新教材2021-2022學年人教B版必修第一冊2.2.4均值不等式及其應用第2課時作業(yè)

2.4均值不等式及其應用第2課時[A基礎(chǔ)達標].如果一個直角三角形的斜邊長等于5,那么這個直角三角形面積的最大值等于()A25口25A彳B.y一5-5班C.5D.-z-解析：選A.設(shè)直角三角形的斜邊為C,直角邊分別為4,b,由題意知c、=5,則〃2+。2=25,則三角形的面積S=%b.25因為25=。2+/22。6,所以出?小萬，則三角形的面積5=/代卜沫=今當且僅當。=方=平時取等號，即這25個直角三角形面積的最大值為亍.2.某工廠第一年產(chǎn)量為4,第二年的增長率為小第三年的增長率為九這兩年的平均增長率為x,則()a-\-bA.x=2B.xW-2a+ba+bC.x>~2-D.-5-解析：選B.由條件知B(l+〃)(l+b)=A(l+x)2,所以(l+x)2=(l+a)(l+b)一(1+〃)+(1+b)]2,.所以1+x<1+――,故xW2..(多選)設(shè)AO,b>0,下列不等式恒成立的是()A.a2~\~\>aC,(。+份(十+￡)24D.若:+]=1,則HW4解析：選ABC.由于〃+l—4=（a—+1>0,所以4+1>〃，故A恒成立；由于a+522,匕+"22,所以（。+0,+力24,當且僅當。=8=1時，等號成立，故B恒成立；由于〃+心2，^,5+拉2\^,所以（〃+〃）?（十+?24,當且僅當a=h時，等號成立，故C恒成立；因為。>0,b>0,所以所以ab24,當且僅當a=b=2Cl口\/Cl'時，等號成立，故D不恒成立.故選ABC..三國時期趙爽在《勾股方圓圖注》中對勾股定理的證明可用現(xiàn)代數(shù)學表述為如圖所示，我們可用該圖證明（）A.如果a>b,b>c,那么a>cB.如果公6>0,那么/C.對任意正實數(shù)。和〃，有〃2+b222ab,當且僅當〃=/?時等號成立D.如果c>0那么qc>Z?c解析：選C.可將直角三角形的兩直身邊長記作a,b,斜邊長為c（c2=/+護）.則外圍的正方形的面積為c2,也就是。2+序，四個直角三角形所在的陰影面積之和剛好為2ab.故對任意正實數(shù)〃和〃，有。2+及22〃/?,當且僅當〃=/?時等號成立..已知〃=x+4（xv0）,則加，〃之間的大小關(guān)系是（）A.m>nB."z<〃C.m=nD."W/i解析：選A.因為a>2,所以“一2>0."7=。+~==。-2+-二+222、/（。-2）?~二+2=4,

a-2。一2\1a—2當且僅當。-2=」，即。=3時，等號成立.a~2因x<0,則〃=x+4<4,所以m>n..當時,不等式三的最小值是TOC\o"1-5"\h\z「11/I解析：~~~=x4-14-r=x-14-^+222、/(x-1)?-4-2=4,x—1x—1x—1\]x—1當且僅當工一1=」7，即x=2時，等號成立.X—1答案：4.如圖有一張單欄的豎向張貼的海報，它的印刷面積為72dml圖中陰影部分)，上下空白各寬2dm,左右空白各寬1dm,則四周空白部分面積的最小值是dm2.解析：設(shè)陰影部分的高為xdm,72則寬為一dm,四周空白部分的面積是ydn?.由題意，得)，=(x+4)(￥+2)-72=8+2(x+9/~14428+2X2、/巴-=56(dm2).144當且僅當工=——，即x=12dm時等號成立.答案：56.規(guī)定記號表示一種運算，即。。力=兩+。+仇m8為正實數(shù)).若1。仁3,則Z的值為,此時函數(shù)尸童的最小值為.解析：由題意得1。&=#+1+k=3,即女+#—2=0,所以#=1或#=人工”、，，kQx市+x+l,r,1.一2(舌去)，所以4=1,y===11+2=3,當且僅當也=左，即x=l時，等號成立.答案：13.設(shè)。>0,Z?>0,且證明：〃+822.