應(yīng)用隨機過程講義一

應(yīng)用隨機過程講義一第一頁，共八十二頁，2022年，8月28日學(xué)習(xí)要求不僅是掌握知識，更重要的是掌握思想學(xué)會把抽象的概率和實際模型結(jié)合起來第二頁，共八十二頁，2022年，8月28日學(xué)習(xí)重點用隨機變量表示事件及其分解——基本理論全概率公式——基本技巧數(shù)學(xué)期望和條件數(shù)學(xué)期望——基本概念第三頁，共八十二頁，2022年，8月28日第一講

第四頁，共八十二頁，2022年，8月28日隨機事件與概率

隨機試驗第五頁，共八十二頁，2022年，8月28日要點：在相同條件下，試驗可重復(fù)進行；試驗的一切結(jié)果是預(yù)先可以明確的，但每次試驗前無法預(yù)先斷言究竟會出現(xiàn)哪個結(jié)果。第六頁，共八十二頁，2022年，8月28日樣本點

對于隨機試驗E，以ω表示它的一個可能出現(xiàn)的試驗結(jié)果，稱ω為E的一個樣本點。

樣本空間

樣本點的全體稱為樣本空間，用Ω表示。Ω＝{ω}第七頁，共八十二頁，2022年，8月28日隨機事件粗略地說，樣本空間Ω的子集就是隨機事件，用大寫英文字母A、B、C等來表示。

事件的關(guān)系與運算

第八頁，共八十二頁，2022年，8月28日第九頁，共八十二頁，2022年，8月28日第十頁，共八十二頁，2022年，8月28日示性函數(shù)是最簡單的隨機變量用隨機變量來表示事件第十一頁，共八十二頁，2022年，8月28日用示性函數(shù)的關(guān)系及運算來表示相關(guān)事件的關(guān)系及運算第十二頁，共八十二頁，2022年，8月28日公理化定義集類第十三頁，共八十二頁，2022年，8月28日第十四頁，共八十二頁，2022年，8月28日概率第十五頁，共八十二頁，2022年，8月28日第十六頁，共八十二頁，2022年，8月28日第十七頁，共八十二頁，2022年，8月28日概率是滿足非負性；歸一性；可列可加性；的集函數(shù)?？蓽y集粗略地說，可以定義長度（面積、體積）的點集即為可測集；反之稱為不可測集。第十八頁，共八十二頁，2022年，8月28日概率的性質(zhì)1.

2.3.有限可加性

第十九頁，共八十二頁，2022年，8月28日4.

5.6.

第二十頁，共八十二頁，2022年，8月28日7.8.可列次可加性9.概率連續(xù)性第二十一頁，共八十二頁，2022年，8月28日這部分的詳細討論可以參見

《隨機數(shù)學(xué)引論》

林元烈，清華大學(xué)出版社第二十二頁，共八十二頁，2022年，8月28日Buffon試驗：最早用隨機試驗的方法求某個未知的數(shù)。測度：滿足非負性、可列可加性的集函數(shù)。第二十三頁，共八十二頁，2022年，8月28日第二十四頁，共八十二頁，2022年，8月28日實際上，設(shè)集類以上集類和A生成相同的σ-代數(shù),都是上面提到的一維Borelσ-代數(shù)，即第二十五頁，共八十二頁，2022年，8月28日直觀地說，中包含一切開區(qū)間，閉區(qū)間，半開半閉區(qū)間，半閉半開區(qū)間，單個實數(shù)，以及由它們經(jīng)可列次并交運算而得出的集類。第二十六頁，共八十二頁，2022年，8月28日第二十七頁，共八十二頁，2022年，8月28日

第二十八頁，共八十二頁，2022年，8月28日第二十九頁，共八十二頁，2022年，8月28日第三十頁，共八十二頁，2022年，8月28日事件的獨立性第三十一頁，共八十二頁，2022年，8月28日

幾個事件的獨立性第三十二頁，共八十二頁，2022年，8月28日第三十三頁，共八十二頁，2022年，8月28日第三十四頁，共八十二頁，2022年，8月28日第三十五頁，共八十二頁，2022年，8月28日比較甲乙兩人的結(jié)果，從以上結(jié)果可以得到什么結(jié)論？第三十六頁，共八十二頁，2022年，8月28日機遇偏愛有心人！第三十七頁，共八十二頁，2022年，8月28日

一次成功的概率只有2％，是典型的小概率事件；但重復(fù)次數(shù)足夠多，如n=400，至少一次成功就是大概率事件！

第三十八頁，共八十二頁，2022年，8月28日只要功夫深，鐵杵磨成針！第三十九頁，共八十二頁，2022年，8月28日隨機變量定義解釋第四十頁，共八十二頁，2022年，8月28日離散型隨機變量的示性函數(shù)表示法

