五邑大學(xué),近代物理,物理數(shù)學(xué),distribution

最概然分布最概然分布2/5/2023111最概然分布根據(jù)等概率假設(shè)，系統(tǒng)的任一分布出現(xiàn)的概率正比于該分布對(duì)應(yīng)的微觀態(tài)數(shù)，稱之為熱力學(xué)概率。熱力學(xué)概率最大的分布叫做最概然分布。最概然分布以及與之相近的一系列分布所對(duì)應(yīng)的微觀態(tài)數(shù)遠(yuǎn)大于所有其余分布對(duì)應(yīng)的微觀態(tài)數(shù)之和。從統(tǒng)計(jì)物理學(xué)的角度看，系統(tǒng)達(dá)到宏觀上的平衡態(tài)就是指系統(tǒng)取最概然分布及其相近的一系列分布。平衡態(tài)統(tǒng)計(jì)物理學(xué)的一個(gè)重要任務(wù)是，以等概率假設(shè)為基礎(chǔ)，在一定的宏觀條件下，尋找系統(tǒng)的最概然分布。三類系統(tǒng)的最概然分布分別被稱為玻爾茲曼分布、玻色分布和費(fèi)米分布。玻爾茲曼系統(tǒng)往往涉及大量的微觀粒子，它的最概然分布可以用近似計(jì)算得到。2/5/2023211玻爾茲曼系統(tǒng)的微觀態(tài)的改變由于玻爾茲曼系統(tǒng)的微觀粒子數(shù)目巨大，斯特林公式有效，可以用來近似計(jì)算系統(tǒng)的最概然分布。把斯特林公式用到玻爾茲曼系統(tǒng)中設(shè)想在總粒子數(shù)不變的前提下，各個(gè)能級(jí)上的粒子數(shù)有微小的變化，由此導(dǎo)致微觀態(tài)數(shù)發(fā)生改變：與最概然分布對(duì)應(yīng)的微觀態(tài)數(shù)滿足各能級(jí)上的粒子數(shù)的改變并不完全獨(dú)立，受總粒子數(shù)和總能量不變的約束，獨(dú)立的改變比能級(jí)數(shù)少兩個(gè)。2/5/2023311玻爾茲曼分布由此得到一組三個(gè)聯(lián)立方程：引入兩個(gè)叫做拉格朗日乘子的待定參數(shù)，將三個(gè)方程組合成一個(gè)方程：適當(dāng)選取乘子的數(shù)值，使求和的各項(xiàng)中有兩項(xiàng)等于零，就去除了多余的兩個(gè)dNi

