2023年電大數(shù)學思想方法考點版全網(wǎng)最全最多答案

一、填空題1古代數(shù)學大體可以分為兩種不同的類型,一種是崇尚邏輯推理,以《幾何原本》為代表;一種是長于計算和實際應用，以(《九章算術》）為典范。2、在數(shù)學中，建立公理體系最早的是幾何學,而這方面的代表著作是古希臘歐幾里得（《幾何原本》）３、《幾何原本》所開創(chuàng)的(公理化）方法不僅成為一種數(shù)學陳述模式，并且還被移植到其它學科,并且促進他們的發(fā)展。4、推動數(shù)學發(fā)展的因素重要有兩個：(1）(實踐的需要，(2)理論的需要)數(shù)學思想方法的幾次突破就是這兩種需要的結果。5、變量數(shù)學產(chǎn)生的數(shù)學基礎是（解析幾何）,標志是(微積分）6、(數(shù)學基礎知識和數(shù)學思想方法)是數(shù)學教學的兩條主線。7、隨機現(xiàn)象的特點是（在一定條件下,看你發(fā)生某種結果,也困難不發(fā)生某種結果。8、等腰三角形的抽象過程，就是把一個新的特性（兩邊相等)加入到三角形概念中去,使三角形概念得到強化。９、學生理解或掌握數(shù)學思想方法的過程有如下三個重要階段，(潛意識階段、明朗化階段、深刻理解階段)１０、數(shù)學的統(tǒng)一性是客觀世界統(tǒng)一性額反映,是數(shù)學中各個分支固有的內在聯(lián)系的體現(xiàn),它表現(xiàn)為（數(shù)學的各個分支互相滲透和互相結合）的趨勢。11、強抽象就是指通過（把一些新特性加入到某一概念中去而形成新概念的抽象過程。１２、菱形概念的抽象過程就是把一個新的特性(一組鄰邊相等)加入到平行四邊形概念中去,使平行四邊形概念得到了強化。13、演繹法與(歸納法）被認為是理性思維中兩種最重要的推理方法。14、所謂類比是指（由一類事物所具有的某種屬性,可以推測與其類似的事物也具有該屬性的一種推理方法）常稱這種方法為類比法，也稱類比推理、15、反例辯駁的理論依據(jù)是形式邏輯的（矛盾律）１6、猜想具有兩個顯著特點：（具有一定的科學性、具有一定的推測性）１7、三段論是演繹推理的重要形式,三段論由（大前提、小前提、結論)三部份組成。18、化歸方法是指(把待解決的問題，通過某種轉化過程，歸結到一類已經(jīng)能解決或較易解決的問題中，最終獲得原問題的答的一種方法)１9、在化歸過程中,應遵循的原則是(簡樸化原則、熟悉化原則、和諧化原則）2０、在計算機時代，(計算方法）已經(jīng)成為與理論方法,實驗方法并列的第三種科學方法。21、算法具有下列特點(有限性、擬定性、有效性)２２、算法大體可以分為（多項式算法和指數(shù)型算法)23、勻速直線運動的數(shù)學模型是（一次函數(shù))24、所謂數(shù)學模型方法是（運用數(shù)學模型解決問題的一般數(shù)學方法)2５、分類必須遵循的原則是（不反復、無漏掉、標準同一。)2６、所謂數(shù)形結合方法,就是在研究數(shù)學問題時,(由數(shù)思形、見形思數(shù)、數(shù)形結合考慮問題的）一種思想方法。２7、所謂特殊化是指在研究問題過程中(從對象的一個給定集合出發(fā),進而考慮某個包含于該集合的較小集合）的思想方法。28、面對一個問題，通過認真的觀測和思考，通過歸納或類比提出猜想，然后從兩個方面入手（演繹證明此猜想為真、或者尋找反例說明此猜想為假)，并進一步修正或否認此猜想。2９、化歸方法的三個要素是(化歸對象、化歸目的、化歸途徑）30、根據(jù)學生掌握數(shù)學思想方法的過程由潛意識、明朗化、深刻理解三個階段，課相應地將數(shù)學思想方法教學設計成(多次孕育、初步理解、簡樸應用）三個階段。31、(數(shù)學思想方法）是聯(lián)系數(shù)學知識與數(shù)學能力地紐帶，是數(shù)學科學地靈魂,它對發(fā)展學生的數(shù)學能力,通過學生的思維品質都具有十分重要的作用。32、一個概括過程涉及(比較、區(qū)分、擴張和分析）等幾個重要環(huán)節(jié)。33、算法的有效性是指（假如使用該算法從它的初始數(shù)據(jù)出發(fā),可以得到這一問題的對的解決)34、數(shù)學從研究對象大體可以提成兩大類,（數(shù)量關系、空間形式）二、判斷題（只要答是或否)１、計算機是數(shù)學的發(fā)明物，又是數(shù)學的發(fā)明者。(是）2、抽象得到的新概念與表達本來的對象的概念之間一定有種屬關系(否）3、一個數(shù)學理論體系內的每一個命題都必須給出證明(否)4、九章算術不涉及代數(shù)、幾何內容（否)5、即沒有脫離數(shù)學知識的數(shù)學思想方法,也沒有不涉及數(shù)學思想方法的數(shù)學知識（是）6、數(shù)學模型方法在生物學。經(jīng)濟學、軍事學等領域沒應用(否)7、在解決數(shù)學解時，往往需要綜合運用多種數(shù)學思想方法才干取得效果(是）8、假如某一類問題存在算法，并且構造出這個算法，就一定能求出該解的精確解。（否）９、對同一數(shù)學對象，若選取不同的標準,可以得到不同的分類(是）10、數(shù)學思想方法教學從屬于教學范疇，只要貫徹通常的數(shù)學教學原則,就可實現(xiàn)數(shù)學思想方法的教學目的（否）11、由類比法推得的結論必然對的（否）12、有時特殊情況能與一般情況等價(否)13、完全歸納法實質上屬于演繹推理的范疇（是)１4、古希臘的柏拉圖曾在他的學校門口張榜聲明，不懂幾何的人不得入內，這是由于他的學校里所學習的課程要用到很多幾何知識(否）15、完全歸納法的一般推理形式是:設ｓ=A1Ａ2Ａn,由于A１A2An具有性質P,因此推斷幾何ｓ中的每一個對象都具有性質P(否）二簡答題1、為什么說《幾何原本》是一個封閉的演繹體系？