2023屆湖南省長沙市雅禮書院中學(xué)高三下學(xué)期第六次檢測數(shù)學(xué)試卷含解析_第1頁
2023屆湖南省長沙市雅禮書院中學(xué)高三下學(xué)期第六次檢測數(shù)學(xué)試卷含解析_第2頁
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文檔簡介

2023年高考數(shù)學(xué)模擬試卷注意事項:1.答卷前,考生務(wù)必將自己的姓名、準(zhǔn)考證號填寫在答題卡上。2.回答選擇題時,選出每小題答案后,用鉛筆把答題卡上對應(yīng)題目的答案標(biāo)號涂黑,如需改動,用橡皮擦干凈后,再選涂其它答案標(biāo)號?;卮鸱沁x擇題時,將答案寫在答題卡上,寫在本試卷上無效。3.考試結(jié)束后,將本試卷和答題卡一并交回。一、選擇題:本題共12小題,每小題5分,共60分。在每小題給出的四個選項中,只有一項是符合題目要求的。1.若時,,則的取值范圍為()A. B. C. D.2.正三棱柱中,,是的中點,則異面直線與所成的角為()A. B. C. D.3.集合的真子集的個數(shù)是()A. B. C. D.4.我國古代數(shù)學(xué)家秦九韶在《數(shù)書九章》中記述了“三斜求積術(shù)”,用現(xiàn)代式子表示即為:在中,角所對的邊分別為,則的面積.根據(jù)此公式,若,且,則的面積為()A. B. C. D.5.甲、乙、丙三人相約晚上在某地會面,已知這三人都不會違約且無兩人同時到達,則甲第一個到、丙第三個到的概率是()A. B. C. D.6.執(zhí)行如圖所示的程序框圖,若輸出的結(jié)果為11,則圖中的判斷條件可以為()A. B. C. D.7.設(shè),隨機變量的分布列是01則當(dāng)在內(nèi)增大時,()A.減小,減小 B.減小,增大C.增大,減小 D.增大,增大8.已知函數(shù),滿足對任意的實數(shù),都有成立,則實數(shù)的取值范圍為()A. B. C. D.9.正三棱錐底面邊長為3,側(cè)棱與底面成角,則正三棱錐的外接球的體積為()A. B. C. D.10.函數(shù)且的圖象是()A. B.C. D.11.已知集合,,則()A. B. C. D.12.執(zhí)行如圖所示的程序框圖,若輸入的,則輸出的()A.9 B.31 C.15 D.63二、填空題:本題共4小題,每小題5分,共20分。13.已知不等式的解集不是空集,則實數(shù)的取值范圍是;若不等式對任意實數(shù)恒成立,則實數(shù)的取值范圍是___14.在三棱錐中,,三角形為等邊三角形,二面角的余弦值為,當(dāng)三棱錐的體積最大值為時,三棱錐的外接球的表面積為______.15.已知二面角α﹣l﹣β為60°,在其內(nèi)部取點A,在半平面α,β內(nèi)分別取點B,C.若點A到棱l的距離為1,則△ABC的周長的最小值為_____.16.若在上單調(diào)遞減,則的取值范圍是_______三、解答題:共70分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17.(12分)的內(nèi)角,,的對邊分別為,,,已知的面積為.(1)求;(2)若,,求的周長.18.(12分)交通部門調(diào)查在高速公路上的平均車速情況,隨機抽查了60名家庭轎車駕駛員,統(tǒng)計其中有40名男性駕駛員,其中平均車速超過的有30人,不超過的有10人;在其余20名女性駕駛員中,平均車速超過的有5人,不超過的有15人.(1)完成下面的列聯(lián)表,并據(jù)此判斷是否有的把握認(rèn)為,家庭轎車平均車速超過與駕駛員的性別有關(guān);平均車速超過的人數(shù)平均車速不超過的人數(shù)合計男性駕駛員女性駕駛員合計(2)根據(jù)這些樣本數(shù)據(jù)來估計總體,隨機調(diào)查3輛家庭轎車,記這3輛車中,駕駛員為女性且平均車速不超過的人數(shù)為,假定抽取的結(jié)果相互獨立,求的分布列和數(shù)學(xué)期望.參考公式:其中臨界值表:0.0500.0250.0100.0050.0013.8415.0246.6357.87910.82819.(12分)若,且(1)求的最小值;(2)是否存在,使得?并說明理由.20.(12分)如圖所示,在四棱錐中,底面是棱長為2的正方形,側(cè)面為正三角形,且面面,分別為棱的中點.(1)求證:平面;(2)求二面角的正切值.21.(12分)已知函數(shù).(1)當(dāng)時,解不等式;(2)當(dāng)時,不等式恒成立,求實數(shù)的取值范圍.22.(10分)已知,,設(shè)函數(shù),.(1)若,求不等式的解集;(2)若函數(shù)的最小值為1,證明:.