，而其余的dNi

就是獨(dú)立的。于是，對(duì)求和的所有項(xiàng)都有：由此得到了玻爾茲曼分布：兩個(gè)拉格朗日乘子由宏觀約束條件確定：半經(jīng)典對(duì)應(yīng)：2/5/2023411量子系統(tǒng)的最概然分布量子系統(tǒng)的粒子數(shù)通常不滿足斯特林公式的條件。它們的最概然分布需要用更嚴(yán)格的方法得到。由玻色子組成的系統(tǒng)，其最概然分布叫做玻色分布：兩個(gè)拉格朗日乘子由以下宏觀約束條件確定：由費(fèi)米子組成的系統(tǒng)，其最概然分布叫做費(fèi)米分布：兩個(gè)拉格朗日乘子由以下宏觀約束條件確定：2/5/2023511經(jīng)典極限條件如果拉格朗日乘子滿足條件，則兩種量子分布都過渡到玻爾茲曼分布：在這種情況下，各個(gè)能級(jí)上的粒子數(shù)遠(yuǎn)小于該能級(jí)的簡(jiǎn)并度經(jīng)典極限條件滿足經(jīng)典極限條件的量子系統(tǒng)雖然遵從玻爾茲曼分布，但它們的粒子仍然是不可分辨的。因此，對(duì)于同一種分布，量子系統(tǒng)與經(jīng)典系統(tǒng)對(duì)應(yīng)的微觀態(tài)數(shù)并不一樣：由于這個(gè)原因，對(duì)于那些與微觀態(tài)數(shù)直接有關(guān)的熱力學(xué)量，兩種系統(tǒng)有不同的統(tǒng)計(jì)表達(dá)式。當(dāng)然，對(duì)于那些直接由分布函數(shù)導(dǎo)出的熱力學(xué)量，無論是經(jīng)典系統(tǒng)還是量子系統(tǒng)，都有相同的表達(dá)式。2/5/2023611怎樣滿足經(jīng)典極限條件考察一個(gè)有確定粒子數(shù)的量子系統(tǒng)。經(jīng)典極限條件意味著平均每個(gè)量子態(tài)或相格中的粒子數(shù)遠(yuǎn)小于1?；蛘叻催^來說，平均每個(gè)粒子占據(jù)的相格數(shù)非常多。于是，整個(gè)系統(tǒng)占據(jù)的相體積就很大，而相體積與系統(tǒng)的空間體積和總能量有正的依賴關(guān)系：這顯示系統(tǒng)的空間體積和總能量都很大，對(duì)于有確定粒子數(shù)的系統(tǒng)，這意味著密度很低而溫度則很高。因此，氣體越稀薄，溫度越高，就越滿足經(jīng)典極限條件常溫下的普通氣體都滿足經(jīng)典極限條件。通常將滿足經(jīng)典極限條件的氣體稱為弱簡(jiǎn)并氣體，反之則稱為強(qiáng)簡(jiǎn)并氣體。這里的簡(jiǎn)并不是指能量簡(jiǎn)并，而是指由全同性導(dǎo)致微觀態(tài)數(shù)變少。2/5/2023711求和轉(zhuǎn)化為積分的條件在經(jīng)典力學(xué)中，粒子的能量的可能值是連續(xù)的，在應(yīng)用統(tǒng)計(jì)方法討論系統(tǒng)的性質(zhì)時(shí)要對(duì)能量做積分。微觀粒子服從量子規(guī)律，能量的可能值是分立的。在應(yīng)用統(tǒng)計(jì)方法時(shí)必須對(duì)能級(jí)或量子態(tài)求和：對(duì)大量能級(jí)或量子態(tài)求和將是一件困難的事情，在什么條件下才能將求和轉(zhuǎn)化為積分，使問題變得簡(jiǎn)單？在求和中總是出現(xiàn)單粒子能量的指數(shù)因子能夠?qū)⑶蠛娃D(zhuǎn)化為積分的關(guān)鍵是，這個(gè)因子能用一個(gè)光滑的連續(xù)函數(shù)近似地表示。這就要求相鄰能級(jí)對(duì)應(yīng)的因子差別很小：2/5/2023811能量連續(xù)條件這意味著。由進(jìn)一步的討論得能級(jí)的間隔能量連續(xù)條件如果粒子的能級(jí)分布非常稠密，以致任意兩個(gè)能級(jí)之間的能量差遠(yuǎn)小于系統(tǒng)的特征熱能，則可以把粒子的能量看做是近似連續(xù)的，從而將求和轉(zhuǎn)變成積分。對(duì)不同的運(yùn)動(dòng)自由度，相鄰能級(jí)的間隔差別很大，在同一溫度下，不同的自由度不一定都滿足能量連續(xù)條件。一個(gè)簡(jiǎn)單的例子是室溫下的氫氣，系統(tǒng)的特征熱能為平動(dòng)自由度：轉(zhuǎn)動(dòng)自由度：振動(dòng)自由度：2/5/2023911能級(jí)間隔對(duì)熱容的影響氫分子的三種自由度的能級(jí)間隔差別如此之大，給氣體的熱容帶來不尋常的可觀測(cè)效應(yīng)。在室溫下，溫度的微小變化足以影響氣體的平動(dòng)狀態(tài)，但是對(duì)轉(zhuǎn)動(dòng)狀態(tài)和振動(dòng)狀態(tài)不產(chǎn)生任何影響。這時(shí)，只有平動(dòng)自由度對(duì)熱容有貢獻(xiàn)，而轉(zhuǎn)動(dòng)與振動(dòng)自由度好像被“凍結(jié)”了一樣，對(duì)氣體的熱容沒有貢獻(xiàn)。當(dāng)溫度升高到特征熱能大于轉(zhuǎn)動(dòng)能級(jí)之間的間隔時(shí)，轉(zhuǎn)動(dòng)自由度“解凍”，開始對(duì)熱容有貢獻(xiàn)，熱容迅速增大。這段時(shí)期，振動(dòng)自由度仍然被“凍結(jié)”，在一段較寬的溫度范圍內(nèi)對(duì)熱容沒有貢獻(xiàn)。當(dāng)溫度進(jìn)一步升高到足以讓振動(dòng)自由度“解凍”時(shí)，熱容再次迅速增大。2/5/20231011經(jīng)典方法與量子方法的條件一般地說，粒子的能級(jí)與普朗克常數(shù)有正的依賴關(guān)系。如果能量連續(xù)條件得以滿足，粒子的波動(dòng)性可以忽略。在這種情況下，可以采用半經(jīng)典近似，用廣義坐標(biāo)和廣義動(dòng)量描寫粒子的運(yùn)動(dòng)狀態(tài)。如果玻爾茲曼系統(tǒng)滿足能量連續(xù)條件，就可以用經(jīng)典的玻爾茲曼統(tǒng)計(jì)理論處理，否則就要用量子玻爾茲曼統(tǒng)計(jì)理論處理；對(duì)于量子系統(tǒng)，即使不滿足經(jīng)典極限條件，