機(jī)械振動(dòng)3強(qiáng)迫振動(dòng)1-4

第三章受迫振動(dòng)在外部持續(xù)激勵(lì)作用下所產(chǎn)生的振動(dòng)從外界不斷獲得能量補(bǔ)償阻尼消耗的能量，使系統(tǒng)得以維持振動(dòng)。研究的次序從簡(jiǎn)到繁：簡(jiǎn)諧激勵(lì)、周期激勵(lì)、非周期激勵(lì)本章內(nèi)容：3.1對(duì)簡(jiǎn)諧激勵(lì)的響應(yīng)3.2復(fù)頻率響應(yīng)3.3隔振3.4振動(dòng)測(cè)量?jī)x器3.5簡(jiǎn)諧力與阻尼力的功3.6等效粘性阻尼3.7系統(tǒng)對(duì)周期激勵(lì)的響應(yīng)·傅里葉級(jí)數(shù)3.8系統(tǒng)對(duì)任意激勵(lì)的響應(yīng)·卷積積分3.9系統(tǒng)對(duì)任意激勵(lì)的響應(yīng)·傅里葉積分3.10用拉普拉斯變換法求系統(tǒng)響應(yīng)·傳遞函數(shù)3.11復(fù)頻率響應(yīng)與脈沖響應(yīng)之間的關(guān)系3.1對(duì)簡(jiǎn)諧激勵(lì)的響應(yīng)xkcF(t)mkxF(t)（3.1.1）外力幅值外力的激勵(lì)頻率立動(dòng)力學(xué)方程：非齊次微分方程通解齊次微分方程通解非齊次微分方程特解＝＋阻尼自由振動(dòng)逐漸衰減瞬態(tài)振動(dòng)持續(xù)等幅振動(dòng)穩(wěn)態(tài)振動(dòng)本節(jié)內(nèi)容先求穩(wěn)態(tài)響應(yīng)即方程的特解。它也是簡(jiǎn)諧振動(dòng)（3.1.2）其中X為穩(wěn)態(tài)響應(yīng)的振幅，代入方程，得到：由方程非齊次項(xiàng)的形式判斷，特解也是簡(jiǎn)諧函數(shù)，設(shè)為：φ為相位差，是待定常數(shù)。比較方程等號(hào)兩邊同類項(xiàng)系數(shù)，得到：分子分母同除以k，并利用頻率比（3.1.2）從特解看出（1）線性系統(tǒng)對(duì)簡(jiǎn)諧激勵(lì)的穩(wěn)態(tài)響應(yīng)是簡(jiǎn)諧振動(dòng)，振動(dòng)頻率等同于激振頻率、而相位滯后激振力。（2）穩(wěn)態(tài)響應(yīng)的振幅及相位只取決于系統(tǒng)本身的物理性質(zhì)（m,k,c）和激勵(lì)力的大小和頻率，而與初始條件無關(guān).（3.1.7）（3.1.10）得到：常值力F0作用下的靜變形放大因子（幅頻特性）幅頻特性曲線

0123012345隨λ

的增大，β

先由小變大，后從大變小.

響應(yīng)的振幅與靜變形相當(dāng).引入：穩(wěn)態(tài)響應(yīng)特性激振頻率遠(yuǎn)大于系統(tǒng)固有頻率結(jié)論：響應(yīng)的振幅可能很小.0123012345結(jié)論：在λ遠(yuǎn)離1時(shí)，系統(tǒng)即使按無阻尼情況考慮也是可以的對(duì)應(yīng)于不同值,曲線較為密集，說明阻尼的影響不顯著在λ

遠(yuǎn)離1時(shí)，穩(wěn)態(tài)響應(yīng)特性結(jié)論：共振，振幅無窮大.（3）當(dāng)對(duì)應(yīng)于較小值，迅速增大當(dāng)?shù)舱駥?duì)于來自阻尼的影響很敏感，在λ=1附近的區(qū)域內(nèi)，增加阻尼使振幅明顯下降,阻尼較強(qiáng)時(shí)振幅變化平緩。

