線性代數(shù)3學分-32第二章矩陣及其運算

§1矩陣m行n列的矩陣:由mn個數(shù)aij排成的m行n列的數(shù)

m=1時Aa11a12a1n)稱為n維行向a a

m1 1n

a1naa aa

A

m=n時,A a2n稱為n階方陣

am

n

nn簡記為:A=(aij)=Am×=(aij)m×n.其

從左上角到右下角的連線稱為主對角線注意：矩陣的記號與行列式的記號很相象,矩陣的記號是元素是實數(shù)的矩陣稱為實矩陣,元素是復數(shù)的矩陣稱為復矩陣

表外加括號,而行列式的記號是數(shù)表外加兩根豎線.但是矩陣和行列式是兩個不同的概念矩陣是一個數(shù)表,而行列式是一個數(shù),對任何一個n階矩陣,它都唯一的確定一個行列式. 0 0n階單位陣En(或E)：EEn 0 1

數(shù)集有四則運算，也就是加減乘除這四種運算 對角

2 20diag(1,2 ,n) 0

* *

矩陣相等：如果A(aij)與B(bij)的行數(shù)和列數(shù)相等,且a上三角陣

00

n

bij對任何i,j,則稱矩陣A與矩陣B相等記作 n0 0 2 2下三角矩陣 * n一.矩陣的加法：設有兩個mn矩陣A(aij)和B(bij)則(aijbij稱為A與B的和.記為A+B1 2 6 8 例 4 8 注意:只有當兩個矩陣是同型矩陣(即兩個矩陣的行數(shù)和列

二.數(shù)與矩陣A=(aij)的數(shù)量乘積：(aij)稱為與矩陣A數(shù)量乘積記為注意：矩陣數(shù)乘與行列式數(shù)乘的區(qū)別 2 4.2 2 2分別相等)時才能進行加法運算

4

8

零矩陣：元素全為0的矩陣，記為A的負矩陣：(aij)稱為A的負矩陣,記為矩陣的減法(aijbij)=A+(B)稱為A與B的差，記為A結合律加法單位元

性質:設A、B都是mn矩陣、是數(shù)a11x1a12x2 a1nxnaxax ax

其中x1,x2,,三.矩陣設A(a)是一個mp矩陣B(B)是一個pn矩陣定

例1.線性方程組:

21 22 2n

AB=C(c 其

amnxnijmcc aab

a1n

x1

b1 i11 i22 ip

aikbkj

x 2bkb

A

2n

X2

x

b注意：1.在定義乘積AB時,我們要求A的列數(shù)與B的行數(shù)相等

amn

n

m 3

（*）的系數(shù)矩陣 未知數(shù)列向量

常數(shù)項列向量

1

不存在

我們可以把（*）用矩陣乘法來表示

b 9

1

axax ax 11 12 1nn ax

x AB的行A的行數(shù)AB的列B的列數(shù)

AX

2n

2a21x1a22x2 a2nxn2

ax

ax x x

b

mnn

m1 m2 mnn ma2

1

,則AB 2 22

解 2122

4

s

ss例3.求AB,

,則AB11 2

A 0

s s ss22222 32B 4 6 4例設A設A * ,B B001

4

4

0

2

7

,B 0

設A

,則AB CAB

26

4

1710

s s

ss

例5.設A 1,B 0

注意：矩陣 律與數(shù)的 律是不同的乘法交換率一般不成立AB≠BA.所以我們熟悉的一 1

2

關于數(shù)的乘法成立的乘法公式不能隨便使用.例 求AB,AC及

(A+B)(A－B)=A2+BA－AB－B2≠所以(A+B)(A－B)=A2－B2當且僅當

2

1 1 0

2 2

問題什么時候消去率成立若矩陣A可逆,則消去率成立AC 1 2

性質:1.結合律

22

1

00

BA 1 0

(AB)(A)BA(B)(其中為數(shù)

4.AmnEn=EmAmn根據(jù)性質4,我們知道單位矩陣相當于數(shù)集中1的作用0 0 純量矩陣：E

四、矩陣的其它a矩陣的轉 a

1n0 定義0

A

(E)A

a

2n

amn因為(EA(EA)AE)

m2

稱為A的轉置矩陣記為ATa矩陣A的k次冪 Aka

其中k≥1.規(guī)定

k個

4AkAlAkl，(Ak)lAkl

3

,則A 5).(注意：(AB)kAkB 因為乘法不 換).(

6

6注意：1.若A是m行n列的矩陣，則AT是n行m列的矩陣A的(i,j)元=AT的(j,i)元性質1.

