機械振動3強迫振動1-4

第三章受迫振動在外部持續(xù)激勵作用下所產(chǎn)生的振動從外界不斷獲得能量補償阻尼消耗的能量，使系統(tǒng)得以維持振動。研究的次序從簡到繁：簡諧激勵、周期激勵、非周期激勵本章內(nèi)容：3.1對簡諧激勵的響應(yīng)3.2復(fù)頻率響應(yīng)3.3隔振3.4振動測量儀器3.5簡諧力與阻尼力的功3.6等效粘性阻尼3.7系統(tǒng)對周期激勵的響應(yīng)·傅里葉級數(shù)3.8系統(tǒng)對任意激勵的響應(yīng)·卷積積分3.9系統(tǒng)對任意激勵的響應(yīng)·傅里葉積分3.10用拉普拉斯變換法求系統(tǒng)響應(yīng)·傳遞函數(shù)3.11復(fù)頻率響應(yīng)與脈沖響應(yīng)之間的關(guān)系3.1對簡諧激勵的響應(yīng)xkcF(t)mkxF(t)（3.1.1）外力幅值外力的激勵頻率立動力學(xué)方程：非齊次微分方程通解齊次微分方程通解非齊次微分方程特解＝＋阻尼自由振動逐漸衰減瞬態(tài)振動持續(xù)等幅振動穩(wěn)態(tài)振動本節(jié)內(nèi)容先求穩(wěn)態(tài)響應(yīng)即方程的特解。它也是簡諧振動（3.1.2）其中X為穩(wěn)態(tài)響應(yīng)的振幅，代入方程，得到：由方程非齊次項的形式判斷，特解也是簡諧函數(shù)，設(shè)為：φ為相位差，是待定常數(shù)。比較方程等號兩邊同類項系數(shù)，得到：分子分母同除以k，并利用頻率比（3.1.2）從特解看出（1）線性系統(tǒng)對簡諧激勵的穩(wěn)態(tài)響應(yīng)是簡諧振動，振動頻率等同于激振頻率、而相位滯后激振力。（2）穩(wěn)態(tài)響應(yīng)的振幅及相位只取決于系統(tǒng)本身的物理性質(zhì)（m,k,c）和激勵力的大小和頻率，而與初始條件無關(guān).（3.1.7）（3.1.10）得到：常值力F0作用下的靜變形放大因子（幅頻特性）幅頻特性曲線

0123012345隨λ

的增大，β

先由小變大，后從大變小.

響應(yīng)的振幅與靜變形相當(dāng).引入：穩(wěn)態(tài)響應(yīng)特性激振頻率遠大于系統(tǒng)固有頻率結(jié)論：響應(yīng)的振幅可能很小.0123012345結(jié)論：在λ遠離1時，系統(tǒng)即使按無阻尼情況考慮也是可以的對應(yīng)于不同值,曲線較為密集，說明阻尼的影響不顯著在λ

遠離1時，穩(wěn)態(tài)響應(yīng)特性結(jié)論：共振，振幅無窮大.（3）當(dāng)對應(yīng)于較小值，迅速增大當(dāng)?shù)舱駥τ趤碜宰枘岬挠绊懞苊舾校讦?1附近的區(qū)域內(nèi)，增加阻尼使振幅明顯下降,阻尼較強時振幅變化平緩。

