山西省長治市第十三中學高三數(shù)學理上學期期末試題含解析

山西省長治市第十三中學高三數(shù)學理上學期期末試題含解析一、選擇題：本大題共10小題，每小題5分，共50分。在每小題給出的四個選項中，只有是一個符合題目要求的1.從2名男同學和3名女同學中任選2人參加社區(qū)服務，則選中的2人都是女同學的概率為A．0.6 B．0.5 C．0.4 D．0.3參考答案：D設2名男同學為，3名女同學為，從以上5名同學中任選2人總共有共10種可能，選中的2人都是女同學的情況共有共三種可能則選中的2人都是女同學的概率為，故選D.

2.已知過拋物線焦點的直線交拋物線于、兩點（點在第一象限），若，則直線的斜率為A.

B. C.

D.2參考答案：A3.如圖，已知圓：，四邊形為圓的內(nèi)接正方形，、分別為邊、的中點，當正方形繞圓心轉(zhuǎn)動時，的取值范圍是(

)(A)

(B)(C)

(D)

（第10題）參考答案：B略4.已知拋物線與雙曲線有共同的焦點F，O為坐標原點，P在x軸上方且在雙曲線上，則的最小值為(

)A． B． C． D．參考答案：A【考點】雙曲線的簡單性質(zhì)．【專題】計算題；圓錐曲線的定義、性質(zhì)與方程．【分析】拋物線，可得x2=8y，焦點F為（0，2），則雙曲線的c=2，可得雙曲線方程，利用向量的數(shù)量積公式，結(jié)合配方法，即可求出的最小值．【解答】解：拋物線，可得x2=8y，焦點F為（0，2），則雙曲線的c=2，則a2=3，即雙曲線方程為，設P（m，n）（n≥），則n2﹣3m2=3，∴m2=n2﹣1，則=（m，n）?（m，n﹣2）=m2+n2﹣2n=n2﹣1+n2﹣2n=（n﹣）2﹣，因為n≥，故當n=時取得最小值，最小值為3﹣2，故選：A．【點評】本題考查拋物線、雙曲線的方程與性質(zhì)，考查向量的數(shù)量積公式，考查學生的計算能力，屬于中檔題．5.若復數(shù)，則A.1

B.0

C.

D.參考答案：A

.故選A.6.若點M（a，）和N（b，）都在直線l：x+y=1上，則點P（c，），Q（，b）和l的關系是（）A．P和Q都在l上 B．P和Q都不在l上C．P在l上，Q不在l上 D．P不在l上，Q在l上參考答案：A【考點】IH：直線的一般式方程與直線的性質(zhì)．【分析】先根據(jù)點M、N在直線上，則點坐標適合直線方程，通過消元法可求得a與c的關系，從而可判定點P（c，），Q（，b）和l的關系，選出正確選項．【解答】解：∵點M（a，）和N（b，）都在直線l：x+y=1上∴a+=1，b+=1則b=即+=1化簡得c+=1∴點P（c，）在直線l上而b+=1則Q（，b）在直線l上故選A．7.已知，，是圓上不同三點，它們到直線：的距離分別為，，，若，，成等比數(shù)列，則公比的最大值為（

）A．1 B．2 C．3 D．4參考答案：C圓的圓心(1,0),半徑r=4,圓心到直線的距離d=5,直線與圓相離,則圓上的點到直線的最大距離為9,最小距離為1,所以當

時,其公比有最大值為.8.設全集為R，集合，則A．[-2，2]

B．

C．

D．參考答案：C9.據(jù)統(tǒng)計2016年“十一”黃金周哈爾濱太陽島每天的游客人數(shù)服從正態(tài)分布N，則在此期間的某一天，太陽島的人數(shù)不超過2300的概率為（）附；若X～N（μ，σ2）．A．0.4987 B．0.8413 C．0.9772 D．0.9987參考答案：D【考點】CP：正態(tài)分布曲線的特點及曲線所表示的意義．【分析】根據(jù)正態(tài)分布的對稱性得出P（X＞2300），從而可得P（X≤2300）．【解答】解：P=0.9974，∴P（X＞2300）=（1﹣0.9974）=0.0013，∴P（X≤2300）=1﹣0.0013=0.9987．故選D．10.在等差數(shù)列{an}中，若，，則等于（

）

A.9

B.7

C.6

D.5參考答案：B二、填空題:本大題共7小題,每小題4分,共28分11.在等差數(shù)列中，首項公差，若，則

.參考答案：2212.任給實數(shù)定義

設函數(shù)，若是公比大于的等比數(shù)列，且，則[

參考答案：e13.計算：cos2xdx=．參考答案：【考點】定積分．【專題】導數(shù)的概念及應用．【分析】先根據(jù)倍角公式，化簡，再根據(jù)定積分計算可得．【解答】解：cos2xdx=dx=（x+sin2x）|=，故答案為：【點評】本題主要考查了定積分的計算，屬于基礎題．14.若tan（α+）=sin2α+cos2α，α∈（，π），則tan（π﹣α）=．參考答案：3【考點】三角函數(shù)的化簡求值．【分析】由兩角和的正切函數(shù)公式，同角三角函數(shù)基本關系式化簡已知可得=，整理即可解得tanα的值，結(jié)合α的范圍及誘導公式即可計算得解．【解答】解：∵tan（α+）=sin2α+cos2α，∴==，整理可得：tan2α（3+tanα）=0，解得：tanα=0，或﹣3，∵α∈（，π），可得：tanα＜0，∴tanα=﹣3，∴tan（π﹣α）=﹣tanα=3．故答案為：3．15.已知，則=