證明：由于a>0,Z?>0,則a+H+9用abab由于〃+/?0,則于=1,即有〃+/?22礪=2,當且僅當a=b=\時取得等號，所以。+/?22..已知a,b,c￡(0,+°°),且〃+Z?+c=1.求證：1+；+1N9.證明：因為mbyc￡(0,+°°),且。+6+c=l,所以abc〃+/7+c,〃+/?+<?,〃+/?+c=~a-+-b-+-c-=3+（婚23+2+2+2=9.當且僅當a=b=c=：時，等號成立.IB能力提升].若實數(shù)心>（）,>>（）,且x+4v=町，，則x+y的最小值為（）A.7B.8C.9D.1（）|4解析：選C.根據(jù)題意，實數(shù)Q0,)>0,若工+4)，=冷，，^]-+-=1,x+y=(x+y)停+鄉(xiāng)寸+?+5^^|^+5=9,當且僅當x=2y,即犬=6,)，=3時等號成立，即x+y的最小值為9,故選C.12.已知不等式(x+)，)g+需16對任意正實數(shù)工，y恒成立，則正實數(shù)。的最小值為()A.1B.2C.4D.6解析:選C（x+y）（：+j）=4+a+（?+竽）,因為x>0,y>0,a>0,所以?+"22'/生羋=4或，當且僅當仝=結(jié)時取等號.由已知可得4+。+4g216,Vxy.1y即。+4g一1220,解得g22或gW—6（舍去），所以。24,即。的最小值為4..（2020?揚州期末）如圖,在半徑為4（單位:cm）的半圓形（。為圓心）鐵皮上截取一塊矩形材料A8CQ,其頂點A,8在直徑上，頂點C,。在圓周上，則矩形ABCO面積的最大值為（單位：cm）解析：如圖所示，連接。C,設(shè)|O8|=x（0vx<4）,則|80=2|0。2一|08|2="16—',\AB\=2\OB\=2x.所以，由均值不等式可得，矩形A5CQ的面積為S=|A3|?田。|=川々16一病=2、（16—4）fW（16-f）+f=16,當且僅當16—/uji2時，即當x=2啦時，等號成立.答案：16.不等式9x+?2〃+l（常數(shù)。>（））,對一切正實數(shù)工成立，求。的取值范圍.TOC\o"1-5"\h\z序a2解：常數(shù)〃>0,若9l+—2〃+1對一切正實數(shù)x成立，則a+lW9x+J的最小值，22又9x+?26。，當且僅當9犬=午，人人即X=W時，等號成立.故必有6〃2。+1,解得。所以〃的取值范圍為42a.15.設(shè)a,乩c均為正數(shù)，且a+8+c=l.證明:(l)ab+be+acW；；〃2吩。2（2）石+7守,證明：（1）由。2+/22H,,廬+^22兒,血+。222cm得c^-\-b1+c1'^ab+bc-\rca.由題設(shè)得(〃+/，+c)2=l,得。z+3+d+ZH+ZA+Zconl.所以33。+權(quán)、+。。)(1,即ab+bc+cci<g.TOC\o"1-5"\h\z/hr/(2)因為了+力，2〃，一+。力2〃，一+〃22c,CCl〃2/故石+]+；Ha+/?+c)22(a+〃+c)(當且僅當時取等號)，(T[)r金即5+l+￡》a+b+c又a+/?+c、=1,/F/所以牛+幺+J21.bca[C拓展探究]16.(2020?上海中學高一期中)某輪船公司的一艘輪船每小時花費的燃料費與輪船航行速度的平方成正比，比例系數(shù)為憶輪船的最大速度為15海里/小時,當船速為1()海里〃卜時.時，它的燃料費是每小時96元，其余航行運作費用(不論速度如何)總計是每小時15()元.假定輪船以速度。勻速航行.⑴求出的值；(2)求該輪船航行100海里的總費用W(燃料費+航行運作費用)的最小值.解:(1)由題意,設(shè)每小時的燃料費為用=切2,因為當船速為10海里/小時時，它的燃料費是每小時96元，所以當。=10時，Wi=96,可得96=%X1()2,解得-0.96.(2)因為其余航行運作費用(不論速度如何)