《幾何原本》是數(shù)學中最早形成的演繹體系。在形式上,它是以少數(shù)原始概念,如點、線、面等等,和不證明的公設和公里為基礎，運用亞里士多德所創(chuàng)建的邏輯學，把當時所知的幾何學中的重要命題所有推表演來，從而形成一個井然有序的整體。在這個整體中，除了推導時所需要的邏輯規(guī)則外，每個定理的證明所采用的論據(jù)均是公設、公理或前面已經(jīng)證明過的定理，因此《幾何原本》是一個封閉的演繹體系。此外，從《幾何原本》與當時的社會生產(chǎn)、生活的關系看,它的理論體系的理論體系回避任何與社會生產(chǎn)現(xiàn)實生活有關的應用問題,因此對于社會生活的各個領域來說,它也是封閉的。所以，《幾何原本》是一個封閉的演繹體系。2、試對《九章算術》思想方法的一個特點算法化內容加以說明?《九章算術》在每一章內先列舉若干個實際問題,并對每個問題都給出答案，然后再給出“術”,作為一類問題的共同解法。以后碰到其他同類問題，只要按“術”給出的程序去做就一定能求出問題的答案，書中的“術”就是算法。3、簡述擬定性現(xiàn)象、隨機現(xiàn)象的特點,以及擬定性數(shù)學的局限性?人們經(jīng)常碰到兩類截然不同的現(xiàn)象，一類是決定性現(xiàn)象。其特點是：在一定的條件下,其結果完全被決定,或者完全肯定,或者完全否認,不存在其他也許。即這種現(xiàn)象在一定的條件下必然會發(fā)生某種結果，或者必然不會發(fā)生某種結果另一類是隨機現(xiàn)象,其特點是：在一定的條件下，也許發(fā)生某種結果，也也許不發(fā)生某種結果。在數(shù)學學科中,人們經(jīng)常把研究決定性現(xiàn)象數(shù)量規(guī)律的那些數(shù)學分支稱為擬定數(shù)學。用這些的分支來定量地描述某些決定性現(xiàn)象的運動和變化過程，從而擬定結果。但是由于隨機現(xiàn)象條件和結果之間不存在必然性聯(lián)系,因此不能用擬定數(shù)學來加以定量描述。同時擬定數(shù)學也無法定量地揭示大量同類隨機現(xiàn)象中所蘊涵的規(guī)律性。這些是擬定數(shù)學的局限所在。4、簡述計算機在數(shù)學方面的三種新用途？在數(shù)學方面，計算機至少有三種新的用途，第一,用來證明一些數(shù)學命題,而通常證明這類命題，需要進行異常巨大的計算與演繹工作;第二，用來預測某些數(shù)學問題的也許結果；第三，用來作為一種驗證某些數(shù)學問題結果的對的性的方法。5、簡述數(shù)學抽象的特性?數(shù)學抽象有以下特性:（1)數(shù)學抽象具有無物質性。數(shù)學抽象擺脫了客觀事物的物質性質,從中抽取其數(shù)與形，因而數(shù)學抽象具有無物質性。(2)數(shù)學抽象具有層次性:數(shù)學概念是數(shù)學抽象的結果,但是不同的數(shù)學概念又表現(xiàn)出數(shù)學抽象的層次性。例如，自然數(shù)概念是從客觀事物中抽象出來的,字母a表達的數(shù)又是在對數(shù)的抽象后的結果。(3)數(shù)學抽象過程要憑借分析或直覺;(4)數(shù)學的抽象不僅有概念抽象尚有方法抽象6、簡述化歸方法在數(shù)學教學中的應用？化歸方法在數(shù)學教學中的功能至少可以歸結為以下三個方面:(1)運用化歸方法學習新知識:數(shù)學中許多概念的形成過程或數(shù)學的定義,就是滲透著化歸的思想方法。實數(shù)的引進以及運算法則和大小比較的擬定,是建立在有理數(shù)運算和大小比較的基礎上的，它是借助極限來實現(xiàn)這種轉化的。（２）運用化歸方法指導解題;（3)運用化歸原則理清知識結構:運用化歸思想方法可將零星紛亂的知識編織成一張有序的主次分明的知識網(wǎng)絡,做到易懂、易記、易用。7、簡述用MM數(shù)學模型解決實際問題的基本環(huán)節(jié),并用框圖加以表述？用ＭM方法解決實際問題的基本環(huán)節(jié)為（1）從現(xiàn)實原型抽象概括出數(shù)學模型；（2）在數(shù)學模型上進行邏輯推理、論證或演算,求得數(shù)學問題的解；（３)下數(shù)學模型過渡到現(xiàn)實原型,即把研究數(shù)學模型所得到的結論，返回到現(xiàn)實原型上去,便得到實際問題的解答。MM方法解題的基本環(huán)節(jié)框圖表達如下：

８、試用框圖表達用特殊化方法解決實際問題的一般過程?用特殊化解決問題的一般過程,可以用框圖表達，若我們面對的問題A解決起來比較困難,可以先將A特殊化為，由于與A相比較,外延變小,因此內涵勢必增多,所以由所導出的結論，它包含的內涵一般也會比較多。把信息反饋到問題A中,就會為問題解決提供一些新的信息，再去推導結論B就會比較容易一些。若解決問題A仍有困難,即可對A再次進行特殊化，進一步增長信息量,如此反復多次,最終推得結論Ｂ,使問題A得以解決。(若信息不夠則反復進行)9簡述化歸方法的和諧化原則？和諧化是數(shù)學內在美的重要內容之一。美與真在數(shù)學命題和數(shù)學解題中一般是統(tǒng)一的。因此,我們在解題過程中，可根據(jù)數(shù)學問題的條件或結論以及數(shù)、式、形等結構特性，運用和諧美去思考問題,獲得解題信息,從而確立解題的總體思緒，達成以美啟真的作用。例如：

