附錄截面幾何性質(zhì)

附錄Ⅰ截面的幾何性質(zhì)附錄Ⅰ截面的幾何性質(zhì)

計(jì)算構(gòu)件的強(qiáng)度、剛度和穩(wěn)定性問(wèn)題時(shí)，都要涉及到與構(gòu)件截面形狀和尺寸有關(guān)的幾何量。本章主要介紹這些幾何量的定義、性質(zhì)及計(jì)算方法。

Ⅰ.1靜矩和形心

Ⅰ.2

慣性矩和慣性積

Ⅰ.3平行移軸公式

Ⅰ.4轉(zhuǎn)軸公式

Ⅰ.5形心主慣性軸和形心主慣性矩返回附錄Ⅰ截面的幾何性質(zhì)附錄Ⅰ截面的幾何性質(zhì)返回【學(xué)習(xí)要求】1.理解靜矩、形心，慣性矩、慣性半徑、極慣性矩、慣性積，形心主慣性軸和形心主慣性矩等概念。2.掌握組合截面的靜矩和形心的計(jì)算。3.掌握簡(jiǎn)單截面的慣性矩和極慣性矩的計(jì)算。4.了解平行移軸公式。會(huì)計(jì)算組合截面的慣性矩和慣性積。5.了解轉(zhuǎn)軸公式。會(huì)計(jì)算組合截面的形心主慣性軸和形心主慣性矩。Ⅰ.1靜矩和形心

目錄附錄Ⅰ截面的幾何性質(zhì)\靜矩與形心設(shè)有一代表任意截面的平面圖形，其面積為A，在圖形平面內(nèi)建立直角坐標(biāo)系oxy（如圖）。在該截面上任取一微面積dA，設(shè)微面積dA的坐標(biāo)為x、y，則把乘積ydA和xdA分別稱為微面積dA對(duì)x軸和y軸的靜距（或面積矩）。而把積分和分別定義為該截面對(duì)x軸和y軸的靜矩，分別用Sx和Sy表示，即Ⅰ.1.1靜矩

目錄附錄Ⅰ截面的幾何性質(zhì)\靜矩與形心由定義知，靜矩與所選坐標(biāo)軸的位置有關(guān)，同一截面對(duì)不同坐標(biāo)軸有不同的靜矩。靜矩是一個(gè)代數(shù)量，其值可為正、為負(fù)、或?yàn)榱?。靜矩的單位為mm3或m3。Ⅰ.1.2形心1.形心坐標(biāo)

對(duì)于平面圖形（以下都稱為截面），如取截面所在的平面為Oxy坐標(biāo)面（如圖），則截面的形心C的坐標(biāo)為式中：A——截面面積。利用上式容易證明：若截面對(duì)稱于某軸，則形心必在該對(duì)稱軸上；若截面有兩個(gè)對(duì)稱軸，則形心必為該兩對(duì)稱軸的交點(diǎn)。在確定形心位置時(shí)，常常利用這個(gè)性質(zhì)，以減少計(jì)算工作量。目錄附錄Ⅰ截面的幾何性質(zhì)\靜矩與形心【例Ⅰ.1】如圖所示截面OAB是由頂點(diǎn)在坐標(biāo)原點(diǎn)O的拋物線與x軸圍成，設(shè)拋物線的方程為x=，試求其形心位置。目錄附錄Ⅰ截面的幾何性質(zhì)\靜矩與形心【解】將截面分成許多寬為dx，高為y的微面積，如圖所示，dA=ydx=形心坐標(biāo)為，。由形心坐標(biāo)公式，截面OAB的形心坐標(biāo)為目錄附錄Ⅰ截面的幾何性質(zhì)\靜矩與形心2.形心坐標(biāo)和靜矩的關(guān)系

，可得到截面的形心坐標(biāo)與靜矩間的代入公式將公式關(guān)系為若已知截面的靜矩，則可由上式確定截面形心的位置；反之，若已知截面形心位置，則可由上式求得截面的靜矩。由上式可以看出，若截面對(duì)某軸（例如x軸）的靜矩為零（Sx=0），則該軸一定通過(guò)此截面的形心（yC=0）。通過(guò)截面形心的軸稱為截面的形心軸。反之，截面對(duì)其形心軸的靜矩一定為零。