參考答案一、選擇題:本題共12小題,每小題5分,共60分。在每小題給出的四個選項中,只有一項是符合題目要求的。1、D【解析】

由題得對恒成立,令,然后分別求出即可得的取值范圍.【詳解】由題得對恒成立,令,在單調(diào)遞減,且,在上單調(diào)遞增,在上單調(diào)遞減,,又在單調(diào)遞增,,的取值范圍為.故選:D【點睛】本題主要考查了不等式恒成立問題,導(dǎo)數(shù)的綜合應(yīng)用,考查了轉(zhuǎn)化與化歸的思想.求解不等式恒成立問題,可采用參變量分離法去求解.2、C【解析】

取中點,連接,,根據(jù)正棱柱的結(jié)構(gòu)性質(zhì),得出//,則即為異面直線與所成角,求出,即可得出結(jié)果.【詳解】解:如圖,取中點,連接,,由于正三棱柱,則底面,而底面,所以,由正三棱柱的性質(zhì)可知,為等邊三角形,所以,且,所以平面,而平面,則,則//,,∴即為異面直線與所成角,設(shè),則,,,則,∴.故選:C.【點睛】本題考查通過幾何法求異面直線的夾角,考查計算能力.3、C【解析】

根據(jù)含有個元素的集合,有個子集,有個真子集,計算可得;【詳解】解:集合含有個元素,則集合的真子集有(個),故選:C【點睛】考查列舉法的定義,集合元素的概念,以及真子集的概念,對于含有個元素的集合,有個子集,有個真子集,屬于基礎(chǔ)題.4、A【解析】

根據(jù),利用正弦定理邊化為角得,整理為,根據(jù),得,再由余弦定理得,又,代入公式求解.【詳解】由得,即,即,因為,所以,由余弦定理,所以,由的面積公式得故選:A【點睛】本題主要考查正弦定理和余弦定理以及類比推理,還考查了運算求解的能力,屬于中檔題.5、D【解析】

先判斷是一個古典概型,列舉出甲、乙、丙三人相約到達的基本事件種數(shù),再得到甲第一個到、丙第三個到的基本事件的種數(shù),利用古典概型的概率公式求解.【詳解】甲、乙、丙三人相約到達的基本事件有甲乙丙,甲丙乙,乙甲丙,乙丙甲,丙甲乙,丙乙甲,共6種,其中甲第一個到、丙第三個到有甲乙丙,共1種,所以甲第一個到、丙第三個到的概率是.故選:D【點睛】本題主要考查古典概型的概率求法,還考查了理解辨析的能力,屬于基礎(chǔ)題.6、B【解析】

根據(jù)程序框圖知當(dāng)時,循環(huán)終止,此時,即可得答案.【詳解】,.運行第一次,,不成立,運行第二次,,不成立,運行第三次,,不成立,運行第四次,,不成立,運行第五次,,成立,輸出i的值為11,結(jié)束.故選:B.【點睛】本題考查補充程序框圖判斷框的條件,考查函數(shù)與方程思想、轉(zhuǎn)化與化歸思想,考查邏輯推理能力和運算求解能力,求解時注意模擬程序一步一步執(zhí)行的求解策略.7、C【解析】

,,判斷其在內(nèi)的單調(diào)性即可.【詳解】解:根據(jù)題意在內(nèi)遞增,,是以為對稱軸,開口向下的拋物線,所以在上單調(diào)遞減,故選:C.【點睛】本題考查了利用隨機變量的分布列求隨機變量的期望與方差,屬于中檔題.8、B【解析】

