2023屆江蘇省東臺市第一中學(xué)高考數(shù)學(xué)五模試卷含解析_第1頁
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文檔簡介

2023年高考數(shù)學(xué)模擬試卷注意事項(xiàng)1.考試結(jié)束后,請將本試卷和答題卡一并交回.2.答題前,請務(wù)必將自己的姓名、準(zhǔn)考證號用0.5毫米黑色墨水的簽字筆填寫在試卷及答題卡的規(guī)定位置.3.請認(rèn)真核對監(jiān)考員在答題卡上所粘貼的條形碼上的姓名、準(zhǔn)考證號與本人是否相符.4.作答選擇題,必須用2B鉛筆將答題卡上對應(yīng)選項(xiàng)的方框涂滿、涂黑;如需改動,請用橡皮擦干凈后,再選涂其他答案.作答非選擇題,必須用05毫米黑色墨水的簽字筆在答題卡上的指定位置作答,在其他位置作答一律無效.5.如需作圖,須用2B鉛筆繪、寫清楚,線條、符號等須加黑、加粗.一、選擇題:本題共12小題,每小題5分,共60分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中,只有一項(xiàng)是符合題目要求的。1.已知等比數(shù)列滿足,,則()A. B. C. D.2.已知.給出下列判斷:①若,且,則;②存在使得的圖象向右平移個(gè)單位長度后得到的圖象關(guān)于軸對稱;③若在上恰有7個(gè)零點(diǎn),則的取值范圍為;④若在上單調(diào)遞增,則的取值范圍為.其中,判斷正確的個(gè)數(shù)為()A.1 B.2 C.3 D.43.已知三棱錐的外接球半徑為2,且球心為線段的中點(diǎn),則三棱錐的體積的最大值為()A. B. C. D.4.若是定義域?yàn)榈钠婧瘮?shù),且,則A.的值域?yàn)?B.為周期函數(shù),且6為其一個(gè)周期C.的圖像關(guān)于對稱 D.函數(shù)的零點(diǎn)有無窮多個(gè)5.已知復(fù)數(shù)z滿足,則在復(fù)平面上對應(yīng)的點(diǎn)在()A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限6.由曲線圍成的封閉圖形的面積為()A. B. C. D.7.已知雙曲線的一條漸近線方程為,則雙曲線的離心率為()A. B. C. D.8.在中,為中點(diǎn),且,若,則()A. B. C. D.9.將一塊邊長為的正方形薄鐵皮按如圖(1)所示的陰影部分裁下,然后用余下的四個(gè)全等的等腰三角形加工成一個(gè)正四棱錐形容器,將該容器按如圖(2)放置,若其正視圖為等腰直角三角形,且該容器的容積為,則的值為()A.6 B.8 C.10 D.1210.若復(fù)數(shù)滿足,則的虛部為()A.5 B. C. D.-511.已知函數(shù)()的最小值為0,則()A. B. C. D.12.已知函數(shù)(,)的一個(gè)零點(diǎn)是,函數(shù)圖象的一條對稱軸是直線,則當(dāng)取得最小值時(shí),函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間是()A.() B.()C.() D.()二、填空題:本題共4小題,每小題5分,共20分。13.小李參加有關(guān)“學(xué)習(xí)強(qiáng)國”的答題活動,要從4道題中隨機(jī)抽取2道作答,小李會其中的三道題,則抽到的2道題小李都會的概率為_____.14.在平行四邊形中,已知,,,若,,則____________.15.如圖,在平面四邊形ABCD中,|AC|=3,|BD|=4,則(AB16.已知函數(shù),若,則___________.三、解答題:共70分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17.(12分)設(shè)數(shù)列的前列項(xiàng)和為,已知.(1)求數(shù)列的通項(xiàng)公式;(2)求證:.18.(12分)某社區(qū)服務(wù)中心計(jì)劃按月訂購一種酸奶,每天進(jìn)貨量相同,進(jìn)貨成本每瓶5元,售價(jià)每瓶7元,未售出的酸奶降價(jià)處理,以每瓶2元的價(jià)格當(dāng)天全部處理完.根據(jù)往年銷售經(jīng)驗(yàn),每天需求量與當(dāng)天最高氣溫(單位:攝氏度℃)有關(guān).如果最高氣溫不低于25,需求量為600瓶;如果最高氣溫位于區(qū)間,需求量為500瓶;如果最高氣溫低于20,需求量為300瓶.為了確定六月份的訂購計(jì)劃,統(tǒng)計(jì)了前三年六月份各天的最高氣溫?cái)?shù)據(jù),得下面的頻數(shù)分布表:最高氣溫天數(shù)414362763以最高氣溫位于各區(qū)間的頻率代替最高氣溫位于該區(qū)間的概率.(1)求六月份這種酸奶一天的需求量(單位:瓶)的分布列;(2)設(shè)六月份一天銷售這種酸奶的利潤為(單位:元),當(dāng)六月份這種酸奶一天的進(jìn)貨量為(單位:瓶)時(shí),的數(shù)學(xué)期望的取值范圍?19.(12分)△的內(nèi)角的對邊分別為,且.(1)求角的大小(2)若,△的面積,求△的周長.20.(12分)已知函數(shù).(1)設(shè),求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間,并證明函數(shù)有唯一零點(diǎn).(2)若函數(shù)在區(qū)間上不單調(diào),證明:.21.(12分)設(shè)函數(shù),.(Ⅰ)討論的單調(diào)性;(Ⅱ)時(shí),若,,求證:.22.(10分)眼保健操是一種眼睛的保健體操,主要是通過按摩眼部穴位,調(diào)整眼及頭部的血液循環(huán),調(diào)節(jié)肌肉,改善眼的疲勞,達(dá)到預(yù)防近視等眼部疾病的目的.某學(xué)校為了調(diào)查推廣眼保健操對改善學(xué)生視力的效果,在應(yīng)屆高三的全體800名學(xué)生中隨機(jī)抽取了100名學(xué)生進(jìn)行視力檢查,并得到如圖的頻率分布直方圖.(1)若直方圖中后三組的頻數(shù)成等差數(shù)列,試估計(jì)全年級視力在5.0以上的人數(shù);(2)為了研究學(xué)生的視力與眼保健操是否有關(guān)系,對年級不做眼保健操和堅(jiān)持做眼保健操的學(xué)生進(jìn)行了調(diào)查,得到下表中數(shù)據(jù),根據(jù)表中的數(shù)據(jù),能否在犯錯(cuò)的概率不超過0.005的前提下認(rèn)為視力與眼保健操有關(guān)系?(3)在(2)中調(diào)查的100名學(xué)生中,按照分層抽樣在不近視的學(xué)生中抽取8人,進(jìn)一步調(diào)查他們良好的護(hù)眼習(xí)慣,在這8人中任取2人,記堅(jiān)持做眼保健操的學(xué)生人數(shù)為X,求X的分布列和數(shù)學(xué)期望.附:0.100.050.0250.0100.005k2.7063.8415.0246.6357.879