目錄附錄Ⅰ截面的幾何性質(zhì)\靜矩與形心Ⅰ.1.3組合截面的靜矩和形心在工程中經(jīng)常遇到這樣的一些截面，它們是由若干個(gè)簡(jiǎn)單截面（例如矩形、三角形、半圓形等）所組成，稱為組合截面。根據(jù)靜矩的定義，組合截面對(duì)某軸的靜矩應(yīng)等于其各組成部分對(duì)該軸靜矩之和，即由截面的形心坐標(biāo)與靜矩間的關(guān)系，組合截面形心的計(jì)算公式為上兩式中：Ai、xCi、yCi——各個(gè)簡(jiǎn)單截面的面積及形心坐標(biāo)。目錄附錄Ⅰ截面的幾何性質(zhì)\靜矩與形心【例Ⅰ.2】試求圖示直角梯形截面的形心位置。目錄附錄Ⅰ截面的幾何性質(zhì)\靜矩與形心【解】解法一。將截面看作由矩形和三角形組成的組合截面，它們的面積及形心C1、C2的坐標(biāo)分別為矩形A1=60000mm2，xC1=100mm，yC1=150mm三角形A2=22500mm2，xC2=250mm，yC2=100mm截面形心C的坐標(biāo)為目錄附錄Ⅰ截面的幾何性質(zhì)\靜矩與形心解法二。將截面看作由大矩形減去三角形組成的組合截面，被減去部分的面積應(yīng)取負(fù)值，這種方法稱為負(fù)面積法。矩形和三角形的面積及形心C1、C2的坐標(biāo)分別為矩形A1=105000mm2，xC1=175mm，yC1=150mm三角形A2=－22500mm2，xC2=300mm，yC2=200mm截面形心C的坐標(biāo)為目錄附錄Ⅰ截面的幾何性質(zhì)\慣性矩與慣性積Ⅰ.2慣性矩和慣性積

Ⅰ.2.1慣性矩

設(shè)截面的面積為A，在截面所在平面內(nèi)建立直角坐標(biāo)系Oxy（如圖）。在截面上任取一微面積dA，設(shè)微面積dA的坐標(biāo)分別為x和y，則把乘積y2dA和x2dA分別稱為微面積dA對(duì)x軸和y軸的慣性矩。而把積分和分別定義為截面對(duì)x軸和y軸的慣性矩，分別用Ix與Iy表示，即由定義可知，慣性矩恒為正值，其單位為mm4或m4。目錄附錄Ⅰ截面的幾何性質(zhì)\慣性矩與慣性積

【例Ⅰ.3】試求圖示矩形截面對(duì)其形心軸x、y的慣性矩Ix和Iy。

【解】取平行于x軸的狹長(zhǎng)條(圖中陰影線部分)作為微面積dA，則有dA=bdy。由式，得同理有目錄附錄Ⅰ截面的幾何性質(zhì)\慣性矩與慣性積【例Ⅰ.4】試求圖示圓截面對(duì)于其形心軸x、y的慣性矩Ix和Iy?！窘狻拷⒆鴺?biāo)系Oxy如圖所示。取平行于x軸的狹長(zhǎng)條（圖中陰影線部分）為微面積dA，則得由式根據(jù)對(duì)稱性，截面對(duì)x和y軸的慣性矩相等，即目錄附錄Ⅰ截面的幾何性質(zhì)\慣性矩與慣性積Ⅰ.2.2慣性半徑