這說明對于任一.，總可以分解為互不交的事件的示性函數(shù)的迭加。第四十一頁，共八十二頁，2022年，8月28日隨機變量等價定義分布函數(shù)第四十二頁，共八十二頁，2022年，8月28日連續(xù)型隨機變量的概率密度函數(shù)微元法求概率密度函數(shù)第四十三頁，共八十二頁，2022年，8月28日二維隨機變量的分布函數(shù)二維Borel-σ代數(shù)由平面上矩形的全體生成的σ－代數(shù)第四十四頁，共八十二頁，2022年，8月28日聯(lián)合密度函數(shù)亦可用微元法求第四十五頁，共八十二頁，2022年，8月28日常用隨機變量的分布（列出,期望方差）兩點分布正態(tài)分布二項分布指數(shù)分布Poisson分布均勻分布幾何分布二維正態(tài)分布第四十六頁，共八十二頁，2022年，8月28日兩點分布若只取1和0兩個值，且則稱服從參數(shù)為p的兩點分布。簡記為：X~B(1,p).即EX=p,DX=p(1-p)第四十七頁，共八十二頁，2022年，8月28日EX=np,DX=np(1-p)EX=1/p,DX=(1-p)/p2第四十八頁，共八十二頁，2022年，8月28日EX=λ,DX=λEX=(a+b)/2,DX=(b-a)2/12第四十九頁，共八十二頁，2022年，8月28日EX=1/λ,DX=1/λ2EX=μ,DX=σ2第五十頁，共八十二頁，2022年，8月28日二維正態(tài)分布的優(yōu)良性質(zhì)

X,Y相互獨立X,Y不相關(guān)第五十一頁，共八十二頁，2022年，8月28日隨機變量的數(shù)字特征及條件數(shù)學(xué)期望第五十二頁，共八十二頁，2022年，8月28日數(shù)學(xué)期望（復(fù)習(xí)）

“加權(quán)平均”為了引出一般隨機變量的定義，我們先介紹R-S積分的概念。第五十三頁，共八十二頁，2022年，8月28日黎曼－斯蒂爾吉斯積分第五十四頁，共八十二頁，2022年，8月28日任分任取求和取極限第五十五頁，共八十二頁，2022年，8月28日第五十六頁，共八十二頁，2022年，8月28日在定義了R-S積分之后，我們可以將所有隨機變量的數(shù)學(xué)期望形式進行統(tǒng)一。第五十七頁，共八十二頁，2022年，8月28日第五十八頁，共八十二頁，2022年，8月28日數(shù)學(xué)期望的性質(zhì)（E|Xi|<∞）第五十九頁，共八十二頁，2022年，8月28日

交換求和順序第六十頁，共八十二頁，2022年，8月28日同理，對連續(xù)型隨機變量有相似的結(jié)論成立第六十一頁，共八十二頁，2022年，8月28日第六十二頁，共八十二頁，2022年，8月28日第六十三頁，共八十二頁，2022年，8月28日第六十四頁，共八十二頁，2022年，8月28日第六十五頁，共八十二頁，2022年，8月28日Chebyshev不等式第六十六頁，共八十二頁，2022年，8月28日

條件數(shù)學(xué)期望第六十七頁，共八十二頁，2022年，8月28日第六十八頁，共八十二頁，2022年，8月28日第六十九頁，共八十二頁，2022年，8月28日用示性函數(shù)的線性組合表示離散型隨機變量（見前面“隨機變量”部分）第七十頁，共八十二頁，2022年，8月28日例：將概率運算納入求期望運算的范疇第七十一頁，共八十二頁，2022年，8月28日理解E(X|Y)是ω的函數(shù)，也是Y(ω)的函數(shù)，即Y(ω)取值不同，E(X|Y)也取相應(yīng)的值；當(dāng)Y是離散型隨機變量時，E(X|Y)也是離散型隨機變量。第七十二頁，共八十二頁，2022年，8月28日第七十三頁，共八十二頁，2022年，8月28日推廣至一般隨機變量第七十四頁，共八十二頁，2022年，8月28日將x替換成X第七十五頁，共八十二頁，2022年，8月28日求條件數(shù)學(xué)期望的一般步驟先寫出固定條件(如Y=yj)的情況下X的條件分布律或條件密度函數(shù)；根據(jù)條件數(shù)學(xué)期望的定義，通過求和或積分得到條件下的數(shù)學(xué)期望；將條件(Y=yj)替換成一般情況下的隨機變量(Y)第七十六頁，共八十二頁，2022年，8月28日條件數(shù)學(xué)期望的性質(zhì)設(shè)E(Y),E(Xi|Y),E(h(Y)),E{g(X)h(Y)}存在，則(重要!)全期望公式第七十七頁，共八十二頁，2022年，8月28日第七十八頁，共八十