10、什么是算法的有限性特點？試舉一個不符合有限性特點的例子。一個算法必須在有限步內終止。例如，十進制小數(shù)的除法的算法。若取數(shù)4．5和3作為初始數(shù)據(jù)，計算過程為

得到的結果為1.5.但是對初始數(shù)據(jù)２0和3,計算過程為

無論如何延續(xù)這個過程都不能結束，同時也不會中斷.假如在某一處中斷過程,我們只能得到一個近似的、步準確的結果。并且假如在某一處中斷計算過程已經(jīng)不是執(zhí)行本來的算法?？梢?十進制小數(shù)除法對于2０和3這組數(shù)不符合算法的“有限性”特點。1１、簡述培養(yǎng)數(shù)學猜想能力的途徑？用猜想學習新知識；用猜想探究數(shù)學規(guī)律用猜想幫助解題。12、簡述特殊化方法在數(shù)學教學中的應用?答特殊化方法在數(shù)學教學中的應用大體有如下幾個方面:①運用特殊值（圖形)解選擇題;②運用特殊化探求問題結論；③運用特例檢查一般結果;④運用特殊化探索解題思緒。1３、什么是類比猜想？并舉一個例子說明人們運用類比法，根據(jù)一類事物所具有的某種屬性,得出與其類似的事物也具有這種屬性的一種推測性的判斷，即猜想,這種思想方法稱為類比猜想。例如，分式與分數(shù)非常相似,只但是用字母替代數(shù)而已。因此,我們可以猜想,分式與分數(shù)在定義、基本性質、約分、通分、四則運算等方面都是相應相似的。事實也確是如此。1４、什么是歸納猜想？并舉一個例子說明。人們運用歸納法,得出對一類現(xiàn)象的某種一般性結識的一種推測性的判斷,即猜想,這種思想方法稱為歸納猜想。例如，人們在量度了很多圓的周長和半徑以后，發(fā)現(xiàn)它們的比值總是近似地等于3.14，于是提出了圓周率是3.14地猜想。后來數(shù)學家從理論上證明了圓周率地數(shù)值為，果然和3.14很接近。１5、簡述將化隱為顯列為數(shù)學思想方法教學的一個原則的理由。由于數(shù)學思想方法往往隱含在知識的背后,知識教學雖然蘊含著思想方法，但是假如不是由意識地把數(shù)學思想方法作為教學對象，在數(shù)學學習時,學生經(jīng)常只注意到處在表層地數(shù)學知識，而注意不到處在深層的思想方法。因此，進行數(shù)學思想方法教學時必須以數(shù)學知識為載體,把隱藏在知識背后的思想方法顯示出來，使之明朗化，才干通過知識教學達成思想方法教學之目的。例如在解決有關應用問題時，為了使學生弄清問題的數(shù)量關系，尋找到有效的解題策略，往往借助圖示就能使問題得到解決。這種將圖形與數(shù)量關系緊密聯(lián)系起來解決問題的數(shù)形方法，教材中并沒有明確地表述出來,需要學生專心體會,才干領悟到,但這不是所有學生都能達成的。實行數(shù)學思想方法教學,就規(guī)定教師按照“化隱為顯”的原則,對教材下一番改造制作的功夫。

二、解答題1、運用方程模型解答應用題時,其中最重要的是“設想問題已經(jīng)解出”，“用兩種不同方法表達同一個量”，“方程個數(shù)和未知量個數(shù)相等”這三個要點，這是為什么,請闡述你的理解。設想問題已經(jīng)解出，即在列式時將未知量與已知量同等對待。這是列方程中的一個重要思想，也是它優(yōu)于算術之處。在算術列式中，未知量只能列在等號左邊,且系數(shù)必須為1,已知量只能在等號右邊出現(xiàn)。已知量與未知量的地位截然不同，因此列式比較困難,而在方程列式中,已知量與未知量處在同等地位，都可以在等號兩邊出現(xiàn),于是列式就容易多了。“用兩種不同方法表達同一個量”這是列方程的關鍵。所謂方程,其實就是用兩種不同的方法表達同一個量，并用等號聯(lián)結起來?！胺匠虃€數(shù)和未知量個數(shù)相等”是為了得到擬定的解,這里有一個自由度的思想,當方程個數(shù)少于未知量個數(shù)時,就會出現(xiàn)不定方程（組），這時方程(組)的解一般會有無窮多個。2什么是類比推理？類比推理的表達形式?如何才干增長結論的可靠性?答：所謂類比，是指由一類事物所具有的某種屬性,可以推測與其類似的事物也具有這種屬性的一種推理方法。常稱這種方法為類比法，也稱類比推理。類比推理通常可用下列形式來表達：A具有性質B具有性質因此，B也也許具有性質。其中,分別相同或相似。欲提高類比的可靠性，應盡量滿足條件:(1)A與B共同（或相似)的屬性盡也許地多些;(2)這些共同(或相似)的屬性應是類比對象Ａ與B的重要屬性;(3)這些共同(或相似)的屬性應涉及類比對象的各個不同方面，并且盡也許是多方面的；(4)可遷移的屬性d應當是和屬于同一類型。符合上述條件的類比，其結論的可靠性雖然可以得到提高,但仍不能保證結論一定對的。３、圓周角定理證明思緒如下：

將圓周角的兩邊所處的位置提成三種情況,(1)角的一邊落在直徑上(２)角的兩邊在某一直徑的兩側(3)角的兩邊在某一直徑的同側。如圖所示，先對情況(1)進行證明,然后將情況（2）（3）轉化為情況(1）分別進行證明。最后得出圓周角定理對任意圓周角都成立的結論。證明中用到下面幾種數(shù)學思想方法：（１）將圓周角提成三種情況,用到分類方法(2）先證明角恰有一邊在直徑上的特殊情況,用到特殊化方法(3）將其他兩種情況轉化為角恰有一邊在直徑上的情況用到化歸方法（4)通過對所以三種情況證明,然后得出圓周角定理的結論，用到完全歸納法(5)在證明過程中需要進行演繹推理，因此用到演繹方法。