在工程實(shí)際應(yīng)用中，為方便起見(jiàn)，有時(shí)也將慣性矩表示成某一長(zhǎng)度平方與截面面積A的乘積，即或式中：ix

、iy——截面對(duì)x、y軸的慣性半徑。其單位為mm或m。目錄附錄Ⅰ截面的幾何性質(zhì)\慣性矩與慣性積Ⅰ.2.3極慣性矩在圖中，若以表示微面積dA到坐標(biāo)原點(diǎn)O的距離，則把2dA稱為微面積dA對(duì)O點(diǎn)的極慣性矩。而把積分定義為截面對(duì)O點(diǎn)的極慣性矩，用Ip表示，即由定義可知，極慣性矩恒為正值，其單位為mm4或m4。由圖可知，2＝x2＋y2，代入上式，得即慣性矩與極慣性矩的關(guān)系為目錄附錄Ⅰ截面的幾何性質(zhì)\慣性矩與慣性積上式表明，截面對(duì)某點(diǎn)的極慣性矩等于截面對(duì)通過(guò)該點(diǎn)的兩個(gè)正交軸的慣性矩之和。有時(shí)，利用上式計(jì)算截面的極慣性矩或慣性矩比較方便?！纠?5】試求圖示圓形截面對(duì)圓心的極慣性矩Ip?！窘狻拷⒅苯亲鴺?biāo)系Oxy如圖所示。選取圖示環(huán)形微面積dA(圖中陰影線部分)，則dA＝2d。若利用式Ip＝Ix＋I(xiàn)y，則同樣可得目錄附錄Ⅰ截面的幾何性質(zhì)\慣性矩與慣性積Ⅰ.2.4慣性積在圖中，我們把微面積dA與其坐標(biāo)x、y的乘積xydA稱為微面積dA對(duì)x、y兩軸的慣性積。而把積分定義為截面對(duì)x、y兩軸的慣性積，用Ixy表示，即由定義可知，慣性積可為正、為負(fù)、或?yàn)榱?，其單位為mm4或m4。由上式可知，截面的慣性積有如下重要性質(zhì)：若截面具有一個(gè)對(duì)稱軸，則截面對(duì)包括該對(duì)稱軸在內(nèi)的一對(duì)正交軸的慣性積恒等于零。目錄附錄Ⅰ截面的幾何性質(zhì)\慣性矩與慣性積由此性質(zhì)可知，圖示各截面對(duì)坐標(biāo)軸x、y的慣性積Ixy均等于零。Ⅰ.3平行移軸公式

目錄附錄Ⅰ截面的幾何性質(zhì)\平行移軸公式Ⅰ.3.1慣性矩和慣性積的平行移軸公式

圖示截面的面積為A，xC、yC軸為其形心軸，x、y軸為一對(duì)與形心軸平行的正交坐標(biāo)軸，微面積dA在兩個(gè)坐標(biāo)系OxCyC和Oxy中的坐標(biāo)分別為xC、yC和x、y。截面對(duì)x軸的慣性矩為式中：SxC——截面對(duì)形心軸xC的靜矩，其值為零。目錄附錄Ⅰ截面的幾何性質(zhì)\平行移軸公式因此有同理式中：Ix、Iy、Ixy——截面對(duì)x、y軸的慣性矩和慣性積；

IxC、IyC、IxCyC

——截面對(duì)形心軸xC、yC的慣性矩和慣性積；a、b——截面形心C在Oxy坐標(biāo)系中的坐標(biāo)。

上式稱為慣性矩和慣性積的平行移軸公式。利用它可以計(jì)算截面對(duì)與形心軸平行的軸之慣性矩和慣性積。目錄附錄Ⅰ截面的幾何性質(zhì)\平行移軸公式Ⅰ.3.2組合截面的慣性矩和慣性積

設(shè)組合截面由n個(gè)簡(jiǎn)單截面組成，根據(jù)慣性矩和慣性積的定義，組合截面對(duì)x、y軸的慣性矩和慣性積為式中：Ixi、Iyi、Ixyi——各個(gè)簡(jiǎn)單截面對(duì)x、y軸的慣性矩和慣性積。對(duì)于工程中常用的截面，其主要的幾何性質(zhì)列于表Ⅰ.1中，以備查用。目錄附錄Ⅰ截面的幾何性質(zhì)\平行移軸公式表Ⅰ.1常用截面的幾何性質(zhì)

