北航水力學 第三章流體運動學

自然界和工程實際中，流體大多數(shù)處于流動狀態(tài)，流體的流動性是流體在存在狀態(tài)上與固體的最基本區(qū)別。第三章流體運動學本章介紹研究流體運動的兩種方式；以及相應的運動要素表達；跡線流線等概念；連續(xù)性方程；有旋運動與無旋運動；環(huán)量與渦量概念3.1.1拉格朗日法

著眼于研究流體中各質點的流動情況，跟蹤每一個質點，并觀察與分析該質點的運動歷程，然后綜合足夠多的質點的運動情況以得到整個流體運動的規(guī)律。這種方法本質上就是一般力學中的研究質點系運動的方法，稱為質點系法第三章流體運動學第一節(jié)

描述流體運動的方法描述流體運動形態(tài)和方式：拉格朗日法和歐拉法歐拉法

著眼于研究流體經過空間各固定點處的流動變化情況。綜合流場中足夠多的空間點上所觀測的運動要素及其變化規(guī)律，從而獲得整個流場的運動特性，所以又被稱為“空間點法”“流場法”在恒定流中，流動要素僅為空間位置坐標的函數(shù)，對時間的偏導數(shù)為零。3.1.2歐拉法中流體運動的基本概念3.1.2.1

流體的恒定流和非恒定流恒定流：

用歐拉法描述流動時，假定流場中各空間點上的任何流動要素（如流速向量、壓強、密度等）都不隨時間變化，稱為恒定流。

下面式子全部或部分成立：非恒定流：流場中各空間點上的流動要素（如流速向量、壓強、密度等）隨時間而變化①跡線（pathline）：某一流體質點在流動空間里所走的軌跡③

流線（streamline）：某時刻速度場中描述各空間點流動方向的曲線（即曲線的切線方向為流動方向）②染色線（streakline）：經過某一點的所有流體質點形成的軌跡流線的性質：

*流線是光滑連續(xù)的曲線，除了駐點（速度為零）外流線不能中斷和產生流線的疏密表示流動的快慢程度流線密集的地方流速大，而稀疏的地方流速小*

除了奇點外,流線不能相交和轉折

質點在同一時刻不可能有兩個速度向量

流體在不可穿透的固體邊界上，沿邊界法線方向的流速分量比等于零，流線將于該邊界的位置重合在恒定流時，流速場不隨時間改變，流線的位置和形狀也將保持不變，此時流線和跡線重合跡線、流線、染色線是重合的在非恒定流時，三種線不重合跡線方程：其中為某初始時刻流線微分方程：其中跡線微分方程：流線方程：流體質點的位置坐標跡線方程和流線方程已知流體中任一點的速度分量，由歐拉變數(shù)給出為時刻流體質點A位于原點。求時，通過點A（-1,1）的流線?！纠}】解：由流線微分方程即

得流線方程對于點A（-1,1）時，積分得總流：工程上將管道內或渠道中的流體稱為總流流管：由流線構成的管狀曲面流束：流管內的流體元流：微小流管內的流體3.1.2.3描述流動的一些基本概念過流截面（或過流斷面或有效截面）：流管內處處與流線垂直的截面，一般是曲面，當流管內所有流線均平行時，過流截面是平面流量：單位時間內通過過流截面的流體體積稱為體積流量，簡稱流量，通常用Q表示，量綱為m3/s三元流：流動參數(shù)是三個空間坐標函數(shù),二元流：流動參數(shù)是兩個空間坐標函數(shù),

一元流：流動參數(shù)是一個空間坐標函數(shù)，

3.1.2.4三元流、二元流、一元流二元流或近似二元流是實際流體中常見的流動。例如寬淺矩形斷面的順直明渠水流，水渠寬度很大，兩側邊壁對流速分布的影響可忽略不計，即流速可看做與z方向無關，僅僅是水流方向的坐標x和水深y的函數(shù)，此時的流動就可以看為二元流動。實際流動一般都是三元流動。

三元流分析時分析起來十分復雜，一般我們設法將其簡化為二元流或一元流。簡化過程中要引進修正系數(shù)，修正系數(shù)可通過實驗方法來確定。一維定常流：流動參數(shù)是一個空間坐標函數(shù)，與時間無關三維定常流：流動參數(shù)是三個空間坐標函數(shù)，與時間無關二維定常流：流動參數(shù)是兩個空間坐標函數(shù)，與時間無關均勻流：流線為直線且相互平行的流動漸變流：流線曲率半徑大，流線雖不平行，但夾角很小的流動（或緩變流）急變流：流線的曲率半徑較小，或流線之間的夾角較大，或兩者兼有3.1.2.5均勻流與非均勻流漸變流與急變流xzyoMdx(2u)dxuxrr?-?ur(2u)dxuxrr?+?