４、以“結識長方形對邊相等”為內容,設計一個教學片斷。（規(guī)定（1）教學過程要比較具體,合理具有一定的層次（２)要有與數(shù)學知識教學相聯(lián)系的本課程所學習的數(shù)學思想方法教學內容,不少于3００字。將教學過程設計成四個層次：(1）讓學生說一說,我們周邊有哪些長方形物體？學生會舉出黑板、桌面、教室的門、課本的封面等例子。(２）規(guī)定學生仔細觀測:看一看、想一想，這些長方形的四條邊的長短有什么關系？學生通過觀測后,會猜想：長方形相對的兩條邊長度相等。（3)教師進一步提出問題:同學們敢于大膽猜想的精神值得鼓勵!我們如何才干驗證長方形相對的兩條邊長短相等呢?這時，學生會想出許多辦法，如：用尺量、將圖形對折等方法。教師順勢引導學生通過量量、折折的具體＊作，確信長方形相對的兩條邊長短相等。教師板書：長方形對邊相等。接著,師生討論長方形“對邊”的含義,以及一個長方形有幾組對邊的問題。（４)鞏固長方形對邊相等的結識。運用多媒體展示下面的長方形：

師：如何填寫括號內的數(shù)字？為什么規(guī)定學生會用“由于所以”句式回答。如由于長方形的對邊相等，已知長方形的一條邊是4厘米,所以它的對邊也是4厘米。一、填空題(本大履滿分３0分。本大題共有10題,每個空桔填對得３分，否則一律得零分)1．《幾何原本》所開創(chuàng)的公理化方法不僅成為—種數(shù)學陳述模式,并且還被移植到其它學科，并且促進它們的發(fā)展.2．隨機現(xiàn)象的特點是在一定條件下，也許發(fā)生某種結果,也也許不發(fā)生某種結果。3.等腰三角形概念的抽象過程，就是把一個新的特性:兩邊相等加入到三角形概念中去，使三角形概念得到強化.４.類比法是指，由一類事物所具有的某種屬性,可以推測與其類似的事物也具有這種屬性的一種推理方法．5。面對一個問愿,通過認真的觀測和思考，過歸納或者類比提出猜想,然后從兩個方面人手;演繹證明此猜想為真；或者尋找反例說明此猜想為假并且進一步修正成否認此猜想．６．化歸方法包含的三個要素是：化歸對象、化歸日標、化歸途徑。7．算法的有效性是指,假如使用該算法從它的初始數(shù)據(jù)出發(fā),可以得到這一問題的對的解8．數(shù)學的研究對象大體可以提成兩類①研究數(shù)量關系，②研究空間形式。９。一個科學的分類標準必須可以將需要分類的數(shù)學對象，不反復．無漏掉進行的劃分。10.根據(jù)學生掌握數(shù)學思想方法的過程有潛意識階段、明朗化階段和深刻理解階段等三個階段,可相應地將小學數(shù)學思想方法教學設計成多次孕育、初步理解、簡樸應用三個階段。二、判斷（本大題滿分10分。本大題共有5題，請在每題后面的圓括號內填寫”是”或·否’，答對得2分,)1，《九章算術》不涉及代數(shù)、幾何內容．否2.抽象和概括是兩種完全不同的方法否3.沒有脫離數(shù)學知識的數(shù)學思想方法,也沒有不包含數(shù)學思想方法的數(shù)學知識.是4.數(shù)學模型方法是物理學、工程學的專利，在生物學、經(jīng)濟學、軍事學等領域投有應用．否5.在解決敷學問題時,往往需要綜合運用多種數(shù)學思想方法才干奏效.是三、簡答題(本大題滿分30分。本大題共有５題,只要筒明扼要地寫出答案，每題均為６分)１．為什么說《幾何原本》是一個封閉的演繹體系?、①《幾何原本》以少數(shù)原始概念和公設、公理為基礎,運用邏輯規(guī)則將當時所知的幾何學中的重要命題（定理)全都推出來，從而形成一個井然有序的整體.在這個體系中,除了邏輯規(guī)則外，每個定理的證明所采用的論據(jù)均是公設、公理或dS面已證明的定理，并且引入的概念(除原始概念）也基本上符合邏輯上對概念下定義的規(guī)定,原則上不再依賴其它東西.②此外．《幾何原本）回避任何與社會生產(chǎn)現(xiàn)實生括有關的應用問題，對社會生活的各個領域來說也是封閉的.因此，（幾何原本)是一個相對封閉的演繹體系．2．簡述計算機在數(shù)學方面的三種新用途。第一，用來證明一些數(shù)學命題;第二,用來預測某些數(shù)學問題的也許結果，第三,用來驗證某些數(shù)學問題的結果的對的性．３.試用框鬮表達出ＭM方法解題的基本環(huán)節(jié)。MＭ方法解題的基本環(huán)節(jié)可用框圖表達為:

4.簡述化歸方法在數(shù)學教學中的應用。化歸方法在數(shù)學教學中的應用至少有以下三個方面：1)運用化歸方法學習新知識,②運用化歸方法指導解題，①運用化歸方法整理知識結構.5.什么是算法的有限性特點?試舉一個不符合算法有限性特點的例子．算法的有限性是指.一個算法必須在有限步之內終止．以十進翻小數(shù)的除法這個算法為例，如取敷2和3作為初始數(shù)據(jù),則有2--3=Ｏ．6666…無論如何延續(xù)這個過程都不能結束,同時也不會出現(xiàn)中斷．因此,除法對于2和3這組數(shù)不符合算法有限性特點．四、解答題(本大題滿分3０分。本大屬共有2題,每題均為15分)1．圓周角定理證明思緒如下：將四周角的兩邊所處的位置提成三種情況:①角的一邊落在直徑上;②角的兩邊在某—直徑的兩側,③角的兩邊在某一直徑的同側．如上田所示．先對情況①進行證明,然后將情況②、③轉化為情況①分別進行證明.最后得出圓周角定理對任意圓周角都成立的結論。試具體分析上述證明中需要用到哪些數(shù)學思想方法。該證明中需用到”Ｆ面幾種數(shù)學思想方法，①將圃周角提成三種情況，用到分類方法;②先證明情況①而情況①是角恰有一邊在直徑上的特殊情況，用到特殊化方法:②通過對所有三種情況的證明，最后得出圓周角定理的結論,用到完全歸納法,④在證明過程中需要進行演繹推理，因此用到演繹方法.2.以“三角形面積公式·為內容,沒計一個教學片斷。