2022-2023學(xué)年上海市浦東新區(qū)高二年級上冊學(xué)期期末數(shù)學(xué)試題【含答案】

2022-2023學(xué)年上海市浦東新區(qū)高二上學(xué)期期末數(shù)學(xué)試題一、填空題1．過平面外一點(diǎn)與該平面平行的平面有_____個．【答案】1【分析】假設(shè)過平面外一點(diǎn)與該平面平行的平面不止一個，由面面平行的性質(zhì)推出矛盾，得出結(jié)果為1.【詳解】由面面平行的傳遞性知，若平面α∥平面β，平面α∥平面γ，則平面β∥平面γ，假設(shè)過平面外一點(diǎn)與該平面平行的平面不止一個，則這些平面均相交，與上述結(jié)論相矛盾，所以假設(shè)不成立，所以過平面外一點(diǎn)與該平面平行的平面有1個．故答案為：1．2．小王做投針實(shí)驗(yàn)，觀察針壓住平行線的次數(shù)，所得的數(shù)據(jù)是______．（用“觀測數(shù)據(jù)”或“實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)”填空）【答案】實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)【分析】根據(jù)具體的實(shí)驗(yàn)，得到具體的實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù).【詳解】由題意，小王做具體投針實(shí)驗(yàn)，觀察針壓住平行線的次數(shù)，所得的數(shù)據(jù)是實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù).故答案為：實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù).3．某藥物公司實(shí)驗(yàn)一種降低膽固醇的新藥，在500個病人中進(jìn)行實(shí)驗(yàn)，結(jié)果如下表所示.膽固醇降低的人數(shù)沒有起作用的人數(shù)膽固醇升高的人數(shù)30712073則使用藥物后膽固醇降低的經(jīng)驗(yàn)概率等于______.【答案】##0.614【分析】根據(jù)經(jīng)驗(yàn)概率的定義可求出結(jié)果.【詳解】依題意使用藥物后膽固醇降低的人數(shù)為，又試驗(yàn)總次數(shù)為，所以使用藥物后膽固醇降低的經(jīng)驗(yàn)概率等于.故答案為：4．已知球的表面積為,則該球的體積為______.【答案】【分析】設(shè)球半徑為，由球的表面積求出，然后可得球的體積．【詳解】設(shè)球半徑為，∵球的表面積為，∴，∴，∴該球的體積為．故答案為．【點(diǎn)睛】解答本題的關(guān)鍵是熟記球的表面積和體積公式，解題時由條件求得球的半徑后可得所求結(jié)果．5．“二十四節(jié)氣歌”是以“春、夏、秋、冬”開始的四句詩.某校高二共有學(xué)生400名，隨機(jī)抽查100名學(xué)生并提問二十四節(jié)氣歌，只能說出一句的有45人，能說出兩句及以上的有38人，據(jù)此估計(jì)該校高二年級的400名學(xué)生中，對“二十四節(jié)氣歌”一句也說不出的有__________人.【答案】【分析】根據(jù)題意可知，隨機(jī)抽查比例是，算出被抽查的100名學(xué)生中對“二十四節(jié)氣歌”一句也說不出的人數(shù)，按比例計(jì)算即可得出結(jié)果.【詳解】由題意可知，隨機(jī)抽查100名學(xué)生中有人一句也說不出，又抽查比例為，所以，該校高二年級的400名學(xué)生中共有人對“二十四節(jié)氣歌”一句也說不出.故答案為：6．