隨機(jī)過(guò)程(31)第3章第1節(jié)西電宋月

第三章跳躍隨機(jī)過(guò)程本章主要內(nèi)容泊松過(guò)程的定義及基本性質(zhì)泊松過(guò)程的0-1律復(fù)合泊松過(guò)程過(guò)程泊松過(guò)程擴(kuò)展實(shí)例1.電話交換臺(tái)的呼叫次數(shù)2.放射性裂變的質(zhì)點(diǎn)數(shù)3.發(fā)生故障而不能工作的機(jī)器數(shù)4.通過(guò)交通路口的車輛數(shù)5.來(lái)到某服務(wù)窗口的顧客數(shù)………..以上實(shí)例中的呼叫,質(zhì)點(diǎn),機(jī)器,車輛,顧客等也統(tǒng)一叫做隨機(jī)點(diǎn)若用N(t)表示[0,t]內(nèi)到達(dá)的隨機(jī)點(diǎn)數(shù)，顯然這種隨機(jī)過(guò)程稱為計(jì)數(shù)過(guò)程即實(shí)隨機(jī)過(guò)程{N(t),t≥0}是計(jì)數(shù)過(guò)程，如果N(t)表示直到t時(shí)刻為止發(fā)生的某隨機(jī)事件數(shù)．特點(diǎn)①②N(t)是非負(fù)整數(shù)③④表示時(shí)間間隔t-s內(nèi)發(fā)生的隨機(jī)事件數(shù)．計(jì)數(shù)過(guò)程的另一種表示計(jì)數(shù)過(guò)程的軌道性質(zhì)(a)零初值性，狀態(tài)空間是0及自然數(shù)(b)樣本軌道是單調(diào)不減，右連續(xù)(c)軌道間斷點(diǎn)跳躍的高度永遠(yuǎn)是1相互獨(dú)立的隨機(jī)變量序列

N(t)表示[0，t]時(shí)間內(nèi)到達(dá)的隨機(jī)點(diǎn)數(shù),

則N(t)

(Nt)是一個(gè)隨機(jī)變量．分析這些隨機(jī)過(guò)程的公同特點(diǎn)一.Poisson過(guò)程定義若計(jì)數(shù)過(guò)程{N(t),t≥0}

滿足是平穩(wěn)的獨(dú)立增量過(guò)程服從參數(shù)是λt

的Poisson分布,即則稱計(jì)數(shù)過(guò)程{N(t),t≥0}是參數(shù)(強(qiáng)度,比率)為λ

的Poisson過(guò)程.定理設(shè){N(t),t≥0}

是參數(shù)為λ

的Poisson

過(guò)程，則證明1)由定義,顯然有又對(duì)s≥0,t≥0,不妨設(shè)s≤t,則有是獨(dú)立增量平穩(wěn)性由定義計(jì)數(shù)過(guò)程的到達(dá)時(shí)間與到達(dá)時(shí)間間隔分布設(shè){Nc(t),t≥0}是計(jì)數(shù)過(guò)程，即Nc(t)表示時(shí)間區(qū)間[0,t)內(nèi)到達(dá)的隨機(jī)點(diǎn)數(shù).到達(dá)時(shí)間(序列)表示第i個(gè)隨機(jī)點(diǎn)的到達(dá)時(shí)刻,則稱為計(jì)數(shù)過(guò)程的到達(dá)時(shí)間序列.到達(dá)時(shí)間間隔(序列)它表示第n-1個(gè)隨機(jī)點(diǎn)與第n個(gè)隨機(jī)點(diǎn)的到達(dá)時(shí)間間隔,則稱為Poisson過(guò)程的到達(dá)時(shí)間間隔(序列)顯然有給出上述定義以后，我們自然需要回答下列問(wèn)題(1):計(jì)數(shù)過(guò)程與泊松過(guò)程的關(guān)系，(2):關(guān)于Poisson過(guò)程中的這兩個(gè)序列的概率分布引理(到達(dá)時(shí)間序列分布)設(shè){Nc(t),t≥0}是計(jì)數(shù)過(guò)程,其到達(dá)時(shí)間間隔相互獨(dú)立且同服從參數(shù)為λ的指數(shù)分布，則到達(dá)時(shí)間分布服從Γ分布,密度為證明的分布函數(shù)的特征函數(shù)為則的特征函數(shù)為的密度函數(shù)為故定理4.1.1

如果計(jì)數(shù)過(guò)程N(yùn)c(t)的到達(dá)時(shí)間間隔是獨(dú)立同分布于參數(shù)為的指數(shù)分布，則計(jì)數(shù)過(guò)程N(yùn)c(t)一定是一個(gè)參數(shù)為的泊松過(guò)程.分析：要證明該定理只需要證明泊松定義中的第二第三條滿足即可.證明：由引例知故其概率密度函數(shù)為于是其中以上證明了Nc(t)服從參數(shù)為λ的泊松分布，下證平穩(wěn)的獨(dú)立增量性.即對(duì)于任意的0≤s<t,增量