(規(guī)定：①教學過程要比較具體、合理，且有一定的層次：①要有與數(shù)學知識教學相聯(lián)系的本課程中學習的數(shù)學思想方法教學內容‘③不少于300字）一、填空題（每題3分,共30分)1.學生理解或掌握數(shù)學思想方法的過程有如下三個重要階段潛意識階段、明朗化階段、深刻理解階段。2．強抽象就是指,通過把一些新的特性加入到某一概念中而形成的新概念的抽象過程而形成新概念的抽象過程3.菱形概念的抽象過程就是把—個新的特性：一組鄰邊相等加入到平行四邊形概念中去，匣平行四邊形概念得到了強化。4．分類必須遵循的原則是①不反復，②無漏掉,③標準同一④按層次逐步劃分。5.面對一個問題,通過認真的觀測和思考,通過歸納或類比提出猜想，然后從兩個方面入手:演繹證明此猜想為真；或者尋找反例說明此猜想為假并且進一步修正或否認此猜想。6.《幾何原本》所開創(chuàng)的公理化方法不僅成為一種數(shù)學陳述模式,并且還被移植到其它學科，并且促進它們的發(fā)展。7．變量數(shù)學產(chǎn)生的數(shù)學基礎是解析幾何，標志是微積分。８.數(shù)學基礎知識和數(shù)學思想方法是數(shù)學教學的兩條主線。9深層類比又稱實質性類比，它是通過對被比較對象的解決互相依存的各種相似屬性之間的多種因果關系的分析而得到的類比。１0.一個概括過程涉及比較、區(qū)分、擴張、分析。二、判斷題(每題２分，共1０分。在括號里填上是或否)1.《九章算術》不涉及代數(shù)、幾何內容。(否)2．既沒有脫離數(shù)學知識的數(shù)學思想方法，也沒有不涉及數(shù)學思想方法的數(shù)學知識．（是)3.對同一數(shù)學對象，若選取不同的標準,可以得到不同的分類。(是)4.特殊化是研究共性中的個性的一種方法。（否)５.數(shù)學模型方法應用面很窄。（否）三、簡答題(每題6分,共30分)1．簡述培養(yǎng)數(shù)學猜想能力的途徑。答：猜想能力培養(yǎng)可以通過數(shù)學教學,如:①新知識的學習、②數(shù)學規(guī)律的尋求、③解題思緒的探索等途徑來實現(xiàn)。2.簡述特殊化方法在數(shù)學教學中的應用。答：①運用特殊值(圖形）解選擇題；②運用特殊化探求問題結論;③運用特例檢查一般結果；④運用特殊化探索解題思緒。3．什么是歸納猜想?井舉一個例子說明。答：①人們運用歸納法,得出對一類現(xiàn)象的某種一般性結識的一種推測性的判斷,即猜想，這種思想方法稱為歸納猜想。②例如，人們在量度了很多圓的周長和半徑以后.發(fā)現(xiàn)它們的比值總是近似地等于3.１4,于是提出了圓周率是3.14的猜想。后來數(shù)學家從理論上證明了圓周率的數(shù)值為,果然和３．14很接近．4．簡述概括與抽象的關系。答:①概括方法與抽象方法是不同的，但是它們又有十分密切的聯(lián)系.抽象是舍棄事物的一些屬性而收括固定出其固有的另一些屬性的思維過程，抽象得到的新概念與表述本來的對象的溉念之間不一定有種屬關系。②概括是在思維中由結識個別事物的本質屬性，發(fā)展到結識具有這種本質屬性的一切事物，從而形成關于這類事物的普遍概念.由概括得出的新概念是表述概括對象概念的一個屬概念。③概括和抽象雖有差別，但又是互相聯(lián)系，密不可分的。抽象是概括的基礎,沒有抽象就不能結識任何事物的本質屬性,就無法概括.概括也是抽象思維過程中所必須的一個環(huán)節(jié)，前述“收括”操作事實上也是一個概括過程，有人就把“收括”稱之為概括，由于對共同點的概括才干得出對象的本質屬性，從而完畢抽象過程。5．在實行數(shù)學思想方法教學時應注意哪些問題?答:為了叨實加強數(shù)學思想方法教學,應注意以下幾點事項：①要把數(shù)學思想方法的學習納入數(shù)學目的，并在教案中設計好數(shù)學思想方法的教學內容和教學過程;②重視數(shù)學知識發(fā)生、發(fā)展的過程,認真設計數(shù)學思想方法教學的目的,③做好數(shù)學思想方法教學的鋪墊工作和鞏固工作；④不同類型的數(shù)學思想方法應有不同的教學規(guī)定；⑤注意不同數(shù)學思想方法的綜合運用。四、解答題(每題15分，共２0分)1.圓周角定理證明思緒如下:將圓周角的兩邊所處的位置提成三種情況:①角的一邊落在直徑上；②角的兩邊在某一直徑的兩鍘；③角的兩邊在某一直徑的同側。如上圖所示。先對情況①進行證明，然后將情況②、③轉化為情況①分別進行證明。最后得出圓周角定理對任意圓周角都成立的結論。試具體分析上述證明中需要用到哪些數(shù)學思想方法答:該證明中用到下面幾種數(shù)學思想方法:①將圓周角提成三樸情況,用到分類方法;②先證明角恰有—邊正直徑上的特殊情況,用別特殊化方法。③將其他兩種情況轉化為角恰有—邊在直徑上的情況，用到化歸方法;④通過對所有三種情況的證明．然后得出圓周角定理的結論，用到完全歸納法⑤在證明過程巾需要進行演繹推理因此用到演繹方法。２．論述《幾何原本》思想方法的特點。答:由于在《幾何原本》中．除了推導時所需要的邏輯規(guī)則外,每個定理酌證明所采用的論據(jù)均是公設、公理或前面已經(jīng)證明過酌定理.并且引入的概念(除原始概念)也基本上是符合邏輯上對概念下定義的規(guī)定．原則上不再依賴其它東西。所以．《幾何原本》是一個封閉的演繹體系。②抽象化的內容《幾何原本》中研究的對象都是抽象的概念和命題，它所探討的是這些概念和命題之間的邏輯關系.不討論這些概念和命題與社會生活之間的關系，也不考察這些數(shù)學模型所由之產(chǎn)生的現(xiàn)實原型。因此《幾何原本》的內容是抽象的。