2022-2023學(xué)年上海市延安中學(xué)高一年級(jí)上冊(cè)學(xué)期期末數(shù)學(xué)試題【含答案】

2022-2023學(xué)年上海市延安中學(xué)高一上學(xué)期期末數(shù)學(xué)試題一、填空題1．已知集合，則__________．【答案】【分析】直接解出，，利用交集含義即可得到答案.【詳解】，解得或，，，故，故.故答案為：.2．角是第__________象限角．【答案】三【分析】利用終邊相同的角的表示判斷出與的終邊相同，即可判斷.【詳解】因?yàn)椋耘c的終邊相同，為第三象限角.故答案為：三3．用有理數(shù)指數(shù)冪的形式表示__________．【答案】【分析】直接根據(jù)分?jǐn)?shù)指數(shù)冪與根式的互化以及其運(yùn)算法則即可得到答案.【詳解】，故答案為：.4．不等式的解集為_(kāi)__________.【答案】【分析】將不等式變形為，利用分式不等式的解法解此不等式即可得解.【詳解】原不等式即為，等價(jià)于，解得，因此，原不等式的解集為.故答案為：.5．冪函數(shù)在區(qū)間上為嚴(yán)格減函數(shù)，則__________．【答案】2【分析】根據(jù)冪函數(shù)的定義及其圖像與性質(zhì)，求的值即可.【詳解】因?yàn)楹瘮?shù)是冪函數(shù)，所以，解得：或，當(dāng)時(shí)，，滿(mǎn)足函數(shù)在區(qū)間上嚴(yán)格減函數(shù)，當(dāng)時(shí)，，不滿(mǎn)足函數(shù)在區(qū)間上嚴(yán)格減函數(shù)，所以.故答案為：2.6．已知，用表示__________．【答案】##【分析】根據(jù)換底公式，結(jié)合對(duì)數(shù)的運(yùn)算性質(zhì)進(jìn)行求解即可.【詳解】，故答案為：7．函數(shù)在區(qū)間上的反函數(shù)__________．【答案】【分析】根據(jù)反函數(shù)的定義求出的反函數(shù)即可，要注意反函數(shù)的定義域.【詳解】因?yàn)殚_(kāi)口向上，對(duì)稱(chēng)軸為，，所以在上單調(diào)遞減，故，所以，由得，解得，因?yàn)?，所以，所?故答案為：.8．若函數(shù)的定義域是R，則a的取值范圍是______.【答案】【分析】由二次不等式恒成立解對(duì)應(yīng)的不等式即可.【詳解】當(dāng)時(shí)，要滿(mǎn)足恒成立，即，解得，故答案為：9．當(dāng)時(shí)，函數(shù)的函數(shù)值總大于1，則函數(shù)在區(qū)間________上是嚴(yán)格增函數(shù)【答案】【分析】根據(jù)指數(shù)函數(shù)的性質(zhì)和復(fù)合函數(shù)的單調(diào)性求解.【詳解】當(dāng)時(shí)，函數(shù)的函數(shù)值總大于1，且，所以單調(diào)遞增，所以，所以，由解得，函數(shù)在單調(diào)遞增，單調(diào)遞減，所以在區(qū)間上是嚴(yán)格增函數(shù).故答案為：.10．函數(shù)的圖像恒過(guò)定點(diǎn)，若點(diǎn)的坐標(biāo)滿(mǎn)足方程，則的最小值__________．【答案】【分析】先判斷出，代入得到，利用基本不等式“1”的妙用即可求得.【詳解】令，解得：.由可得：函數(shù)的圖像恒過(guò)定點(diǎn).因?yàn)辄c(diǎn)的坐標(biāo)滿(mǎn)足方程，所以.因?yàn)?，所?所以（當(dāng)且僅當(dāng)，即時(shí)等號(hào)成立）所以的最小值為.故答案為：11．點(diǎn)是平面直角坐標(biāo)系上的兩點(diǎn)，定義到的曼哈頓距離，已知點(diǎn)，點(diǎn)在上，則的最小值是__________．【答案】3【分析】根據(jù)定義列，再根據(jù)絕對(duì)值定義化簡(jiǎn)以及二次函數(shù)性質(zhì)求最值即可.