某校高二（1）班為了調(diào)查學(xué)生線上授課期間的體育鍛煉時間的差異情況，抽取了班級5名同學(xué)每周的體育鍛煉時間，分別為6，6.5，7，7，8.5（單位：小時），則可以估計(jì)該班級同學(xué)每周的體育鍛煉時間的方差為___________．【答案】0.7##【分析】利用方差的公式求解.【詳解】解：數(shù)據(jù)為6，6.5，7，7，8.5，所以平均數(shù)為：，則方差為，故答案為：0.77．已知一個正方形的邊長為2，則它的直觀圖的面積為___________．【答案】【分析】根據(jù)直觀圖面積是原圖形面積的倍即可得出結(jié)果.【詳解】由題意可知，原圖形面積為，又直觀圖面積是原圖形面積的倍，所以直觀圖的面積為.故答案為：8．已知大小為的二面角的一個面內(nèi)有一點(diǎn)，它到二面角的棱的距離為6，則這個點(diǎn)到另一個面的距離為_________．【答案】3【分析】作出圖形，根據(jù)題意結(jié)合直角三角形運(yùn)算求解.【詳解】如圖，設(shè)二面角為，點(diǎn)，且，過點(diǎn)A作平面，垂足為，連接，∵平面，，∴，又∵，平面ABC，∴平面ABC，平面ABC，則，故二面角的平面角為，在Rt△ABC中，，故點(diǎn)A到平面的距離為3.故答案為：3.9．“阿基米德多面體”也稱半正多面體，是由邊數(shù)不全相同的正多邊形圍成的多面體，它體現(xiàn)了數(shù)學(xué)的對稱美.二十四等邊體就是一種半多正多面體．如圖，棱長為的正方體截去八個一樣的四面體，就得到二十四等邊體，則該幾何體的體積為________．【答案】【分析】利用割補(bǔ)法可得二十四等邊體的體積，計(jì)算即可得解.【詳解】棱長為的正方體截去八個一樣的四面體，就得到二十四等邊體，則該幾何體的體積為.故答案為:10．已知事件、互斥，，且，則_______.【答案】##0.8【分析】由已知事件、互斥，且，可求，進(jìn)而根據(jù)對立事件概率公式得到答案.【詳解】解：事件、互斥，且，解得,.故答案為：.11．小明和小王在課余玩象棋比賽，可以采用“五局三勝制”或“三局兩勝制”.相對而言，小明棋藝稍弱，每一局贏的概率都僅為.小明為了讓自己在比賽中贏的幾率更大些，應(yīng)該提議采用_________________.(填選“三局兩勝制”或“五局三勝制”)【答案】三局兩勝制【分析】分別計(jì)算出“三局兩勝制”和“五局三勝制”下小明贏的概率，比較概率大小，確定選法.【詳解】因?yàn)樾∶髅恳痪众A的概率都為，所以采用“三局兩勝制”時小明獲勝的概率為，采用“五局三勝制”時小明獲勝的概率為，所以小明選擇“三局兩勝制”時在比賽中贏的幾率更大些，故答案為：三局兩勝制.12．如圖，有一邊長為2cm的正方形，分別為、的中點(diǎn).按圖中的虛線翻折，使得三點(diǎn)重合，制成一個三棱錐，并得到以下四個結(jié)論：①三棱錐的表面積為；

②三棱錐的體積為；③三棱錐的外接球表面積為；

④三棱錐的內(nèi)切球半徑為.則以上結(jié)論中，正確結(jié)論是______________.（請?zhí)顚懶蛱枺敬鸢浮竣佗冖邸痉治觥扛鶕?jù)折疊規(guī)則可確定三棱錐的表面積與原正方形面積相等，即可判斷①；再利用垂直關(guān)系找出三棱錐的底面積和高可求得其體積，能判斷②；利用三條棱兩兩垂直可構(gòu)造長方體求外接球的半徑，即可判斷③；利用等體積法可求得三棱錐的內(nèi)切球半徑判斷④，得出結(jié)論.