附錄截面幾何性質(zhì)

附錄Ⅰ截面的幾何性質(zhì)附錄Ⅰ截面的幾何性質(zhì)

計算構(gòu)件的強度、剛度和穩(wěn)定性問題時，都要涉及到與構(gòu)件截面形狀和尺寸有關(guān)的幾何量。本章主要介紹這些幾何量的定義、性質(zhì)及計算方法。

Ⅰ.1靜矩和形心

Ⅰ.2

慣性矩和慣性積

Ⅰ.3平行移軸公式

Ⅰ.4轉(zhuǎn)軸公式

Ⅰ.5形心主慣性軸和形心主慣性矩返回附錄Ⅰ截面的幾何性質(zhì)附錄Ⅰ截面的幾何性質(zhì)返回【學(xué)習(xí)要求】1.理解靜矩、形心，慣性矩、慣性半徑、極慣性矩、慣性積，形心主慣性軸和形心主慣性矩等概念。2.掌握組合截面的靜矩和形心的計算。3.掌握簡單截面的慣性矩和極慣性矩的計算。4.了解平行移軸公式。會計算組合截面的慣性矩和慣性積。5.了解轉(zhuǎn)軸公式。會計算組合截面的形心主慣性軸和形心主慣性矩。Ⅰ.1靜矩和形心

目錄附錄Ⅰ截面的幾何性質(zhì)\靜矩與形心設(shè)有一代表任意截面的平面圖形，其面積為A，在圖形平面內(nèi)建立直角坐標系oxy（如圖）。在該截面上任取一微面積dA，設(shè)微面積dA的坐標為x、y，則把乘積ydA和xdA分別稱為微面積dA對x軸和y軸的靜距（或面積矩）。而把積分和分別定義為該截面對x軸和y軸的靜矩，分別用Sx和Sy表示，即Ⅰ.1.1靜矩

目錄附錄Ⅰ截面的幾何性質(zhì)\靜矩與形心由定義知，靜矩與所選坐標軸的位置有關(guān)，同一截面對不同坐標軸有不同的靜矩。靜矩是一個代數(shù)量，其值可為正、為負、或為零。靜矩的單位為mm3或m3。Ⅰ.1.2形心1.形心坐標

對于平面圖形（以下都稱為截面），如取截面所在的平面為Oxy坐標面（如圖），則截面的形心C的坐標為式中：A——截面面積。利用上式容易證明：若截面對稱于某軸，則形心必在該對稱軸上；若截面有兩個對稱軸，則形心必為該兩對稱軸的交點。在確定形心位置時，常常利用這個性質(zhì)，以減少計算工作量。目錄附錄Ⅰ截面的幾何性質(zhì)\靜矩與形心【例Ⅰ.1】如圖所示截面OAB是由頂點在坐標原點O的拋物線與x軸圍成，設(shè)拋物線的方程為x=，試求其形心位置。目錄附錄Ⅰ截面的幾何性質(zhì)\靜矩與形心【解】將截面分成許多寬為dx，高為y的微面積，如圖所示，dA=ydx=形心坐標為，。由形心坐標公式，截面OAB的形心坐標為目錄附錄Ⅰ截面的幾何性質(zhì)\靜矩與形心2.形心坐標和靜矩的關(guān)系

，可得到截面的形心坐標與靜矩間的代入公式將公式關(guān)系為若已知截面的靜矩，則可由上式確定截面形心的位置；反之，若已知截面形心位置，則可由上式求得截面的靜矩。由上式可以看出，若截面對某軸（例如x軸）的靜矩為零（Sx=0），則該軸一定通過此截面的形心（yC=0）。通過截面形心的軸稱為截面的形心軸。反之，截面對其形心軸的靜矩一定為零。