方陣的行aa定義.n階方 A

1nn 對稱矩陣：設A為n階方陣若ATA即aijaji(ij12n),則稱A為對稱矩陣注意:對稱矩陣的元素以主對角線為對稱軸對應相等

nn 4

: 5 7

注意:只有對一個n階方陣，才能取行列式，如果矩陣不 稱矩陣：設A為n階方陣若AT－A即j12n),則稱A 稱矩陣

方陣的不能取行列式性質：1.

|A|n|A|其中n為矩陣A的階

例.

a12

a122 a12

a

a

a

D n

A 22

22

22

|AB||A||B|,其中A,B都是方陣注意雖然一般來說AB≠BA,但是如果A,B都是方陣,

r1

a2n

0c2n Dra

a

12n2 n

c

ni(1)n n

1i

ra

1n

b

b

n

(1)n|C||E||C| 00000 cn100000 0000bn伴隨矩 An1定理.設A為n階方陣

A

AA n

克拉默法則

a11x1a12x2 a1nxn21 22 2n axa21 22 2n

Ann 則AA*A*A|A|E(注意A*的(i,j)元A.)

a

nnanxb

1n1 2

2

記A

,D

D0,則方程組有唯一解 ,

所以A*

a A A

2,A22

1

nn*則b

|A

i

證:記BAA

aikAjk

x11,x2 2 ,xn

nD

|A 0

i

n,j

an,j a所以B

|A

|A| x1 x b證 記X2,2,則AX n n

共軛矩定義設A(aij)為復矩陣,aij表示aij的共軛復數(shù)所以|A|X|A|EXA*AX

An1b1

A:(aij 稱為A的共軛矩陣性質1.ABA因為|A|0,所以X

|A

|A|

b

A nnn

ABA其中A、B為復矩陣為復數(shù)

|A|

DiD

0

0例1.設A 1

例2.設A 1.求An001 001

0 0

0

1證明當n3時恒有AnAn2A2E并利用它計算

解:AEB其中B

1.B2 0假設結論對n成立對n1時,An1AAnAAn2A2

B3

0 0 所以Bk0, 若ABBAABnCrAnrBrAn1A3AAn1A2

nn r nn所以結論成立記BA2k.則B A2kA2(k1)A2

An(EB)nCk(E)nknkn

CknkBkk0

CknkBkk02 k2

0

n

n(n1)n2所以A100

A2(501)(A2E)

0

注意B0 1

1

例3.設A 0,(n2)為正整數(shù).求An2 例 Aa a ab.求ab 2 2ab 1

33解:通過計算知A22A.所以A32A222A.所以An2n1

解 Aab b b所以

2A

A2

A

2 a例

1,1,A

T.求

3a1 a1

A2ab b bab b b解 3(1)T3T

2 32

n11

n1 11 2 31 2 3

A

1,122

所以An(ababab)n1例6.A0ATA

例7:證明任一n階方陣A都可表示成對稱陣 稱陣之和證

證明 記B=A+所以,B為對稱矩陣

BT=(AAT)TATA假定ATA

記C=A– 則CT=(A–AT)T=AT–A=–C0(AT

(AT)

a a

所以,C

ik

ki

k

k

k

A (AAT) (AAT)2B2因為aki都是實數(shù),所以aki0,i所以A

從而,命題得證例8.已知n階方陣A滿足A2AAB)2A2證明AB證:AB)2A2B2ABBAA2B2AB)2A2所以ABBA所以ABABAAABBA0ABABAABBA)A0所以ABBA.但是ABBA所以2AB0.所以AB

小矩陣的運算（二）矩陣乘法設A(aij)是一個mp矩陣B(Bij)是一個pn矩陣定pAB=C(cij)mnp