第三章 水動力學理論基礎-改

第三章水動力學基礎在自然界和工程實際中，液體一般處于流動狀態(tài)。任何實際液體的運動都是在三維空間內(nèi)發(fā)生和發(fā)展，但常見的水流往往有向某一個方向運動的趨勢，因此，我們可以把這個方向作為流動的主要方向，選取曲線坐標，把整個流股作為研究對象，就把水流看成是一維流動而使問題簡化。本章討論的是一維流動在運動學方面的一些基本定律，反映了各種一維流動現(xiàn)象所共同遵循的普遍規(guī)律，是分析液體運動的重要依據(jù)。第三章水動力學基礎§3-1分析液體運動的兩種方法一、拉格朗日法（質(zhì)點系法、實物法）將整個液體運動作為各個質(zhì)點運動的總和來考慮，以單個液體質(zhì)點為研究對象。在一段時間內(nèi)，某一質(zhì)點在空間運動的軌跡，稱為該質(zhì)點的“跡線”。利用跡線方程即可得到這個質(zhì)點相應的空間位置及其速度向量、動水壓強等水力要素。所有的質(zhì)點都用這個方法來分析，就可對整個液體運動的全部過程進行全面、系統(tǒng)的認識。①由于流體質(zhì)點有無窮多個，每個質(zhì)點運動規(guī)律不同，很難跟蹤足夠多質(zhì)點；②數(shù)學上存在難以克服的困難；③實用上，不需要知道每個質(zhì)點的運動情況?！?-1分析液體運動的兩種方法二、歐拉法（流場法、空間點法）歐拉法是研究被液體所充滿的空間中，液體質(zhì)點流經(jīng)各固定空間點時的流動特性。在直角坐標系中，各運動要素是空間坐標x，y，z和時間變量t的函數(shù)。空間點的坐標x，y，z，t稱為歐拉變量。則流速場u可表示為：u=u(x，y，z，t)設流速u在x、y、z三個坐標軸方向的投影是Ux,Uy,Uz流速場可寫成：則：§3-1分析液體運動的兩種方法壓強場可以表示為：令（x,y,z）為常數(shù)，t為變數(shù)，可以得出不同瞬時通過空間某一定點的液體流速或壓強的變化情況。令t為常數(shù)，x,y,z為變量，則可得出同一瞬時在流動場內(nèi)通過不同空間點的液體流速和壓強的分布情況。§3-1分析液體運動的兩種方法§3-2描述液體運動的概念二、加速度及其表示方法質(zhì)點的加速度由兩部分組成：遷移加速度（位移加速度）：流動過程中質(zhì)點由于位移而發(fā)生流速變化而產(chǎn)生的加速度。當?shù)丶铀俣龋〞r間加速度）：由于時間過程，使空間點上的流速發(fā)生變化而產(chǎn)生加速度。一、恒定流與非恒定流恒定流：流場中所有空間點上一切運動要素都不隨時間改變。即：非恒定流：只要有一個運動要素隨時間改變?！?-2描述液體運動的概念落地流速方向和大小隨時間變化t0t2t1u0u1u2u2u1u0孔口出口流速大小隨時間變化

恒定流中，當?shù)丶铀俣葹榱?，遷移加速度可以不為零。ABA'B'uAdtuBdt在水箱放水管中管徑相同處取點A，管徑變化處取點B。有：當水箱水位變化時：當水箱水位不變時：A點的遷移加速度和當?shù)丶铀俣染鶠榱?；B點的當?shù)丶铀俣葹榱?，遷移加速度不為零。A點的遷移加速度為零，當?shù)丶铀俣炔粸榱悖瑸橐回撝?；B點的當?shù)丶铀俣群瓦w移加速度均不為零。質(zhì)點的加速度=當?shù)丶铀俣?遷移加速度非恒定引起非均勻性引起§3-2描述液體運動的概念加速度的表達式：在直角坐標系中，流速可寫成：則加速度為：§3-2描述液體運動的概念第一項為當?shù)丶铀俣?，后三項為遷移加速度。同理：三、流線和跡線1.跡線：流體質(zhì)點運動時的軌跡線。即在拉格朗日法中，某一流體質(zhì)點在不同時刻所占據(jù)的空間點的連線?！?-2描述液體運動的概念設曲線S是某一流體質(zhì)點的跡線A2(x+dx,y+dy,z+dz)A1(x,y,z)S則有：dx=uxdtdy=uydtdz=uzdt故可得到：即為流體質(zhì)點的跡線微分方程，又稱跡線方程。xyz§3-2描述液體運動的概念2.流線：在流場中畫出某時刻的這樣一條曲線，它上面所有液體質(zhì)點在該瞬時的流速向量都與這一曲線相切，這樣的曲線稱為流線。流線表明了某瞬時流場中各點的流速方向。非恒定流中的流線有瞬時性，流線與跡線不重合。恒定流中，流線與跡線重合。流線的性質(zhì)：312源流動2匯流動1、駐點2、奇點3、切點§3-2描述液體運動的概念流線的概念圖流經(jīng)彎道的流線

