山西省長治市潞城辛安泉中學(xué)2023年高三數(shù)學(xué)文聯(lián)考試卷含解析

山西省長治市潞城辛安泉中學(xué)2023年高三數(shù)學(xué)文聯(lián)考試卷含解析一、選擇題：本大題共10小題，每小題5分，共50分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有是一個(gè)符合題目要求的1.已知，則等于（

）

A．

B.

C.

D.參考答案：D略2.甲、乙兩人進(jìn)行乒乓球比賽，先贏3局者獲勝，決出勝負(fù)為止，則所有可能出現(xiàn)的情形（各人輸贏局次不同視為不同情形）共有（

）A．10種

B．15種

C．20種

D．30種參考答案：C略3.在等差數(shù)列{an}中，a1=2，a3+a5=10，則a7=（）A．5 B．8 C．10 D．14參考答案：B【考點(diǎn)】等差數(shù)列的通項(xiàng)公式．【專題】等差數(shù)列與等比數(shù)列．【分析】由題意可得a4=5，進(jìn)而可得公差d=1，可得a7=a1+6d，代值計(jì)算即可．【解答】解：∵在等差數(shù)列{an}中a1=2，a3+a5=10，∴2a4=a3+a5=10，解得a4=5，∴公差d==1，∴a7=a1+6d=2+6=8故選：B【點(diǎn)評】本題考查等差數(shù)列的通項(xiàng)公式，屬基礎(chǔ)題．4.設(shè)集合，C={（x，y）|2|x﹣3|+|y﹣4|=λ}，若（A∪B）∩C≠?，則實(shí)數(shù)λ的取值范圍是（）A．

B．C．

D．參考答案：A【考點(diǎn)】1H：交、并、補(bǔ)集的混合運(yùn)算．【分析】集合A、B是表示以（3，4）點(diǎn)為圓心，半徑為和的同心圓；集合C在λ＞0時(shí)表示以（3，4）為中心，四條邊的斜率為±2的菱形；結(jié)合題意畫出圖形，利用圖形知（A∪B）∩C≠?，是菱形與A或B圓有交點(diǎn)，從而求得實(shí)數(shù)λ的取值范圍．【解答】解：集合A={（x，y）|（x﹣3）2+（y﹣4）2=}表示以（3，4）點(diǎn)為圓心，半徑為的圓；集合B={（x，y）|（x﹣3）2+（y﹣4）2=}表示以（3，4）點(diǎn)為圓心半徑為的圓；集合C={（x，y）|2|x﹣3|+|y﹣4|=λ}在λ＞0時(shí)，表示以（3，4）為中心，四條邊的斜率為±2的菱形，如下圖所示：若（A∪B）∩C≠?，則菱形與A或B圓有交點(diǎn)，當(dāng)λ＜時(shí)，菱形在小圓的內(nèi)部，與兩圓均無交點(diǎn)，不滿足答案；當(dāng)菱形與小圓相切時(shí)，圓心（3，4）到菱形2|x﹣3|+|y﹣4|=λ任一邊的距離等于大于半徑，當(dāng)x＞3，且y＞4時(shí)，菱形一邊的方程可化為2x+y﹣（10+λ）=0，由d==得：λ=2；當(dāng)2＜λ＜時(shí)，菱形在大圓的內(nèi)部，與兩圓均無交點(diǎn)，不滿足答案；當(dāng)菱形與大圓相切時(shí)，圓心（3，4）到菱形2|x﹣3|+|y﹣4|=λ任一邊的距離等于大于半徑，當(dāng)x＞3，且y＞4時(shí)，菱形一邊的方程可化為2x+y﹣（10+λ）=0，由d==得：λ=6，故λ＞6時(shí)，兩圓均在菱形內(nèi)部，與菱形無交點(diǎn)，不滿足答案；綜上實(shí)數(shù)λ的取值范圍是[，2]∪[，6]，即[，2]∪[，6]．故選：A．5.函數(shù)的單調(diào)增區(qū)間是A.(－∞,2]B．[0,2]C．[2,4]D．[2,+∞)參考答案：B6.已知定義在R上的奇函數(shù)滿足f（x－4）＝－f（x），且時(shí)，－1，甲、乙、丙、丁四位同學(xué)有下列結(jié)論：甲：f（3）＝1；乙：函數(shù)f（x）在［－6,－2］上是減函數(shù)；丙：函數(shù)f（x）關(guān)于直線x＝4對稱；?。喝鬽，則關(guān)于x的方程f（x）－m＝0在［0,6］上所有根之和為4，其中正確的是A.甲、乙、丁