參考答案一、選擇題:本題共12小題,每小題5分,共60分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中,只有一項(xiàng)是符合題目要求的。1、B【解析】由a1+a3+a5=21得a3+a5+a7=,選B.2、B【解析】

對函數(shù)化簡可得,進(jìn)而結(jié)合三角函數(shù)的最值、周期性、單調(diào)性、零點(diǎn)、對稱性及平移變換,對四個(gè)命題逐個(gè)分析,可選出答案.【詳解】因?yàn)?,所以周?對于①,因?yàn)?,所以,即,故①錯(cuò)誤;對于②,函數(shù)的圖象向右平移個(gè)單位長度后得到的函數(shù)為,其圖象關(guān)于軸對稱,則,解得,故對任意整數(shù),,所以②錯(cuò)誤;對于③,令,可得,則,因?yàn)?,所以在上?個(gè)零點(diǎn),且,所以第7個(gè)零點(diǎn),若存在第8個(gè)零點(diǎn),則,所以,即,解得,故③正確;對于④,因?yàn)?,且,所以,解得,又,所以,故④正確.故選:B.【點(diǎn)睛】本題考查三角函數(shù)的恒等變換,考查三角函數(shù)的平移變換、最值、周期性、單調(diào)性、零點(diǎn)、對稱性,考查學(xué)生的計(jì)算求解能力與推理能力,屬于中檔題.3、C【解析】

