(jié)果有16個：(A1，B1)，(A1，B2)，(A1，B3)，(A1，B4)，(A2，B1)，(A2，B2)，(A2，B3)，(A2，B4)，(A3，B1)，(A3，B2)，(A3，B3)，(A3，B4)，(A4，B1)，(A4，B2)，(A4，B3)，(A4，B4)，3．(2012·杭州模擬)如圖是某賽季甲、乙兩名籃球運動員每場比賽得分的莖葉圖，則甲、乙兩人比賽得分的中位數(shù)之和是________.答案：

64解析：甲比賽得分的中位數(shù)為28，乙比賽得分的中位數(shù)為36，所以甲、乙兩人比賽得分的中位數(shù)之和為28＋36＝64.4．(2011·太原聯(lián)考)甲、乙兩個體能康復訓練小組各有10名組員，經(jīng)過一段時間訓練后，某項體能測試結(jié)果的莖葉圖如圖所示，則這兩個小組中體能測試平均成績較高的是________組.答案：甲[沖關(guān)錦囊]1．莖葉圖適用的原則樣本數(shù)據(jù)較少時，效果較好．樣本數(shù)據(jù)較多時，枝葉會很長不方便記錄，此方法不實用．2．莖葉圖的優(yōu)點(1)能夠保留原始數(shù)據(jù)；(2)展示數(shù)據(jù)的分布情況.[精析考題][例3]

(2011·廣東高考)在某次測驗中，有6位同學的平均成績?yōu)?5分．用xn表示編號為n(n＝1,2，…，6)的同學所得成績，且前5位同學的成績?nèi)缦拢壕幪杗12345成績xn7076727072(1)求第6位同學的成績x6，及這6位同學成績的標準差s；(2)從前5位同學中，隨機地選2位同學，求恰有1位同學成績在區(qū)間(68,75)中的概率．[巧練模擬]—————(課堂突破保分題，分分必保！)答案：

B品種甲403397390404388400412406品種乙419403412418408423400413[沖關(guān)錦囊](1)平均數(shù)與方差都是重要的數(shù)字特征，是對總體的一種簡明的描述，它們所反映的情況有著重要的實際意義，平均數(shù)、中位數(shù)、眾數(shù)描述其集中趨勢，方差和標準差描述其波動大小．易錯矯正 頻率分布直方圖中概念不清致誤[考題范例](12分)(2012·合肥模擬)某種袋裝產(chǎn)品的標準質(zhì)量為每袋100克，但工人在包裝過程中一般有誤差，規(guī)定誤差在2克以內(nèi)的產(chǎn)品均合格．由于操作熟練，某工人在包裝過程中不稱重直接包裝，現(xiàn)對其包裝的產(chǎn)品進行隨機抽查，抽查30袋產(chǎn)品獲得的數(shù)據(jù)如下：(1)根據(jù)表格中的