2021版高中數(shù)學(xué)第三章柯西不等式與排序不等式3.1二維形式的柯西不等式試題新人教A版選修4-5

.PAGE下載后可自行編輯修改，頁腳下載后可刪除。一二維形式的柯西不等式課后篇穩(wěn)固探究1.假設(shè)a2+b2=2,那么a+b的最大值為()A.1 B.2解析由柯西不等式可得(a2+b2)(12+12)≥(a+b)2,即(a+b)2≤4,所以-2≤a+b≤2(當(dāng)且僅當(dāng)a=1,b=1或a=-1,b=-1時(shí),等號(hào)成立),即a+b的最大值為2.答案C2.4x+9y=2,x,y>0,那么A.252 B.254解析由4x+可得x+y=[(≥12x·2x+y當(dāng)且僅當(dāng)x·3y=y·2答案A3.3x+2y=1,那么當(dāng)x2+y2取最小值時(shí),實(shí)數(shù)x,y的值為()A.x=3C.x=1解析因?yàn)閤2+y2=113(x2+y2)(32+22)≥113(3x+2y)2=113,所以當(dāng)x2+y2有最小值113答案A4.函數(shù)y=x-5+26-A.3 B.5解析根據(jù)柯西不等式,知y=1×x-5+2×6-x≤12+22答案B5.m2+n2=14,那么2m+2n的最大值為(A.32 B.62解析由柯西不等式可得(m2+n2)[(2)2+22]≥(2m+2n)2,即14×6≥(2m+2n)2,那么2m+2n≤62,故2m+2n的最大值為答案B6.導(dǎo)學(xué)號(hào)26394051假設(shè)長(zhǎng)方形ABCD是半徑為R的圓的內(nèi)接長(zhǎng)方形,那么長(zhǎng)方形ABCD周長(zhǎng)的最大值為()R2RR2R解析如圖,設(shè)圓內(nèi)接長(zhǎng)方形ABCD的長(zhǎng)為x,那么寬為4R2-x2,于是ABCD的周長(zhǎng)l=2(x+4R2-x由柯西不等式得l≤2[x2+(4R2-x2)2]12(12+12)12=2×2R×2=42R,當(dāng)且僅當(dāng)x此時(shí)4R2-x2=答案D7.假設(shè)3x+4y=2,那么x2+y2的最小值為.

解析由柯西不等式(x2+y2)(32+42)≥(3x+4y)2,得25(x2+y2)≥4,所以x2+y2≥425解方程組3因此,當(dāng)x=625,y=825時(shí),x2+y2取得最小值,最小值為答案48.設(shè)a,b,c,d,m,n都是正實(shí)數(shù),P=ab+cd,Q=ma+ncbm+解析P=am≤(=am+ncbm+dn答案P≤Q9.a,b,m,n均為正數(shù),且a+b=1,mn=2,那么(am+bn)(bm+an)的最小值為.

解析由柯西不等式(a2+b2)(c2+d2)≥(ac+bd)2,可得(am+bn)(bm+an)≥(am·an+bm·bn)2=mn(a+b)2=答案210.函數(shù)y=x-4+解析∵y=x-∴y=1×x≤(1+5)(x-4+5-x)答案611.a,b∈R+,且a+b=1,那么12a+解析因?yàn)閍,b∈R+,且a+b=1,所以12a+1b=(a+b)·12a+1b,由柯西不等式得(a+b)12a+1b≥a·答案312.a,b,c為正數(shù),且滿足acos2θ+bsin2θ<c,求證acos2θ+bsin2θ<c.證明由柯西不等式得acos2θ+bsin2θ≤(=(a故不等式成立.13.設(shè)a,b∈R+,且a+b=2.求證a22證明由柯西不等式,有[(2-a)+(2-b)]a=[(2-a)2+(2-b≥2=(a+b)2=4.那么a=2當(dāng)且僅當(dāng)b故原不等式成立.14.x2+y2=2,且|x|≠|(zhì)y|,求1(x解令u=x+y,v=x-y,那么x=u+v2,∵x2+y2=2,∴(u+v)2+(u-v)2=8,∴u2+v2=4.由柯西不等式,得1u2+1v2當(dāng)且僅當(dāng)u2=v2=2,即x=±2,y=0,或x=0,y=±2時(shí),1(x15.導(dǎo)學(xué)號(hào)26394053求函數(shù)y=x2-2解y=(x根據(jù)柯西不等式,有y2=(x-1)2+2+(3-x)2+5+2[(≥(x-1)2+2+(3-x)2+5+2