目錄附錄Ⅰ截面的幾何性質(zhì)\平行移軸公式續(xù)表1目錄附錄Ⅰ截面的幾何性質(zhì)\平行移軸公式續(xù)表1目錄附錄Ⅰ截面的幾何性質(zhì)\平行移軸公式續(xù)表1目錄附錄Ⅰ截面的幾何性質(zhì)\平行移軸公式續(xù)表1目錄附錄Ⅰ截面的幾何性質(zhì)\平行移軸公式【例Ⅰ.6】圖示截面是在工字鋼上下加焊兩塊鋼板形成的截面，試求該組合截面對(duì)其形心軸x的慣性矩。目錄附錄Ⅰ截面的幾何性質(zhì)\平行移軸公式【解】在求上下兩個(gè)矩形對(duì)x軸的慣性矩時(shí)，先求它們對(duì)各自形心軸的慣性矩，然后再利用平行移軸公式求對(duì)x軸的慣性矩。查型鋼規(guī)格表，22a號(hào)工字鋼的有關(guān)幾何參數(shù)為,h=220mm整個(gè)截面對(duì)形心軸x的慣性矩為上述計(jì)算結(jié)果表明，在工字鋼截面上下增加很小的面積卻能使整個(gè)組合截面對(duì)形心軸的慣性矩增大將近一倍。工程中常常采用這樣的組合截面，來(lái)增大截面的慣性矩，達(dá)到提高構(gòu)件承載能力的目的。目錄附錄Ⅰ截面的幾何性質(zhì)\平行移軸公式【例Ⅰ.7】在半徑為R的圓截面中，有一半徑為r的偏心圓孔，偏心距為e，如圖所示。試求該組合截面對(duì)x、y軸的慣性矩和慣性積。目錄附錄Ⅰ截面的幾何性質(zhì)\平行移軸公式【解】在計(jì)算組合截面的慣性矩和慣性積時(shí)也可使用負(fù)面積法。此時(shí)，被挖去部分的慣性矩和慣性積冠以負(fù)號(hào)。組合截面對(duì)x軸的慣性矩為圓孔部分對(duì)自身形心軸y1的慣性矩為圓孔部分對(duì)y軸的慣性矩為故組合截面對(duì)y軸的慣性矩為組合截面對(duì)x、y軸的慣性積為Ⅰ.4轉(zhuǎn)軸公式

目錄附錄Ⅰ截面的幾何性質(zhì)\轉(zhuǎn)軸公式Ⅰ.4.1慣性矩和慣性積的轉(zhuǎn)軸公式在圖中，設(shè)截面的面積為A，對(duì)x、y軸的慣性矩和慣性積分別為Ix、Iy和Ixy。當(dāng)坐標(biāo)軸x、y繞O點(diǎn)逆時(shí)針轉(zhuǎn)過(guò)角后，得到一新的坐標(biāo)系Ox1y1，截面對(duì)x1、y1軸的慣性矩和慣性積分別為Ix1、Iy1和Ix1y1、和。取微面積dA，其在兩坐標(biāo)系Oxy和Ox1y1中的坐標(biāo)分別為(x，y)與(x1，y1)，則此兩坐標(biāo)間存在如下變換關(guān)系：目錄附錄Ⅰ截面的幾何性質(zhì)\轉(zhuǎn)軸公式由公式得目錄附錄Ⅰ截面的幾何性質(zhì)\轉(zhuǎn)軸公式將三角公式代入上式，整理后得同理目錄附錄Ⅰ截面的幾何性質(zhì)\轉(zhuǎn)軸公式上式稱為慣性矩和慣性積的轉(zhuǎn)軸公式。它表示當(dāng)坐標(biāo)軸繞原點(diǎn)旋轉(zhuǎn)時(shí)，截面對(duì)具有不同轉(zhuǎn)角的各坐標(biāo)軸的慣性矩或慣性積之間的關(guān)系。若將上式中的前兩式相加，并利用式，則有上式表明，截面對(duì)通過(guò)一點(diǎn)的任意兩正交軸的慣性矩之和為常數(shù)，且等于截面對(duì)該點(diǎn)的極慣性矩。目錄附錄Ⅰ截面的幾何性質(zhì)\轉(zhuǎn)軸公式Ⅰ.4.2主慣性軸和主慣性矩由轉(zhuǎn)軸公式可知，當(dāng)坐標(biāo)軸繞O點(diǎn)轉(zhuǎn)動(dòng)時(shí)，慣性積將隨著角度的改變而變化，且有正有負(fù)。因此，總可以找到一個(gè)角度