由題可推斷出和都是直角三角形,設(shè)球心為,要使三棱錐的體積最大,則需滿足,結(jié)合幾何關(guān)系和圖形即可求解【詳解】先畫出圖形,由球心到各點(diǎn)距離相等可得,,故是直角三角形,設(shè),則有,又,所以,當(dāng)且僅當(dāng)時(shí),取最大值4,要使三棱錐體積最大,則需使高,此時(shí),故選:C【點(diǎn)睛】本題考查由三棱錐外接球半徑,半徑與球心位置求解錐體體積最值問題,屬于基礎(chǔ)題4、D【解析】

運(yùn)用函數(shù)的奇偶性定義,周期性定義,根據(jù)表達(dá)式判斷即可.【詳解】是定義域?yàn)榈钠婧瘮?shù),則,,又,,即是以4為周期的函數(shù),,所以函數(shù)的零點(diǎn)有無窮多個(gè);因?yàn)?,,令,則,即,所以的圖象關(guān)于對稱,由題意無法求出的值域,所以本題答案為D.【點(diǎn)睛】本題綜合考查了函數(shù)的性質(zhì),主要是抽象函數(shù)的性質(zhì),運(yùn)用數(shù)學(xué)式子判斷得出結(jié)論是關(guān)鍵.5、A【解析】

設(shè),由得:,由復(fù)數(shù)相等可得的值,進(jìn)而求出,即可得解.【詳解】設(shè),由得:,即,由復(fù)數(shù)相等可得:,解之得:,則,所以,在復(fù)平面對應(yīng)的點(diǎn)的坐標(biāo)為,在第一象限.故選:A.【點(diǎn)睛】本題考查共軛復(fù)數(shù)的求法,考查對復(fù)數(shù)相等的理解,考查復(fù)數(shù)在復(fù)平面對應(yīng)的點(diǎn),考查運(yùn)算能力,屬于??碱}.6、A【解析】

先計(jì)算出兩個(gè)圖像的交點(diǎn)分別為,再利用定積分算兩個(gè)圖形圍成的面積.【詳解】封閉圖形的面積為.選A.【點(diǎn)睛】本題考察定積分的應(yīng)用,屬于基礎(chǔ)題.解題時(shí)注意積分區(qū)間和被積函數(shù)的選取.7、B【解析】

由題意得出的值,進(jìn)而利用離心率公式可求得該雙曲線的離心率.【詳解】雙曲線的漸近線方程為,由題意可得,因此,該雙曲線的離心率為.故選:B.【點(diǎn)睛】本題考查利用雙曲線的漸近線方程求雙曲線的離心率,利用公式計(jì)算較為方便,考查計(jì)算能力,屬于基礎(chǔ)題.8、B【解析】

選取向量,為基底,由向量線性運(yùn)算,求出,即可求得結(jié)果.【詳解】,,,,,.故選:B.【點(diǎn)睛】本題考查了平面向量的線性運(yùn)算,平面向量基本定理,屬于基礎(chǔ)題.9、D【解析】

推導(dǎo)出,且,,,設(shè)中點(diǎn)為,則平面,由此能表示出該容器的體積,從而求出參數(shù)的值.【詳解】解:如圖(4),為該四棱錐的正視圖,由圖(3)可知,,且,由為等腰直角三角形可知,,設(shè)中點(diǎn)為,則平面,∴,∴,解得.故選:D【點(diǎn)睛】本題考查三視圖和錐體的體積計(jì)算公式的應(yīng)用,屬于中檔題.10、C【解析】

把已知等式變形,再由復(fù)數(shù)代數(shù)形式的乘除運(yùn)算化簡得答案.【詳解】由(1+i)z=|3+4i|,得z,∴z的虛部為.故選C.【點(diǎn)睛】本題考查復(fù)數(shù)代數(shù)形式的乘除運(yùn)算,考查復(fù)數(shù)的基本概念,是基礎(chǔ)題.11、C【解析】