Nc(t)-Nc(s)與Nc(u)(u≤s)獨(dú)立且

Nc(t)-Nc(s)～π(λ(t-s))

注意到定義則是一個(gè)從s開(kāi)始的計(jì)數(shù)過(guò)程因此在的條件下，的到達(dá)時(shí)間間隔獨(dú)立同分布于參數(shù)為λ的指數(shù)分布，于是獨(dú)立性得證，進(jìn)而平穩(wěn)性得證.定理

(到達(dá)時(shí)間間隔分布)設(shè){N(t),t≥0}

是參數(shù)為λ

的Poisson過(guò)程，是其到達(dá)時(shí)間間隔序列，則是相互獨(dú)立同服從參數(shù)為λ的指數(shù)分布．證明獨(dú)立性由于poisson過(guò)程是平穩(wěn)的獨(dú)立增量過(guò)程所以相互獨(dú)立.下證同分布到達(dá)時(shí)間間隔的獨(dú)立性平穩(wěn)性

的獨(dú)立性平穩(wěn)性得證獨(dú)立性也可以證明如下以下證明相互獨(dú)立因此二維隨機(jī)變量（T1，T2）的聯(lián)合密度函數(shù)為由于的概率比密度函數(shù)為于是的概率比密度函數(shù)為定理(到達(dá)時(shí)間序列分布)設(shè){N(t),t≥0}是參數(shù)為λ的Poisson過(guò)程,則其到達(dá)時(shí)間服從Γ分布,密度為證明的分布函數(shù)第n個(gè)隨機(jī)點(diǎn)的到達(dá)時(shí)刻再求導(dǎo)數(shù)所以到達(dá)時(shí)間序列的密度函數(shù)為本題目還可以用特征函數(shù)證明.例1：假定某天文臺(tái)觀察到的流星流是一泊松過(guò)程，據(jù)以往的資料統(tǒng)計(jì)為每小時(shí)平均觀察到3顆流星.試求(1)在上午8點(diǎn)到12點(diǎn)期間，該天文臺(tái)沒(méi)有觀察到流星的概率；(2)下午(下午12點(diǎn)以后)該天文臺(tái)觀察到第一顆流星的時(shí)間的分布函數(shù).例2：設(shè)某電話總機(jī)在t分鐘接到的電話呼叫數(shù)N(t)是具有速率為λ的泊松過(guò)程，試求(1)3分鐘接到5次呼叫的概率；(2)已知3分鐘內(nèi)接受到5次呼叫，且第5次呼叫在第3分鐘內(nèi)到來(lái)的概率.例3.同一概率空間下的獨(dú)立泊松過(guò)程的疊加也是泊松過(guò)程分析：要證明隨機(jī)過(guò)程是泊松過(guò)程，只能用定義證明，零初值性和獨(dú)立增量性比較容易，只需要證明平穩(wěn)增量性即可.例4

某學(xué)生要去A教室上數(shù)學(xué)課，現(xiàn)有兩個(gè)入口B和C可以進(jìn)入A教室，設(shè)在時(shí)刻t>0,從B口進(jìn)入A教室的學(xué)生數(shù)為NB(t),從C口進(jìn)入A教室的學(xué)生數(shù)為NC(t)，假設(shè)NB(t)和NC(t)是兩個(gè)分別服從參數(shù)為和的獨(dú)立的泊松過(guò)程。試討論下面三個(gè)實(shí)際問(wèn)題：?jiǎn)栴}1在一個(gè)固定的3分鐘內(nèi)沒(méi)有學(xué)生進(jìn)入A教室的概率有多大？問(wèn)題2學(xué)生到達(dá)A教室的時(shí)間間隔的均值是多大？問(wèn)題3已知一個(gè)學(xué)生進(jìn)入了A教室，那么他（她）是從C口進(jìn)入的概率有多大？例5：有紅綠藍(lán)三種顏色的汽車，分別以強(qiáng)度為λR,λG,λB,的泊松流到達(dá)某個(gè)路口，設(shè)它們相互獨(dú)立.把汽車合并成單個(gè)輸出過(guò)程（假設(shè)汽車沒(méi)有長(zhǎng)度，沒(méi)有延時(shí)）.(1)求兩輛綠色汽車到達(dá)的時(shí)間間隔的概率密度函數(shù).(2)求兩輛汽車之間的時(shí)間間隔的概率密度函數(shù).(3)求在t0觀察到一輛紅色汽車，下一輛將是紅色、藍(lán)色、非紅的概率.(4)求在t0觀察到一輛紅色汽車，下三輛汽車是紅色，然后又是一輛非紅色汽車將到達(dá)的概率.解(1)兩輛紅色汽車到達(dá)的時(shí)間間隔TG的概率密度函數(shù)為(2)由于獨(dú)立的泊松過(guò)程之和仍是泊松過(guò)程，且其強(qiáng)度為λC=λR+λG+λB,設(shè)TC為兩輛汽車到達(dá)的時(shí)間間