③公理化的方法《幾何原本》的第一篇中開頭５個公設和5個公理.是全書其它命題證明的基本前提,接著給出２3個定義，然后再逐步引入和證明定理。定理的引入是有序的，在一個定理的證明中，允許采用的論據(jù)只有公設和公理與前面已經(jīng)證明過的定理。以后各篇除了不再給出公設和公理外也都照此辦理。這種解決知識體系與表述方法就是公理化方法。數(shù)學思想與方法課程綜合輔導資料一、單項選擇題1.算法的有效性是指（C)。P.122Ａ.假如使用該算法從它的初始數(shù)據(jù)出發(fā),可以估計問題的解答范圍B．假如使用該算法從它的初始數(shù)據(jù)出發(fā),可以引出該問題的另一種求解方案Ｃ．假如使用該算法從它的初始數(shù)據(jù)出發(fā)，可以得到這一問題的對的解D．假如使用該算法從它的初始數(shù)據(jù)出發(fā),可以大體猜想出問題的答案２.所謂數(shù)形結合方法，就是在研究數(shù)學問題時,（Ａ）的一種思想方法。P１56A.由數(shù)思形、見形思數(shù)、數(shù)形結合考慮問題Ｂ.由數(shù)學公式解決圖形問題C．由已知圖形聯(lián)想數(shù)學公式解決數(shù)學問題Ｄ.運用代數(shù)與幾何解決問題３．古代數(shù)學大體可分為兩種不同的類型:一種是崇尚邏輯推理,以《幾何原本》為代表；一種是長于計算和實際應用，以(D)為典范。P1Ａ.阿拉伯的《論圓周》B．印度的《太陽的知識》Ｃ.希臘的《抱負國》D．中國的《九章算術》4.數(shù)學的統(tǒng)一性是客觀世界統(tǒng)一性的反映，是數(shù)學中各個分支固有的內在聯(lián)系的體現(xiàn)，它表現(xiàn)為（B)的趨勢。P４6A.數(shù)學的各個分支互相獨立并行發(fā)展B.數(shù)學的各個分支互相滲透和互相結合C.數(shù)學的各個分支呈現(xiàn)包容D.數(shù)學的各個分支呈現(xiàn)互斥5.學生理解或掌握數(shù)學思想方法的過程一般有三個重要階段：（Ｂ）。P197Ａ.了解階段、掌握階段、運用階段B．潛意識階段、明朗化階段、深刻理解階段C.感覺階段、體會階段、領悟階段D.同化階段、遷移階段、掌握階段６.在數(shù)學中建立公理體系最早的是幾何學，而這方面的代表著作是（B)。P1A.阿拉伯的《論圓周》B.古希臘歐幾里得的《幾何原本》C．希臘的《抱負國》Ｄ．中國的《九章算術》7．隨機現(xiàn)象的特點是(A）。P23A．在一定條件下，也許發(fā)生某種結果,也也許不發(fā)生某種結果B.在一定條件下,發(fā)生必然結果Ｃ.在一定條件下，不也許發(fā)生某種特定的結果D.在一定條件下，發(fā)生某種結果的概率微乎其微8.演繹法與（Ｄ）被認為是理性思維中兩種最重要的推理方法。P6７A.推理法B.模型法C.猜想法Ｄ．歸納法9．在化歸過程中應遵循的原則是(Ａ）。Ｐ10５A.簡樸化原則、熟悉化原則、和諧化原則B．反復化原則、熟悉化原則、明朗化原則C．簡樸化原則、熟悉化原則、反復化原則Ｄ．熟悉化原則、和諧化原則、明朗化原則10．(C）是聯(lián)系數(shù)學知識與數(shù)學能力的紐帶,是數(shù)學科學的靈魂，它對發(fā)展學生的數(shù)學能力，提高學生的思維品質都具有十分重要的作用。P１９1Ａ.理論方法B．實驗方法Ｃ．數(shù)學思想方法Ｄ．計算方法１1.所謂類比，是指(Ｂ)。P75Ａ．由一類事物推測與另一類事物的相似的一種推理方法B．由一類事物所具有的某種屬性,可以推測與其類似的事物也具有該屬性的一種推理方法Ｃ.根據(jù)某種事物的屬性知道另一種事物的屬性的一種方法Ｄ．兩類事物具有可比性的一種推理方法１2．猜想具有兩個顯著特點:（D)。Ｐ７３A．推測性與準確性Ｂ.科學性與精確性C．準確性與必然性Ｄ．科學性與推測性13.所謂數(shù)學模型方法是（A)。P132A.運用數(shù)學模型解決問題的一般數(shù)學方法B.運用數(shù)學原理解決問題的一般數(shù)學方法C．運用數(shù)學實驗解決問題的一般數(shù)學方法D.運用數(shù)學工具解決問題的一般數(shù)學方法１4.數(shù)學模型具有(C)特性。Ｐ131A．抽象性、隨機性和演繹性、預測性B.抽象性、準確性和必然性、預測性C．抽象性、準確性和演繹性、預測性D.抽象性、準確性和演繹性、偶爾性1５．概括通常涉及兩種:經(jīng)驗概括和理論概括。而經(jīng)驗概括是從事實出發(fā)，以對個別事物所作的觀測陳述為基礎，上升為普遍的結識——（A）的結識。P64A.由對個體特性的結識上升為對個體所屬的種的特性B.由個體特性的結識上升為集體特性C.由集體特性上升為個體特性Ｄ．由屬的特性上升為種的特性16.三段論是演繹推理的重要形式,它由（Ｄ）三部分組成。P９4A.大結論、小結論和推理B．小前提、小結論和推理C．大前提、小結論和推理D．大前提、小前提和結論17.傳統(tǒng)數(shù)學教學只注重（B）的傳授，而忽略對知識發(fā)生過程中（）的挖掘。P1８3Ａ.具體化數(shù)學知識,數(shù)學理論方法Ｂ．形式化數(shù)學知識，數(shù)學思想方法C．數(shù)學解題強化，數(shù)學思想方法Ｄ.數(shù)學系統(tǒng)結構知識，數(shù)學思想方法１８.特殊化方法是指在研究問題中，（Ｂ)的思想方法。P１6４Ａ．運用特殊方法解決問題Ｂ．從對象的一個給定集合出發(fā)，進而考慮某個包含于該集合的較小集合C.從對象的一個給定范圍出發(fā)，進而考慮某個包含于該范圍的較小范圍D．從對象的一個給定區(qū)間出發(fā)，進而考慮某個包含于該區(qū)間的較社區(qū)間19.