非平穩(wěn)序列的隨機分析

關(guān)于非平穩(wěn)序列的隨機分析第一頁，共一百一十八頁，2022年，8月28日本章結(jié)構(gòu)差分運算ARIMA模型Auto-Regressive模型異方差的性質(zhì)方差齊性變化條件異方差模型第二頁，共一百一十八頁，2022年，8月28日5.1差分運算差分運算的實質(zhì)差分方式的選擇過差分第三頁，共一百一十八頁，2022年，8月28日差分運算的實質(zhì)差分方法是一種非常簡便、有效的確定性信息提取方法Cramer分解定理在理論上保證了適當(dāng)階數(shù)的差分一定可以充分提取確定性信息差分運算的實質(zhì)是使用自回歸的方式提取確定性信息

第四頁，共一百一十八頁，2022年，8月28日差分方式的選擇序列蘊含著顯著的線性趨勢，一階差分就可以實現(xiàn)趨勢平穩(wěn)

序列蘊含著曲線趨勢，通常低階（二階或三階）差分就可以提取出曲線趨勢的影響

對于蘊含著固定周期的序列進行步長為周期長度的差分運算，通?？梢暂^好地提取周期信息

第五頁，共一百一十八頁，2022年，8月28日例5.1【例1.1】1964年——1999年中國紗年產(chǎn)量序列蘊含著一個近似線性的遞增趨勢。對該序列進行一階差分運算考察差分運算對該序列線性趨勢信息的提取作用

第六頁，共一百一十八頁，2022年，8月28日差分前后時序圖原序列時序圖差分后序列時序圖第七頁，共一百一十八頁，2022年，8月28日例5.2嘗試提取1950年——1999年北京市民用車輛擁有量序列的確定性信息第八頁，共一百一十八頁，2022年，8月28日差分后序列時序圖一階差分二階差分第九頁，共一百一十八頁，2022年，8月28日例5.3差分運算提取1962年1月——1975年12月平均每頭奶牛的月產(chǎn)奶量序列中的確定性信息

第十頁，共一百一十八頁，2022年，8月28日差分后序列時序圖一階差分1階－12步差分第十一頁，共一百一十八頁，2022年，8月28日過差分

足夠多次的差分運算可以充分地提取原序列中的非平穩(wěn)確定性信息但過度的差分會造成有用信息的浪費

第十二頁，共一百一十八頁，2022年，8月28日例5.4假設(shè)序列如下

考察一階差分后序列和二階差分序列的平穩(wěn)性與方差第十三頁，共一百一十八頁，2022年，8月28日比較一階差分平穩(wěn)方差小二階差分（過差分）平穩(wěn)方差大第十四頁，共一百一十八頁，2022年，8月28日5.2ARIMA模型ARIMA模型結(jié)構(gòu)ARIMA模型性質(zhì)ARIMA模型建模ARIMA模型預(yù)測疏系數(shù)模型季節(jié)模型第十五頁，共一百一十八頁，2022年，8月28日ARIMA模型結(jié)構(gòu)使用場合差分平穩(wěn)序列擬合模型結(jié)構(gòu)第十六頁，共一百一十八頁，2022年，8月28日ARIMA模型族d=0ARIMA(p,d,q)=ARMA(p,q)P=0ARIMA(P,d,q)=IMA(d,q)q=0ARIMA(P,d,q)=ARI(p,d)d=1,P=q=0ARIMA(P,d,q)=randomwalkmodel第十七頁，共一百一十八頁，2022年，8月28日隨機游走模型(randomwalk)模型結(jié)構(gòu)模型產(chǎn)生典故KarlPearson(1905)在《自然》雜志上提問：假如有個醉漢醉得非常嚴(yán)重，完全喪失方向感，把他放在荒郊野外，一段時間之后再去找他，在什么地方找到他的概率最大呢？第十八頁，共一百一十八頁，2022年，8月28日ARIMA模型的平穩(wěn)性ARIMA(p,d,q)模型共有p+d個特征根，其中p個在單位圓內(nèi)，d個在單位圓上。所以當(dāng)時ARIMA(p,d,q)模型非平穩(wěn)。例5.5ARIMA(0,1,0)時序圖第十九頁，共一百一十八頁，2022年，8月28日ARIMA模型的方差齊性時，原序列方差非齊性d階差分后，差分后序列方差齊性第二十頁，共一百一十八頁，2022年，8月28日ARIMA模型建模步驟獲得觀察值序列平穩(wěn)性檢驗差分運算YN白噪聲檢驗Y分析結(jié)束N擬合ARMA模型第二十一頁，共一百一十八頁，2022年，8月28日例5.6對1952年——1988年中國農(nóng)業(yè)實際國民收入指數(shù)序列建模

