北航水力學(xué) 第三章流體運(yùn)動(dòng)學(xué)

自然界和工程實(shí)際中，流體大多數(shù)處于流動(dòng)狀態(tài)，流體的流動(dòng)性是流體在存在狀態(tài)上與固體的最基本區(qū)別。第三章流體運(yùn)動(dòng)學(xué)本章介紹研究流體運(yùn)動(dòng)的兩種方式；以及相應(yīng)的運(yùn)動(dòng)要素表達(dá)；跡線流線等概念；連續(xù)性方程；有旋運(yùn)動(dòng)與無(wú)旋運(yùn)動(dòng)；環(huán)量與渦量概念3.1.1拉格朗日法

著眼于研究流體中各質(zhì)點(diǎn)的流動(dòng)情況，跟蹤每一個(gè)質(zhì)點(diǎn)，并觀察與分析該質(zhì)點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)歷程，然后綜合足夠多的質(zhì)點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)情況以得到整個(gè)流體運(yùn)動(dòng)的規(guī)律。這種方法本質(zhì)上就是一般力學(xué)中的研究質(zhì)點(diǎn)系運(yùn)動(dòng)的方法，稱(chēng)為質(zhì)點(diǎn)系法第三章流體運(yùn)動(dòng)學(xué)第一節(jié)

描述流體運(yùn)動(dòng)的方法描述流體運(yùn)動(dòng)形態(tài)和方式：拉格朗日法和歐拉法歐拉法

著眼于研究流體經(jīng)過(guò)空間各固定點(diǎn)處的流動(dòng)變化情況。綜合流場(chǎng)中足夠多的空間點(diǎn)上所觀測(cè)的運(yùn)動(dòng)要素及其變化規(guī)律，從而獲得整個(gè)流場(chǎng)的運(yùn)動(dòng)特性，所以又被稱(chēng)為“空間點(diǎn)法”“流場(chǎng)法”在恒定流中，流動(dòng)要素僅為空間位置坐標(biāo)的函數(shù)，對(duì)時(shí)間的偏導(dǎo)數(shù)為零。3.1.2歐拉法中流體運(yùn)動(dòng)的基本概念3.1.2.1

流體的恒定流和非恒定流恒定流：

用歐拉法描述流動(dòng)時(shí)，假定流場(chǎng)中各空間點(diǎn)上的任何流動(dòng)要素（如流速向量、壓強(qiáng)、密度等）都不隨時(shí)間變化，稱(chēng)為恒定流。

下面式子全部或部分成立：非恒定流：流場(chǎng)中各空間點(diǎn)上的流動(dòng)要素（如流速向量、壓強(qiáng)、密度等）隨時(shí)間而變化①跡線（pathline）：某一流體質(zhì)點(diǎn)在流動(dòng)空間里所走的軌跡③

流線（streamline）：某時(shí)刻速度場(chǎng)中描述各空間點(diǎn)流動(dòng)方向的曲線（即曲線的切線方向?yàn)榱鲃?dòng)方向）②染色線（streakline）：經(jīng)過(guò)某一點(diǎn)的所有流體質(zhì)點(diǎn)形成的軌跡流線的性質(zhì)：

*流線是光滑連續(xù)的曲線，除了駐點(diǎn)（速度為零）外流線不能中斷和產(chǎn)生流線的疏密表示流動(dòng)的快慢程度流線密集的地方流速大，而稀疏的地方流速小*

除了奇點(diǎn)外,流線不能相交和轉(zhuǎn)折

質(zhì)點(diǎn)在同一時(shí)刻不可能有兩個(gè)速度向量

流體在不可穿透的固體邊界上，沿邊界法線方向的流速分量比等于零，流線將于該邊界的位置重合在恒定流時(shí)，流速場(chǎng)不隨時(shí)間改變，流線的位置和形狀也將保持不變，此時(shí)流線和跡線重合跡線、流線、染色線是重合的在非恒定流時(shí)，三種線不重合跡線方程：其中為某初始時(shí)刻流線微分方程：其中跡線微分方程：流線方程：流體質(zhì)點(diǎn)的位置坐標(biāo)跡線方程和流線方程已知流體中任一點(diǎn)的速度分量，由歐拉變數(shù)給出為時(shí)刻流體質(zhì)點(diǎn)A位于原點(diǎn)。求時(shí)，通過(guò)點(diǎn)A（-1,1）的流線?！纠}】解：由流線微分方程即