繞過機翼剖面的流線繞葉片的流線繞突然縮小管道的流線b.流線必須是一條光滑、連續(xù)的曲線；c.流線的相交只有三種情況：1)在駐點處（流速為零的點）2)在奇點處（流速為無窮大）3)流線相切時a.流線不能相交；在流線上任取一點，該點流線S與流速u相切，即ds平行于u，則流線方程滿足：在直角坐標系中，§3-2描述液體運動的概念展開后得：即為流線微分方程。用歐拉法描述液體運動時，才得出流線微分方程，它是針對一個流場而言。對流線微分方程積分時，認為時間t是常數(shù)?！?-2描述液體運動的概念四、均勻流和非均勻流（根據(jù)流線形狀劃分）1、均勻流：流線是平行的直線。2、非均勻流：流線既不平行也不是直線。均勻流中，遷移加速度為零。注意：恒定流與均勻流、非恒定流與非均勻流是兩種不同的概念。五、流管、元流、總流1、流管：在流動區(qū)中設想一條微小的封閉曲線，通過這條曲線上的每一點可以引出一條流線，這些流線形成的一個封閉管狀曲面，稱為流管。2、元流：在流管中的液流。3、總流：把封閉曲線L取在運動液體的周界上，則邊界內(nèi)整股液流的流束稱為總流?？偭骺梢暈闊o數(shù)個元流之和?！?-2描述液體運動的概念微小流管封閉曲線注意流管中液體不會穿過管壁（流管）向外流，流管外液體不會穿過管壁向流管內(nèi)部流動恒定流時，流束形狀和位置不會隨時間改變非恒定流時，流束形狀和位置隨時間改變七、過水斷面、流量與斷面平均流速1.過水斷面：與元流或總流正交的橫斷面。非均勻流中，過水斷面是曲面；均勻流中，過水斷面是平面。2.流量：單位時間內(nèi)通過過水斷面的液體體積。用Q表示。單位：（m3/s）、（l/s）元流的流量：有時流量也用重量流量或質(zhì)量流量表示。六、水力半徑§3-2描述液體運動的概念總流的流量：過水斷面為平面

過水斷面A過水斷面A過水斷面為曲面

AdAu1212dQ從總流中任取一個微小流束，過水斷面為dA，其上的流速為u，則微小流束通過的流量為3.斷面平均流速：u=vu§3-2描述液體運動的概念以一個設想的流速（）代替各點的實際流速，該流速就稱為斷面平均流速。以斷面平均流速通過過水斷面的流量與以實際流速流過該過水斷面的流量相等?？偭鞯牧髁縌就是斷面平均流速與過水斷面面積A的乘積。§3-3一維恒定總流的連續(xù)性方程一維恒定總流的連續(xù)性方程是質(zhì)量守恒定律的一種特殊形式。1122dA1dA2u1u2取一恒定流中的流管，在dt時間內(nèi)，從dA1流入的質(zhì)量為1u1dA1dt，從dA2流出的質(zhì)量為2u2dA2dt，液體不可壓縮：

由質(zhì)量守恒定律，有：

（元流的連續(xù)性方程）§3-3一維恒定總流的連續(xù)性方程或：總流流量等于元流流量之和，故總流的連續(xù)性方程為：引入斷面平均流速：

對于理想液體或?qū)嶋H液體都適用。注意：當流量有流進或流出時，可以寫成：Q3Q1Q2Q2Q3Q1§3-3一維恒定總流的連續(xù)性方程§3-4一維恒定總流的能量方程一、恒定元流的能量方程1.推導過程u1u22'1'1'2'1122z1z2p1p2dA1dA2取恒定元流上的1-1和2-2兩斷面間的流段進行分析：經(jīng)過dt后,該段運動到1'-1'和2'-2'⑴§3-4一維恒定總流的能量方程動能定理：運動物體在某一時段內(nèi)，動能的增量，等于作用在這個物體上全部外力所做的功之和。dV1-1'=dV2-2'=dV。則重量=dV，dm=dV/g設1-1'段流速為u1，2-2'段為u2，則動能的增量為：2)12段上所有外力作功的總和液體所受的外力有：重力、邊界周圍的液體壓力和液體在流動過程中所受的摩擦阻力。1)1-1和2-2流段間的動能增量u1u22'1'1'2'1122z1z2p1p2dA1dA2液體不可壓縮，⑵§3-4一維恒定總流的能量方程a.重力作功W1=dV（z1-z2）若z1>z2則重力作正功；若z1<z2則重力作負功。b.壓力作功斷面1-1上的總壓力為P1=p1dA1，移動距離為ds1，作正功，為p1dA1ds1斷面2-2上的總壓力為P2=p2dA2，移動距離為ds2，作負功，為-p2dA2ds2壓力作功為：W2=p1dA1ds1-p2dA2ds2W2=p1dV

-p2dV=（p1-p2）dVdA1ds1=dA2ds2=dVu1u22'1'1'2'1122z1z2p1p2dA1dA2§3-4一維恒定總流的能量方程u1u22'1'1'2'1122z1z2p1p2dA1dA2c.摩擦阻力作功W3=-dVhw'