分類方法的原則是（D)。Ｐ151A．按種類逐步劃分B．按作用逐步劃分Ｃ．按性質逐步劃分D．不反復、無漏掉、標準同一、按層次逐步劃分20．數(shù)學模型可以分為三類：(C)。P131A．人口模型、交通模型、生態(tài)模型B．規(guī)劃模型、生產(chǎn)模型、環(huán)境模型Ｃ.概念型、方法型、結構型D.初等模型、幾何模型、圖論模型２１.數(shù)學的第一次危機是由于出現(xiàn)了（C）而導致的。P82Ａ.無理數(shù)（或)Ｂ．整數(shù)比不可約Ｃ.無理數(shù)(或）D．有理數(shù)無法表達正方形邊長２2.算法大體可以分為(A）兩大類。P1２８A.多項式算法和指數(shù)型算法B.對數(shù)型算法和指數(shù)型算法C．三角函數(shù)型算法和指數(shù)型算法Ｄ.單向式算法和多項式算法23.辯駁反例是用(Ｄ)否認()的一種思維形式。P81A．偶爾必然B.隨機擬定C.常量變量D.特殊一般24．類比聯(lián)想是人們運用類比法獲得猜想的一種思想方法,它的重要環(huán)節(jié)是(B）。Ｐ78Ａ．猜測類比聯(lián)想B.聯(lián)想類比猜測C．類比聯(lián)想猜測D．類比猜測聯(lián)想25.歸納猜想是運用歸納法得道的猜想,它的思維環(huán)節(jié)是（D)。P７4A．歸納猜測特例B．猜測特例歸納Ｃ．特例猜測歸納D．特例歸納猜測2６．傳統(tǒng)數(shù)學教學只注重（A)的數(shù)學知識傳授,忽略了數(shù)學思想方法的挖掘、整理、提煉。P183A.形式化Ｂ.科學化C．系統(tǒng)化D.模型化27．所謂統(tǒng)一性,就是（C)之間的協(xié)調。P４6A.整體與整體B.部分與部分C．部分與部分、部分與整體D．個別與集體28.中國《九章算術》（Ａ）的算法體系和古希臘《幾何原本》(）的體系在數(shù)學歷史發(fā)展進程中爭奇斗妍、交相輝映。P1A．以算為主邏輯演繹B．演繹為主推理證明C.模型計算為主幾何作畫為主D．模型計算幾何證明2９.所謂數(shù)學模型方法是(B）。Ｐ１32Ａ．運用數(shù)學實驗解決問題的一般數(shù)學方法B．運用數(shù)學模型解決問題的一般數(shù)學方法C．運用數(shù)學理論解決問題的一般數(shù)學方法D．運用幾何圖形解決問題的一般數(shù)學方法30.公理化方法就是從(Ｄ）出發(fā),按照一定的規(guī)定定義出其它所有的概念，推導出其它一切命題的一種演繹方法。Ｐ95A.一般定義和公理B.特定定義和概念C.特殊概念和公理D.初始概念和公理３1.概括通常涉及兩種:經(jīng)驗概括和理論概括。而經(jīng)驗概括是從事實出發(fā),以對個別事物所作的觀測陳述為基礎,上升為普遍的結識——(Ｂ）的結識。P6４Ａ．由對個體特性的結識抽象為對種的特性Ｂ．由對個體特性的結識上升為對個體所屬的種的特性C.由對個體特性的結識上升為對個體所屬的屬的特性D.由對個體特性的結識抽象為對個體所屬的種的特性3２.算法大體可以分為(Ａ）兩大類。P1２８A.多項式算法和指數(shù)型算法B．單項式算法和對數(shù)型算法C.單項式算法和指數(shù)型算法D．多項式算法和對數(shù)型算法３3.辯駁反例是用(D)否認（）的一種思維形式。Ｐ81A.一般特殊Ｂ．實例特例C．特殊特例Ｄ．特殊一般34.類比聯(lián)想是人們運用類比法獲得猜想的一種思想方法，它的重要環(huán)節(jié)是(B)。P78A.類比聯(lián)想猜測Ｂ.聯(lián)想類比猜測C.聯(lián)想猜測類比D．猜測類比聯(lián)想35．歸納猜想是運用歸納法得道的猜想,它的思維環(huán)節(jié)是(Ｄ）。Ｐ７４A.歸納特例猜測B．特例歸納猜測C.特例猜測歸納Ｄ.猜測歸納特例36．傳統(tǒng)數(shù)學教學只注重(D）的數(shù)學知識傳授，忽略了數(shù)學思想方法的挖掘、整理、提煉。P18３A．理論化Ｂ.實踐化C.模式化D．形式化37．所謂統(tǒng)一性,就是(Ｃ）之間的協(xié)調。P46A．部分與部分、整體與整體B．形式與內容C．部分與部分、部分與整體D．理論與實踐38．數(shù)學的第二次危機是17世紀隨著牛頓和萊布尼茲創(chuàng)建（A)而產(chǎn)生的。P83A.微積分B．解析幾何C.數(shù)學悖論D.無理數(shù)39.我國《數(shù)學課程標準》(實驗稿)的總體目的指出，數(shù)學知識涉及(Ｂ）和(）。P1８3A.數(shù)學知識數(shù)學思想B．數(shù)學事實數(shù)學活動經(jīng)驗Ｃ.數(shù)學理論數(shù)學實踐D．數(shù)學模型數(shù)學活動經(jīng)驗４0.所謂特殊化是指在研究問題時，(D)的思想方法。Ｐ164A．從對象的一個給定集合出發(fā),進而考慮某個包含該集合的較大集合B.從對象的一個給定范圍出發(fā)，進而考慮該范圍中某個較小的區(qū)間C．從對象的一個給定數(shù)集出發(fā),進而考慮某個包含于該數(shù)集的較小子數(shù)集D.從對象的一個給定集合出發(fā)，進而考慮某個包含于該集合的較小集合41．所謂數(shù)形結合方法,就是在研究數(shù)學問題時,(C)的一種思想方法。P１56Ａ．由形思數(shù)、見數(shù)思質、數(shù)形質結合考慮問題B．由數(shù)據(jù)、圖形結合考慮問題C．由數(shù)思形、見形思數(shù)、數(shù)形結合考慮問題Ｄ．由數(shù)思形、見形思數(shù)、數(shù)形分離考慮問題42．