【詳解】，當(dāng)時(shí)，，此時(shí)函數(shù)單調(diào)遞減，當(dāng)時(shí)，，故此時(shí)當(dāng)時(shí)，，則時(shí)，此時(shí)最小值為，當(dāng)時(shí)，此時(shí)最大值為，故此時(shí).當(dāng)時(shí)，，此時(shí)函數(shù)單調(diào)遞增，當(dāng)，，當(dāng)，故此時(shí)，當(dāng)時(shí)，，函數(shù)單調(diào)遞增，當(dāng)時(shí)，，故此時(shí)綜上最小值為3.故答案為：3.12．已知函數(shù)，關(guān)于的方程有四個(gè)不同的實(shí)數(shù)解，則的取值范圍為_(kāi)_________．【答案】【詳解】作出的圖象如下：結(jié)合圖像可知，，故令得：或，令得：，且等號(hào)取不到，故，故填.點(diǎn)睛：一般討論函數(shù)零點(diǎn)個(gè)數(shù)問(wèn)題，都要轉(zhuǎn)化為方程根的個(gè)數(shù)問(wèn)題或兩個(gè)函數(shù)圖像交點(diǎn)的個(gè)數(shù)問(wèn)題，本題由于涉及函數(shù)為初等函數(shù)，可以考慮函數(shù)圖像來(lái)解決，轉(zhuǎn)化為過(guò)定點(diǎn)的直線(xiàn)與拋物線(xiàn)變形圖形的交點(diǎn)問(wèn)題，對(duì)函數(shù)圖像處理能力要求較高.二、單選題13．下列同組的兩個(gè)函數(shù)是相同函數(shù)的是（

）A． B．C． D．【答案】D【分析】判斷兩函數(shù)是否為同一函數(shù)，只需要判斷兩者的定義域與對(duì)應(yīng)法則是否相同即可.【詳解】對(duì)于A，，顯然與的對(duì)應(yīng)法則不同，故A錯(cuò)誤；對(duì)于B，因?yàn)榈亩x域?yàn)?，的定義域?yàn)椋蔅錯(cuò)誤；對(duì)于C，因?yàn)榈亩x域?yàn)椋亩x域?yàn)?，故C錯(cuò)誤；對(duì)于D，顯然的解析式一樣，則其定義域與對(duì)應(yīng)法則相同，故D正確.故選：D.14．下列函數(shù)在定義域內(nèi)不是嚴(yán)格增函數(shù)的是（

）A． B．C． D．【答案】D【分析】根據(jù)冪函數(shù)、指數(shù)函數(shù)、對(duì)數(shù)函數(shù)、對(duì)鉤函數(shù)的單調(diào)性進(jìn)行判斷即可.【詳解】因?yàn)?，所以函?shù)是奇函數(shù)，當(dāng)時(shí)，函數(shù)單調(diào)遞增，且，所以函數(shù)是實(shí)數(shù)集上的嚴(yán)格增函數(shù)；指數(shù)函數(shù)的底數(shù)大于，所以函數(shù)是實(shí)數(shù)集上的嚴(yán)格增函數(shù)；對(duì)數(shù)函數(shù)的底數(shù)大于，所以函數(shù)是正實(shí)數(shù)集上的嚴(yán)格增函數(shù)；因?yàn)楹瘮?shù)在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，顯然函數(shù)在定義域內(nèi)不是嚴(yán)格增函數(shù)，故選：D15．某位喜歡思考的同學(xué)在學(xué)習(xí)函數(shù)的性質(zhì)時(shí)提出了如下兩個(gè)命題：已知函數(shù)的定義域?yàn)椋偃舢?dāng)時(shí)，都有，則函數(shù)是D上的奇函數(shù)．②若當(dāng)時(shí)，都有，則函數(shù)是D上的增函數(shù)．下列判斷正確的是（

）A．①和②都是真命題 B．①是真命題，②是假命題C．①和②都是假命題 D．①是假命題，②是真命題【答案】C【分析】舉出反例即可得解．【詳解】解：設(shè)函數(shù)，滿(mǎn)足①若時(shí)，都有，但該函數(shù)不是奇函數(shù)，故①錯(cuò)誤；設(shè)函數(shù)，滿(mǎn)足②若時(shí)，都有，但該函數(shù)不單調(diào)遞增，故②錯(cuò)誤．故選：C．16．對(duì)于表示不超過(guò)的最大整數(shù)，定義在上的函數(shù)，若，則中所有元素的和為（