第二十二頁，共一百一十八頁，2022年，8月28日一階差分序列時序圖第二十三頁，共一百一十八頁，2022年，8月28日一階差分序列自相關(guān)圖第二十四頁，共一百一十八頁，2022年，8月28日一階差分后序列白噪聲檢驗延遲階數(shù)統(tǒng)計量P值615.330.01781218.330.10601824.660.1344第二十五頁，共一百一十八頁，2022年，8月28日擬合ARMA模型偏自相關(guān)圖第二十六頁，共一百一十八頁，2022年，8月28日建模定階ARIMA(0,1,1)參數(shù)估計模型檢驗?zāi)Ｐ惋@著參數(shù)顯著第二十七頁，共一百一十八頁，2022年，8月28日ARIMA模型預(yù)測原則最小均方誤差預(yù)測原理

Green函數(shù)遞推公式第二十八頁，共一百一十八頁，2022年，8月28日預(yù)測值第二十九頁，共一百一十八頁，2022年，8月28日例5.7已知ARIMA(1,1,1)模型為

且求的95％的置信區(qū)間

第三十頁，共一百一十八頁，2022年，8月28日預(yù)測值等價形式計算預(yù)測值第三十一頁，共一百一十八頁，2022年，8月28日計算置信區(qū)間Green函數(shù)值方差95％置信區(qū)間第三十二頁，共一百一十八頁，2022年，8月28日例5.6續(xù)：對中國農(nóng)業(yè)實際國民收入指數(shù)序列做為期10年的預(yù)測

第三十三頁，共一百一十八頁，2022年，8月28日疏系數(shù)模型ARIMA(p,d,q)模型是指d階差分后自相關(guān)最高階數(shù)為p，移動平均最高階數(shù)為q的模型，通常它包含p+q個獨立的未知系數(shù)：如果該模型中有部分自相關(guān)系數(shù)或部分移動平滑系數(shù)為零，即原模型中有部分系數(shù)省缺了，那么該模型稱為疏系數(shù)模型。第三十四頁，共一百一十八頁，2022年，8月28日疏系數(shù)模型類型如果只是自相關(guān)部分有省缺系數(shù)，那么該疏系數(shù)模型可以簡記為為非零自相關(guān)系數(shù)的階數(shù)如果只是移動平滑部分有省缺系數(shù)，那么該疏系數(shù)模型可以簡記為為非零移動平均系數(shù)的階數(shù)如果自相關(guān)和移動平滑部分都有省缺，可以簡記為第三十五頁，共一百一十八頁，2022年，8月28日例5.8對1917年－1975年美國23歲婦女每萬人生育率序列建模

第三十六頁，共一百一十八頁，2022年，8月28日一階差分第三十七頁，共一百一十八頁，2022年，8月28日自相關(guān)圖第三十八頁，共一百一十八頁，2022年，8月28日偏自相關(guān)圖第三十九頁，共一百一十八頁，2022年，8月28日建模定階ARIMA((1,4),1,0)參數(shù)估計模型檢驗?zāi)Ｐ惋@著參數(shù)顯著第四十頁，共一百一十八頁，2022年，8月28日季節(jié)模型簡單季節(jié)模型乘積季節(jié)模型

第四十一頁，共一百一十八頁，2022年，8月28日簡單季節(jié)模型簡單季節(jié)模型是指序列中的季節(jié)效應(yīng)和其它效應(yīng)之間是加法關(guān)系簡單季節(jié)模型通過簡單的趨勢差分、季節(jié)差分之后序列即可轉(zhuǎn)化為平穩(wěn)，它的模型結(jié)構(gòu)通常如下

