專題18雙曲線的簡單幾何性質（知識精講）（原卷版）

專題十八雙曲線的簡單幾何性質一知識結構圖內容考點關注點雙曲線的簡單幾何性質雙曲線的簡單幾何性質性質運用雙曲線的漸近線漸進線方程直線與雙曲線的位置關系判斷直線與雙曲線位置關系二.學法指導.由雙曲線的方程研究幾何性質的解題步驟(I)把雙曲線方程化為標準形式；(2)由標準方程確定焦點位置，確定.，。的值；(3)由/=/+〃求出。值，從而寫出雙曲線的幾何性質..由幾何性質求雙曲線標準方程的解題思路由雙曲線的幾何性質求雙曲線的標準方程，一般用待定系數法.當雙曲線的焦點不明確時，方程可能有兩種形式，此時應注意分類討論，為了避免討論，也可設雙曲線的方程為"謂一町>0)..常見雙曲線方程的設法(1)漸近線為)，=咪x的雙曲線方程可設為5=乂入工0,5>0,h>0)；如果兩條漸近線的方程為加±亦=0,那么雙曲線的方程可設為*/一脫/=皿加20,A>0,B>0).(2)與雙曲線,一苓=1或5一方=15>0,〃>())共漸近線的雙曲線方程可設為無一方=人或力一方=入(入#0).099，22，⑶與雙曲線,一次=1(4>0">0)離心率相等的雙曲線系方程可設為/一方=入(入>0)或力一方=X(X>0),這是因為由離心率不能確定焦點位置.(4)與橢圓忘邛=1(〃>心0)共焦點的雙曲線系方程可設為￡一當=1(〃—..求雙曲線離心率的方法(1)若可求得。，c,則直接利用得解.(2)若已知a,b,可直接利用e=\/l+(§2得解?(3)若得到的是關于a,c的齊次方程〃/+<7次:+憶2=0(〃，夕，廣為常數，且〃#()),則轉化為關于e的方程〃『+gc+r=0求解..直線與雙曲線位置關系的判斷方法(1)方程思想的應用把直線與雙曲線的方程聯立成方程組，通過消元后化為ad+bx+c=O的形式，在〃W()的情況下考察方程的判別式.①/>0時，直線與雙曲線有兩個不同的公共點.②4=0時，直線與雙曲線只有一個公共點.③/<0時，直線與雙曲線沒有公共點.當。=0時，此時直線與雙曲線的漸近線平行，直線與雙曲線有一個公共點.(2)數形結合思想的應用①直線過定點時，根據定點的位置和雙曲線的漸近線的斜率與直線的斜率的大小關系確定其位置關系.②直線斜率一定時，通過平行移動直線，比較直線斜率與漸近線斜率的關系來確定其位置關系.三.知識點貫通知識點1根據雙曲線方程研究幾何性質標準方程/b2~[(。>0,Z?>0)J"CTb-(67>O,Z?>0)圖形y培性質范圍x2a或xW—〃\W-〃或)，泊對稱性對稱軸：坐標軸,對稱中心：原點頂點(―4,0),(4,0)(0,-6/),(0,4)軸長實軸長=3,虛軸長=%離心率Ce==>la-漸近線產備a例題1.求雙曲線9.F—以2=-36的頂點坐標、焦點坐標、實軸長、虛軸長、離心率和漸近線方程.

知識點二由幾何性質求雙曲線的標準方程標準方程“Ja2L(a>0,b>0)>I>——1CTb-(67>O,Z?>0)圖形y說性質范圍或xW—〃〃或y24對稱性對稱軸：坐標軸,對稱中心：原點頂點(—4,0),(4,0)(0,—a),(0,a)軸長實軸長=3,虛軸長=%離心率C,e==>la-漸近線a例題2：求適合下列條件的雙曲線的標準方程：⑴焦點在不軸上，虛軸長為8,離心率為|；（2）與雙曲線方-得二1有共同的漸近線，且過點（-3,2?。?知識點三求雙曲線的離心率例題3.在平面直角坐標系xOy中，若雙曲線力＞（））的右焦點/（。,（））到一條漸近線的距離為亍C,求其離心率的值.知識點四直線與雙曲線的位置關系將），=丘+〃7與，一￡=1聯立消去y得一元方程（/一/F）/一2/八山一。2（〃+/）=0.力的取值位置關系交點個數攵=±與時相交只有一個交點攵且/>0有兩個交點Aw［且/=()相切只有一個交點反［且J<()相離沒有公共點例題4.已知雙曲線C：f-），2=l及直線/：y=kx-\.（1）若直線/與雙曲線C有兩個不同的交點，求實數k的取值范圍；（2）若直線/與雙曲線C交于A,B兩點,。是坐標原點，且AAOB的面積為也，求實數上的值.五易錯點分析易錯一由雙曲線方程求性質例題5.求雙曲線4/-9），2=-4的頂點坐標、焦點坐標、實軸長、虛軸長、離心率