力學(xué)第二章第六節(jié) 剛體的定軸轉(zhuǎn)動(dòng)(全部)

一.剛體特殊的質(zhì)點(diǎn)系，——理想化模型形狀和體積不變化§2.6.1

剛體運(yùn)動(dòng)概述2.6剛體的定軸轉(zhuǎn)動(dòng)剛體是一個(gè)特殊的質(zhì)點(diǎn)系：任意兩點(diǎn)沒有相對(duì)位移。二.剛體的平動(dòng)剛體運(yùn)動(dòng)時(shí)，若在剛體內(nèi)所作的任一條直線都始終保持和自身平行—?jiǎng)傮w平動(dòng)平動(dòng)的特點(diǎn):剛體中各質(zhì)點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)情況相同.結(jié)論：剛體的平動(dòng)可歸結(jié)為質(zhì)點(diǎn)運(yùn)動(dòng).角坐標(biāo)1.描述

剛體繞定軸轉(zhuǎn)動(dòng)的角量定軸轉(zhuǎn)動(dòng)時(shí)，剛體上的任一點(diǎn)都繞同一軸作圓周運(yùn)動(dòng)，半徑為該點(diǎn)到軸的垂直距離，圓心為垂足。該圓所在的平面稱為轉(zhuǎn)動(dòng)平面。剛體內(nèi)各點(diǎn)都繞同一直線(轉(zhuǎn)軸)作圓周運(yùn)動(dòng)___剛體轉(zhuǎn)動(dòng)轉(zhuǎn)軸固定不動(dòng)—定軸轉(zhuǎn)動(dòng)(運(yùn)動(dòng)學(xué)方程)三、定軸轉(zhuǎn)動(dòng)轉(zhuǎn)動(dòng)平面參考方向角速度角加速度2.定軸轉(zhuǎn)動(dòng)剛體上各點(diǎn)的速度和加速度P×ω,剛體參考方向θzOr'基點(diǎn)O任意點(diǎn)都繞同一軸作圓周運(yùn)動(dòng),且，

都相同質(zhì)點(diǎn)系的定律或定理+定軸轉(zhuǎn)動(dòng)的剛體的特殊性定軸轉(zhuǎn)動(dòng)剛體的動(dòng)力學(xué)

思路：把質(zhì)點(diǎn)系對(duì)軸的角動(dòng)量定理應(yīng)用的剛體上，就得剛體定軸轉(zhuǎn)動(dòng)定理§2.6.2剛體繞定軸轉(zhuǎn)動(dòng)定理轉(zhuǎn)動(dòng)平面質(zhì)元在轉(zhuǎn)動(dòng)平面內(nèi)做圓周運(yùn)動(dòng)（剛體定軸轉(zhuǎn)動(dòng)定律）對(duì)質(zhì)量連續(xù)分布的剛體r剛體的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量（做定軸轉(zhuǎn)動(dòng)的剛體的角動(dòng)量）加速轉(zhuǎn)動(dòng)方向與力矩方向滿足右手螺旋！

剛體定軸轉(zhuǎn)動(dòng)定律是剛體定軸轉(zhuǎn)動(dòng)動(dòng)力學(xué)的基本方程，如同質(zhì)點(diǎn)力學(xué)中的；

剛體定軸轉(zhuǎn)動(dòng)定律中的M、轉(zhuǎn)動(dòng)慣量J和角加速度三個(gè)物理量都是相對(duì)于同一轉(zhuǎn)軸而言的；

討論

剛體定軸轉(zhuǎn)動(dòng)定律中的M是作用在剛體上的合外力矩；力矩是使剛體改變轉(zhuǎn)動(dòng)狀態(tài)的原因，是使剛體轉(zhuǎn)動(dòng)產(chǎn)生角加速度的原因。求M是關(guān)鍵，方法同質(zhì)點(diǎn)系所受外力對(duì)軸的力矩。轉(zhuǎn)動(dòng)平面(1)外力不與軸垂直轉(zhuǎn)動(dòng)平面(2)外力與軸垂直