第四十二頁，共一百一十八頁，2022年，8月28日例5.9擬合1962——1991年德國工人季度失業(yè)率序列

第四十三頁，共一百一十八頁，2022年，8月28日差分平穩(wěn)對原序列作一階差分消除趨勢，再作4步差分消除季節(jié)效應(yīng)的影響，差分后序列的時序圖如下

第四十四頁，共一百一十八頁，2022年，8月28日白噪聲檢驗延遲階數(shù)統(tǒng)計量P值643.84<0.00011251.71<0.00011854.48<0.0001第四十五頁，共一百一十八頁，2022年，8月28日差分后序列自相關(guān)圖第四十六頁，共一百一十八頁，2022年，8月28日差分后序列偏自相關(guān)圖第四十七頁，共一百一十八頁，2022年，8月28日模型擬合定階ARIMA((1,4),(1,4),0)參數(shù)估計第四十八頁，共一百一十八頁，2022年，8月28日模型檢驗殘差白噪聲檢驗參數(shù)顯著性檢驗延遲階數(shù)統(tǒng)計量P值待估參數(shù)統(tǒng)計量P值62.090.71915.48<0.00011210.990.3584-3.41<0.0001第四十九頁，共一百一十八頁，2022年，8月28日擬合效果圖第五十頁，共一百一十八頁，2022年，8月28日乘積季節(jié)模型使用場合序列的季節(jié)效應(yīng)、長期趨勢效應(yīng)和隨機波動之間有著復(fù)雜地相互關(guān)聯(lián)性，簡單的季節(jié)模型不能充分地提取其中的相關(guān)關(guān)系構(gòu)造原理短期相關(guān)性用低階ARMA(p,q)模型提取季節(jié)相關(guān)性用以周期步長S為單位的ARMA(P,Q)模型提取假設(shè)短期相關(guān)和季節(jié)效應(yīng)之間具有乘積關(guān)系，模型結(jié)構(gòu)如下

第五十一頁，共一百一十八頁，2022年，8月28日例5.10:擬合1948——1981年美國女性月度失業(yè)率序列

第五十二頁，共一百一十八頁，2022年，8月28日差分平穩(wěn)一階、12步差分第五十三頁，共一百一十八頁，2022年，8月28日差分后序列自相關(guān)圖第五十四頁，共一百一十八頁，2022年，8月28日差分后序列偏自相關(guān)圖第五十五頁，共一百一十八頁，2022年，8月28日簡單季節(jié)模型擬合結(jié)果延遲階數(shù)擬合模型殘差白噪聲檢驗AR(1,12)MA(1,2,12)ARMA((1,12),(1,12)值P值值P值值P值614.580.00579.50.023315.770.00041216.420.088314.190.115817.990.0213結(jié)果擬合模型均不顯著第五十六頁，共一百一十八頁，2022年，8月28日乘積季節(jié)模型擬合模型定階ARIMA(1,1,1)×(0,1,1)12參數(shù)估計第五十七頁，共一百一十八頁，2022年，8月28日模型檢驗殘差白噪聲檢驗參數(shù)顯著性檢驗延遲階數(shù)統(tǒng)計量P值待估參數(shù)統(tǒng)計量P值64.500.2120-4.66<0.0001129.420.400223.03<0.00011820.580.1507-6.81<0.0001結(jié)果模型顯著參數(shù)均顯著第五十八頁，共一百一十八頁，2022年，8月28日乘積季節(jié)模型擬合效果圖第五十九頁，共一百一十八頁，2022年，8月28日5.3Auto-Regressive模型構(gòu)造思想首先通過確定性因素分解方法提取序列中主要的確定性信息然后對殘差序列擬合自回歸模型，以便充分提取相關(guān)信息