目錄附錄Ⅰ截面的幾何性質(zhì)\靜矩與形心Ⅰ.1.3組合截面的靜矩和形心在工程中經(jīng)常遇到這樣的一些截面，它們是由若干個簡單截面（例如矩形、三角形、半圓形等）所組成，稱為組合截面。根據(jù)靜矩的定義，組合截面對某軸的靜矩應(yīng)等于其各組成部分對該軸靜矩之和，即由截面的形心坐標與靜矩間的關(guān)系，組合截面形心的計算公式為上兩式中：Ai、xCi、yCi——各個簡單截面的面積及形心坐標。目錄附錄Ⅰ截面的幾何性質(zhì)\靜矩與形心【例Ⅰ.2】試求圖示直角梯形截面的形心位置。目錄附錄Ⅰ截面的幾何性質(zhì)\靜矩與形心【解】解法一。將截面看作由矩形和三角形組成的組合截面，它們的面積及形心C1、C2的坐標分別為矩形A1=60000mm2，xC1=100mm，yC1=150mm三角形A2=22500mm2，xC2=250mm，yC2=100mm截面形心C的坐標為目錄附錄Ⅰ截面的幾何性質(zhì)\靜矩與形心解法二。將截面看作由大矩形減去三角形組成的組合截面，被減去部分的面積應(yīng)取負值，這種方法稱為負面積法。矩形和三角形的面積及形心C1、C2的坐標分別為矩形A1=105000mm2，xC1=175mm，yC1=150mm三角形A2=－22500mm2，xC2=300mm，yC2=200mm截面形心C的坐標為目錄附錄Ⅰ截面的幾何性質(zhì)\慣性矩與慣性積Ⅰ.2慣性矩和慣性積

Ⅰ.2.1慣性矩

設(shè)截面的面積為A，在截面所在平面內(nèi)建立直角坐標系Oxy（如圖）。在截面上任取一微面積dA，設(shè)微面積dA的坐標分別為x和y，則把乘積y2dA和x2dA分別稱為微面積dA對x軸和y軸的慣性矩。而把積分和分別定義為截面對x軸和y軸的慣性矩，分別用Ix與Iy表示，即由定義可知，慣性矩恒為正值，其單位為mm4或m4。目錄附錄Ⅰ截面的幾何性質(zhì)\慣性矩與慣性積

【例Ⅰ.3】試求圖示矩形截面對其形心軸x、y的慣性矩Ix和Iy。

【解】取平行于x軸的狹長條(圖中陰影線部分)作為微面積dA，則有dA=bdy。由式，得同理有目錄附錄Ⅰ截面的幾何性質(zhì)\慣性矩與慣性積【例Ⅰ.4】試求圖示圓截面對于其形心軸x、y的慣性矩Ix和Iy?！窘狻拷⒆鴺讼礝xy如圖所示。取平行于x軸的狹長條（圖中陰影線部分）為微面積dA，則得由式根據(jù)對稱性，截面對x和y軸的慣性矩相等，即目錄附錄Ⅰ截面的幾何性質(zhì)\慣性矩與慣性積Ⅰ.2.2慣性半徑

在工程實際應(yīng)用中，為方便起見，有時也將慣性矩表示成某一長度平方與截面面積A的乘積，即或式中：ix

、iy——截面對x、y軸的慣性半徑。其單位為mm或m。目錄附錄Ⅰ截面的幾何性質(zhì)\慣性矩與慣性積Ⅰ.2.3極慣性矩在圖中，若以表示微面積dA到坐標原點O的距離，則把2dA稱為微面積dA對O點的極慣性矩。而把積分定義為截面對O點的極慣性矩，用Ip表示，即由定義可知，極慣性矩恒為正值，其單位為mm4或m4。由圖可知，2＝x2＋y2，代入上式，得即慣性矩與極慣性矩的關(guān)系為目錄附錄Ⅰ截面的幾何性質(zhì)\慣性矩與慣性積上式表明，截面對某點的極慣性矩等于截面對通過該點的兩個正交軸的慣性矩之和。有時，利用上式計算截面的極慣性矩或慣性矩比較方便。【例Ⅰ.5】試求圖示圓形截面對圓心的極慣性矩Ip?！窘狻拷⒅苯亲鴺讼礝xy如圖所示。選取圖示環(huán)形微面積dA(圖中陰影線部分)，則dA＝2d。若利用式Ip＝Ix＋Iy，則同樣可得目錄附錄Ⅰ截面的幾何性質(zhì)\慣性矩與慣性積Ⅰ.2.4慣性積在圖中，我們把微面積dA與其坐標x、y的乘積xydA稱為微面積dA對x、y兩軸的慣性積。而把積分定義為截面對x、y兩軸的慣性積，用Ixy表示，即由定義可知，慣性積可為正、為負、或為零，其單位為mm4或m4。由上式可知，截面的慣性積有如下重要性質(zhì)：若截面具有一個對稱軸，則截面對包括該對稱軸在內(nèi)的一對正交軸的慣性積恒等于零。目錄附錄Ⅰ截面的幾何性質(zhì)\慣性矩與慣性積由此性質(zhì)可知，圖示各截面對坐標軸x、y的慣性積Ixy均等于零。Ⅰ.3平行移軸公式

