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文檔簡介
一、基本公式平面向量系列l(wèi)=J
I三m基本公式應(yīng)用0A=(x,y)-(0,0)=3,y)AB=0B-0A=(x,y)-(x,y)=(x-x,y-y)BBAABABAf—a-b=(x-x,y-y)TOC\o"1-5"\h\z1 2 1 2a+b=(x+x,y+y)12 12ff人(a土b)=Xa土Xb=(人x±Xx,Xy±Xy)―?T —?—?a±bna-b=xx+yy=012 12平面向量基本公式<—9-—F―PT —F—平面向量基本公式<a-b=1aIIbIcos<a,b>-7a-bxx+yy<a,b>= = —12 -IaIIbI 、;x2+y2..(x2+y2—Ir —ba//bnxy-xy=012 21i i. i ia//bna=Xb.、i''I a I= Jx2 +y2I a I=寸a2二、解題思路與方法/平方法求向量模長/坐標(biāo)法和矢量運算求垂直和平行問題/根據(jù)兩向量數(shù)量積符號確定夾角符號三、例題精析向量垂直坐標(biāo)求法:1、 (2016全國卷1理)已知向量a=(1,m),b=(3,-2),且(a+b)±b,則m=( )A、-8 B、-6 C、6 D、8[解析]:題目給出向量的坐標(biāo),所以可以直接用坐標(biāo)運算去解題,如下:―卜— — —b——(a+b)1bn(a+b)-b=[(1,m)+(3,-2)]?(3,-2)=(4,m-2)(3,-2)=04x3+(m-2)x(-2)=0n12-2m+4=0nm=8故選D?!?■ f —?—fc-—fc-2、 (2014,重慶一模)若向量a=(-1,k),b=(3,1),且】+b與a垂直,則實數(shù)k的值是。[解析]:題目給出向量的坐標(biāo),所以可以直接用坐標(biāo)運算去解題,如下:―卜— —F —S- —―卜(a+b)1an(a+b)?a=[(-1,k)+(3,1)]?(3,1)=(2,k+1)(3,1)=02x3+(k+1)x1=0n6+k+1=0nk=-7—F —F —F —F —F f3、(2014,重慶高考)已知向量a=(k,3),b=(1,4),c=(2,1),且(2a-3b)1c,則實數(shù)k=[解析]:題目給出向量的坐標(biāo),所以可以直接用坐標(biāo)運算去解題,如下:(a+b)1an(a+b)-a=[(-1,k)+(3,1)]?(3,1)=(2,k+1)(3,1)=02x3+(k+1)x1=0n6+k+1=0nk=-7向量垂直點乘求法: 一一丁一、。八 ?T-■丁?-斗一一 7、,一 4、(2012,山東模擬)已知向量a,b夾角為600,且Ia1=3,1b1=2,若(3a+mb)1a,則實數(shù)m的值是__。TOC\o"1-5"\h\z[解析]:題目沒有給出向量的坐標(biāo),那就不能用坐標(biāo)運算,直接用數(shù)量積點乘計算,如下:—r f —t —r —m—b- —t —r—? —r —r—*(3a+mb)1an(3a+mb)-a=3a2+mab=3IaI2+mIaIIbIcos600=0n3x32+mx3x2x1=0n27+3m=0nm=-92—一? 一 5、(2013,資陽模擬)已知向量a,b的夾角為45。,IaI=IbI=2,且向量a與人b-a垂直,則實數(shù)人=[解析]:題目沒有給出向量的坐標(biāo),那就不能用坐標(biāo)運算,直接用數(shù)量積點乘計算,如下:—fr —* —? —? f—? —!?■ f —*a1(入b -a)n a-(入b-a)=入ab-a2 =XIaII bIcos450-Ia I2=0、克 、一 -nXx2x2x——22=0n2X12—4=0nm=%,226、(2014,惠州模擬)已知Ia1=4,1b1=8,a與b的夾角是1200,(a+2b)±(ka一b),則k的值是[解析]:題目沒有給出向量的坐標(biāo),那就不能用坐標(biāo)運算,直接用數(shù)量積點乘計算,如下:—*■ —*■ —* T —*■ —*■ —lr T —? —? —?