0，以及相應(yīng)的x0、y0軸（如圖），使截面對(duì)于這一對(duì)坐標(biāo)軸的慣性積等于零，這一對(duì)坐標(biāo)軸就稱為O點(diǎn)處的主慣性軸。截面對(duì)一點(diǎn)處主慣性軸的慣性矩稱為該點(diǎn)處的主慣性矩。為了確定

0，可令式為零，即目錄附錄Ⅰ截面的幾何性質(zhì)\轉(zhuǎn)軸公式于是可得由此可解出相差90的兩個(gè)角度

0和

0

=

0－90°（如圖），從而確定主慣性軸的位置。分別對(duì)求一階導(dǎo)數(shù)，設(shè)=0時(shí)，能使導(dǎo)數(shù)，若將轉(zhuǎn)軸公式中前兩式同樣可以得到目錄附錄Ⅰ截面的幾何性質(zhì)\轉(zhuǎn)軸公式可見(jiàn)，截面對(duì)通過(guò)任一點(diǎn)的主慣性軸的慣性矩（即主慣性矩），是截面對(duì)通過(guò)該點(diǎn)的所有軸的慣性矩中的最大值和最小值。

利用公式求出0，然后代入轉(zhuǎn)軸公式中前兩式，經(jīng)化簡(jiǎn)后可得主慣性矩的計(jì)算公式為下面說(shuō)明主慣性矩和主慣性軸之間的對(duì)應(yīng)關(guān)系?？梢宰C明，若限定求出的兩個(gè)主慣性軸的位置角

0和

0=

0－90°為正的或負(fù)的銳角，則當(dāng)主慣性軸的位置角的符號(hào)與截面的慣性積Ixy的符號(hào)相反時(shí)，截面對(duì)該主慣性軸的慣性矩為最大（Imax）；反之，則為最?。↖min）。

目錄附錄Ⅰ截面的幾何性質(zhì)\轉(zhuǎn)軸公式Ⅰ.4.3組合截面的形心主慣性軸和形心主慣性矩

通過(guò)截面形心的主慣性軸稱為形心主慣性軸，簡(jiǎn)稱形心主軸。截面對(duì)形心主軸的慣性矩稱為形心主慣性矩，簡(jiǎn)稱形心主矩。

在計(jì)算組合截面的形心主慣性軸和形心主慣性矩時(shí)，首先應(yīng)確定其形心的位置，然后視其有無(wú)對(duì)稱軸而采用不同的方法。若組合截面有一個(gè)或一個(gè)以上的對(duì)稱軸，則通過(guò)形心且包括對(duì)稱軸在內(nèi)的兩正交軸就是形心主慣性軸，再計(jì)算形心主慣性矩。若組合截面無(wú)對(duì)稱軸，則可選擇適當(dāng)?shù)男涡妮S（一般選擇平行于各個(gè)簡(jiǎn)單截面之形心主慣性軸的坐標(biāo)軸），計(jì)算截面對(duì)該形心軸的慣性矩和慣性積，再確定形心主慣性軸的位置和計(jì)算形心主慣性矩。目錄附錄Ⅰ截面的幾何性質(zhì)\轉(zhuǎn)軸公式【例Ⅰ.8】試求圖示T形截面的形心主慣性矩。目錄附錄Ⅰ截面的幾何性質(zhì)\轉(zhuǎn)軸公式【解】1）確定截面的形心C的位置。建立如圖所示坐標(biāo)系Oxy，因截面關(guān)于y軸對(duì)稱，所以xC=0，只需求形心C的縱坐標(biāo)yC的值。將截面看作由兩個(gè)矩形組成的組合截面，則有矩形IA1=120×30=3600mm2，y1=105mm矩形II

A2=180×40=7200mm2，y2=90mm形心C的坐標(biāo)為目錄附錄Ⅰ截面的幾何性質(zhì)\轉(zhuǎn)軸公式2）計(jì)算形心