3.2.1流體運動的連續(xù)方程（微分形式）在空間流場中取一個以M（x,y,z）為中心的微小的六面體（微小控制體）。t時刻，M點流速為u，密度為第二節(jié)

流體運動的連續(xù)性方程xzyoMdx(2u)dxuxrr?-?ur(2u)dxuxrr?+?x方向，在時間里右側流出的流體質量：左側流入的流體質量：第二節(jié)

流體運動的連續(xù)性方程凈流入：左側流入–右側流出x方向由此，三個方向凈流入:時間里，微小六面體內流體密度的變化引起的質量增量：在即密度的變化凈流入質量守恒:①②不可壓縮流體為常數(shù)，不可壓縮流體運動的歐拉連續(xù)性微分方程可壓縮流體的歐拉連續(xù)性微分方程適用于恒定流和非恒定流對于不可壓縮液體，下面的流動是否滿足連續(xù)性條件?！纠}】解：滿足不滿足不滿足在三元不可壓縮流動中，已知【例題】（書例3-2）求滿足連續(xù)方程的的表達式。解：由連續(xù)方程積分得其中，c可為某一常數(shù)，也可以是與z無關的某一函數(shù)得得所以3.2.2總流的連續(xù)方程（管道中或者渠道中）（積分形式）設流體是均質的，則由質量守恒可得，等于流出質量2-2’，即面積分別為設流動為定常流動，則1’-2內流體質量不變，流入質量1-1’垂直于過流截面1-1和2-2的流速1-1和2-2是過流截面定義截面上的平均速度則有恒定總流的連續(xù)方程均質恒定總流的流量不變由于則(2)對于分支管道問題時，要考慮通過控制面的全部流量及源的流量。注意：(1)連續(xù)方程式是質量守恒的數(shù)學表達式，與流體性質，即對不可壓流：對可壓縮流：【例題】（書例3-3）

圖示，匯流分叉管路，已知流量

過斷面1-1的面積

求：斷面1-1的平均流速解：根據分叉管流動的連續(xù)性條件，有

因為，所以斷面1-1的平均流速為

【例題】

已知圓管過流斷面上的流速分布為管軸處最大流速圓管半徑

為某點距管軸的徑距。試求流量Q,以及斷面平均速度

。流體微團的運動

流體微團：由大量流體粒子組成的流體團，它有一個微小的尺度任意運動都可分解為上述4種運動①平移：象剛體一樣平移②轉動：象剛體一樣轉動③線變形：伸長或縮短④角變形：直角的改變流體微團的運動：第三節(jié)

流體微團運動的分析（1）線變形率單位時間流體面元單位長度的線變形類似的，流體面元:流體質點組成的微小平面若流體面元在x和y方向都有速度梯度，其長度則單位時間內面積相對膨脹率為:相應地，三維時，流體不可壓縮三個方向的線變形速率之和為零都要變化（2）角變形率（直角的改變率）

角變形率：一點鄰域內流體的角變形率為正交于該點的兩流體線元各自轉動角度的變化率的平均值。在方向有速度梯度在方向有速度梯度內，流體線元MA和MB分別轉過在微小的時間因為所以類似地，（3）轉動角速度

轉動角速度：某一點處正交于該點的兩流體線元角速度的平均值。逆時針為正類似地，①均勻流

②純旋轉流

平動轉動線變形角變形一些典型的流動流動中各流體微團的轉動角速度都為零:無旋流動第四節(jié)

無旋運動與有旋運動3.4.1有旋運動與無旋運動無旋流動自然界中，絕大多數(shù)流動都是有旋流動無旋流動是簡化的模型渦量：流體速度的旋度也稱為渦量，定義為角轉速的兩倍：3.4.2渦量與環(huán)量渦線：一條在有渦運動中反映瞬時角速度方向的曲線，即在某同一時刻，處于渦線上所有各點的流體質點的角轉速方向都與該點的切線方向重合，如圖所示。速度環(huán)量：流場中流速沿任一封閉曲線的線積分，速度環(huán)量的定義為渦管：由同一時刻的無數(shù)條渦線所組成的管狀封閉面稱為渦管。【例題】【書3-5】

水桶中的水從桶底中心孔流出時，可觀察到桶中的水以通過孔的鉛垂軸為中心，作近似的圓周運動，如圖所示，流速分布近似為