設(shè),計(jì)算可得,再結(jié)合圖像即可求出答案.【詳解】設(shè),則,則,由于函數(shù)的最小值為0,作出函數(shù)的大致圖像,結(jié)合圖像,,得,所以.故選:C【點(diǎn)睛】本題主要考查了分段函數(shù)的圖像與性質(zhì),考查轉(zhuǎn)化思想,考查數(shù)形結(jié)合思想,屬于中檔題.12、B【解析】

根據(jù)函數(shù)的一個(gè)零點(diǎn)是,得出,再根據(jù)是對稱軸,得出,求出的最小值與對應(yīng)的,寫出即可求出其單調(diào)增區(qū)間.【詳解】依題意得,,即,解得或(其中,).①又,即(其中).②由①②得或,即或(其中,,),因此的最小值為.因?yàn)?,所以(?又,所以,所以,令(),則().因此,當(dāng)取得最小值時(shí),的單調(diào)遞增區(qū)間是().故選:B【點(diǎn)睛】此題考查三角函數(shù)的對稱軸和對稱點(diǎn),在對稱軸處取得最值,對稱點(diǎn)處函數(shù)值為零,屬于較易題目.二、填空題:本題共4小題,每小題5分,共20分。13、【解析】

從四道題中隨機(jī)抽取兩道共6種情況,抽到的兩道全都會的情況有3種,即可得到概率.【詳解】由題:從從4道題中隨機(jī)抽取2道作答,共有種,小李會其中的三道題,則抽到的2道題小李都會的情況共有種,所以其概率為.故答案為:【點(diǎn)睛】此題考查根據(jù)古典概型求概率,關(guān)鍵在于根據(jù)題意準(zhǔn)確求出基本事件的總數(shù)和某一事件包含的基本事件個(gè)數(shù).14、【解析】

設(shè),則,得到,,利用向量的數(shù)量積的運(yùn)算,即可求解.【詳解】由題意,如圖所示,設(shè),則,又由,,所以為的中點(diǎn),為的三等分點(diǎn),則,,所以.【點(diǎn)睛】本題主要考查了向量的共線定理以及向量的數(shù)量積的運(yùn)算,其中解答中熟記向量的線性運(yùn)算法則,以及向量的共線定理和向量的數(shù)量積的運(yùn)算公式,準(zhǔn)確運(yùn)算是解答的關(guān)鍵,著重考查了推理與運(yùn)算能力,屬于中檔試題.15、-7【解析】

由題意得AB+【詳解】由題意得ABBC+∴AB+【點(diǎn)睛】突破本題的關(guān)鍵是抓住題中所給圖形的特點(diǎn),利用平面向量基本定理和向量的加減運(yùn)算,將所給向量統(tǒng)一用AC,16、【解析】

根據(jù)題意,利用函數(shù)奇偶性的定義判斷函數(shù)的奇偶性,利用函數(shù)奇偶性的性質(zhì)求解即可.【詳解】因?yàn)楹瘮?shù),其定義域?yàn)?,所以其定義域關(guān)于原點(diǎn)對稱,又,所以函數(shù)為奇函數(shù),因?yàn)椋?故答案為:【點(diǎn)睛】本題考查函數(shù)奇偶性的判斷及其性質(zhì);考查運(yùn)算求解能力;熟練掌握函數(shù)奇偶性的判斷方法是求解本題的關(guān)鍵;屬于中檔題、??碱}型.三、解答題:共70分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17、(1)(2)證明見解析【解析】

(1)由已知可得,構(gòu)造等比數(shù)列即可求出通項(xiàng)公式;(2)當(dāng)時(shí),由,可求,時(shí),由,可證,驗(yàn)證時(shí),不等式也成立,即可得證.【詳解】(1)由可得,,即,所以,解得,(2)當(dāng)時(shí),,,當(dāng)時(shí),,綜上,由可得遞增,,時(shí);所以,綜上:故.【點(diǎn)睛】本題主要考查了遞推數(shù)列求通項(xiàng)公式,利用放縮法證明不等式,涉及等比數(shù)列的求和公式,屬于難題.18、(1)見解析;(2)【解析】