由題意可知函數(shù)為上為減函數(shù),可知函數(shù)為減函數(shù),且,由此可解得實數(shù)的取值范圍.【詳解】由題意知函數(shù)是上的減函數(shù),于是有,解得,因此,實數(shù)的取值范圍是.故選:B.【點睛】本題考查利用分段函數(shù)的單調(diào)性求參數(shù),一般要分析每支函數(shù)的單調(diào)性,同時還要考慮分段點處函數(shù)值的大小關(guān)系,考查運算求解能力,屬于中等題.9、D【解析】

由側(cè)棱與底面所成角及底面邊長求得正棱錐的高,再利用勾股定理求得球半徑后可得球體積.【詳解】如圖,正三棱錐中,是底面的中心,則是正棱錐的高,是側(cè)棱與底面所成的角,即=60°,由底面邊長為3得,∴.正三棱錐外接球球心必在上,設(shè)球半徑為,則由得,解得,∴.故選:D.【點睛】本題考查球體積,考查正三棱錐與外接球的關(guān)系.掌握正棱錐性質(zhì)是解題關(guān)鍵.10、B【解析】

先判斷函數(shù)的奇偶性,再取特殊值,利用零點存在性定理判斷函數(shù)零點分布情況,即可得解.【詳解】由題可知定義域為,,是偶函數(shù),關(guān)于軸對稱,排除C,D.又,,在必有零點,排除A.故選:B.【點睛】本題考查了函數(shù)圖象的判斷,考查了函數(shù)的性質(zhì),屬于中檔題.11、B【解析】

求出集合,利用集合的基本運算即可得到結(jié)論.【詳解】由,得,則集合,所以,.故選:B.【點睛】本題主要考查集合的基本運算,利用函數(shù)的性質(zhì)求出集合是解決本題的關(guān)鍵,屬于基礎(chǔ)題.12、B【解析】

根據(jù)程序框圖中的循環(huán)結(jié)構(gòu)的運算,直至滿足條件退出循環(huán)體,即可得出結(jié)果.【詳解】執(zhí)行程序框;;;;;,滿足,退出循環(huán),因此輸出,故選:B.【點睛】本題考查循環(huán)結(jié)構(gòu)輸出結(jié)果,模擬程序運行是解題的關(guān)鍵,屬于基礎(chǔ)題.二、填空題:本題共4小題,每小題5分,共20分。13、【解析】

利用絕對值的幾何意義,確定出的最小值,然后根據(jù)題意即可得到的取值范圍化簡不等式,求出的最大值,然后求出結(jié)果【詳解】的最小值為,則要使不等式的解集不是空集,則有化簡不等式有,即而當(dāng)時滿足題意,解得或所以答案為【點睛】本題主要考查的是函數(shù)恒成立的問題和絕對值不等式,要注意到絕對值的幾何意義,數(shù)形結(jié)合來解答本題,注意去絕對值時的分類討論化簡14、【解析】

根據(jù)題意作出圖象,利用三垂線定理找出二面角的平面角,再設(shè)出的長,即可求出三棱錐的高,然后利用利用基本不等式即可確定三棱錐的體積最大值,從而得出各棱的長度,最后根據(jù)球的幾何性質(zhì),利用球心距,半徑,底面半徑之間的關(guān)系即可求出三棱錐的外接球的表面積.【詳解】如圖所示:過點作面,垂足為,過點作交于點,連接.則為二面角的平面角的補角,即有.∵易證面,∴,而三角形為等邊三角形,∴為的中點.設(shè),.∴.故三棱錐的體積為當(dāng)且僅當(dāng)時,,即.∴三點共線.設(shè)三棱錐的外接球的球心為,半徑為.過點作于,∴四邊形為矩形.則,,,在中,,解得.三棱錐的外接球的表面積為.故答案為:.【點睛】本題主要考查三棱錐的外接球的表面積的求法,涉及二面角的運用,基本不等式的應(yīng)用,以及球的幾何性質(zhì)的應(yīng)用,意在考查學(xué)生的直觀想象能力,數(shù)學(xué)運算能力和邏輯推理能力,屬于較難題.15、【解析】