B.乙、丙

C.甲、乙、丙

D.甲、丙

參考答案：A略7.若函數(shù)在區(qū)間內(nèi)單調(diào)遞增，則的取值范圍是A．B．C．D．參考答案：A略8.一個(gè)幾何體的三視圖如圖所示，則這個(gè)幾何體的表面積為（）A．24+8+8 B．20+8+4 C．20+8+4 D．20+4+4參考答案：B【分析】由三視圖還原原幾何體，原幾何體是一個(gè)以正視圖為底面的四棱錐，側(cè)面PAB與底面ABCD垂直，底面ABCD是邊長為4的正方形，側(cè)面PAB是等腰三角形，底邊AB上的高為2，側(cè)面PAD、PBC是全等的直角三角形，直角邊AD=4，AP=，側(cè)面PCD是等腰三角形，底邊CD=4，腰PD=PC=2．然后由三角形面積求解．【解答】解：由三視圖可得原幾何體如圖：該幾何體是一個(gè)以正視圖為底面的四棱錐，側(cè)面PAB與底面ABCD垂直，底面ABCD是邊長為4的正方形；側(cè)面PAB是等腰三角形，底邊AB上的高為2，側(cè)面PAD、PBC是全等的直角三角形，直角邊AD=4，AP=；側(cè)面PCD是等腰三角形，底邊CD=4，腰PD=PC=2．∴幾何體的表面積為：=20++．故選：B．9.已知A. B. C. D.參考答案：C略10.如圖，圓M和圓N與直線l：y=kx分別相切于A、B，與x軸相切，并且圓心連線與l交于點(diǎn)C，若|OM|=|ON|且=2，則實(shí)數(shù)k的值為（）A．1 B． C． D．參考答案：D【考點(diǎn)】向量在幾何中的應(yīng)用．【分析】根據(jù)切線的性質(zhì)可得OM⊥ON，利用相似三角形得出兩圓半徑比為2：1，在根據(jù)三角形相似即可得出tan∠NOX，根據(jù)二倍角公式計(jì)算k．【解答】解：過兩圓圓心分別作x軸的垂線，垂足分別為P，Q，設(shè)圓M，圓N的半徑分別為R，r，∵=2，∴AC=2BC．∵OB是圓M，圓N的垂線，∴AM⊥OB，BN⊥OB，∴△MAC∽△NBC，∴，即R=2r．∵x軸是兩圓的切線，且OB是兩圓的切線，∴OM平分∠BOP，ON平分∠BOQ，∴∠NOQ+∠POM=90°，∴∠NOQ=∠PMO，又OM=ON，∴△MPO≌△OQN，∴OQ=MP=R，∴tan∠NOQ===，∴tan∠BOQ=tan2∠NOQ==，∴k=．故選：D．【點(diǎn)評】本題考查了直線與圓的位置關(guān)系，屬于中檔題．二、填空題:本大題共7小題,每小題4分,共28分11.拋物線的焦點(diǎn)與雙曲線的右焦點(diǎn)重合，則該雙曲線的虛軸長等于________．參考答案：12.設(shè)，則曲線在處切線的斜率為

.參考答案：略13.若雙曲線右支上一點(diǎn)到直線的距離為，則=_________。參考答案：答案：

14.設(shè)n為正整數(shù)，展開式中僅有第5項(xiàng)的二項(xiàng)式系數(shù)最大，則展開式中的常數(shù)項(xiàng)為

．參考答案：112由展開式中僅有第5項(xiàng)的二項(xiàng)式系數(shù)最大得n=8，則，令，r=2，則展開式中的常數(shù)項(xiàng)為.

15.設(shè)函數(shù)的定義域?yàn)镈，如果存在正實(shí)數(shù)，使對任意，都有，且恒成立，則稱函數(shù)為D上的“型增函數(shù)”．已知是定義在R上的奇函數(shù)，且當(dāng)時(shí)，，若為R上的“型增函數(shù)”，則實(shí)數(shù)的取值范圍是

．參考答案：略16.的定義域?yàn)?/p>

.參考答案：略17.函數(shù)f(x)＝sinx+sin(+x)的最大值是

.