(1)X的可能取值為300,500,600,結(jié)合題意及表格數(shù)據(jù)計(jì)算對應(yīng)概率,即得解;(2)由題意得,分,及,分別得到y(tǒng)與n的函數(shù)關(guān)系式,得到對應(yīng)的分布列,分析即得解.【詳解】(1)由題意:X的可能取值為300,500,600故:六月份這種酸奶一天的需求量(單位:瓶)的分布列為300500600(2)由題意得.1°.當(dāng)時(shí),利潤此時(shí)利潤的分布列為.2.時(shí),利潤此時(shí)利潤的分布列為.綜上的數(shù)學(xué)期望的取值范圍是.【點(diǎn)睛】本題考查了函數(shù)與概率統(tǒng)計(jì)綜合,考查了學(xué)生綜合分析,數(shù)據(jù)處理,轉(zhuǎn)化劃歸,數(shù)學(xué)運(yùn)算的能力,屬于中檔題.19、(I);(II).【解析】

試題分析:(I)由已知可得;(II)依題意得:的周長為.試題解析:(I)∵,∴.∴,∴,∴,∴,∴.(II)依題意得:∴,∴,∴,∴,∴的周長為.考點(diǎn):1、解三角形;2、三角恒等變換.20、(1)為增區(qū)間;為減區(qū)間.見解析(2)見解析【解析】

(1)先求得的定義域,然后利用導(dǎo)數(shù)求得的單調(diào)區(qū)間,結(jié)合零點(diǎn)存在性定理判斷出有唯一零點(diǎn).(2)求得的導(dǎo)函數(shù),結(jié)合在區(qū)間上不單調(diào),證得,通過證明,證得成立.【詳解】(1)∵函數(shù)的定義域?yàn)?,由,解得為增區(qū)間;由解得為減區(qū)間.下面證明函數(shù)只有一個(gè)零點(diǎn):∵,所以函數(shù)在區(qū)間內(nèi)有零點(diǎn),∵,函數(shù)在區(qū)間上沒有零點(diǎn),故函數(shù)只有一個(gè)零點(diǎn).(2)證明:函數(shù),則當(dāng)時(shí),,不符合題意;當(dāng)時(shí),令,則,所以在上單調(diào)增函數(shù),而,又∵區(qū)間上不單調(diào),所以存在,使得在上有一個(gè)零點(diǎn),即,所以,且,即兩邊取自然對數(shù),得即,要證,即證,先證明:,令,則∴在上單調(diào)遞增,即,∴①在①中令,∴令∴,即即,∴.【點(diǎn)睛】本小題主要考查利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)區(qū)間和零點(diǎn),考查利用導(dǎo)數(shù)證明不等式,考查分類討論的數(shù)學(xué)思想方法,考查化歸與轉(zhuǎn)化的數(shù)學(xué)思想方法,屬于難題.21、(1)證明見解析;(2)證明見解析.【解析】

(1)首先對函數(shù)求導(dǎo),再根據(jù)參數(shù)的取值,討論的正負(fù),即可求出關(guān)于的單調(diào)性即可;(2)首先通過構(gòu)造新函數(shù),討論新函數(shù)的單調(diào)性,根據(jù)新函數(shù)的單調(diào)性證明.【詳解】(1),令,則,令得,當(dāng)時(shí),則在單調(diào)遞減,當(dāng)時(shí),則在單調(diào)遞增,所以,當(dāng)時(shí),,即,則在上單調(diào)遞增,當(dāng)時(shí),,易知當(dāng)時(shí),,當(dāng)時(shí),,由零點(diǎn)存在性定理知,,不妨設(shè),使得,當(dāng)時(shí),,即,當(dāng)時(shí),,即,當(dāng)時(shí),,即,所以在和上單調(diào)遞增,在單調(diào)遞減;(2)證明:構(gòu)造函數(shù),,,,整理得,,(當(dāng)時(shí)等號成立),所以在上單調(diào)遞增

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