0123012345振幅無極值當(dāng)穩(wěn)態(tài)響應(yīng)特性（4）對(duì)于有阻尼系統(tǒng)，并不出現(xiàn)在λ=1處，而且稍偏左共振峰0123012345相頻特性相頻特性曲線以λ為橫坐標(biāo)畫出曲線相位差響應(yīng)與激振力近乎同相響應(yīng)與激振力反相（3）當(dāng)共振時(shí)的相位差為，與阻尼無關(guān)0123090180有阻尼單自由度系統(tǒng)幾個(gè)圖形比較外部作用力規(guī)律：假設(shè)系統(tǒng)固有頻率：從左到右：無阻尼時(shí)，若λ=1，強(qiáng)迫振動(dòng)動(dòng)力學(xué)方程為：特解為：無阻尼系統(tǒng)共振時(shí)，振幅隨時(shí)間無限增大；共振現(xiàn)象是工程中需要研究的（3.1.18）響應(yīng)初相位滯后于激勵(lì)π/2.重要課題，工程中通常取的區(qū)間為共振區(qū)，在共振區(qū)內(nèi)振動(dòng)會(huì)很強(qiáng)烈，會(huì)導(dǎo)致機(jī)械變形過大，甚至破壞。共振時(shí)振幅增大過程Otx無阻尼質(zhì)量-彈簧系統(tǒng)，方程和初始條件為：求系統(tǒng)響應(yīng)。將初始條件代上式：例3.1-1解：方程的通解為得：方程的解（系統(tǒng)的響應(yīng)）為方程的全解：初始條件響應(yīng)自由伴隨振動(dòng)強(qiáng)迫響應(yīng)特點(diǎn)：以系統(tǒng)固有頻率為振動(dòng)頻率如果是零初始條件自由伴隨振動(dòng)強(qiáng)迫響應(yīng)即使在零初始條件下，也有自由振動(dòng)與受迫振動(dòng)相伴發(fā)生討論有阻尼系統(tǒng)對(duì)簡(jiǎn)諧激勵(lì)的響應(yīng)(過渡階段)初始條件響應(yīng)自由伴隨振動(dòng)，也是衰減的強(qiáng)迫振動(dòng)利用前述相同的方法，有：①初始條件響應(yīng)和自由伴隨振動(dòng)x2tx1t兩種振動(dòng)疊加的結(jié)果如圖。隨著時(shí)間的推移，暫態(tài)響應(yīng)逐漸消失，而轉(zhuǎn)化為穩(wěn)態(tài)響應(yīng)。xt瞬態(tài)過程穩(wěn)態(tài)過程②穩(wěn)態(tài)振動(dòng)兩部分都是衰減的自由振動(dòng)暫態(tài)振動(dòng)包括兩部分：圖示振動(dòng)系統(tǒng)，剛性桿不計(jì)重量，在水平位置平衡，端部受激勵(lì)例3.1-2解：設(shè)鋼桿擺角為θ，由動(dòng)力學(xué)得：系統(tǒng)的穩(wěn)態(tài)響應(yīng)為試列出振動(dòng)微分方程，并求當(dāng)ω=ωn時(shí)質(zhì)點(diǎn)的振幅。令質(zhì)點(diǎn)的振幅為3.2復(fù)頻率響應(yīng)xkcF(t)mkxF(t)動(dòng)力學(xué)方程（非齊次微分方程）：（2.1.2）

激勵(lì)為復(fù)變量，其實(shí)部和虛部分別表示對(duì)系統(tǒng)作用的是余弦激勵(lì)和正弦激勵(lì)。外力幅值外力的激勵(lì)頻率F為復(fù)數(shù)形式復(fù)數(shù)形式的求解有時(shí)更方便

響應(yīng)x也為復(fù)變量，其實(shí)部和虛部分別表示系統(tǒng)對(duì)余弦激勵(lì)和正弦激勵(lì)的響應(yīng)。穩(wěn)態(tài)響應(yīng)也是簡(jiǎn)諧振動(dòng)（復(fù)數(shù)形式）：（3.2-3）其中X為穩(wěn)態(tài)響應(yīng)的復(fù)振幅，φ為相位差。代入方程，得到：（3.2-5）H(ω)為激勵(lì)頻率ω的復(fù)函數(shù)，稱為復(fù)頻率響應(yīng)（函數(shù)）。顯見x(t)與F(t)/k成正比，比例系數(shù)為：（3.2-6）H(ω)的絕對(duì)值是振幅與靜變形之比，即放大因子。（3.2-7）為求出相位差，由（3.2-6）式得：對(duì)比等號(hào)兩邊同類項(xiàng)系數(shù)得：也稱相頻特性H(ω)又稱為幅頻特性。不平衡質(zhì)量激發(fā)的強(qiáng)迫振動(dòng)。P41圖3.2-2兩個(gè)偏心質(zhì)量m/2以角速度ω按相反方向轉(zhuǎn)動(dòng)，偏心距e，例3.2-1解：設(shè)機(jī)器的鉛直方向位移為x，動(dòng)力學(xué)方程：求系統(tǒng)強(qiáng)迫振動(dòng).機(jī)器總質(zhì)量M。機(jī)器的振幅可改為：機(jī)械的振動(dòng)為0.250.5

0.751.02.010100190180支承激勵(lì)引起的強(qiáng)迫振動(dòng)。例3.2-2解：設(shè)質(zhì)量只能作鉛直方向運(yùn)動(dòng)，位移為x，支承的運(yùn)動(dòng)為y:幅頻曲線01100.10.250.350.51.0可看出：當(dāng)時(shí)，振幅恒為支承運(yùn)動(dòng)振幅Y當(dāng)時(shí)，振幅恒小于Y這時(shí)，增加阻尼反而使振幅增大3.3隔振

機(jī)器設(shè)備運(yùn)行會(huì)產(chǎn)生振動(dòng)，為減少對(duì)環(huán)境的影響，通常在機(jī)器底部加裝彈簧、橡膠等，相當(dāng)于彈簧和阻尼。隔振前機(jī)器傳到地基的力：隔振材料：k，c隔振后系統(tǒng)響應(yīng)x：m隔振前kcm隔振后隔振后通過彈簧和阻尼傳到地基的力：通過k、c傳到地基上的力：kcm隔振后這是實(shí)際傳遞力的力幅與激勵(lì)力幅之比，稱為傳遞率.也稱隔振系數(shù)01100.10.250.350.51.0(1)不論阻尼大小，只有當(dāng)阻尼比時(shí)，才有隔振效果.(2)(3)

3.4振動(dòng)測(cè)量?jī)x器基礎(chǔ)位移動(dòng)力方程：振幅：kcm設(shè)x

為

m

相對(duì)于外殼的相對(duì)位移解為：0.250.5