摩擦阻力對流體總是作負功，用-hw'表示摩擦阻力對單位重量液體所作的功，則：所有外力作功之和為：W=W1+W2+W3

W=dV(z1-z2)+(p1-p2)dV-dVhw'

………③將②式、③式代入①式，得：除以整理得：………④§3-4一維恒定總流的能量方程不可壓縮液體恒定元流的能量方程，又稱伯諾力方程。反映了恒定流中沿流各點的位置高度z、壓強p和流速u之間的變化規(guī)律。2.能量方程的物理意義和幾何意義1)物理意義伯諾力方程中的三項分別表示單位重量液體的三種不同的能量形式：z為單位重量液體的勢能（位能）。u2/2g為單位重量液體的動能。p/為單位重量液體的壓能（壓強勢能）z+p/=該質(zhì)點所具有的勢能§3-4一維恒定總流的能量方程hw'為單位重量的流體從斷面1-1流到2-2過程中由于克服流動的阻力作功而消耗的機械能。這部分機械能轉(zhuǎn)化為熱能而損失，因此稱為水頭損失。單位重量機械能既轉(zhuǎn)化又守恒的關系。2)幾何意義恒定元流伯諾力方程的各項表示了某種高度，具有長度的量綱：z為元流過水斷面上某點的位置高度，稱為位置水頭，其量綱[z]=[L]p/：壓強水頭。p為相對壓強時也即測壓管高度，其量綱為[p/]=[MLT-2/L2]/［MLT-2/L3］=[L]z+p/+u2/2g=總機械能§3-4一維恒定總流的能量方程u2/2g：流速水頭。即液體以速度u垂直向上噴射到空氣中時所能達到的高度，量綱為[u2/2g]=[L/T]2/［L/T2］=[L]在水力學上稱z+p/為測壓管水頭;z+p/+u2/2g為總水頭。二、恒定總流的能量方程單位時間內(nèi)通過元流兩過水斷面的全部液體的能量關系式為：§3-4一維恒定總流的能量方程測管水頭線z1ziz2總水頭線由于dQ=u1dA1=u2dA2

得到總流兩過水斷面的總能量之間的關系為：可分別寫成：---------------------------⑤§3-4一維恒定總流的能量方程§3-4一維恒定總流的能量方程上式包含三種類型的積分1、第一類積分為它是單位時間內(nèi)通過總流過水斷面的液體勢能的總和。為了確定這個積分需要知道總流過水斷面上的平均勢能或者找出總流過水斷面上各點的分布規(guī)律，而這一分布規(guī)律與該斷面上的流動狀況有關。液體的流動可分為漸變流與急變流兩類。漸變流（又稱緩變流）是指諸流線接近于平行直線的流動?！?-4一維恒定總流的能量方程這就是說，各流線的曲率很小(即曲率半徑很大)，而且流線間的夾角也很小。否則，就稱為急變流。漸變流與急變流沒有明確的界限、往往由工程需要的精度來決定。另外，漸變流的極限情況是流線為平行直線的均勻流。漸變流過水斷面具有下面兩個性質(zhì)：(1)漸變流過水斷面近似為平面；(2)恒定漸變流過水斷面上，動水壓強的分布與靜水壓強的分布規(guī)律相同?！?-4一維恒定總流的能量方程現(xiàn)證明如下：在過水斷面上、任意兩相鄰流線間取微小柱體，長為，底面積為。(如圖示)。分析該柱體所受軸線方向的作用力：上下底面的壓強:柱體自重沿軸線方向的投影，其中：為重力與軸線的夾角；側(cè)面上的動水壓強以及側(cè)面上的摩擦力趨于零；兩底面上的摩擦力因與柱軸垂直故在軸線方向投影為零；在恒定漸變流條件下慣性力可略去不計。根據(jù)達朗伯原理，沿軸線方向的各作用力與慣性力之代數(shù)和等于零，§3-4一維恒定總流的能量方程注意到代入化簡為積分得上式說明了恒定漸變流中同一過水斷而上的動水壓強按靜壓規(guī)律分布，但是對于不同的過水斷面，上式中的常數(shù)一般是不同的。若所取過水斷面處于均勻流和漸變流中，則斷面動水壓強符合靜水壓強分布規(guī)律。即：為常數(shù)有---------------------------⑥2、實際動能式中----------------⑦3、---------------------------⑧§3-4一維恒定總流的能量方程（動能修正系數(shù)）將⑥⑦⑧代入⑤。并注意到Q1=Q2=Q再兩邊除以rQ,則三、能量（伯諾力）方程的幾何表示——水頭線總流伯諾力方程的量綱：顯然其量綱：[z]=[L]Z：總流過水斷面上某點的位置高度，稱為位置水頭，其量綱[z]=[L]§3-4一維恒定總流的能量方程p/：壓強水頭。p為相對壓強時也即測壓管高度，其量綱為u2/2g：流速水頭。量綱為顯然：hw也具有長度的量綱z+p/稱為測壓管水頭，以Hp表示；z+p/+u2/2g稱為總水頭，以H表示?？偹^與測壓管水頭之差等于流速水頭?！?-4一維恒定總流的能量方程幾何線段表示總水頭線的坡度稱為水力坡度，表示沿程每單位距離上的水頭損失，通常用J表示。z1z2z3z4z5z6測管水頭線p1/p2/p3/p4/p5/p6/總水頭線1v2/2g2v2/2g3v2/2g4v2/2g5v2/2g6v2/2ghw1-2hw1-3hw1-4hw1-5hw1-6§3-4一維恒定總流的能量方程若總水頭線是傾斜直線，則：若總水頭線是曲線，水力坡度是變值，則：zipi/測管水頭線iv2/2g總水頭線hw1-i若流速不變，測管水頭線與總水頭線平行；流速沿程增大，總水頭線與測管水頭線之間的垂直距離沿程增大；流速變小，則垂直距離縮短?！?-4一維恒定總流的能量方程四、能量（伯諾力）方程的應用條件1.流體必須是恒定流，并且為不可壓縮液體；2.作用于流體上的質(zhì)量力只有重力，流體流動邊界是靜止的，除了流動損失的能量以外，在兩個斷面之間沒有能量輸入或輸出；3.計算斷面應為漸變流斷面或均勻流斷面；4.能量方程在推導過程中假定流量沿程不變。實際對于有流量分出或匯入的情況仍適用；§3-4一維恒定總流的能量方程若有能量輸入或輸出：5.必須選取一個基準面，為了方便，一般z0；6.方程兩邊的壓強必須一致。§3-4一維恒定總流的能量方程112233Q1Q3Q2Q1H11cc00d2A漸變流斷面v0vc水箱的來流斷面和收縮斷面是漸變流斷面11管道出口斷面1-1是漸變流斷面管道或明渠突然擴散和突然縮小附近為急變流突然縮小突然擴大3管道平面轉(zhuǎn)彎nsR111-1剖面管道頂部壓強分布漸變流斷面上動水壓強分布規(guī)律：水流射入大氣中時的漸變流斷面，動水壓強不服從靜水壓強分布規(guī)律例如，孔口收縮斷面，其上流線近似平行，各點均與大氣接觸，壓強約為大氣壓強。