。參考答案：516.三角形ABC的內(nèi)角A，B的對邊分別為a，b，若，則三角形ABC的形狀為．參考答案：等腰三角形或直角三角形【考點】正弦定理；兩角和與差的余弦函數(shù)．【專題】計算題；轉(zhuǎn)化思想；分析法；三角函數(shù)的圖像與性質(zhì)．【分析】用誘導公式化簡已知，利用正弦定理將acosA=bcosB中等號兩邊的邊轉(zhuǎn)化為該邊所對角的正弦，化簡整理即可．【解答】解：∵在△ABC中，，∴acosA=bcosB，∴由正弦定理得：a=2RsinA，b=2RsinB，∴sinAcosA=sinBcosB，∴sin2A=sin2B，∴sin2A=sin2B，∴2A=2B或2A=π﹣2B，∴A=B或A+B=，∴△ABC為等腰或直角三角形，故答案為：等腰三角形或直角三角形．【點評】本題考查三角形的形狀判斷，著重考查正弦定理與二倍角的正弦的應用，屬于中檔題．17.從某自動包裝機包裝的白糖中，隨機抽取20袋，測得各袋的質(zhì)量分別為（單位：）

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499根據(jù)頻率分布估計總體分布的原理，該自動包裝機包裝的袋裝白糖質(zhì)量在497.5g—501.5g之間的概率約為

。參考答案：答案：0.25三、解答題：本大題共5小題，共72分。解答應寫出文字說明，證明過程或演算步驟18.(12分)已知函數(shù)在處取得極值2.（1）求函數(shù)的表達式；（2）當滿足什么條件時，函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)遞增？（3）若為圖象上任意一點，直線與的圖象切于點，求直線的斜率的取值范圍。參考答案：解析：因

而函數(shù)在處取得極值2 所以

所以

為所求

（2）由（1）知可知，的單調(diào)增區(qū)間是所以，

所以當時，函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)遞增

（3）由條件知，過的圖形上一點的切線的斜率為：

令，則,

此時，根據(jù)二次函數(shù)的圖象性質(zhì)知：當時，

當時，所以，直線的斜率的取值范圍是19.某校高三（5）班的一次數(shù)學小測試成績的莖葉圖和頻率分布直方圖都受到不同程度的破壞，但可見部分如圖，據(jù)此解答如下問題：（1）求全班人數(shù)，并計算頻率分布直方圖中間的矩形的高；（2）若要從分數(shù)在之間的試卷中任選三份來分析學生失分情況，其中u表示分數(shù)在之間被選上的人數(shù)，v表示分數(shù)在之間被選上的人數(shù)，記變量ξ=u﹣v，求ξ的分布列和期望．參考答案：【考點】CH：離散型隨機變量的期望與方差；CG：離散型隨機變量及其分布列．【分析】（1）由莖葉圖、頻率分布直方圖，分別求出分數(shù)在20.已知a、b為正實數(shù)，函數(shù).（1）求函數(shù)f(x)的最大值；（2）若函數(shù)f(x)的最大值為1，求的最小值.參考答案：（1）（2）【分析】（1）利用絕對值不等式公式進行求解；（2）由（1）得，再根據(jù)基本不等式可得的最小值.【詳解】解：（1）因為，所以函數(shù)的最大值為.（2）由（1）可知，，因為，所以，所以，即，且當時取“”，所以的最小值為.【點睛】本題考查了基本不等式、絕對值不等式等知識，運用基本不等式時，要注意題意是否滿足“一正、二定、三相等”的條件，熟練運用絕對值不等式也是解決本題的關鍵.21.在平面直角坐標系中，以坐標原點為極點，x軸的正半軸為極軸建立極坐標系，已知曲線C的極坐標方程為，直線l過點且傾斜角為.(I)求曲線C的直角坐標方程和直線的參數(shù)方程；(II)設直線l與曲線C交于A，B兩點，求的值．參考答案：（Ⅰ）曲線的直角坐標方程為，直線的參數(shù)方程為為參數(shù)）；（其他參數(shù)方程酌情給分）（Ⅱ）7.解：（Ⅰ）曲線，所以，即，

…2分得曲線的直角坐標方程為，直線的參數(shù)方程為為參數(shù)）．

…5分（Ⅱ）將為參數(shù)）代入圓的方程，得，

…7分整理得，得，所以所以．

…10分22.在直角坐標系中，以原點