【詳解】根據(jù)題意可知，三棱錐的表面積與正方形的面積相等為，即①正確；設(shè)三點(diǎn)重合于點(diǎn)，則制成三棱錐如下圖所示：易知，根據(jù)幾何關(guān)系可知，所以平面所以三棱錐的體積，即②正確；由可知，三棱錐的外接球與以為棱構(gòu)造的長方體的外接球相同，設(shè)三棱錐的外接球半徑為，則滿足所以，其表面積為，故③正確；設(shè)三棱錐的內(nèi)切球半徑為，由①知三棱錐的表面積為利用等體積法可知，得，所以三棱錐的內(nèi)切球半徑為，即④錯誤；故答案為：①②③二、單選題13．小明同學(xué)每天閱讀數(shù)學(xué)文化相關(guān)的書籍，他每天閱讀的頁數(shù)分別為：4、5、4.5、5、6、8、7、5、4.5、6（單位：頁）.下列圖形中不利于描述這些數(shù)據(jù)的是（

）A．條形圖 B．莖葉圖 C．散點(diǎn)圖 D．扇形圖【答案】C【分析】根據(jù)相關(guān)圖的特征理解判斷.【詳解】條形圖：是用寬度相同的條形的高度（或長度）表示數(shù)據(jù)的頻數(shù)，故符合題意；莖葉圖：即可以保留原始數(shù)據(jù)又可以方便記錄數(shù)據(jù)，故符合題意；散點(diǎn)圖：用兩組數(shù)據(jù)構(gòu)成多個坐標(biāo)點(diǎn)，通常用于比較跨類別的成對數(shù)據(jù)，不符合題意；扇形圖：是用整個圓表示總體，用圓內(nèi)各個扇形的大小表示各個部分占總體的百分?jǐn)?shù)，扇形圖可以容易看出各個部分所占總體的比例，故符合題意；故選：C.14．下列說法正確的是（）A．過球面上任意兩點(diǎn)與球心，有且只有一個大圓B．底面是正多邊形，側(cè)棱與底面所成的角均相等的棱錐是正棱錐C．用一個平面截圓錐，得到一個圓錐和圓臺D．以直角三角形任意一邊為旋轉(zhuǎn)軸，其余兩邊旋轉(zhuǎn)一周所得的旋轉(zhuǎn)體都是圓錐【答案】B【分析】根據(jù)空間幾何體的概念和性質(zhì)可判斷.【詳解】球面上兩點(diǎn)與球心共線時，有無數(shù)個大圓，故A錯誤.底面是正多邊形，側(cè)棱與底面所成的角均相等,則頂點(diǎn)在底面的射影是底面的中心，所以是正棱錐，B正確.用一個平行于底面的平面截圓錐，得到一個圓錐和圓臺，故C錯誤.以直角三角形任意一直角邊為旋轉(zhuǎn)軸，旋轉(zhuǎn)一周所得的旋轉(zhuǎn)體都是圓錐，故D錯誤.故選：B15．某校組織了一次航空知識競賽，甲、乙兩個班級各派8名同學(xué)代表參賽．兩個班級的數(shù)學(xué)課代表合作，將甲、乙兩班所有參賽同學(xué)的得分繪制成如圖所示的莖葉圖，則下列結(jié)論錯誤的是（

）A．甲班參賽同學(xué)得分的極差比乙班參賽同學(xué)得分的極差小B．甲班參賽同學(xué)得分的中位數(shù)比乙班參賽同學(xué)得分的中位數(shù)低C．甲班參賽同學(xué)得分的平均數(shù)為84D．乙班參賽同學(xué)得分的第75百分位數(shù)為89【答案】D【分析】A.利用極差的定義求解判斷；B.利用中位數(shù)的定義求解判斷；C.利用平均數(shù)的定義求解判斷；D.利用百分位數(shù)的定義求解判斷.【詳解】對A，甲班參賽同學(xué)得分的極差為，乙班參賽同學(xué)得分的極差為，故正確；對B，甲班參賽同學(xué)得分的中位數(shù)是，乙班參賽同學(xué)得分的中位數(shù)是，故正確；對C，甲班參賽同學(xué)得分的平均數(shù)為，故正確；對D，乙班參賽同學(xué)得分為71，80，81，82，85，89，90，94，，取第6個與第7個數(shù)的平均數(shù)為第75百分位數(shù)，即為，故錯誤.故選：D16．先后拋擲質(zhì)地均勻的硬幣4次，得到以下結(jié)論：①可以從不同的觀察角度寫出不同的樣本空間②事件“至少2次正面朝上”與事件”至少2次反面朝上”是互斥事件③事件“至少1次正面朝上”與事件”4次反面朝上”是對立事件④事件“1次正面朝上3次反面朝上”發(fā)生的概率是以上結(jié)論中，正確的個數(shù)為（