固體邊界約束的漸變流過水斷面，動水壓強符合靜水壓強分布規(guī)律.典型的急變流：水流流過凸曲面（立面轉(zhuǎn)彎）nRgaHγHngaR水流流過凹曲面（立面轉(zhuǎn)彎）

HaγH

λγHv21212水面＝測壓管水頭線v1α1v122gα2v222gz1z2hw總水頭線v21212水面＝測壓管水頭線v1α1v122gα2v222gz1z2hw總水頭線11s22334455ipi/γv0hwiH0

總水頭線測壓管水頭線v022gH五、能量（伯諾力）方程應用舉例例1：無固體邊界約束。圖示為一跌水。已知a=4.0米，h=0.5米，V1=1.0米/秒，求水股2-2斷面處的流速V2。ahV11122v2解：①選取基準面0-000②選計算斷面1-1、2-2③計算點，即已知數(shù)最多的點，該點可代表斷面其他點?？偭鞯哪芰糠匠虨椋浩渲校簔1=a+h，z2=0，p1=p2=0hw1-2=0，取1=2=1.0§3-4一維恒定總流的能量方程代入：（米/秒）§3-4一維恒定總流的能量方程例2：①文丘里流量計：z1z21122d1d2hmhp1/p2/bQv由連續(xù)原理，恒定流中斷面平均流速與過水斷面面積成反比。喉道處斷面縮小，流速增加，動能增加，而總勢能只能減小，其減小值等于測壓管水頭差h，令：1=2=1.0，有§3-4一維恒定總流的能量方程即：…………①測得：………②由連續(xù)性方程知：則單位動能增值為：……③§3-4一維恒定總流的能量方程z1z21122d1d2hmhp1/p2/bQv將②、③代入①得：則：其中為文丘里系數(shù)§3-4一維恒定總流的能量方程實際流量式為：μ為文丘里管的流量系數(shù)，通常μ=0.970.99②比托管的測速原理AuuA=0，pA為最大值，點A稱為駐點，此時，液流的動能全部變成壓能。zA=zB=0，uA=0pB/uAB00hpA/§3-4一維恒定總流的能量方程考慮能量損失和對流場干擾：pB/uAB00hpA/§3-4一維恒定總流的能量方程h1動壓管靜壓管Δhh2AAA-A12例3試證明圖中所示的具有底坎的矩形斷面渠道中的三種水流是否有可能發(fā)生．證：（a）以0-0為基準面，列1-1，2-2斷面能量方程：整理得：假設這種水流可以發(fā)生必須＞與實際情況矛盾，故這種水流不可以發(fā)生。也可以比較兩個斷面上的總機械能的變化來判斷（總機械能不可能增加）。（b）以0-0為基準面，列1-1，2-2斷面能量方程：因為＞勢能沿程減少又＜動能沿程增加只要總機械能沿流程減少．也就是說勢能的減少能補償動能的增加與水頭損失之和，這種水流就有可能發(fā)生．§3-5一維恒定總流的動量方程動量定律：單位時間內(nèi)物體的動量變化等于作用于此物體的外力的合力。系統(tǒng)：質(zhì)量為常數(shù)的一團液體。控制體：被液體所流過的相對而言于某個坐標系的一個固定不變的空間區(qū)域。1-1′段上取一微小體積，質(zhì)量為：ZXY1'1'2'2'1122u1u2A1A2§3-5一維恒定總流的動量方程動量為一、恒定總流的動量方程1-1'段的動量為：同理可得2-2'段的動量。引入動量修正系數(shù)1，1表示了單位時間內(nèi)通過斷面的實際動量與單位時間內(nèi)以相應的斷面平均流速通過的動量的比值。