專題18雙曲線的簡單幾何性質(zhì)（知識精講）（原卷版）

專題十八雙曲線的簡單幾何性質(zhì)一知識結(jié)構(gòu)圖內(nèi)容考點(diǎn)關(guān)注點(diǎn)雙曲線的簡單幾何性質(zhì)雙曲線的簡單幾何性質(zhì)性質(zhì)運(yùn)用雙曲線的漸近線漸進(jìn)線方程直線與雙曲線的位置關(guān)系判斷直線與雙曲線位置關(guān)系二.學(xué)法指導(dǎo).由雙曲線的方程研究幾何性質(zhì)的解題步驟(I)把雙曲線方程化為標(biāo)準(zhǔn)形式；(2)由標(biāo)準(zhǔn)方程確定焦點(diǎn)位置，確定.，。的值；(3)由/=/+〃求出。值，從而寫出雙曲線的幾何性質(zhì)..由幾何性質(zhì)求雙曲線標(biāo)準(zhǔn)方程的解題思路由雙曲線的幾何性質(zhì)求雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程，一般用待定系數(shù)法.當(dāng)雙曲線的焦點(diǎn)不明確時，方程可能有兩種形式，此時應(yīng)注意分類討論，為了避免討論，也可設(shè)雙曲線的方程為"謂一町>0)..常見雙曲線方程的設(shè)法(1)漸近線為)，=咪x的雙曲線方程可設(shè)為5=乂入工0,5>0,h>0)；如果兩條漸近線的方程為加±亦=0,那么雙曲線的方程可設(shè)為*/一脫/=皿加20,A>0,B>0).(2)與雙曲線,一苓=1或5一方=15>0,〃>())共漸近線的雙曲線方程可設(shè)為無一方=人或力一方=入(入#0).099，22，⑶與雙曲線,一次=1(4>0">0)離心率相等的雙曲線系方程可設(shè)為/一方=入(入>0)或力一方=X(X>0),這是因?yàn)橛呻x心率不能確定焦點(diǎn)位置.(4)與橢圓忘邛=1(〃>心0)共焦點(diǎn)的雙曲線系方程可設(shè)為￡一當(dāng)=1(〃—..求雙曲線離心率的方法(1)若可求得。，c,則直接利用得解.(2)若已知a,b,可直接利用e=\/l+(§2得解?(3)若得到的是關(guān)于a,c的齊次方程〃/+<7次:+憶2=0(〃，夕，廣為常數(shù)，且〃#()),則轉(zhuǎn)化為關(guān)于e的方程〃『+gc+r=0求解..直線與雙曲線位置關(guān)系的判斷方法(1)方程思想的應(yīng)用把直線與雙曲線的方程聯(lián)立成方程組，通過消元后化為ad+bx+c=O的形式，在〃W()的情況下考察方程的判別式.①/>0時，直線與雙曲線有兩個不同的公共點(diǎn).②4=0時，直線與雙曲線只有一個公共點(diǎn).③/<0時，直線與雙曲線沒有公共點(diǎn).當(dāng)。=0時，此時直線與雙曲線的漸近線平行，直線與雙曲線有一個公共點(diǎn).(2)數(shù)形結(jié)合思想的應(yīng)用①直線過定點(diǎn)時，根據(jù)定點(diǎn)的位置和雙曲線的漸近線的斜率與直線的斜率的大小關(guān)系確定其位置關(guān)系.②直線斜率一定時，通過平行移動直線，比較直線斜率與漸近線斜率的關(guān)系來確定其位置關(guān)系.三.知識點(diǎn)貫通知識點(diǎn)1根據(jù)雙曲線方程研究幾何性質(zhì)標(biāo)準(zhǔn)方程/b2~[(。>0,Z?>0)J"CTb-(67>O,Z?>0)圖形y培性質(zhì)范圍x2a或xW—〃\W-〃或)，泊對稱性對稱軸：坐標(biāo)軸,對稱中心：原點(diǎn)頂點(diǎn)(―4,0),(4,0)(0,-6/),(0,4)軸長實(shí)軸長=3,虛軸長=%離心率Ce==>la-漸近線產(chǎn)備a例題1.求雙曲線9.F—以2=-36的頂點(diǎn)坐標(biāo)、焦點(diǎn)坐標(biāo)、實(shí)軸長、虛軸長、離心率和漸近線方程.

知識點(diǎn)二由幾何性質(zhì)求雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程標(biāo)準(zhǔn)方程“Ja2L(a>0,b>0)>I>——1CTb-(67>O,Z?>0)圖形y說性質(zhì)范圍或xW—〃〃或y24對稱性對稱軸：坐標(biāo)軸,對稱中心：原點(diǎn)頂點(diǎn)(—4,0),(4,0)(0,—a),(0,a)軸長實(shí)軸長=3,虛軸長=%離心率C,e==>la-漸近線a例題2：求適合下列條件的雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程：⑴焦點(diǎn)在不軸上，虛軸長為8,離心率為|；（2）與雙曲線方-得二1有共同的漸近線，且過點(diǎn)（-3,2?。?知識點(diǎn)三求雙曲線的離心率例題3.在平面直角坐標(biāo)系xOy中，若雙曲線力＞（））的右焦點(diǎn)/（。,（））到一條漸近線的距離為亍C,求其離心率的值.知識點(diǎn)四直線與雙曲線的位置關(guān)系將），=丘+〃7與，一￡=1聯(lián)立消去y得一元方程（/一/F）/一2/八山一。2（〃+/）=0.力的取值位置關(guān)系交點(diǎn)個數(shù)攵=±與時相交只有一個交點(diǎn)攵且/>0有兩個交點(diǎn)Aw［且/=()相切只有一個交點(diǎn)反［且J<()相離沒有公共點(diǎn)例題4.已知雙曲線C：f-），2=l及直線/：y=kx-\.（1）若直線/與雙曲線C有兩個不同的交點(diǎn)，求實(shí)數(shù)k的取值范圍；（2）若直線/與雙曲線C交于A,B兩點(diǎn),。是坐標(biāo)原點(diǎn)，且AAOB的面積為也，求實(shí)數(shù)上的值.五易錯點(diǎn)分析易錯一由雙曲線方程求性質(zhì)例題5.求雙曲線4/-9），2=-4的頂點(diǎn)坐標(biāo)、焦點(diǎn)坐標(biāo)、實(shí)軸長、虛軸長、離心率