）A．12 B．3 C．14 D．15【答案】D【分析】將表示為分段函數(shù)的形式，由此求得的元素，進(jìn)而求得正確答案.【詳解】當(dāng)，，；當(dāng)，，；當(dāng)，，；當(dāng)，，；當(dāng)時(shí)，，，所以，所以中所有元素的和為.故選：D三、解答題17．（1）；（2）．【答案】（1）；（2）.【分析】（1）令，原不等式可化為：，解出的范圍，即可求出的范圍；（2）令，原不等式可化為：，解出的范圍，即可求出的范圍.【詳解】（1）令，則原不等式可化為：，解得：，所以.解不等式，解得：，所以原不等式的解集為（2）令，則原不等式可化為：，解得：或，即或，解得：或，所以原不等式的解集為.18．已知函數(shù)(1)函數(shù)在區(qū)間上為嚴(yán)格減函數(shù)，求的取值范圍；(2)函數(shù)在區(qū)間上的最大值為3，求的值．【答案】(1)(2)或【分析】（1）利用二次函數(shù)的單調(diào)性，結(jié)合數(shù)軸法即可得解；（2）利用二次函數(shù)的性質(zhì)，分類(lèi)討論對(duì)稱(chēng)軸的位置即可得解.【詳解】（1）因?yàn)?，所以開(kāi)口向下，對(duì)稱(chēng)軸為，所以在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，因?yàn)樵趨^(qū)間上為嚴(yán)格減函數(shù)，則，所以，即的取值范圍為.（2）由（1）得開(kāi)口向下，對(duì)稱(chēng)軸為，當(dāng)時(shí)，在上單調(diào)遞減，所以，即，解得或（舍去），故；當(dāng)時(shí)，在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，所以，即，解得或，因?yàn)椋?；?dāng)時(shí)，在上單調(diào)遞增，所以，即，解得或（舍去），故；綜上：或.19．已知函數(shù)(1)作出函數(shù)的大致圖像；(2)結(jié)合圖像討論函數(shù)的零點(diǎn)個(gè)數(shù)情況（無(wú)需證明）．【答案】(1)答案見(jiàn)解析(2)答案見(jiàn)解析【分析】（1）先由函數(shù)奇偶性的定義證得為偶函數(shù)，再分類(lèi)討論與兩種情況，得到的解析式，結(jié)合一次函數(shù)與反比例函數(shù)的性質(zhì)即可作出在上的圖像，從而得到的大致圖像；（2）將問(wèn)題轉(zhuǎn)化為與的圖像的交點(diǎn)個(gè)數(shù)，結(jié)合圖像分類(lèi)討論即可.【詳解】（1）因?yàn)榈亩x域?yàn)?，關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱(chēng)，又當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，所以，故在上是偶函數(shù)，其圖像關(guān)于軸對(duì)稱(chēng)，故考慮在上的圖像即可，因?yàn)椋?，而，所以?dāng)時(shí)，，所以，易得一次函數(shù)在上單調(diào)遞增，且，即；當(dāng)時(shí)，，所以，易得反比例函數(shù)在上單調(diào)遞減，且；由此可作出在上的圖像，而在上的圖像則由在上的圖像沿著軸翻折而得，又，所以在的圖像如圖1，.