—*■ —(a+2b)±(ka一b)n(a+2b)-(ka一b)=ka2一2b2+2kab一ab=0nkx42-2x82+2kx4x8xcos1200-4x8xcos1200=0nk=(3)與單位向量有關(guān)的向量垂直求法:7、(2014,衡陽校級月考)已知向量a,b為兩個垂直的單位向量,k為實數(shù),若向量a+b與向量ka-b垂直,貝gk=。[解析]:題目沒有給出向量的坐標(biāo),那就不能用坐標(biāo)運算,直接用數(shù)量積點乘計算,注意題目中的兩個垂直的單位向量,單位向量的長度為1,又因為他們互相垂直,故數(shù)量積為零,如下:(a+b)±(ka一b)n(a+b)-(ka一b)=ka2一b2+kab一ab=0nkx12一12+kx1x1xcos900一1x1xcos900=0nk=18、(2014,葫蘆島期末)已知向量a,b是夾角為600的兩個單位向量,向量a+人b,QeR)與向量a—2b垂直,則實數(shù)人=。[解析]:題目沒有給出向量的坐標(biāo),那就不能用坐標(biāo)運算,直接用數(shù)量積點乘計算,有兩個單位向量,夾角為600,如下:(a+人b)±(a一2b)n(a+人b)-(a一2b)=a2一2人b2+人ab一2ab=0n12一2人x12+人x1x1xcos600一2x1x1xcos600=0nX=0(4)向量平行坐標(biāo)求法:9、(2015,涪城校級模擬)已知a=(2,1),b=(x,3),且a//b,則x的值為[解析]:題目給出向量的坐標(biāo)表示,故直接利用向量的坐標(biāo)去運算,如下:a//bnxy—xy=0,n2x3一1xx=0nx=6TOC\o"1-5"\h\z12 2110、(2017,陽光校級月考改編)已知向量a=(1,2),b=(—2,m),且a〃b,則2a+3b=[解析]:題目給出向量的坐標(biāo)表示,故直接利用向量的坐標(biāo)去運算,如下:—9a//bnxy—xy=0,n1xm—2x2=0nm=4,..12212a+3b=2(1,2)+3(—2,m)=(2,2)+(—6,3m)=(—4,2+3m)=(—4,14)11、 (2014,陜西高考)設(shè)0<。<:,向量a=(sin20,cos0),b=(cos。,1),若a平行方,則to9=[解析]:題目給出向量的坐標(biāo)表示,故直接利用向量的坐標(biāo)去運算,如下:a//bnxy—xy=0,nsin29—cos29=0,n2sin9cos9=cos2912 211ntan9=—212、 (2015,信宜~模)已知A(1,3),B(—2,—3),C(x,7),若AB//BC,則x=。[解析]:題目給出點的坐標(biāo)表示,先計算出向量的坐標(biāo),再利用向量平行坐標(biāo)求法,如下:AB=(—2,—3)—(1,3)=(—3,—6),bC=(x,7)—(—2,—3)=(x+2,10),AB//BCn—3x10—(—6)(x+2)=0nx=3向量平行其他求法:13、(2016,長汀校級月考改編)已知點P(x,y),Q(3,4),若pq//x軸,則y=。[解析]:題意是PQ向量與X軸平行,我們知道與X軸平行時y=y0,如下:PQ//x軸,ny=y=4,故y=4.pq14、(2016,鐵嶺校級月考改編)已知a,b不共線,c=ka+b,d=a—b,如果c〃d,那么k=[解析]:題目沒有給出向量的坐標(biāo),所以不能用坐標(biāo)運算,用矢量法運算,如下:--w fa h —ta* b ?b-c//dnc=Xdnka+b=人(a—b)nka+b=Xa一人b一S一Ika=Xank=—1lb=—Xb平方法求模長:15、(2017全國卷1理)已知向量a,b的夾角為60°,|a|=2,|b|=1,則|a+2b|=[解析]:由題知,求模長,沒有給出坐標(biāo),直接平方法,先平方再開方,如下:1 —Ia+2bl=、.(a+2b)2=\:a2+2a-2b+(2b)2=、2+4-2-1?—+4-12=2、j:31 ■ V 216、(2014,長汀校級月考)平面向量云b的夾角為:,且滿足1a|=2,|a一2b|=混,則1b1=[解析]:由題知,求模長,沒有給出坐標(biāo),直接平方法,先平方再開方,如下:Ia—2bl=%3na2—2?a?2b+4b2=3,n4—4?2?IbI+4Ib|2=3,nlbl=