一般液體中，1=1.021.05，常簡化采用1=1.0§3-5一維恒定總流的動量方程動量差：單位時間內(nèi)動量的變化是：ZXY1'1'2'2'1122u1u2A1A2P1P2GR'外力有：上游液體作用于斷面1-1上的動水壓力P1，下游液體作用于斷面2-2上的動水壓力P2，重力G和四周邊界對這段流體的總作用力R'。§3-5一維恒定總流的動量方程總流的動量定理為：ZXY1'1'2'2'1122u1u2A1A2P1P2GR'§3-5一維恒定總流的動量方程注意事項：1、應在兩漸變流斷面處取隔離體，但中間也可為急變流；2、動量方程是矢量式，式中的流速和作用力都是有方向的，視其方便選取投影軸，應注意各力及速度的正負號；3、外力包括作用在隔離體上的所有的質(zhì)量力和表面力。固體邊界對流體的作用力可事先假設其方向，若解出該力的計算值為正說明假設方向正確，否則實際作用方向與假設方向相反；4、應是輸出動量減輸入動量；5、動量方程只能求解一個未知數(shù)，若方程中未知數(shù)多于一個時，需和連續(xù)性方程、動量方程聯(lián)解；6、應該用相對壓強。例：如圖示：輸水管道在某處水平方向轉(zhuǎn)60°的彎，管徑d=500mm，流量Q=1m3/s。已知p1=18mH2O柱，p2=17.7mH2O柱，要求確定水流對彎管的作用力。yxo1122v1v2解：彎管內(nèi)的水流為急變流，對水流進行受力分析X、y方向的表達式：p1p2R'xR'yR'60°1122G§3-5一維恒定總流的動量方程§3-5一維恒定總流的動量方程令：1=2=1.0，代入上式：R'與x方向的夾角為：水流對彎管的作用力R與R'大小相等，方向相反?！?-5一維恒定總流的動量方程例2：在矩形渠道中修筑一大壩。已知單位寬度流量為15m3/s，水深h1=5m，h2=1.76m，求作用于單位寬度壩上的力F。假定摩擦力與水頭損失不計。h1h2Q1122p1p2R解：取隔離體總壓力：§3-5一維恒定總流的動量方程水平方向上的動量方程：§3-5一維恒定總流的動量方程R=（12.5-1.55-8.45）=2.59.8=24.5KN則水對壩的作用力F=-R=-24.5KN若h2未知，如何求解h2？解：其中：z1=h1=5mp1=0v1=3m/sα1=α2=1.0Z2=h2p2=0§3-5一維恒定總流的動量方程整理：h23-5.495h22+11.48=0利用試算法：h2=1.76m代入：§3-5一維恒定總流的動量方程§3-6恒定總流的動量矩方程動量矩定理：作用在系統(tǒng)上的外力對某固定點的力矩矢量和等于系統(tǒng)內(nèi)流體對同一點的動量矩對時間的導數(shù)。即：對一維恒定元流的動量矩方程：對一維恒定總流的動量矩方程：§3-6恒定總流的動量矩方程注意：V1和V2分別為流體流入控制體和流出控制體的絕對速度矢量。例：如圖為具有軸對稱噴水裝置，rA=rB=0.3米，噴嘴A和B的流量均為1.0l/s，噴嘴直徑均為25mm，不計損失，試確定噴水裝置的旋轉(zhuǎn)速度。vA'vA"rArBvB"

vB'ABOv1v2解：設旋轉(zhuǎn)速度為無外力作用于該系統(tǒng)

則有：取兩臂到出口段為控制體，則進入噴水管的流體對O軸之矩為零，即：§3-6恒定總流的動量矩方程則：而：絕對速度：因為：AA=AB=§3-6恒定總流的動量矩方程代入：1000110-3[(2.04-0.3)0.3+(2.04-0.3)0.3]=0=6.8（1/s）vA'vA"rArBvB"