得流線方程對(duì)于點(diǎn)A（-1,1）時(shí)，積分得總流：工程上將管道內(nèi)或渠道中的流體稱(chēng)為總流流管：由流線構(gòu)成的管狀曲面流束：流管內(nèi)的流體元流：微小流管內(nèi)的流體3.1.2.3描述流動(dòng)的一些基本概念過(guò)流截面（或過(guò)流斷面或有效截面）：流管內(nèi)處處與流線垂直的截面，一般是曲面，當(dāng)流管內(nèi)所有流線均平行時(shí)，過(guò)流截面是平面流量：?jiǎn)挝粫r(shí)間內(nèi)通過(guò)過(guò)流截面的流體體積稱(chēng)為體積流量，簡(jiǎn)稱(chēng)流量，通常用Q表示，量綱為m3/s三元流：流動(dòng)參數(shù)是三個(gè)空間坐標(biāo)函數(shù),二元流：流動(dòng)參數(shù)是兩個(gè)空間坐標(biāo)函數(shù),

一元流：流動(dòng)參數(shù)是一個(gè)空間坐標(biāo)函數(shù)，

3.1.2.4三元流、二元流、一元流二元流或近似二元流是實(shí)際流體中常見(jiàn)的流動(dòng)。例如寬淺矩形斷面的順直明渠水流，水渠寬度很大，兩側(cè)邊壁對(duì)流速分布的影響可忽略不計(jì)，即流速可看做與z方向無(wú)關(guān)，僅僅是水流方向的坐標(biāo)x和水深y的函數(shù)，此時(shí)的流動(dòng)就可以看為二元流動(dòng)。實(shí)際流動(dòng)一般都是三元流動(dòng)。

三元流分析時(shí)分析起來(lái)十分復(fù)雜，一般我們?cè)O(shè)法將其簡(jiǎn)化為二元流或一元流。簡(jiǎn)化過(guò)程中要引進(jìn)修正系數(shù)，修正系數(shù)可通過(guò)實(shí)驗(yàn)方法來(lái)確定。一維定常流：流動(dòng)參數(shù)是一個(gè)空間坐標(biāo)函數(shù)，與時(shí)間無(wú)關(guān)三維定常流：流動(dòng)參數(shù)是三個(gè)空間坐標(biāo)函數(shù)，與時(shí)間無(wú)關(guān)二維定常流：流動(dòng)參數(shù)是兩個(gè)空間坐標(biāo)函數(shù)，與時(shí)間無(wú)關(guān)均勻流：流線為直線且相互平行的流動(dòng)漸變流：流線曲率半徑大，流線雖不平行，但夾角很小的流動(dòng)（或緩變流）急變流：流線的曲率半徑較小，或流線之間的夾角較大，或兩者兼有3.1.2.5均勻流與非均勻流漸變流與急變流xzyoMdx(2u)dxuxrr?-?ur(2u)dxuxrr?+?

3.2.1流體運(yùn)動(dòng)的連續(xù)方程（微分形式）在空間流場(chǎng)中取一個(gè)以M（x,y,z）為中心的微小的六面體（微小控制體）。t時(shí)刻，M點(diǎn)流速為u，密度為第二節(jié)

流體運(yùn)動(dòng)的連續(xù)性方程xzyoMdx(2u)dxuxrr?-?ur(2u)dxuxrr?+?x方向，在時(shí)間里右側(cè)流出的流體質(zhì)量：左側(cè)流入的流體質(zhì)量：第二節(jié)

流體運(yùn)動(dòng)的連續(xù)性方程凈流入：左側(cè)流入–右側(cè)流出x方向由此，三個(gè)方向凈流入:時(shí)間里，微小六面體內(nèi)流體密度的變化引起的質(zhì)量增量：在即密度的變化凈流入質(zhì)量守恒:①②不可壓縮流體為常數(shù)，不可壓縮流體運(yùn)動(dòng)的歐拉連續(xù)性微分方程可壓縮流體的歐拉連續(xù)性微分方程適用于恒定流和非恒定流對(duì)于不可壓縮液體，下面的流動(dòng)是否滿(mǎn)足連續(xù)性條件?！纠}】解：滿(mǎn)足不滿(mǎn)足不滿(mǎn)足在三元不可壓縮流動(dòng)中，已知【例題】（書(shū)例3-2）求滿(mǎn)足連續(xù)方程的的表達(dá)式。解：由連續(xù)方程積分得其中，c可為某一常數(shù)，也可以是與z無(wú)關(guān)的某一函數(shù)得得所以3.2.2總流的連續(xù)方程（管道中或者渠道中）（積分形式）設(shè)流體是均質(zhì)的，則由質(zhì)量守恒可得，等于流出質(zhì)量2-2’，即面積分別為設(shè)流動(dòng)為定常流動(dòng)，則1’-2內(nèi)流體質(zhì)量不變，流入質(zhì)量1-1’垂直于過(guò)流截面1-1和2-2的流速1-1和2-2是過(guò)流截面定義截面上的平均速度則有恒定總流的連續(xù)方程均質(zhì)恒定總流的流量不變由于則(2)對(duì)于分支管道問(wèn)題時(shí)，要考慮通過(guò)控制面的全部流量及源的流量。注意：(1)連續(xù)方程式是質(zhì)量守恒的數(shù)學(xué)表達(dá)式，與流體性質(zhì)，即對(duì)不可壓流：對(duì)可壓縮流：【例題】（書(shū)例3-3）