）個A．1個 B．2個 C．3個 D．4個【答案】C【分析】①本實(shí)驗(yàn)是一個古典概型，考慮正反面出現(xiàn)的次數(shù)及順序有關(guān)或無關(guān)判斷；②分別列舉事件“至少2次正面朝上”和事件“至少2次反面朝上”判斷；③列舉事件“至少1次正面朝上”判斷；④利用古典概型的概率求解判斷.【詳解】①本實(shí)驗(yàn)是一個古典概型，可只考慮正反面出現(xiàn)的次數(shù)或既考慮次數(shù)也考慮順序，所以可以從不同的觀察角度寫出不同的樣本空間，故正確；②事件“至少2次正面朝上”為2正2反，3正1反，4正，事件“至少2次反面朝上”為2反2正，3反1正，4反，不互斥，故錯誤；③事件“至少1次正面朝上”為1正3反，2正2反，3正1反，4正，與事件“4次反面朝上”互為對立事件，故正確；④樣本空間為“4反，1正3反，2正2反，3正1反，4正”，共4種，事件“1次正面朝上3次反面朝上”有1種，所以事件“1次正面朝上3次反面朝上”發(fā)生的概率是，故正確；故選：C.17．過坐標(biāo)原點(diǎn)作直線的垂線，垂足為，則的取值范圍是（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】求出直線直線過的定點(diǎn)A，由題意可知垂足是落在以O(shè)A為直徑的圓上，由此可利用的幾何意義求得答案,【詳解】直線，即，令，解得，即直線過定點(diǎn),由過坐標(biāo)原點(diǎn)作直線的垂線，垂足為，可知：落在以O(shè)A為直徑的圓上，而以O(shè)A為直徑的圓為，如圖示：故可看作是圓上的點(diǎn)到原點(diǎn)距離的平方，而圓過原點(diǎn)，圓上點(diǎn)到原點(diǎn)的最遠(yuǎn)距離為，但將原點(diǎn)坐標(biāo)代入直線中，不成立，即直線l不過原點(diǎn)，所以不可能和原點(diǎn)重合，故，故選：D18．在平面直角坐標(biāo)系中，O為坐標(biāo)原點(diǎn)，A、B為平面上兩點(diǎn)，且，M為線段AB中點(diǎn)，其坐標(biāo)為，若，則的最小值為（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】由已知可得以為直徑的圓過點(diǎn)O，對條件變形得到，從幾何意義出發(fā)得到圓M與直線相切，從而得到圓M的半徑最小值為點(diǎn)到直線的距離的一半，利用點(diǎn)到直線距離公式進(jìn)行求解.【詳解】因?yàn)?，所以，即以為直徑的圓過點(diǎn)O，因?yàn)镸為線段AB中點(diǎn)，坐標(biāo)為，，則，幾何意義為圓M的半徑與點(diǎn)M到直線的距離相等，即圓M與直線相切，則圓M的半徑最小值為點(diǎn)到直線的距離的一半，即.故選：B三、解答題19．如圖，在正方體中，為的中點(diǎn).(1)求異面直線與所成的角；(2)判斷與平面的位置關(guān)系，并說明理由.【答案】(1)(2)平面，理由見解析【分析】（1）通過平移找到異面直線所成的角，在三角形中求解即可.（2）通過線面平行判定定理判斷.【詳解】（1）因?yàn)椋跃褪钱惷嬷本€與所成的角.設(shè)，則，，所以.所以異面直線與所成的角為（結(jié)果也可寫成或）.（2）平面連接，交于，連接,在中，分別為、中點(diǎn)，為的中位線，所以.因?yàn)槠矫嫔?，而平面上，由直線與平面平行的判定定理得，平面.20．不透明的盒子中有標(biāo)號為1、2、3、4的4個大小與質(zhì)地相同的球.(1)甲隨機(jī)摸出一個球，放回后乙再隨機(jī)摸出一個球，求兩球編號均為奇數(shù)的概率；(2)甲、乙兩人進(jìn)行摸球游戲，游戲規(guī)則是：甲先隨機(jī)摸出一個球，記下編號，設(shè)編號為，放回后乙再隨機(jī)摸出一個球，也記下編號，設(shè)編號為.