vB'ABOv1v2§3-6恒定總流的動量矩方程§3~7連續(xù)性微分方程利用質(zhì)量守恒原理來導出三元流動的連續(xù)性微分方程在連續(xù)充滿整個流場的流體中，任取一個以點為中心的微小六面體。xzydxdydzMN流體通過點的流速為M點坐標N點坐標邊長為dx、dy、dz§3~7連續(xù)性微分方程按泰勒級數(shù)展開，可得M、N點的流體流速（忽略高階微量）同理：單位時間內(nèi)流進左面的質(zhì)量是：§3~7連續(xù)性微分方程單位時間內(nèi)流出右面的質(zhì)量是：單位時間內(nèi)在x方向上流出流進的質(zhì)量差為：同理在y、z方向上，質(zhì)量差為：§3~7連續(xù)性微分方程由質(zhì)量守恒，流出與流進六面體質(zhì)量差之總和等于六面體內(nèi)因密度變化而減少的質(zhì)量，即：整理：即為連續(xù)性微分方程的一般形式對于恒定流則：§3~7連續(xù)性微分方程對不可壓縮流體：ρ=常數(shù)則：上式表明液體的體積膨脹率為零，即一個方向上有拉伸，則在其它方向上必有壓縮?！?~7連續(xù)性微分方程§3~8理想液體的運動微分方程（歐拉方程）上節(jié)是從運動學角度分析流動規(guī)律，現(xiàn)在從動力學角度來探討流動原理在運動的理想流體中，任取一個以點為中心的微小六面體。邊長為dx、dy、dzxzydxdydzMN流體通過點的流速為§3~8理想液體的運動微分方程（歐拉方程）由牛頓內(nèi)摩擦定律得：切應力表面力只有動水壓強若點的動水壓強為則M、N點的動水壓強為：在x方向上，利用牛頓第二定律：§3~8理想液體的運動微分方程（歐拉方程）兩邊除以同理：稱為理想液體的運動微分方程，對恒定流或非恒定流，對不可壓縮流體或可壓縮流體都適用。§3~8理想液體的運動微分方程（歐拉方程）若為靜止流體，則加速度為零，上式變?yōu)椋簹W拉平衡微分方程自學：理想液體運動微分方程的積分，第96頁§3~8理想液體的運動微分方程（歐拉方程）§3~9液體微團的運動一元水動力學的四個基本方程：連續(xù)性方程、能量方程、動量方程、動量矩方程。下面介紹二元流動與三元流動的分析方法：剛體運動的組成：平移和繞某瞬時軸的轉(zhuǎn)動兩部分液體微團（質(zhì)點）的運動：除平移和轉(zhuǎn)動外，還要發(fā)生變形運動（包括線變形與角變形）通過分析微團上鄰近兩點的速度關系來說明這個問題若在時刻t流場中任一液體微團某點A(x，y，z）的速度分量為則相鄰點的速度分量可按泰勒級數(shù)展開得到?！?~9液體微團的運動oxyz·A(x,y,z)·M(x+dx,y+dy,z+dz)略去二階以上的微量，則為顯示液體微團運動的三個組成部分，將上式中的第一個式子并重新組織，得到：§3~9液體微團的運動同理：§3~9液體微團的運動引入符號：§3~9液體微團的運動ABCDxy物理意義：分析六面體微團的一個面在其所在的xoy平面上的運動，然后將結(jié)果推廣到y(tǒng)oz和zox平面上去，得到液體微團的三元流動情況。設在t時刻的矩形平面ABCD上A點的分速度為ux與uy，進而推出B、C、D點的速度分量。§3~9液體微團的運動xy§3~9液體微團的運動對液體微團運動的分析：⑴、ux、uy及uz分別是液體微團在x、y、z方向的平移速度。⑵、θx、θy、θz分別是液體微團在x、y、z方向的線變形速度。因為沿x方向的絕對變形（伸長或縮短）為：沿x方向的單位時間的相對變形為：即為x方向的線變形速度同理分別為y、z方向的線變形速度1、線變形速度§3~9液體微團的運動由材料力學：體積變形速度θ應等于三個方向線變形速度之和。在利用不可壓縮流體的連續(xù)性微分方程，可得：即不可壓縮流體的連續(xù)性微分方程描述了不可壓縮流體的體積變形速度為零。2、轉(zhuǎn)動角速度(忽略分母中高階微量）同理代表轉(zhuǎn)動的角速度§3~9液體微團的運動規(guī)定：順時針轉(zhuǎn)動為正，逆時針轉(zhuǎn)動為負?？梢钥闯觯FABCD經(jīng)過dt時間以后，由900內(nèi)產(chǎn)生后，其直角的變化速度是：直角的變化可以由三種不同的組合情況：⑴如dα、dβ轉(zhuǎn)動的方向相反，數(shù)值大小相等，即所以角分線A1M不轉(zhuǎn)動，說明液體只有剪切變形，微團不旋轉(zhuǎn)。