專題2-2基本不等式（4類必考點）（人教A版2019必修第一冊）（原卷版）

專題2.2基本不等式TOC\o"1-5"\h\z【考點I：由基本不等式求最值或取值范圍】1【考點2：由基本不等式證明不等式】1【考點3：利用基本不等式解決存在性或恒成立問題】4【考點4：利用基本不等式解決實際問題】5【考點1：由基本不等式求最值或取值范圍】【知識點：基本不等式】一.基本不等式：4"（1）基本不等式成立的條件:〃>0,b>（）.（2）等號成立的條件：當(dāng)且僅當(dāng)。=力時取等號.二.幾個重要的不等式：a2-^-b2>2ab,a,bER,當(dāng)且僅當(dāng)時取等號；-+7>2,Qb>0,當(dāng)且僅當(dāng)〃=/?時取等號；abab<q,bER,當(dāng)且僅當(dāng)〃=%時取等號；亨之（軍），q,beR,當(dāng)且僅當(dāng)。時取等號；三.利用基本不等式求最值問題：已知.00,y>0,則：（1）如果積孫是定值p，那么當(dāng)且僅當(dāng)％=），時，%+），有最小值是2布.（簡記：積定和最小）（2）如果和x+.v是定值p,那么當(dāng)且僅當(dāng)工=），時，.。有最大值是苧（簡記：和定積最大）TOC\o"1-5"\h\z（2022春?甘孜州期末）y=%1）的最小值為（）A.2B.3C.4D.5（2022春?青銅峽市校級期末）已知正數(shù)x,），滿足工+y=4,則陰的最大值（）A.2B.4C.6D.841（2022秋?渝中區(qū)校級月考）已知正實數(shù)〃，人滿足一T+二?=1，則。+28的最小值為（）a+bb+1A.6B.8C.10D.12A.8B.8V2C.9D.9V2（2022春?內(nèi)江期末）已知正實數(shù)a、5滿足a+〃=4,則（a++》的最小值為（）A.8B.8V2C.9D.9V2L25廠A.2V2+2B.4C.—D.2或+14（2022春?內(nèi)江期末）已知正實數(shù)〃、。滿足：+*=根，若（。+》（b+》的最小值為4,則實數(shù)m的取值范圍是（）A.{2}B.[2,+OQ）C.（0,2]D.（0,+?＞）（2022春?溫州期末）若正數(shù)小〃滿足a+b=",則a+2〃的最小值為（）A.6B.4a/2C.3+2V2D.2+272（2022春?朝陽區(qū)校級期末）已知第冶，求、=空畢的最小值（2022春?麗江期末）若正數(shù)a,Z?滿足a+2b=ab,則2a+A的最小值為.（2022春?臺州期末）已知非負(fù)實數(shù)x,丁滿足&；+￡%=1，則x+N的最小值為一.（2022春?石家莊期末）已知面＞0,a+b=1,則"二的最小值為（2022春?長春期末）已知a,都是非零實數(shù)，若J+4扇=3,則吃+金的最小值為a2bz114（2022春?嵐山區(qū)校級月考）已知%y＞3,且2計），=7,則一；+—:的最小值為2/2x-ly-33x（2022?煙臺三模）當(dāng)心＞0時，-丁的最大值為x2+4（2022春?西青區(qū)校級月考）已知x＞0,y＞0,且x+2y=2,則&+三包的最小值為'x3y（2022春?溫州期中）已知。＞匕＞0,當(dāng)2。+熹+工取到最小值時，則a=Q十。Q—04（2022?南京模擬）（1）已知x＞3,求一+%的最小值；x-313（2）已知x,y是正實數(shù)，且x+y=l,求嚏+1的最小值.（2021秋?新泰市校級期末）已知實數(shù)。＞0,b＞0,a+2b=2.