—#■ —fc- —?!■—fc- —frf17、(2014,諸暨校級期中)已知向量Ia1=1b1=2,且a?b=2,則Ia+b1=[解析]:由題知,求模長,沒有給出坐標(biāo),直接平方法,先平方再開方,如下:TOC\o"1-5"\h\z一f一!f C一f:cr~■ ■~ J——Ia+bI=、:(a+b)2=\,a1+2a-b+b=122+2?+22=v1018、 (2015?長春二模)已知平面向量a,b滿足IaI=、F3,IbI=2,a?b=-3,則Ia+2bI=[解析]:由題知,求模長,沒有給出坐標(biāo),直接平方法,先平方再開方,如下:一f_f一J1一一 JfC_f_i_1 /_f—- ' ' '' /—Ia+2bI=(a+2b)2=、?a°+2a?2b+(2b)2=?、:v32+4?(-3)+4?22=%:719、 (2015?陜西二模)設(shè)向量a,b滿足Ia+bI=<20,a?b=4,則Ia一bI=[解析]:由題知,求模長,沒有給出坐標(biāo),直接平方法,先平方再開方,如下:Ia+bI=\:'(a+b)2= \a2+2a?b+b2 = \a2+b2+8 =(20na2+b2 =12l r7~ I—。lr-*■-> ^77 .^― _Ia一bI=\:(a-b)2= \.^2一2a?b+b =\a°+b一8 =v12一8=22?!?: —??L20、(2015?石家莊一模)已知平■面向量a,b的夾角為3,IaI=2,IbI=1,則Ia+bI=[解析]:由題知,求模長,沒有給出坐標(biāo),直接平方法,先平方再開方,如下:Ia+bI=(a+b)2=\a+2a?b+b=\22+2?2?1?cos120o+12=2公式法求夾角:21、(2015長春三模)已知IaI=1,IbI=/2,且a±(a-b),則向量。與向量麗勺夾角為J—ab_J—ab_ 1 _v2IaIIbI1x^2 2a?(a-b)=0nIaI2-ab=0nab=1,cos<a,b>=22、(2015太原一模)已知向量。,2,滿足(2a-b)?(a+b)=6,且IaI=2,IbI=1,則a與b的夾角為[解析]:由題知,沒有給出坐標(biāo),先求出數(shù)量積,先利用公式求夾角,如下:(2a-(2a-b)?(a+b)=6n2IaI2+ab-b2T— 一1.=6nab=-1,cos<a,b>=ab-1_1 — — IaIIbI1x2 2TOC\o"1-5"\h\z—b-—* —fr —*■—lr —fr —*■ ——I-23、(2017,荔城區(qū)校級期中)已知平面向量a,b滿足a?(a+b)=3,且Ia1=2,1b1=1,則向量a與b的夾角是。[解析]:由題知,沒有給出坐標(biāo),先求出數(shù)量積,先利用公式求夾角,如下:ab-1 1a-(a+b)=3nla|2+ab=3nab=-1,cos<a,b〉=——= =-—IaIIbI1x2 2 -八~學(xué) - -rz l-—i 24、(2016,四川高考)平面向量a=(1,2),b=(4,2),c=ma+b,(meR),且Aa的夾角等于c^b的夾角,則m=。[解析]:由題知,給出坐標(biāo),先利用公式求夾角余弦值,再讓兩個余弦值相等,如下:—? —I-—F —F-—4-c=m(1,2)+(4,2)=(m+4,4),cos<c,a>=cos<c,b〉—b―b- —r—rncacb旦m+12 4m+24旦。IcIIa
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