0123012345振幅無極值當(dāng)穩(wěn)態(tài)響應(yīng)特性（4）對于有阻尼系統(tǒng)，并不出現(xiàn)在λ=1處，而且稍偏左共振峰0123012345相頻特性相頻特性曲線以λ為橫坐標畫出曲線相位差響應(yīng)與激振力近乎同相響應(yīng)與激振力反相（3）當(dāng)共振時的相位差為，與阻尼無關(guān)0123090180有阻尼單自由度系統(tǒng)幾個圖形比較外部作用力規(guī)律：假設(shè)系統(tǒng)固有頻率：從左到右：無阻尼時，若λ=1，強迫振動動力學(xué)方程為：特解為：無阻尼系統(tǒng)共振時，振幅隨時間無限增大；共振現(xiàn)象是工程中需要研究的（3.1.18）響應(yīng)初相位滯后于激勵π/2.重要課題，工程中通常取的區(qū)間為共振區(qū)，在共振區(qū)內(nèi)振動會很強烈，會導(dǎo)致機械變形過大，甚至破壞。共振時振幅增大過程Otx無阻尼質(zhì)量-彈簧系統(tǒng)，方程和初始條件為：求系統(tǒng)響應(yīng)。將初始條件代上式：例3.1-1解：方程的通解為得：方程的解（系統(tǒng)的響應(yīng)）為方程的全解：初始條件響應(yīng)自由伴隨振動強迫響應(yīng)特點：以系統(tǒng)固有頻率為振動頻率如果是零初始條件自由伴隨振動強迫響應(yīng)即使在零初始條件下，也有自由振動與受迫振動相伴發(fā)生討論有阻尼系統(tǒng)對簡諧激勵的響應(yīng)(過渡階段)初始條件響應(yīng)自由伴隨振動，也是衰減的強迫振動利用前述相同的方法，有：①初始條件響應(yīng)和自由伴隨振動x2tx1t兩種振動疊加的結(jié)果如圖。隨著時間的推移，暫態(tài)響應(yīng)逐漸消失，而轉(zhuǎn)化為穩(wěn)態(tài)響應(yīng)。xt瞬態(tài)過程穩(wěn)態(tài)過程②穩(wěn)態(tài)振動兩部分都是衰減的自由振動暫態(tài)振動包括兩部分：圖示振動系統(tǒng)，剛性桿不計重量，在水平位置平衡，端部受激勵例3.1-2解：設(shè)鋼桿擺角為θ，由動力學(xué)得：系統(tǒng)的穩(wěn)態(tài)響應(yīng)為試列出振動微分方程，并求當(dāng)ω=ωn時質(zhì)點的振幅。令質(zhì)點的振幅為3.2復(fù)頻率響應(yīng)xkcF(t)mkxF(t)動力學(xué)方程（非齊次微分方程）：（2.1.2）

激勵為復(fù)變量，其實部和虛部分別表示對系統(tǒng)作用的是余弦激勵和正弦激勵。外力幅值外力的激勵頻率F為復(fù)數(shù)形式復(fù)數(shù)形式的求解有時更方便

響應(yīng)x也為復(fù)變量，其實部和虛部分別表示系統(tǒng)對余弦激勵和正弦激勵的響應(yīng)。穩(wěn)態(tài)響應(yīng)也是簡諧振動（復(fù)數(shù)形式）：（3.2-3）其中X為穩(wěn)態(tài)響應(yīng)的復(fù)振幅，φ為相位差。代入方程，得到：（3.2-5）H(ω)為激勵頻率ω的復(fù)函數(shù)，稱為復(fù)頻率響應(yīng)（函數(shù)）。顯見x(t)與F(t)/k成正比，比例系數(shù)為：（3.2-6）H(ω)的絕對值是振幅與靜變形之比，即放大因子。（3.2-7）為求出相位差，由（3.2-6）式得：對比等號兩邊同類項系數(shù)得：也稱相頻特性H(ω)又稱為幅頻特性。不平衡質(zhì)量激發(fā)的強迫振動。P41圖3.2-2兩個偏心質(zhì)量m/2以角速度ω按相反方向轉(zhuǎn)動，偏心距e，例3.2-1解：設(shè)機器的鉛直方向位移為x，動力學(xué)方程：求系統(tǒng)強迫振動.機器總質(zhì)量M。機器的振幅可改為：機械的振動為0.250.5

0.751.02.010100190180支承激勵引起的強迫振動。例3.2-2解：設(shè)質(zhì)量只能作鉛直方向運動，位移為x，支承的運動為y:幅頻曲線01100.10.250.350.51.0可看出：當(dāng)時，振幅恒為支承運動振幅Y當(dāng)時，振幅恒小于Y這時，增加阻尼反而使振幅增大3.3隔振

機器設(shè)備運行會產(chǎn)生振動，為減少對環(huán)境的影響，通常在機器底部加裝彈簧、橡膠等，相當(dāng)于彈簧和阻尼。隔振前機器傳到地基的力：隔振材料：k，c隔振后系統(tǒng)響應(yīng)x：m隔振前kcm隔振后隔振后通過彈簧和阻尼傳到地基的力：通過k、c傳到地基上的力：kcm隔振后這是實際傳遞力的力幅與激勵力幅之比，稱為傳遞率.也稱隔振系數(shù)01100.10.250.350.51.0(1)不論阻尼大小，只有當(dāng)阻尼比時，才有隔振效果.(2)(3)

3.4振動測量儀器基礎(chǔ)位移動力方程：振幅：kcm設(shè)x

為

m

相對于外殼的相對位移解為：0.250.5