圖示，匯流分叉管路，已知流量

過(guò)斷面1-1的面積

求：斷面1-1的平均流速解：根據(jù)分叉管流動(dòng)的連續(xù)性條件，有

因?yàn)?，所以斷?-1的平均流速為

【例題】

已知圓管過(guò)流斷面上的流速分布為管軸處最大流速圓管半徑

為某點(diǎn)距管軸的徑距。試求流量Q,以及斷面平均速度

。流體微團(tuán)的運(yùn)動(dòng)

流體微團(tuán)：由大量流體粒子組成的流體團(tuán)，它有一個(gè)微小的尺度任意運(yùn)動(dòng)都可分解為上述4種運(yùn)動(dòng)①平移：象剛體一樣平移②轉(zhuǎn)動(dòng)：象剛體一樣轉(zhuǎn)動(dòng)③線變形：伸長(zhǎng)或縮短④角變形：直角的改變流體微團(tuán)的運(yùn)動(dòng)：第三節(jié)

流體微團(tuán)運(yùn)動(dòng)的分析（1）線變形率單位時(shí)間流體面元單位長(zhǎng)度的線變形類(lèi)似的，流體面元:流體質(zhì)點(diǎn)組成的微小平面若流體面元在x和y方向都有速度梯度，其長(zhǎng)度則單位時(shí)間內(nèi)面積相對(duì)膨脹率為:相應(yīng)地，三維時(shí)，流體不可壓縮三個(gè)方向的線變形速率之和為零都要變化（2）角變形率（直角的改變率）

角變形率：一點(diǎn)鄰域內(nèi)流體的角變形率為正交于該點(diǎn)的兩流體線元各自轉(zhuǎn)動(dòng)角度的變化率的平均值。在方向有速度梯度在方向有速度梯度內(nèi)，流體線元MA和MB分別轉(zhuǎn)過(guò)在微小的時(shí)間因?yàn)樗灶?lèi)似地，（3）轉(zhuǎn)動(dòng)角速度

轉(zhuǎn)動(dòng)角速度：某一點(diǎn)處正交于該點(diǎn)的兩流體線元角速度的平均值。逆時(shí)針為正類(lèi)似地，①均勻流

②純旋轉(zhuǎn)流

平動(dòng)轉(zhuǎn)動(dòng)線變形角變形一些典型的流動(dòng)流動(dòng)中各流體微團(tuán)的轉(zhuǎn)動(dòng)角速度都為零:無(wú)旋流動(dòng)第四節(jié)

無(wú)旋運(yùn)動(dòng)與有旋運(yùn)動(dòng)3.4.1有旋運(yùn)動(dòng)與無(wú)旋運(yùn)動(dòng)無(wú)旋流動(dòng)自然界中，絕大多數(shù)流動(dòng)都是有旋流動(dòng)無(wú)旋流動(dòng)是簡(jiǎn)化的模型渦量：流體速度的旋度也稱(chēng)為渦量，定義為角轉(zhuǎn)速的兩倍：3.4.2渦量與環(huán)量渦線：一條在有渦運(yùn)動(dòng)中反映瞬時(shí)角速度方向的曲線，即在某同一時(shí)刻，處于渦線上所有各點(diǎn)的流體質(zhì)點(diǎn)的角轉(zhuǎn)速方向都與該點(diǎn)的切線方向重合，如圖所示。速度環(huán)量：流場(chǎng)中流速沿任一封閉曲線的線積分，速度環(huán)量的定義為渦管：由同一時(shí)刻的無(wú)數(shù)條渦線所組成的管狀封閉面稱(chēng)為渦管?！纠}】【書(shū)3-5】

水桶中的水從桶底中心孔流出時(shí)，可觀察到桶中的水以通過(guò)孔的鉛垂軸為中心，作近似的圓周運(yùn)動(dòng)，如圖所示，流速分布近似為