目錄附錄Ⅰ截面的幾何性質(zhì)\平行移軸公式Ⅰ.3.1慣性矩和慣性積的平行移軸公式

圖示截面的面積為A，xC、yC軸為其形心軸，x、y軸為一對與形心軸平行的正交坐標軸，微面積dA在兩個坐標系OxCyC和Oxy中的坐標分別為xC、yC和x、y。截面對x軸的慣性矩為式中：SxC——截面對形心軸xC的靜矩，其值為零。目錄附錄Ⅰ截面的幾何性質(zhì)\平行移軸公式因此有同理式中：Ix、Iy、Ixy——截面對x、y軸的慣性矩和慣性積；

IxC、IyC、IxCyC

——截面對形心軸xC、yC的慣性矩和慣性積；a、b——截面形心C在Oxy坐標系中的坐標。

上式稱為慣性矩和慣性積的平行移軸公式。利用它可以計算截面對與形心軸平行的軸之慣性矩和慣性積。目錄附錄Ⅰ截面的幾何性質(zhì)\平行移軸公式Ⅰ.3.2組合截面的慣性矩和慣性積

設(shè)組合截面由n個簡單截面組成，根據(jù)慣性矩和慣性積的定義，組合截面對x、y軸的慣性矩和慣性積為式中：Ixi、Iyi、Ixyi——各個簡單截面對x、y軸的慣性矩和慣性積。對于工程中常用的截面，其主要的幾何性質(zhì)列于表Ⅰ.1中，以備查用。目錄附錄Ⅰ截面的幾何性質(zhì)\平行移軸公式表Ⅰ.1常用截面的幾何性質(zhì)

目錄附錄Ⅰ截面的幾何性質(zhì)\平行移軸公式續(xù)表1目錄附錄Ⅰ截面的幾何性質(zhì)\平行移軸公式續(xù)表1目錄附錄Ⅰ截面的幾何性質(zhì)\平行移軸公式續(xù)表1目錄附錄Ⅰ截面的幾何性質(zhì)\平行移軸公式續(xù)表1目錄附錄Ⅰ截面的幾何性質(zhì)\平行移軸公式【例Ⅰ.6】圖示截面是在工字鋼上下加焊兩塊鋼板形成的截面，試求該組合截面對其形心軸x的慣性矩。目錄附錄Ⅰ截面的幾何性質(zhì)\平行移軸公式【解】在求上下兩個矩形對x軸的慣性矩時，先求它們對各自形心軸的慣性矩，然后再利用平行移軸公式求對x軸的慣性矩。查型鋼規(guī)格表，22a號工字鋼的有關(guān)幾何參數(shù)為,h=220mm整個截面對形心軸x的慣性矩為上述計算結(jié)果表明，在工字鋼截面上下增加很小的面積卻能使整個組合截面對形心軸的慣性矩增大將近一倍。工程中常常采用這樣的組合截面，來增大截面的慣性矩，達到提高構(gòu)件承載能力的目的。目錄附錄Ⅰ截面的幾何性質(zhì)\平行移軸公式【例Ⅰ.7】在半徑為R的圓截面中，有一半徑為r的偏心圓孔，偏心距為e，如圖所示。試求該組合截面對x、y軸的慣性矩和慣性積。目錄附錄Ⅰ截面的幾何性質(zhì)\平行移軸公式【解】在計算組合截面的慣性矩和慣性積時也可使用負面積法。此時，被挖去部分的慣性矩和慣性積冠以負號。組合截面對x軸的慣性矩為圓孔部分對自身形心軸y1的慣性矩為圓孔部分對y軸的慣性矩為故組合截面對y軸的慣性矩為組合截面對x、y軸的慣性積為Ⅰ.4轉(zhuǎn)軸公式

