山西省陽泉市平坦中學2021-2022學年高二數(shù)學理測試題含解析

山西省陽泉市平坦中學2021-2022學年高二數(shù)學理測試題含解析一、選擇題：本大題共10小題，每小題5分，共50分。在每小題給出的四個選項中，只有是一個符合題目要求的1.一個容量為20的數(shù)據(jù)樣本，分組后，組距與頻數(shù)如下：（10,20］2個，（20，30］3個，（30，40］4個，（40，50］5個，（50，60］4個，（60，70］2個，則樣本在區(qū)間（-∞，50］上的頻率是

（

）A、5%

B、25%

C、50%

D、70%參考答案：D2.函數(shù)的定義域是(A)

(B)(C)

(D)參考答案：C3.已知可導函數(shù)（x）的導函數(shù)為g（x），且滿足：①②記，則a，b，c的大小順序為

（

）

A．a(chǎn)>b>c

B．b>a>c

C．b>c>a

D．a(chǎn)>c>b參考答案：D略4.已知橢圓的左右焦點分別為，P是橢圓上的一點，且成等比數(shù)列，則橢圓的離心率的取值范圍為（）A．

B．C．D．參考答案：D略5.下列函數(shù)求導運算正確的有（）①（3x）′=3xlog3e；②（log2x）′=；③（ex）′=ex；④（）′=x；⑤（x?ex）=ex（1+x）A．1個 B．2個 C．3個 D．4個參考答案：C【考點】導數(shù)的運算．【分析】根據(jù)（ax）′=axlna，（logax）′=，（lnx）′=即可作出判斷．【解答】解：①（3x）′=3xln3，故錯誤；②（log2x）′=，故正確；③（ex）'=ex，故正確；④（）′=﹣，故錯誤；⑤（x?ex）′=ex+x?ex，故正確．故選：C．6.《史記》中講述了田忌與齊王賽馬的故事．“田忌的上等馬優(yōu)于齊王的中等馬，劣于齊王的上等馬；田忌的中等馬優(yōu)于齊王的下等馬，劣于齊王的中等馬；田忌的下等馬劣于齊王的下等馬．”雙方從各自的馬匹中隨機選一匹進行一場比賽，則田忌的馬獲勝的概率為A. B. C. D.參考答案：A分析：由題意結(jié)合古典概型計算公式即可求得最終結(jié)果詳解：記田忌的上等馬、中等馬、下等馬分別為a,b,c，齊王的上等馬、中等馬、下等馬分別為A,B,C，由題意可知，可能的比賽為：Aa,Ab,Ac,Ba,Bb,Bc,Ca,Cb,Cc,共有9種，其中田忌可以獲勝的事件為：Ba，Ca,Cb，共有3種，則田忌馬獲勝的概率為.本題選擇A選項.點睛：有關(guān)古典概型的概率問題，關(guān)鍵是正確求出基本事件總數(shù)和所求事件包含的基本事件數(shù)．(1)基本事件總數(shù)較少時，用列舉法把所有基本事件一一列出時，要做到不重復、不遺漏，可借助“樹狀圖”列舉．(2)注意區(qū)分排列與組合，以及計數(shù)原理的正確使用.7.如圖是求樣本x1，x2，…，x10平均數(shù)的程序框圖，圖中空白框中應填入的內(nèi)容為（）A．S=S+xn B．S=S+ C．S=S+n D．S=S+參考答案：A【考點】設(shè)計程序框圖解決實際問題．【專題】操作型．【分析】由題目要求可知：該程序的作用是求樣本x1，x2，…，x10平均數(shù)，循環(huán)體的功能是累加各樣本的值，故應為：S=S+xn【解答】解：由題目要求可知：該程序的作用是求樣本x1，x2，…，x10平均數(shù)，由于“輸出”的前一步是“”，故循環(huán)體的功能是累加各樣本的值，故應為：S=S+xn故選A【點評】算法是新課程中的新增加的內(nèi)容，也必然是新高考中的一個熱點，應高度重視．程序填空也是重要的考試題型，這種題考試的重點有：①分支的條件②循環(huán)的條件③變量的賦值④變量的輸出．其中前兩點考試的概率更大．此種題型的易忽略點是：不能準確理解流程圖的含義而導致錯誤．8.三棱錐中，，，⊥底面，且，則此三棱錐外接球的半徑為（A）

（B）

（C）2

（D）參考答案：B9.將一枚骰子先后擲兩次，向上點數(shù)之和為，則≥7的概率為

（

）A.

B. C. D.參考答案：C略10.當x≠0時，有不等式

(

)

參考答案：B二、填空題:本大題共7小題,每小題4分,共28分11.在等比數(shù)列{an}中，若a3，a15是方程x2﹣6x+8=0的根，則=．參考答案：2【考點】等比數(shù)列的通項公式．【分析】由韋達定理得a3a15=8，由等比數(shù)列通項公式性質(zhì)得：=8，由此能求出的值．【解答】解：∵在等比數(shù)列{an}中，a3，a15是方程x2﹣6x+8=0的根，∴a3a15=8，解方程x2﹣6x+8=0，得或，∴a9＞0，由等比數(shù)列通項公式性質(zhì)得：=8，∴=a9=．故答案為：2．【點評】本題考查等比數(shù)列中兩項積與另一項的比值的求法，是基礎(chǔ)題，解題時要認真審題，注意等比數(shù)列的性質(zhì)的合理運用．12.已知的展開式中的常數(shù)項為，是以為周期的偶函數(shù)，且當時，，若在區(qū)間內(nèi)，函數(shù)有4個零點，則實數(shù)的取值范圍是