⑵如dα、dβ轉(zhuǎn)動的方向相同，數(shù)值大小相等，即微團ABCD角仍等于900，說明微團只有旋轉(zhuǎn)，沒有剪切變形，但是角分線轉(zhuǎn)動了dθ角度。⑶一般情況，dα、dβ角轉(zhuǎn)動的方向和大小可能相等、也可能不相等，說明微團即有剪切變形又有旋轉(zhuǎn)運動?！?~9液體微團的運動定量關系的分析：角分線的旋轉(zhuǎn)角速度：在xoy平面內(nèi)，令3、剪切變形當微團既有剪切變形又有旋轉(zhuǎn)時，使A1B2轉(zhuǎn)動dα角是剪切和旋轉(zhuǎn)總效果造成的。因已知角速度為dα/dt，則從總效果中扣除旋轉(zhuǎn)運動后，就得到了剪切變形，稱為角變形速度。用表示§3~9液體微團的運動或?qū)⒁陨辖Y(jié)論推廣到三維空間，微團運動的基本形式：1、平移運動速度ux、uy、uz2、變形運動線變形速度（線變率）：角變率：§3~9液體微團的運動旋轉(zhuǎn)角速度：海姆霍茲速度分解定理：平移速度線變率角變率變形速度轉(zhuǎn)動的角速度§3~9液體微團的運動海姆霍茲速度分解定理說明：液體微團任一點M的速度大小等于平移速度+變形速度+轉(zhuǎn)動角速度；該式的重要意義還在于它把旋轉(zhuǎn)運動從一般運動中分離出來，這就可以把流體運動分成有旋流動和無旋流動。該定理的作用主要是分析問題，而不在于直接地用它算出某一具體的速度?！?~9液體微團的運動§3~10有旋流動與無旋流動無旋流動：質(zhì)點流速不形成微小質(zhì)團轉(zhuǎn)動的流動。也稱為有勢流動。有旋流動：質(zhì)點流速形成微小質(zhì)團轉(zhuǎn)動的流動。也稱為有渦流動。液體本身無旋轉(zhuǎn)，為無旋流動有旋§3~10有旋流動與無旋流動渦線微分方程：abcdabcdabcdabcd液體微團作無旋（渦）運動液體作平面圓周運動bacd液體作平面圓周運動液體微團作無渦運動bacd液體微團作有旋（渦）運動液體作平面圓周運動bacdbacdbacd無旋流動的條件：例1、水從桶底小孔自由泄流，水作近似圓周運動，各點的流速近似認為與半徑成反比，即，試判別這種流動類型。xy解：任一質(zhì)點的流速分量為：旋轉(zhuǎn)角速度為零無旋流動，但有角變形。例2若將盛水圓桶繞本身的鉛垂軸作等速旋轉(zhuǎn)，，判別流動類型。xy解：§3~10有旋流動與無旋流動有旋流動例3已知園管恒定流動的流速場為：試分析此流動有無線變形，有無角變形，該流場是有旋流場還是無旋流場?！?~10有旋流動與無旋流動解：無線變形有角變形有旋流動即直線均勻流也是有旋流動§3~10有旋流動與無旋流動§3~11流速勢與流函數(shù)、流網(wǎng)本節(jié)討論恒定無旋流動。1、流速勢：從數(shù)學分析知道，對于無旋流動，是使成為某一函數(shù)的全微分的充分與必要條件，則函數(shù)的全微分可寫成比較以上兩式得§3~11流速勢與流函數(shù)、流網(wǎng)這個函數(shù)稱為無旋流動的流速勢。無漩流必為有勢流，反之亦然?！?~11流速勢與流函數(shù)、流網(wǎng)從上式知道，對于無旋（勢）流，只要能確定流速勢一個未知數(shù)，便可方便地求得三個未知數(shù)，再利用伯努力方程進一步可求得壓強分布。所以，無旋（勢）流的關鍵在于確定流速勢。對于不可壓縮液體，利用連續(xù)性微分方程得或式中是拉普拉斯算子符§3~11流速勢與流函數(shù)、流網(wǎng)滿足該方程的函數(shù)稱為調(diào)和函數(shù)。對于xoy平面上的不可壓縮液體的平面（二元）流，上式分別寫為：2、流函數(shù)根據(jù)不可壓縮液體的平面流動的連續(xù)性微分方程，有它是使稱為某一函數(shù)的全微分的充分與必要條件，則有§3~11流速勢與流函數(shù)、流網(wǎng)所以就稱為不可壓縮液體的平面流動的流函數(shù)。實際上，無論是無旋勢流還是有旋流動，無論是理想液體還是實際液體，在不可壓縮液體的平面流動中必存在流函數(shù)。上式說明了若能確定流函數(shù)一個未知數(shù)，則可求得。若則得到顯然，這是平面流線方程。因此，等流函數(shù)線就是流線方程。例.對于

