差分方程1-貸款買房及蛛網(wǎng)模型

0差分方程及其解1減肥計劃——節(jié)食與運動2貸款買房3市場經(jīng)濟中的蛛網(wǎng)模型差分方程模型0差分方程及其解把含有未知函數(shù)的差分或表示成未知函數(shù)若干不同時期值的符號的方程稱為差分方程。方程中所含未知函數(shù)角標的最大值與最小值的差數(shù)稱為差分方程的階。差分方程及其解差分方程的解：若一個整標函數(shù)代入差分方程后，方程兩端恒等差分方程的通解：如果解中所含相互獨立的任意常數(shù)的個數(shù)等于方程的階數(shù)特解：滿足初始條件、不含任意常數(shù)的解。常系數(shù)線性差分方程求解n階常系數(shù)方程若=0，則稱為齊次方程線性差分方程解的結(jié)構(gòu)上與線性微分方程相類似，即有：（1）若是齊次差分方程的解，則也是的解，其中C為任意常數(shù)。（2）若、是齊次差分方程的解，則它們的線性組合也是非齊次差分方程的解。常系數(shù)線性差分方程求解（3）若，…，是齊次差分方程n個線性無關(guān)的解，則它們的線性組合就是齊次差分方程的通解。，…，稱為齊次差分方程的一組基本解。（4）若是齊次差分方程的通解，是非齊次方程的一個特解，則

是非齊次方程的通解。常系數(shù)線性差分方程求解齊次常系數(shù)線性差分方程求解特征方程若是特征方程的個不同的根，通解可表為時，只要將換為齊次常系數(shù)線性差分方程求解當特征方程有一對共扼單復根時當特征方程有一對共扼n重復根時非齊次常系數(shù)線性差分方程求解

例

求下列差分方程的通解：（1）（2）（3）（4）1減肥計劃——節(jié)食與運動背景

多數(shù)減肥食品達不到減肥目標，或不能維持

通過控制飲食和適當?shù)倪\動，在不傷害身體的前提下，達到減輕體重并維持下去的目標分析

體重變化由體內(nèi)能量守恒破壞引起

飲食（吸收熱量）引起體重增加

代謝和運動（消耗熱量）引起體重減少體重指數(shù)BMI=w(kg)/l2(m2).18.5<BMI<25~正常；BMI>25~超重;BMI>30~肥胖.模型假設1）體重增加正比于吸收的熱量——每8000千卡增加體重1千克；2）代謝引起的體重減少正比于體重——每周每公斤體重消耗200千卡-320千卡(因人而異),相當于70千克的人每天消耗2000千卡-3200千卡；3）運動引起的體重減少正比于體重，且與運動形式有關(guān)；4）為了安全與健康，每周體重減少不宜超過1.5千克，每周吸收熱量不要小于10000千卡。某甲體重100千克，目前每周吸收20000千卡熱量，體重維持不變?，F(xiàn)欲減肥至75千克。第一階段：每周減肥1千克，每周吸收熱量逐漸減少，直至達到下限（10000千卡）；第二階段：每周吸收熱量保持下限，減肥達到目標2）若要加快進程，第二階段增加運動，試安排計劃。1）在不運動的情況下安排一個兩階段計劃。減肥計劃3）給出達到目標后維持體重的方案。確定某甲的代謝消耗系數(shù)即每周每千克體重消耗20000/100=200千卡基本模型w(k)-第k周(末)體重c(k)-第k周吸收熱量-代謝消耗系數(shù)(因人而異)1）不運動情況的兩階段減肥計劃每周吸收20000千卡w=100千克不變第一階段:w(k)每周減1千克,c(k)減至下限10000千卡第一階段10周,每周減1千克，第10周末體重90千克吸收熱量為1）不運動情況的兩階段減肥計劃第二階段：每周c(k)保持Cm,w(k)減至75千克1）不運動情況的兩階段減肥計劃基本模型第二階段：每周c(k)保持Cm,w(k)減至75千克第二階段19周,每周吸收熱量保持10000千卡,體重按減少至75千克。運動t=24(每周跳舞8小時或自行車10小時),14周即可。2）第二階段增加運動的減肥計劃根據(jù)資料每小時每千克體重消耗的熱量(千卡):跑步跳舞乒乓自行車(中速)游泳(50米/分)7.03.04.42.57.9t~每周運動時間(小時)基本模型3）達到目標體重75千克后維持不變的方案每周吸收熱量c(k)保持某常數(shù)C，使體重w不變不運動