（切向力）例題：質(zhì)量分別為m和2m、半徑分別為r和2r的兩個(gè)均勻圓盤，同軸地粘在一起，可以繞通過盤心且垂直盤面的水平光滑固定軸轉(zhuǎn)動(dòng)，對(duì)轉(zhuǎn)軸的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量為9mr2/2，大小圓盤邊緣都繞有繩子，繩子下端都掛一質(zhì)量為m的重物，如圖所示．求盤的角加速度的大?。僭O(shè)輪盤逆時(shí)針加速轉(zhuǎn)動(dòng)，力矩方向以垂直紙面向里為正（軸的正方向）。正方向正方向N方向垂直紙面向外.假設(shè)輪盤逆時(shí)針加速轉(zhuǎn)動(dòng)，規(guī)定力矩方向以垂直紙面向外為正。（加速轉(zhuǎn)動(dòng)方向與力矩方向滿足右手螺旋?。├阂惠S承光滑的定滑輪，質(zhì)量為M＝2.00kg，半徑為R＝0.100m，一根不能伸長的輕繩，一端固定在定滑輪上，另一端系有一質(zhì)量為m＝5.00kg的物體，如圖所示．已知定滑輪的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量為J＝，其初角速度w0＝10.0rad/s，方向垂直紙面向里．求：(1)定滑輪的角加速度的大小和方向；(2)定滑輪的角速度變化到w＝0時(shí)，物體上升的高度；(3)當(dāng)物體回到原來位置時(shí)，定滑輪的角速度的大小和方向

正方向（2）當(dāng)w＝0時(shí)，物體上升的高度h

=

Rq

=

6.12×10-2m

(3)10.0rad/s方向垂直紙面向外.解（1）受力分析如圖。TR＝Jb

a＝Rb

b

=

mgR/(mR2＋J)mg－T＝ma

方向垂直紙面向外（是正值，與力矩方向一致）輪盤逆時(shí)針加速轉(zhuǎn)動(dòng)，規(guī)定力矩方向以垂直紙面向外為正。1、

剛體繞定軸轉(zhuǎn)動(dòng)的轉(zhuǎn)動(dòng)動(dòng)能對(duì)剛體上所有質(zhì)點(diǎn)的動(dòng)能求和在剛體上任取一質(zhì)點(diǎn)Pi質(zhì)點(diǎn)Pi的動(dòng)能為（剛體繞定軸轉(zhuǎn)動(dòng)的轉(zhuǎn)動(dòng)動(dòng)能）

討論

與質(zhì)點(diǎn)的動(dòng)能相比較，也可看出轉(zhuǎn)動(dòng)慣量J的地位對(duì)應(yīng)于質(zhì)點(diǎn)的質(zhì)量m?！?.6.3

定軸轉(zhuǎn)動(dòng)的動(dòng)能定理2力矩的功O

功的定義力矩作功的微分形式對(duì)一有限過程若

M=C(積分形式）力的累積過程——力矩的空間累積效應(yīng)??P(力矩的功就是力的功)討論(1)合力矩的功(2)內(nèi)力矩作功之和為零。(3)力矩的功率設(shè)在合外力矩M的作用下3剛體繞定軸轉(zhuǎn)動(dòng)的動(dòng)能定理——合力矩功的效果（剛體繞定軸轉(zhuǎn)動(dòng)動(dòng)能定理的微分形式）當(dāng)剛體角速度從t1時(shí)刻的ω1改變?yōu)閠2時(shí)刻的ω2時(shí)，合外力矩對(duì)剛體所作的功為（剛體繞定軸轉(zhuǎn)動(dòng)的動(dòng)能定理）合外力矩對(duì)繞定軸轉(zhuǎn)動(dòng)的剛體所作的功等于剛體始、末兩個(gè)狀態(tài)轉(zhuǎn)動(dòng)動(dòng)能的增量。若以hC表示質(zhì)心到零勢能面的高度，則剛體的重力勢能與其質(zhì)量全部集中在質(zhì)心上的質(zhì)點(diǎn)相同。4剛體的重力勢能