作A關(guān)于平面α和β的對稱點M,N,交α和β與D,E,連接MN,AM,AN,DE,根據(jù)對稱性三角形ADC的周長為AB+AC+BC=MB+BC+CN,當(dāng)四點共線時長度最短,結(jié)合對稱性和余弦定理求解.【詳解】作A關(guān)于平面α和β的對稱點M,N,交α和β與D,E,連接MN,AM,AN,DE,根據(jù)對稱性三角形ABC的周長為AB+AC+BC=MB+BC+CN,當(dāng)M,B,C,N共線時,周長最小為MN設(shè)平面ADE交l于,O,連接OD,OE,顯然OD⊥l,OE⊥l,∠DOE=60°,∠MOA+∠AON=240°,OA=1,∠MON=120°,且OM=ON=OA=1,根據(jù)余弦定理,故MN2=1+1﹣2×1×1×cos120°=3,故MN.故答案為:.【點睛】此題考查求空間三角形邊長的最值,關(guān)鍵在于根據(jù)幾何性質(zhì)找出對稱關(guān)系,結(jié)合解三角形知識求解.16、【解析】

由題意可得導(dǎo)數(shù)在恒成立,解出即可.【詳解】解:由題意,,當(dāng)時,顯然,符合題意;當(dāng)時,在恒成立,∴,∴,故答案為:.【點睛】本題主要考查利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性,屬于中檔題.三、解答題:共70分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17、(1)(2)【解析】

(1)根據(jù)三角形面積公式和正弦定理可得答案;(2)根據(jù)兩角余弦公式可得,即可求出,再根據(jù)正弦定理可得,根據(jù)余弦定理即可求出,問題得以解決.【詳解】(1)由三角形的面積公式可得,,由正弦定理可得,,;(2),,,,,則由,可得:,由,可得:,,可得:,經(jīng)檢驗符合題意,三角形的周長.(實際上可解得,符合三邊關(guān)系).【點睛】本題考查了三角形的面積公式、兩角和的余弦公式、誘導(dǎo)公式,考查正弦定理,余弦定理在解三角形中的綜合應(yīng)用,考查了學(xué)生的運算能力,考查了轉(zhuǎn)化思想,屬于中檔題.18、(1)填表見解析;有的把握認(rèn)為,平均車速超過與性別有關(guān)(2)詳見解析【解析】

(1)根據(jù)題目所給數(shù)據(jù)填寫列聯(lián)表,計算出的值,由此判斷出有的把握認(rèn)為,平均車速超過與性別有關(guān).(2)利用二項分布的知識計算出分布列和數(shù)學(xué)期望.【詳解】(1)平均車速超過的人數(shù)平均車速不超過的人數(shù)合計男性駕駛員301040女性駕駛員51520合計352560因為,,所以有的把握認(rèn)為,平均車速超過與性別有關(guān).(2)服從,即,.所以的分布列如下0123的期望【點睛】本小題主要考查列聯(lián)表獨立性檢驗,考查二項分布分布列和數(shù)學(xué)期望,屬于中檔題.19、(1);(2)不存在.【解析】

(1)由已知,利用基本不等式的和積轉(zhuǎn)化可求,利用基本不等式可將轉(zhuǎn)化為,由不等式的傳遞性,可求的最小值;(2)由基本不等式可求的最小值為,而,故不存在.【詳解】(1)由,得,且當(dāng)時取等號.故,且當(dāng)時取等號.所以的最小值為;(2)由(1)知,.由于,從而不存在,使得成立.【考點定位】基本不等式.20、(1)見證明;(2)【解析】

(1)取PD中點G,可證EFGA是平行四邊形,從而,得證線面平行;(2)取AD中點O,連結(jié)PO,可得面,連交于,可證是二面角的平面角,再在中求解即得.【詳解】(1)證明:取PD中點G,連結(jié)為的中位線,且,又且,且,∴EFGA是平行四邊形,則,又面,面,面;(2)解:取AD中點O,連結(jié)PO,∵面面,為正三角形,面,且,連交于,可得,,則,即.連,又,可得平面,則,即是二面角的平面角,在中,∴,即二面角的正切值為.【點睛】本題考查線面平行證明,考查求二面角.求二面角的步驟是一作二證三計算.即先作出二面角的平面角,然后證明此角是要求的二面角的平面角,最后在三角形中計算.21、(1);(2).【解析】

(1)分類討論去絕對值,得到每段的解集,然后取并集得到答案.(2)先得到的取值范圍,判斷,為正,去掉絕對值,轉(zhuǎn)化為在時恒成立,得到,,在恒成立,從而得到的取值范圍.【詳解】(1)當(dāng)時,,由,得,即,或,即,或,即,綜上:或,所以不等式的解集為.(2),

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