第六十頁，共一百一十八頁，2022年，8月28日Auto-Regressive模型結(jié)構(gòu)第六十一頁，共一百一十八頁，2022年，8月28日對趨勢效應(yīng)的常用擬合方法自變量為時間t的冪函數(shù)自變量為歷史觀察值第六十二頁，共一百一十八頁，2022年，8月28日對季節(jié)效應(yīng)的常用擬合方法給定季節(jié)指數(shù)建立季節(jié)自回歸模型第六十三頁，共一百一十八頁，2022年，8月28日例5.6續(xù)使用Auto-Regressive模型分析1952年－1988年中國農(nóng)業(yè)實際國民收入指數(shù)序列。時序圖顯示該序列有顯著的線性遞增趨勢，但沒有季節(jié)效應(yīng)，所以考慮建立如下結(jié)構(gòu)的Auto-Regressive模型

第六十四頁，共一百一十八頁，2022年，8月28日趨勢擬合方法一：變量為時間t的冪函數(shù)方法二：變量為一階延遲序列值

第六十五頁，共一百一十八頁，2022年，8月28日趨勢擬合效果圖第六十六頁，共一百一十八頁，2022年，8月28日殘差自相關(guān)檢驗檢驗原理回歸模型擬合充分，殘差的性質(zhì)回歸模型擬合得不充分，殘差的性質(zhì)第六十七頁，共一百一十八頁，2022年，8月28日Durbin-Waston檢驗（DW檢驗）

假設(shè)條件原假設(shè)：殘差序列不存在一階自相關(guān)性

備擇假設(shè)：殘差序列存在一階自相關(guān)性

第六十八頁，共一百一十八頁，2022年，8月28日DW統(tǒng)計量構(gòu)造統(tǒng)計量DW統(tǒng)計量和自相關(guān)系數(shù)的關(guān)系第六十九頁，共一百一十八頁，2022年，8月28日DW統(tǒng)計量的判定結(jié)果正相關(guān)相關(guān)性待定不相關(guān)相關(guān)性待定負相關(guān)042第七十頁，共一百一十八頁，2022年，8月28日例5.6續(xù)

檢驗第一個確定性趨勢模型

殘差序列的自相關(guān)性。第七十一頁，共一百一十八頁，2022年，8月28日DW檢驗結(jié)果檢驗結(jié)果檢驗結(jié)論檢驗結(jié)果顯示殘差序列高度正自相關(guān)。DW統(tǒng)計量的值P值0.13781.421.530.0001第七十二頁，共一百一十八頁，2022年，8月28日Durbinh檢驗

DW統(tǒng)計量的缺陷當(dāng)回歸因子包含延遲因變量時，殘差序列的DW統(tǒng)計量是一個有偏統(tǒng)計量。在這種場合下使用DW統(tǒng)計量容易產(chǎn)生殘差序列正自相關(guān)性不顯著的誤判

Durbinh檢驗第七十三頁，共一百一十八頁，2022年，8月28日例5.6續(xù)檢驗第二個確定性趨勢模型

殘差序列的自相關(guān)性。第七十四頁，共一百一十八頁，2022年，8月28日Dh檢驗結(jié)果檢驗結(jié)果檢驗結(jié)論檢驗結(jié)果顯示殘差序列高度正自相關(guān)。Dh統(tǒng)計量的值P值2.80380.0025第七十五頁，共一百一十八頁，2022年，8月28日殘差序列擬合確定自回歸模型的階數(shù)參數(shù)估計模型檢驗第七十六頁，共一百一十八頁，2022年，8月28日例5.6續(xù)對第一個確定性趨勢模型的殘差序列進行擬合第七十七頁，共一百一十八頁，2022年，8月28日殘差序列自相關(guān)圖第七十八頁，共一百一十八頁，2022年，8月28日殘差序列偏自相關(guān)圖第七十九頁，共一百一十八頁，2022年，8月28日模型擬合定階AR(2)參數(shù)估計方法極大似然估計最終擬合模型口徑第八十頁，共一百一十八頁，2022年，8月28日例5.6第二個Auto－Regressive模型的擬合結(jié)果第八十一頁，共一百一十八頁，2022年，8月28日三個擬合模型的比較模型AICSBCARIMA(0,1,1)模型：249.3305252.4976Auto－Regressive模型一：260.8454267.2891Auto－Regressive模型二：250.6317253.7987第八十二頁，共一百一十八頁，2022年，8月28日5.4異方差的性質(zhì)異方差的定義如果隨機誤差序列的方差會隨著時間的變化而變化，這種情況被稱作為異方差異方差的影響忽視異方差的存在會導(dǎo)致殘差的方差會被嚴(yán)重低估，繼而參數(shù)顯著性檢驗容易犯納偽錯誤，這使得參數(shù)的顯著性檢驗失去意義，最終導(dǎo)致模型的擬合精度受影響。