目錄附錄Ⅰ截面的幾何性質(zhì)\轉(zhuǎn)軸公式Ⅰ.4.1慣性矩和慣性積的轉(zhuǎn)軸公式在圖中，設(shè)截面的面積為A，對x、y軸的慣性矩和慣性積分別為Ix、Iy和Ixy。當(dāng)坐標軸x、y繞O點逆時針轉(zhuǎn)過角后，得到一新的坐標系Ox1y1，截面對x1、y1軸的慣性矩和慣性積分別為Ix1、Iy1和Ix1y1、和。取微面積dA，其在兩坐標系Oxy和Ox1y1中的坐標分別為(x，y)與(x1，y1)，則此兩坐標間存在如下變換關(guān)系：目錄附錄Ⅰ截面的幾何性質(zhì)\轉(zhuǎn)軸公式由公式得目錄附錄Ⅰ截面的幾何性質(zhì)\轉(zhuǎn)軸公式將三角公式代入上式，整理后得同理目錄附錄Ⅰ截面的幾何性質(zhì)\轉(zhuǎn)軸公式上式稱為慣性矩和慣性積的轉(zhuǎn)軸公式。它表示當(dāng)坐標軸繞原點旋轉(zhuǎn)時，截面對具有不同轉(zhuǎn)角的各坐標軸的慣性矩或慣性積之間的關(guān)系。若將上式中的前兩式相加，并利用式，則有上式表明，截面對通過一點的任意兩正交軸的慣性矩之和為常數(shù)，且等于截面對該點的極慣性矩。目錄附錄Ⅰ截面的幾何性質(zhì)\轉(zhuǎn)軸公式Ⅰ.4.2主慣性軸和主慣性矩由轉(zhuǎn)軸公式可知，當(dāng)坐標軸繞O點轉(zhuǎn)動時，慣性積將隨著角度的改變而變化，且有正有負。因此，總可以找到一個角度

0，以及相應(yīng)的x0、y0軸（如圖），使截面對于這一對坐標軸的慣性積等于零，這一對坐標軸就稱為O點處的主慣性軸。截面對一點處主慣性軸的慣性矩稱為該點處的主慣性矩。為了確定

0，可令式為零，即目錄附錄Ⅰ截面的幾何性質(zhì)\轉(zhuǎn)軸公式于是可得由此可解出相差90的兩個角度

0和

0

=

0－90°（如圖），從而確定主慣性軸的位置。分別對求一階導(dǎo)數(shù)，設(shè)=0時，能使導(dǎo)數(shù)，若將轉(zhuǎn)軸公式中前兩式同樣可以得到目錄附錄Ⅰ截面的幾何性質(zhì)\轉(zhuǎn)軸公式可見，截面對通過任一點的主慣性軸的慣性矩（即主慣性矩），是截面對通過該點的所有軸的慣性矩中的最大值和最小值。

利用公式求出0，然后代入轉(zhuǎn)軸公式中前兩式，經(jīng)化簡后可得主慣性矩的計算公式為下面說明主慣性矩和主慣性軸之間的對應(yīng)關(guān)系。可以證明，若限定求出的兩個主慣性軸的位置角

0和

0=

0－90°為正的或負的銳角，則當(dāng)主慣性軸的位置角的符號與截面的慣性積Ixy的符號相反時，截面對該主慣性軸的慣性矩為最大（Imax）；反之，則為最?。↖min）。

目錄附錄Ⅰ截面的幾何性質(zhì)\轉(zhuǎn)軸公式Ⅰ.4.3組合截面的形心主慣性軸和形心主慣性矩

通過截面形心的主慣性軸稱為形心主慣性軸，簡稱形心主軸。截面對形心主軸的慣性矩稱為形心主慣性矩，簡稱形心主矩。

在計算組合截面的形心主慣性軸和形心主慣性矩時，首先應(yīng)確定其形心的位置，然后視其有無對稱軸而采用不同的方法。若組合截面有一個或一個以上的對稱軸，則通過形心且包括對稱軸在內(nèi)的兩正交軸就是形心主慣性軸，再計算形心主慣性矩。若組合截面無對稱軸，則可選擇適當(dāng)?shù)男涡妮S（一般選擇平行于各個簡單截面之形心主慣性軸的坐標軸），計算截面對該形心軸的慣性矩和慣性積，再確定形心主慣性軸的位置和計算形心主慣性矩。目錄附錄Ⅰ截面的幾何性質(zhì)\轉(zhuǎn)軸公式【例Ⅰ.8】試求圖示T形截面的形心主慣性矩。目錄附錄Ⅰ截面的幾何性質(zhì)\轉(zhuǎn)軸公式【解】1）確定截面的形心C的位置。建立如圖所示坐標系Oxy，因截面關(guān)于y軸對稱，所以xC=0，只需求形心C的縱坐標yC的值。將截面看作由兩個矩形組成的組合截面，則有矩形IA1=120×30=3600mm2，y1=105mm矩形II

A2=180×40=7200mm2，y2=90mm形心C的坐標為目錄附錄Ⅰ截面的幾何性質(zhì)\轉(zhuǎn)軸公式2）計算形心