(1)是否有勢流動？若有勢，確定其勢函數(shù)。(2)是否是不可壓縮流體的流動？(3)求流函數(shù)。的平面流動，問：解：（1）為有勢流動，存在勢函數(shù)（2）若滿足即為不可壓縮流動為不可壓縮流體的流動，存在流函數(shù)

（3）§3~11流速勢與流函數(shù)、流網(wǎng)流函數(shù)還有另外一個物理意義，這就是：在不可壓縮液體的平面流動中，任意兩條流線的流函數(shù)之差等于這兩條流線間所通過的液體流量?，F(xiàn)證明如下：如圖所示，在流函數(shù)的兩條流線間有任一曲線AB(不一定垂直于流線)，在它上面任取一微元線段dl，假定垂直于流動平面的寬度等于1，則通過它的單寬流量為§3~11流速勢與流函數(shù)、流網(wǎng)故式中n是微元線段dl的法向單位矢量；是流速u在微元線段dl的法向分量。這一積分與曲線AB的形狀無關，僅決定于AB兩點的值。由此得證。y§3~11流速勢與流函數(shù)、流網(wǎng)3．流網(wǎng)不可壓縮液體的平面勢流中，勢函數(shù)與流函數(shù)有一定關系，即等勢線與等流函數(shù)線處處正交，現(xiàn)在證明這個問題：在等勢線上在等流函數(shù)上由第一個式子再利用得§3~11流速勢與流函數(shù)、流網(wǎng)由第二個式子再利用得則從解析幾何知道，上式說明了等勢線與等流函數(shù)線應相互垂直。等勢線與等流函數(shù)線構(gòu)成的正交網(wǎng)格稱為流網(wǎng)(如圖示)。在工程上，可利用繪制流網(wǎng)的方法，圖解與計算勢流流速場，再運用勢流的伯諾里方程便可計算壓強場。§3~11流速勢與流函數(shù)、流網(wǎng)例已知平面點源(匯)流動：(1)問是無旋流還是有旋流；(2)若是無旋流，求其流速勢；(3)求平面流動的流函數(shù)；(4)求壓強分布。解(1)§3~11流速勢與流函數(shù)、流網(wǎng)故所以是無旋流。(2)對于點源(匯)流動，為方便起見采用極坐標系。如圖示，§3~11流速勢與流函數(shù)、流網(wǎng)因故上式中積分常數(shù)可任意給定，現(xiàn)取積分常數(shù)等于零。從該式可見，等勢線是一簇以原點為心的同心圓(r＝常數(shù))。(3)因故§3~11流速勢與流函數(shù)、流網(wǎng)上式中，則積分常數(shù)等于零。從上式可見，等流函數(shù)線是一簇通過原點的射線(＝常數(shù))，由此說明了等勢線與等流函數(shù)線互相正交。(4)由式若不計重力的影響，則§3~11流速勢與流函數(shù)、流網(wǎng)得稱為平面點源(匯)強度。參考答案3~23~53~63~113~183~21第三章小結(jié)與習題課一、幾個基本概念恒定流與非恒定流均勻流與非均勻流漸變流與急變流二、恒定總流的連續(xù)性方程三、恒定總流的能量方程應用條件：1、恒定漸變流2、不可壓縮流體3、質(zhì)量力只有重力注意事項：1、沿流動方向在漸變流處取過水斷面列能量方程；2、基準面原則上可任意選取，但應盡量使各斷面的位置水頭為正值；3、壓強標準亦可任意選取，即可采用相對壓強也可采用絕對壓強，但對同一問題必須采用相同的標準。而當某斷面有可能出現(xiàn)真空現(xiàn)象時，盡量采用絕對壓強；4、對于管道計算點常取斷面中心點，對于帶自由液面的流動計算點常取在自由液面上；5、應取已知量盡量多的斷面；6、當一個問題中有2~3個未知量時，需和連續(xù)性方程、動量方程聯(lián)解；7、對于有分叉的管流或明渠流能量方程仍可應用，因為上述能量方程是對單位重量水體而言。四、恒定總流的動量方程注意事項：1、應在兩漸變流斷面處取隔離體，但中間也可為急變流；2、動量方程是矢量式，式中的流速和作用力都是有方向的，視其方便選取投影軸，應注意各力及速度的正負號；3、外力包括作用在隔離體上的所有的質(zhì)量力和表面力。固體邊界對流體的作用力可事先假設其方向，若解出該力的計算值為正說明假設方向正確，否則實際作用方向與假設方向相反；4、應是輸出動量減輸入動量；5、動量方程只能求解一個未知數(shù)，若方程中未知數(shù)多于一個時，需和連續(xù)性方程、動量方程聯(lián)解；6、應該用相對壓強。五、例題例1在應用能量方程時，為什么計算斷面不能取在急變流斷面？解答：為了確定積分式例2有一如圖所示的等直徑彎管，試問：⑴水流由低流向高處的AB管段中斷面平均流速v是否會沿程減少？在由高處流向低處的BC管段中斷面平均流速v是否會沿程增大？為什么？⑵如果不計管中的水頭損失，何處壓強最?。亢翁幾畲?？進口內(nèi)A點的壓強是否為γH？ABCH11解：⑴因為v=Q/A，V只與Q、A有關，與其他因素沒有關系，故從A→B→C，流速無變化。⑵選過A點水平面為基準面，對A、B兩點列能量方程：＞選過C點水平面為基準面，對A、C兩點列能量方程：＞＞＞對1—1和A點列能量方程：例3①粘性流體總水頭線沿程的變化是：⑴沿程下降；⑵沿程上升；⑶保持水平；⑷前三種情況都有可能。②粘性流體測壓管水頭線沿程的變化是：⑴沿程下降；⑵沿程上升；⑶保持水平；⑷前三種情況都有可能。例4水流從圖示水平放置的圓形噴管噴入大氣。已知噴嘴直徑，，若測得出口流速，試求水流對噴嘴的作用力F，不計水頭損失。解：取基準面（0-0與管軸重合），漸變流過水斷面（1-1、2-2）如圖所示，計算點均取在管軸上，則從1→2建立恒定總流的伯努力方程：由連續(xù)性方程：取得取在x方