參考答案：【解析】由.答案：三、解答題：本大題共5小題，共72分。解答應(yīng)寫出文字說明，證明過程或演算步驟18.已知橢圓C：過點(diǎn)，過坐標(biāo)原點(diǎn)O作兩條互相垂直的射線與橢圓C分別交于M、N兩點(diǎn).（1）證明：當(dāng)取得最小值時(shí)，橢圓C的離心率為.（2）若橢圓C的焦距為2，是否存在定圓與直線MN總相切？若存在，求定圓的方程；若不存在，請說明理由.參考答案：（1）證明見解析；（2）存在，【分析】（1）將點(diǎn)代入橢圓方程得到，結(jié)合基本不等式，求得取得最小值時(shí)，進(jìn)而證得橢圓的離心率為.（2）當(dāng)直線MN的斜率不存在時(shí)，根據(jù)橢圓的對稱性，求得O到直線MN的距離.當(dāng)直線MN的斜率存在時(shí)，聯(lián)立直線MN的方程和橢圓方程，寫出韋達(dá)定理，利用，則列方程，求得的關(guān)系式，進(jìn)而求得O到直線MN的距離.根據(jù)上述分析判斷出所求的圓存在，進(jìn)而求得定圓的方程.【詳解】（1）證明：∵橢圓經(jīng)過點(diǎn)，∴，∴，當(dāng)且僅當(dāng)，即時(shí)，等號(hào)成立，此時(shí)橢圓的離心率.（2）解：∵橢圓的焦距為2，∴，又，∴，.當(dāng)直線的斜率不存在時(shí)，由對稱性，設(shè)，.∵，在橢圓上，∴，∴，∴到直線的距離.當(dāng)直線的斜率存在時(shí)，設(shè)的方程為.由，得，.設(shè)，，則，.∵，∴，∴，∴，即，∴O到直線MN的距離.綜上，O到直線MN的距離為定值，且定值為，故存在定圓O：，使得圓O與直線MN總相切.【點(diǎn)睛】本小題主要考查點(diǎn)和橢圓的位置關(guān)系，考查基本不等式求最值，考查直線和橢圓的位置關(guān)系，考查點(diǎn)到直線的距離公式，考查分類討論的數(shù)學(xué)思想方法，考查運(yùn)算求解能力，屬于中檔題.19.已知函數(shù)f（x）=（x+a）ln（a﹣x）．（Ⅰ）當(dāng)a=1時(shí)，求曲線y=f（x）在x=0處的切線方程；（Ⅱ）當(dāng)a=e時(shí)，求證：函數(shù)f（x）在x=0處取得最值．參考答案：【考點(diǎn)】利用導(dǎo)數(shù)求閉區(qū)間上函數(shù)的最值；6H：利用導(dǎo)數(shù)研究曲線上某點(diǎn)切線方程．【分析】（I）利用f'（0）=k切線斜率，可得切線方程．（Ⅱ）證法一：定義域（﹣∞，e）．函數(shù)a=e，，f（0）=e，．當(dāng)x∈（﹣∞，e）時(shí)，y=ln（e﹣x），，均為減函數(shù)，可得f'（x）在（﹣∞，e）上單調(diào)遞減，又f'（0）=0，即可證明．證法二：當(dāng)x∈（﹣∞，0）時(shí)，證明f′（x）＞0，可得f（x）在（﹣∞，0）上單調(diào)遞增；

當(dāng)x∈（0，e），證明f′（x）＜0，f（x）在x∈（0，e）上單調(diào)遞減，即可證明結(jié)論．【解答】（Ⅰ）解：因?yàn)閍=1，，…f'（0）=﹣1，所以k=﹣1…因?yàn)閒（0）=0所以切點(diǎn)為（0，0），…則切線方程為y=﹣x…（Ⅱ）證明：證法一：定義域（﹣∞，e）．函數(shù)a=e，所以…，f（0）=e，．當(dāng)x∈（﹣∞，e）時(shí)，y=ln（e﹣x），，均為減函數(shù)

…所以f'（x）在（﹣∞，e）上單調(diào)遞減；

…又f'（0）=0，因?yàn)楫?dāng)x∈（﹣∞，0）時(shí)，，…f（x）在（﹣∞，0）上單調(diào)遞增；

…又因?yàn)楫?dāng)x∈（0，e），…f（x）在x∈（0，e）上單調(diào)遞減；

…因?yàn)閒（0）=0，所以f（x）在x=0處取得最大值．

…證法二：當(dāng)x∈（﹣∞，0）時(shí)，﹣x＞0，e﹣x＞e，ln（e﹣x）＞lne=1，ln（e﹣x）+1＞2…又因?yàn)閤＜0，…∴，f（x）在（﹣∞，0）上單調(diào)遞增；

…當(dāng)x∈（0，e），﹣x∈（﹣e，0），e﹣x∈（0，e），ln（e﹣x）＜1，…又因?yàn)閤∈（0，e），…∴，f（x）在x∈（0，e）上單調(diào)遞減；

…又因?yàn)閒（0）=0，所以f（x）在x=0處取得最大值．

…20.數(shù)列中，，，其中＞0，對于函數(shù)(n≥2)有.求數(shù)列的通項(xiàng)公式；（2）若，，…+，求證：參考答案：解：（1）

﹣=0=數(shù)列是以為首項(xiàng)，為公比的等比數(shù)列，=又+…+時(shí)，

時(shí)，

……………6分

（2）由

>1且，

﹣=>0<…+]=+…+++…+]=又>

><…………………12分21.已知函數(shù)的最小值為.（Ⅰ）求的值；（Ⅱ）設(shè)實(shí)數(shù)滿足，證明：.參考答案：（Ⅰ）∵∴在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減∴的最小值為.................................................5分（Ⅱ）由（Ⅰ）知，∵∴∴.............................................................10分22.

某旅游景點(diǎn)預(yù)計(jì)2013年1月份起前x個(gè)月的旅游人數(shù)的和p（x）（單位：萬人）與x的關(guān)系近似地滿足.已知第x月的人均消費(fèi)額q（x）（單位：元）與x的近似關(guān)系是

（I）寫出2013年第x月的旅游人數(shù)（單