運動(內(nèi)容同前)問題：試建立微分方程模型討論減肥問題假設：（1）人每天吸收的能量為固定數(shù)A千卡；（2）單位時間里，人體內(nèi)用于基礎代謝和體內(nèi)特殊動力消耗的能量正比于人的體重，比例系數(shù)為b;(3)從事某項運動（活動）在單位時間里消耗的能量正比于體重。單位時間每千克體重消耗的能量為r;(4)體重w(t)是時間t的連續(xù)可導函數(shù)；我們以“天”為時間單位。體重模型1問題與背景一對年輕夫婦準備購買一套住房，但缺少資金近6萬元。假設它們每月可有節(jié)余900元，且有如下的兩種選擇：使用銀行貸款60000元。月利率0.01，貸款期25年=300個月；到某借貸公司借貸60000元，月利率0.01，22年還清。只要（i）每半個月還316元，(ii)預付三個月的款你能幫他們做出明智的選擇嗎？2貸款買房2建模與求解設最初需要借的款數(shù)為，月利率（貸款通常按復利計）為，每月還的款數(shù)為，借期為N，第n個月時尚欠的款數(shù)為已知3.結(jié)果和分析=60000，R=0.01，=300

問題1所以，他們是有能力購房的！3.結(jié)果和分析問題2每月還款也是632元，只是多跑一次銀行預付632x3=1896元提前三年還清，少付316x72=22752元半月利率取為R=0.005，年好仁慈的借貸公司啊??？3.結(jié)果和分析事實上，按第2個條件，，你只借了58104元而不是60000元，即使按R=0.01，來算，使的N為

253.05（個月）（年）。即實際上提前將近4年就可還清。該借貸公司只要去同樣的銀行借款，即使半個月收來的316元不動，再過半個月合在一起去交給銀行，它還可坐收第22年的款近7000元！3市場經(jīng)濟中的蛛網(wǎng)模型

問題供大于求現(xiàn)象商品數(shù)量與價格的振蕩在什么條件下趨向穩(wěn)定當不穩(wěn)定時政府能采取什么干預手段使之穩(wěn)定價格下降減少產(chǎn)量增加產(chǎn)量價格上漲供不應求描述商品數(shù)量與價格的變化規(guī)律數(shù)量與價格在振蕩蛛網(wǎng)模型gx0y0P0fxy0xk~第k時段商品數(shù)量；yk~第k時段商品價格消費者的需求關(guān)系生產(chǎn)者的供應關(guān)系減函數(shù)增函數(shù)供應函數(shù)需求函數(shù)f與g的交點P0(x0,y0)~平衡點一旦xk=x0，則yk=y0,xk+1,xk+2,…=x0,yk+1,yk+2,…=y0

xy0fgy0x0P0設x1偏離x0x1x2P2y1P1y2P3P4x3y3P0是穩(wěn)定平衡點P1P2P3P4P0是不穩(wěn)定平衡點xy0y0x0P0fg曲線斜率蛛網(wǎng)模型在P0點附近用直線近似曲線P0穩(wěn)定P0不穩(wěn)定方程模型方程模型與蛛網(wǎng)模型的一致~商品數(shù)量減少1單位,價格上漲幅度~價格上漲1單位,(下時段)供應的增量考察,的含義~消費者對需求的敏感程度~生產(chǎn)者對價格的敏感程度小,有利于經(jīng)濟穩(wěn)定小,有利于經(jīng)濟穩(wěn)定xk~第k時段商品數(shù)量；yk~第k時段商品價格經(jīng)濟穩(wěn)定結(jié)果解釋經(jīng)濟不穩(wěn)定時政府的干預辦法1.使盡量小，如=0

以行政手段控制價格不變2.使盡量小，如=0靠經(jīng)濟實力控制數(shù)量不變xy0y0gfxy0x0gf結(jié)果解釋需求曲線變?yōu)樗焦€變?yōu)樨Q直模型的推廣

生產(chǎn)者根據(jù)當前時段和前一時段的價格決定下一時段的產(chǎn)量。生產(chǎn)者管理水平提高設供應函數(shù)為需求函數(shù)不變二階線性常系數(shù)差分方程x0為平衡點研究平衡點穩(wěn)定，即k,xkx0的條件方程通解(c1,