（2）令，則，所以與的圖像的交點(diǎn)個(gè)數(shù)即為的零點(diǎn)個(gè)數(shù)，如圖2，當(dāng)時(shí)，與的圖像沒(méi)有交點(diǎn)，即沒(méi)有零點(diǎn)；當(dāng)時(shí)，與的圖像有1個(gè)交點(diǎn)，即有1個(gè)零點(diǎn)；當(dāng)時(shí)，與的圖像有4個(gè)交點(diǎn)，即有4個(gè)零點(diǎn)；當(dāng)時(shí)，與的圖像有2個(gè)交點(diǎn)，即有2個(gè)零點(diǎn)；當(dāng)時(shí)，與的圖像沒(méi)有交點(diǎn)，即沒(méi)有零點(diǎn)；綜上：當(dāng)或時(shí)，沒(méi)有零點(diǎn)；當(dāng)時(shí)，有1個(gè)零點(diǎn)；當(dāng)時(shí)，有2個(gè)零點(diǎn)；當(dāng)時(shí)，有4個(gè)零點(diǎn).20．新冠肺炎疫情發(fā)生以后，口罩供不應(yīng)求，某口罩廠(chǎng)日夜加班生產(chǎn)，為抗擊疫情做貢獻(xiàn).生產(chǎn)口罩的固定成本為400萬(wàn)元，每生產(chǎn)萬(wàn)箱，需另投入成本萬(wàn)元，當(dāng)產(chǎn)量不足60萬(wàn)箱時(shí)，;當(dāng)產(chǎn)量不小于60萬(wàn)箱時(shí),，若每箱口罩售價(jià)100元，通過(guò)市場(chǎng)分析，該口罩廠(chǎng)生產(chǎn)的口罩可以全部銷(xiāo)售完.(1)求口罩銷(xiāo)售利潤(rùn)y（萬(wàn)元）關(guān)于產(chǎn)量x（萬(wàn)箱）的函數(shù)關(guān)系式；(2)當(dāng)產(chǎn)量為多少萬(wàn)箱時(shí)，該口罩生產(chǎn)廠(chǎng)在生產(chǎn)中所獲得利潤(rùn)最大？【答案】(1)(2)當(dāng)產(chǎn)量為80萬(wàn)箱時(shí)，該口罩生產(chǎn)廠(chǎng)在生產(chǎn)中獲得利潤(rùn)最大，最大利潤(rùn)為1300萬(wàn)元.【分析】(1)根據(jù)產(chǎn)量的不同取值范圍討論利潤(rùn)y關(guān)于產(chǎn)量x的不同對(duì)應(yīng)關(guān)系即可求解.(2)分別求出分段函數(shù)的最大值比較大小即可求出利潤(rùn)的最大值.【詳解】（1）當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，.所以，；（2）當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，y取得最大值，最大值為850萬(wàn)元；當(dāng)時(shí)，，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)，即時(shí)，y取得最大值，最大值為1300萬(wàn)元.綜上，當(dāng)產(chǎn)量為80萬(wàn)箱時(shí)，該口罩生產(chǎn)廠(chǎng)在生產(chǎn)中獲得利潤(rùn)最大，最大利潤(rùn)為1300萬(wàn)元.21．對(duì)于函數(shù)，如果存在實(shí)數(shù)，使得，那么稱(chēng)為的生成函數(shù)．(1)下面給出兩組函數(shù)，是否分別為的生成函數(shù)？并說(shuō)明理由．第一組：第二組：；(2)設(shè)，生成函數(shù)．若不等式在上有解，求實(shí)數(shù)的取值范圍；(3)設(shè)，取，生成函數(shù)的圖像的最低點(diǎn)坐標(biāo)為．若對(duì)于任意正實(shí)數(shù)且，試問(wèn)是否存在最大的常數(shù)，使得恒成立？如果存在，求出這個(gè)的值；如果不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由．【答案】(1)答案見(jiàn)解析；(2)；(3).【分析】（1）利用“生成函數(shù)”的定義直接求解；（2）先求出，令，把題意轉(zhuǎn)化為.利用二次函數(shù)的單調(diào)性求出實(shí)數(shù)的取值范圍.（3）先求出.設(shè)，整理得，設(shè)，.利用對(duì)勾函數(shù)的性質(zhì)求出.即可求出最大的常數(shù).【詳解】（1）當(dāng)時(shí).假設(shè)存在實(shí)數(shù)，使得，所以，所