如果，算甲贏；否則算乙贏.這種游戲規(guī)則公平嗎？請說明理由.【答案】(1)(2)不公平，理由見解析【分析】(1)列出樣本空間，根據(jù)古典概型概率公式求事件兩球編號均為奇數(shù)的概率；(2)由(1)分別求出事件甲贏和乙贏的概率，比較概率大小判斷游戲是否公平.【詳解】（1）設(shè)事件兩球編號均為奇數(shù)為事件，由已知隨機(jī)試驗(yàn)的樣本空間為共16個基本事件，事件包含基本事件，所以，所以事件兩球編號均為奇數(shù)的概率為；（2）由(1)事件包含基本事件，所以，所以事件甲贏的概率為，故事件乙贏的概率為，因?yàn)槭录宗A的概率與事件乙贏的概率不相等，所以這種游戲規(guī)則不公平.21．如圖，在直角中，，斜邊，是中點(diǎn)，現(xiàn)將直角以直角邊為軸旋轉(zhuǎn)一周得到一個圓錐.點(diǎn)為圓錐底面圓周上一點(diǎn)，且.(1)求圓錐的體積與側(cè)面積；(2)求直線與平面所成的角的正切值.【答案】(1)，(2)【分析】（1）根據(jù)旋轉(zhuǎn)體的幾何特征可求得圓錐底面積和高，利用圓錐體積公式可求得體積，再利用側(cè)面展開圖和扇形面積公式可得側(cè)面積；（2）根據(jù)線面角的定義作出直線與平面所成的角，在直角三角形中即可求得其正切值.【詳解】（1）由題意可得，所以底面圓面積，圓錐的高，所以圓錐的體積為.圓錐側(cè)面展開圖的半徑為，弧長為底面圓周長圓錐的側(cè)面積為.（2）取中點(diǎn)，連接，如下圖所示：在中，中位線，易知平面可得平面，所以即為直線與平面所成的角，易知，又，所以，所以.所以直線與平面所成的角的正切值為.22．法國著名的數(shù)學(xué)家笛卡爾曾經(jīng)說過：“閱讀優(yōu)秀的書籍，就是和過去時代中最杰出的人們——書籍的作者一一進(jìn)行交談，也就是和他們傳播的優(yōu)秀思想進(jìn)行交流”.閱讀會讓精神世界閃光．某大學(xué)為了解大一新生的閱讀情況，通過隨機(jī)抽樣調(diào)查了100位大一新生，對這些學(xué)生每天的閱讀時間（單位：分鐘）進(jìn)行統(tǒng)計(jì)，得到樣本的頻率分布直方圖如圖所示：(1)求的值；(2)根據(jù)頻率分布直方圖，估計(jì)該校大一新生每天閱讀時間的平均數(shù)（精確到0.1）（單位：分鐘）；(3)為了進(jìn)一步了解大一新生的閱讀方式，該大學(xué)采用分層抽樣的方法從每天閱讀時間位于分組，和的學(xué)生中抽取5人，再從中任選2人進(jìn)行調(diào)查，求其中恰好有1人每天閱讀時間位于的概率．【答案】(1)(2)平均數(shù)為74分鐘(3)【分析】（1）結(jié)合頻率分布直方圖的所有矩形面積之和為1列出方程求解即可；（2）將各組的頻數(shù)計(jì)算出來，直接計(jì)算平均值即可3；（3）先算出每組要抽取的人數(shù)，編號寫出樣本空間，再計(jì)算概率.【詳解】（1）因?yàn)轭l率分布直方圖的所有矩形面積之和為1，所以，得，（2）各區(qū)間的中點(diǎn)值為55、65、75、85、95對應(yīng)的頻數(shù)分別為10、20、45、20、5這100名大一新生每天閱讀時間的平均數(shù)為所以估計(jì)該校大一新生每天閱讀時間的平均數(shù)為74分鐘.（3）由題意，閱讀時間位于分組，和的學(xué)生數(shù)分別為10人、20人、20人，因此中抽取1人，記為a,中抽取2人，記為b,c，中抽取2人，記為d,e，再從中任選2人進(jìn)行調(diào)查，樣本空間共10個樣本點(diǎn)，設(shè)事件A為“恰好有1