結(jié)論：如圖，一鐘擺由長度為l，質(zhì)量為m1的均質(zhì)細(xì)桿和固定在其一端的質(zhì)量為m2的擺球（可以看作質(zhì)點(diǎn)）構(gòu)成。鐘擺可繞過桿另一端的固定軸無摩擦地?cái)[動(dòng)，開始時(shí)把它放置于水平位置，并處于靜止?fàn)顟B(tài)，然后讓它自由下落。受力分析如圖鐘擺所受的合外力矩（重力的力矩）例解求放手后鐘擺擺到角位置時(shí)的角速度。鐘擺系統(tǒng)的總轉(zhuǎn)動(dòng)慣量還有其他方法嗎？利用轉(zhuǎn)動(dòng)定理！由剛體定軸轉(zhuǎn)動(dòng)定律，有而

例一根長為

l

，質(zhì)量為

m

的均勻細(xì)直棒，可繞軸O

在豎直平面內(nèi)轉(zhuǎn)動(dòng)，初始時(shí)它在水平位置解由動(dòng)能定理求它由此下擺

角時(shí)的此題也可用機(jī)械能守恒定律方便求解OlmCx例一根長為

l

，質(zhì)量為

m

的均勻細(xì)直棒，可繞水平光滑軸O

在豎直平面內(nèi)轉(zhuǎn)動(dòng)，初始時(shí)它在水平位置.求它由此下擺

角時(shí)的系統(tǒng)機(jī)械能守恒（棒、地球）。

重力勢能零點(diǎn)：取細(xì)桿的水平位置.則有由此解得解圖示裝置可用來測量物體的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量。待測物體A裝在轉(zhuǎn)動(dòng)架上，轉(zhuǎn)軸Z上裝一半徑為r

的輕鼓輪，繩的一端纏繞在鼓輪上，另一端繞過定滑輪懸掛一質(zhì)量為

m的重物。重物下落時(shí)，由繩帶動(dòng)被測物體

A繞Z軸轉(zhuǎn)動(dòng)。今測得重物由靜止下落一段距離

h，所用時(shí)間為t，例解分析（機(jī)械能）：求物體A對(duì)Z

軸的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量Jz。設(shè)繩子不可伸縮，繩子、各滑輪的質(zhì)量及輪軸處的摩擦力矩忽略不計(jì)。機(jī)械能守恒若滑輪質(zhì)量不可忽略，怎樣？

如圖，系統(tǒng)由靜止開始釋放，釋放時(shí)彈簧處于自然狀態(tài)。已知滑輪半徑為r=

0.3m

，轉(zhuǎn)動(dòng)慣量為J=0.5kgm2。滑塊的質(zhì)量為m=2kg

，斜面傾角為

=370

，彈簧的勁度系數(shù)為k=20Nm-1

。滑塊與斜面、滑輪與軸承之間的摩擦均可忽略不計(jì)，輕繩不可伸長，與滑輪之間沒有相對(duì)滑動(dòng)。(1)當(dāng)滑塊沿斜面滑下1.0m時(shí)，它的速率多大？(2)滑塊沿斜面將下滑多遠(yuǎn)？(3)當(dāng)滑塊速率達(dá)到最大值時(shí)，它已滑下多遠(yuǎn)？例解求

設(shè)滑塊沿斜面下滑距離為x時(shí)的速率為v，則取彈簧、滑輪、滑塊、地球?yàn)檠芯肯到y(tǒng)，系統(tǒng)機(jī)械能守恒。取滑塊的初始位置為重力勢能零點(diǎn)，彈簧自然長度點(diǎn)為彈性勢能零點(diǎn)。（參數(shù)）

r=

0.3m