⑴求卜觸最小值；（2）求J+4廬+5帥的最大值.【方法技巧I】通過拼湊法利用基本不等式求最值的策略拼湊法的實質(zhì)在于代數(shù)式的靈活變形，拼系數(shù)、湊常數(shù)是關(guān)鍵，利用拼湊法求解最值應(yīng)注意以下幾個方面的問題：（1）拼湊的技巧，以整式為基礎(chǔ)，注意利用系數(shù)的變化以及等式中常數(shù)的調(diào)整，做到等價變形；（2）代數(shù)式的變形以拼湊出和或積的定值為目標(biāo)；（3）拆項、添項應(yīng)注意檢驗利用基本不等式的前提.【方法技巧2】通過常數(shù)代換法利用基本不等式求最值的步驟常數(shù)代換法適用于求解條件最值問題.通過此種方法利用基本不等式求最值的基本步驟為：（1）根據(jù)已知條件或其變形確定定值（常數(shù)）；（2）把確定的定值（常數(shù)）變形為1；（3）把“1”的表達式與所求最值的表達式相乘或相除，進而構(gòu)造和或積的形式；（4）利用基本不等式求解最值.【考點2：由基本不等式證明不等式】TOC\o"1-5"\h\z（2022春?鄲都區(qū)校級期末）若實數(shù)x、1y滿足/+丁=1+工），，則下列結(jié)論中，正確的是（）A.x+yWlB.x+y^2C.D.（2022春?尖山區(qū)校級月考）若a>0,/?>0,a+b=2,則（）A.ab^\B.y[a+y/b>2C.扇22D.~+~<2ab（2022春?肥東縣月考）對于不等式①?+V6>2V5,?x+\>2（xW0）,③必不正>^y（a+b）（a、bER）,R）,下列說法正確的是（A.①③正確，②錯誤R）,下列說法正確的是（A.①③正確，②錯誤R）,下列說法正確的是（A.①③正確，②錯誤B.②③正確，①錯誤c.錯誤，③正確c.錯誤，③正確c.錯誤，③正確D.①③錯誤，②正確【考點3：利用基本不等式解決存在性或恒成立問題】TOC\o"1-5"\h\z231.（2021秋?武清區(qū)校級月考）設(shè)Q0,y>0>設(shè)一+-=1,若3x+2）>#+2機恒成立，則實數(shù)小的取xy值范圍是（）A.{小?-6或工24}B.{#忘-4或326}C.{.r|-6<x<4）D.{x\-4<x<6）（2021秋?蘭山區(qū)校級期中）已知。>0,b>0,a+2b=ab,若不等式2a+b22〃尸?9恒成立，則用的最大值為（）A.1B.2C.3D.7zn1（2021秋?新興縣校級月考）已知m>0,孫>0,當(dāng)x+y=2時，不等式一+一工2恒成立，則機的取值%y范圍是（）A.V2<m<2B.啟1C.0V〃W1D.l〈mW2（2022春?合肥期末）若兩個正實數(shù)x,），滿足心+9=1,且不等式?+4萬>zu2-6m恒成立，則實數(shù)機的取值范圍是—.（2021秋?河南月考）已知x、y為兩個正實數(shù)，且不等式2W；十三恒成立，則實數(shù)a的取值范圍x+y2xy是—.19（2021秋?黑龍江期末）已知北>0,）>0且以+1=1,求使不等式恒成立的實數(shù)機的取值范圍.（2020秋?安慶期末）已知正實數(shù)x,y滿足4x+4y=I.（1）求xy的最大值；（2）若不等式,+工之02+50恒成立，求實數(shù)。的取值范圍.xy（2021秋?玄武區(qū)校級月考）已知正數(shù)x,y滿足2r+y-xy=0.（1）求2r+y的最小值；（2）若x（y+2）-4&＞7712+5m恒成立，求實數(shù)的取值范圍.（2021秋?華龍區(qū)校級期中）已知心＞0,）＞0,且x+y=2.（1）求工+2的最小值；xy（2）若4x+l-irkxy^O恒成立，求m的最大值.【考點4：利用基本不等式解決實際問題】【知識點：利用基本不等式解決實際問題】⑴此類型的題目往往較長，解題時需認(rèn)真閱讀，從中提煉出有用信息，建立數(shù)學(xué)模型，轉(zhuǎn)化為數(shù)學(xué)問題求解；（2）當(dāng)運用基本不等式求最值時，若等號成立的自變量不在定義域內(nèi)時，就不能使用基本不等式求解，此時可根據(jù)變量的范圍用對應(yīng)函數(shù)的單調(diào)性求解.（2022春?浦東新區(qū)校級月考）某工廠的產(chǎn)值第二年比第一年的增長率是P,第三年比第二年的增長率是尸2,而這兩年的平均增長率為P,在P+P2為定值的情況下，戶的最大值為—（用P、P1表示）.（2021秋邛日春市校級月考）用一段長為32機的籬笆圍成