第八十三頁，共一百一十八頁，2022年，8月28日異方差直觀診斷殘差圖殘差平方圖第八十四頁，共一百一十八頁，2022年，8月28日殘差圖方差齊性殘差圖遞增型異方差殘差圖第八十五頁，共一百一十八頁，2022年，8月28日殘差平方圖原理殘差序列的方差實際上就是它平方的期望。所以考察殘差序列是否方差齊性，主要是考察殘差平方序列是否平穩(wěn)

第八十六頁，共一百一十八頁，2022年，8月28日例5.11直觀考察美國1963年4月——1971年7月短期國庫券的月度收益率序列的方差齊性。

第八十七頁，共一百一十八頁，2022年，8月28日一階差分后殘差圖第八十八頁，共一百一十八頁，2022年，8月28日一階差分后殘差平方圖第八十九頁，共一百一十八頁，2022年，8月28日異方差處理方法假如已知異方差函數(shù)具體形式，進行方差齊性變化假如不知異方差函數(shù)的具體形式，擬合條件異方差模型第九十頁，共一百一十八頁，2022年，8月28日5.5方差齊性變換使用場合序列顯示出顯著的異方差性，且方差與均值之間具有某種函數(shù)關(guān)系

其中：是某個已知函數(shù)處理思路嘗試尋找一個轉(zhuǎn)換函數(shù)，使得經(jīng)轉(zhuǎn)換后的變量滿足方差齊性第九十一頁，共一百一十八頁，2022年，8月28日轉(zhuǎn)換函數(shù)的確定原理轉(zhuǎn)換函數(shù)在附近作一階泰勒展開求轉(zhuǎn)換函數(shù)的方差轉(zhuǎn)換函數(shù)的確定第九十二頁，共一百一十八頁，2022年，8月28日常用轉(zhuǎn)換函數(shù)的確定假定轉(zhuǎn)換函數(shù)的確定第九十三頁，共一百一十八頁，2022年，8月28日例5.11續(xù)對美國1963年4月——1971年7月短期國庫券的月度收益率序列使用方差齊性變換方法進行分析

假定函數(shù)變換第九十四頁，共一百一十八頁，2022年，8月28日對數(shù)序列時序圖第九十五頁，共一百一十八頁，2022年，8月28日一階差分后序列圖第九十六頁，共一百一十八頁，2022年，8月28日白噪聲檢驗延遲階數(shù)LB統(tǒng)計量P值63.580.73371210.820.54411821.710.2452第九十七頁，共一百一十八頁，2022年，8月28日擬合模型口徑及擬合效果圖第九十八頁，共一百一十八頁，2022年，8月28日5.6條件異方差模型ARCH模型GARCH模型GARCH模型的變體EGARCH模型IGARCH模型GARCH-M模型AR-GARCH模型第九十九頁，共一百一十八頁，2022年，8月28日ARCH模型假定原理通過構(gòu)造殘差平方序列的自回歸模型來擬合異方差函數(shù)

ARCH(q)模型結(jié)構(gòu)第一百頁，共一百一十八頁，2022年，8月28日GARCH模型結(jié)構(gòu)使用場合ARCH模型實際上適用于異方差函數(shù)短期自相關(guān)過程

GARCH模型實際上適用于異方差函數(shù)長期自相關(guān)過程

模型結(jié)構(gòu)第一百零一頁，共一百一十八頁，2022年，8月28日GARCH模型的約束條件參數(shù)非負

參數(shù)有界

第一百零二頁，共一百一十八頁，2022年，8月28日EGARCH模型第一百零三頁，共一百一十八頁，2022年，8月28日IGARCH模型第一百零四頁，共一百一十八頁，2022年，8月28日GARCH-M模型第一百零五頁，共一