．參考答案：略13.設(shè)等比數(shù)列的公比，前項和為，則________．參考答案：1514.已知函數(shù)的最小正周期為,則的單調(diào)遞增區(qū)間為

▲

．參考答案：略15.拋物線的準線方程是▲．參考答案：y=-116.已知點P是橢圓Г：=1（a＞b＞0）上的一點，F(xiàn)1、F2為橢圓的左、右焦點，若∠F1PF2=60°，且△PF1F2的面積為a2，則橢圓的離心率是．參考答案：【考點】橢圓的簡單性質(zhì)．【分析】由∠F1PF2=60°，△PF1F2的面積為a2，可得|PF1|?|PF2|．再根據(jù)橢圓的定義可得|PF1|+|PF2|=2a，利用余弦定理得到a，c的關(guān)系，即可求出橢圓的離心率．【解答】解：由∠F1PF2=60°，△PF1F2的面積為a2，可得|PF1|?|PF2|?sin∠F1PF2=|PF1|?|PF2|=a2，∴|PF1|?|PF2|=a2．再根據(jù)橢圓的定義可得|PF1|+|PF2|=2a．再利用余弦定理可得4c2=|PF1|2+|PF2|2﹣2|PF1||PF2|?cos60°=（|PF1|+|PF2|）2﹣3PF1?PF2=4a2﹣3a2，求得a=2c，∴e==．故答案為：．17.若拋物線上點到焦點的距離為3，則拋物線的準線方程為_________.參考答案：x=-2三、解答題：本大題共5小題，共72分。解答應寫出文字說明，證明過程或演算步驟18.如圖，在海岸A處發(fā)現(xiàn)北偏東45°方向，距A處海里的B處有一艘走私船，在A處北偏西75°方向，距A處2海里的C處的我方輯私船奉命以海里/小時的速度追截走私船，此時走私船正以10海里/小時的速度，以B處向北偏東30°方向逃竄．問：輯私船沿什么方向行駛才能最快截獲走私船？并求出所需時間．參考答案：見解析．解：如圖所示，設(shè)輯私船追上走私船需小時，則有，．在中，∵，，．根據(jù)余弦定理可求得．．在中，根據(jù)正弦定理可得，∵，∴，，∴，則有，（小時）（分鐘）．所以輯私船沿北偏東方向，需分鐘才能追上走私船．19.閱讀下面材料：根據(jù)兩角和與差的正弦公式，有sin（α+β）=sinαcosβ+cosαsinβ

…①sin（α﹣β）=sinαcosβ﹣cosαsinβ

…②由①+②得sin（α+β）+sin（α﹣β）=2sinαcosβ

…③令α+β=A，α﹣β=B有α=，β=代入③得sinA+sinB=2sincos．（1）利用上述結(jié)論，試求sin15°+sin75°的值．（2）類比上述推證方法，根據(jù)兩角和與差的余弦公式，證明：cosA+cosB=2cos?cos．（3）求函數(shù)y=cos2x?cos（2x+）x∈的最大值．參考答案：【考點】F3：類比推理；GQ：兩角和與差的正弦函數(shù)．【分析】（1）由sinA+sinB=2sincos，令A=15°，B=75°，代和可得sin15°+sin75°的值．（2）由cos（α+β）=cosαcosβ﹣sinαsinβ，cos（α﹣β）=cosαcosβ+sinαsinβ兩式相加得：cos（α+β）+cos（α﹣β）=2cosαcosβ，令α+β=A，α﹣β=B有α=，β=，可得結(jié)論；（3）結(jié)合（2）的結(jié)論，將A=2x，B=2x+，代入化簡函數(shù)的解析式，進而根據(jù)x∈，求出相位角，進而根據(jù)余弦函數(shù)的圖象和性質(zhì)得到函數(shù)y=cos2x?cos（2x+）x∈的最大值．【解答】解：（1）∵sinA+sinB=2sincos∴sin15°+cos75°==2sin45°?cos（﹣30°）=…3（2）因為cos（α+β）=cosαcosβ﹣sinαsinβ，﹣﹣﹣﹣﹣﹣①cos（α﹣β）=cosαcosβ+sinαsinβ﹣﹣﹣﹣﹣﹣②…5①+②得cos（α+β）+cos（α﹣β）=2cosαcosβ，③令α+β=A，α﹣β=B有α=，β=，…6代入③得：．…7（3）由（2）知，…8∵，∴，…..9故函數(shù)的最大值為．…10【點評】本小題主要考查兩角和與差三角函數(shù)公式、二倍角公式、三角函數(shù)的恒等變換等基礎(chǔ)知識，考查推理論證能力，運算求解能力，考查化歸與轉(zhuǎn)化思想等．20.（本小題滿分14分）已知，設(shè)：函數(shù)在上單調(diào)遞增；：不等式對任意都成立.若“”為真，“”為假，求實數(shù)的取值范圍.參考答案：命題p真：a>1,命題Q真：0<a<4，--------4分P真q假時，

p假q真時，-------12分綜上所述：a的取值范圍為或---------14分21.在平面直角坐標系xOy中，曲線C的參數(shù)方程為，在以原點為極點，x軸正半軸為極軸的極坐標系中，直線l的極坐標方程為

（1）