古代數(shù)學大體可分為兩種不同的類型：一種是崇尚邏輯推理,以《幾何原本》為代表;一種是長于（A),以《九章算術》為典范。P1A．計算和實際應用B．模仿和度量C.推理和證明D．計算和證明43．不完全歸納法是根據(jù)(D），作出關于該類事物的一般性結論的推理方法。P６8A．對某類事物的整體的分析Ｂ．對某類事物單個對象的分析C.對某類事物中的特定對象的分析D.對某類事物中的部分對象的分析44．公理化的三條邏輯上的規(guī)定是(D）。Ｐ37A．依賴性、矛盾性、無備性B.獨立性、矛盾性、完備性C.依賴性、無矛盾性、完備性D.獨立性、無矛盾性、完備性45．《九章算術》系統(tǒng)地總結了先秦和東漢初年我國的數(shù)學成就，通過歷代名家補充、修改、增訂而逐步形成，現(xiàn)傳世的《九章算術》是三國時期魏晉數(shù)學家（B）注釋的版本。Ｐ6A．張衡B．劉徽C.祖沖之D.賈憲４6.《幾何原本》是一本極具生命力的經(jīng)典著作,全書共十三卷4７5個命題,涉及５個(C)、5個（)。Ｐ2A.方程定義B.推理公理C．公式公理D．公式定義4７．數(shù)學思想方法教學重要有（B）三個階段。P198A．單次孕育、初步掌握、綜合應用B.多次孕育、初步理解、簡樸應用C．多次孕育、進一步理解、綜合應用D．單次孕育、進一步理解、簡樸應用48．化隱為顯原則是數(shù)學思想方法教學原則之一,它的含義就是把隱藏在數(shù)學知識背后的(A）顯示出來，使之明朗化，以達成教學目的。P199A.數(shù)學思想方法Ｂ．數(shù)學規(guī)律C.數(shù)學定義D．數(shù)學公式49．在數(shù)學學科中人們經(jīng)常把研究擬定性現(xiàn)象數(shù)量規(guī)律的那些數(shù)學分支稱為擬定數(shù)學，如代數(shù)、幾何、方程、微積分等。但是擬定數(shù)學無法定量地揭示()，它的這種局限性迫使數(shù)學家們建立一種專門分析(A)的數(shù)學工具。這個數(shù)學工具就是()。Ｐ22A．隨機現(xiàn)象隨機現(xiàn)象概率理論和數(shù)理記錄B．必然現(xiàn)象必然現(xiàn)象代數(shù)理論C.變量規(guī)律變量規(guī)律數(shù)學分析D.分形幾何分形幾何拓撲理論50.小學生的思維特點是（D)。P197A．感性思維Ｂ.理性思維C.邏輯思維D.具體形象思維二、填空題1．所謂數(shù)形結合方法，就是在研究數(shù)學問題時,（由數(shù)思形,見形思數(shù)，數(shù)形結合考慮問題)的一種思想方法。2.古代數(shù)學大體可分為兩種不同的類型：一種是崇尚邏輯推理，以《幾何原本》為代表;一種是長于計算和實際應用，以(《九章算術》)為典范。３.不完全歸納法是根據(jù)(對某類事物中的部分對象的分析）,作出關于該類事物的一般性結論的推理方法。４．公理化的三條邏輯上的規(guī)定是(獨立性、無矛盾性、完備性）。５．《九章算術》系統(tǒng)地總結了先秦和東漢初年我國的數(shù)學成就,通過歷代名家補充、修改、增訂而逐步形成，現(xiàn)傳世的《九章算術》是三國時期魏晉數(shù)學家(劉徽）注釋的版本。6.《幾何原本》是一本極具生命力的經(jīng)典著作，全書共十三卷475個命題，涉及5個(公設）、5個(公理）。７.數(shù)學思想方法教學重要有(多次孕育、初步理解、簡樸應用）三個階段。8.｀化隱為顯原則是數(shù)學思想方法教學原則之一，它的含義就是把隱藏在數(shù)學知識背后的(數(shù)學思想方法）顯示出來,使之明朗化,以達成教學目的。9．在數(shù)學學科中人們經(jīng)常把研究擬定性現(xiàn)象數(shù)量規(guī)律的那些數(shù)學分支稱為擬定數(shù)學，如代數(shù)、幾何、方程、微積分等。但是擬定數(shù)學無法定量地揭示（隨機現(xiàn)象）,它的這種局限性迫使數(shù)學家們建立一種專門分析(隨機現(xiàn)象）的數(shù)學工具。這個數(shù)學工具就是(概率理論和數(shù)理記錄)。10.小學生的思維特點是（具體形象思維）。11．三段論是演繹推理的重要形式，它由（大前提、小前提、結論)三部分組成。12.演繹法與(歸納法）被認為是理性思維中兩種最重要的推理方法。13.（數(shù)學思想方法）是聯(lián)系數(shù)學知識與數(shù)學能力的紐帶，是數(shù)學科學的靈魂,它對發(fā)展學生的數(shù)學能力，提高學生的思維品質都具有十分重要的作用。1４．分類方法具有三個要素：(被劃分的對象、劃分后所得的類的概念、劃分的標準)。15．數(shù)學研究的對象可以分為兩類：一類是（研究數(shù)量關系的)，另一類是（研究空間形式的)。１6．所謂社會科學數(shù)學化就是指(數(shù)學向社會科學滲透)，也就是運用(數(shù)學方法）來揭示社會現(xiàn)象的一般規(guī)律。17．在古代的（游戲和賭博）活動中就有概率思想的雛形,但是作為一門學科則產(chǎn)生于17世紀中期前后,它的起源與一個所謂的點數(shù)問題有關。18.在數(shù)學中建立公理體系最早的是(幾何學),而這方面的代表著作是古希臘學者歐幾里得的（《幾何原本》)。19.《九章算術》是世界上最早系統(tǒng)地敘述(分數(shù))運算的著作,它關于（負數(shù))的論述也是世界上最早的。20．數(shù)學知識與數(shù)學思想是數(shù)學教學的兩條主線，(數(shù)學知識)是一條明線，它被寫在教材中；（數(shù)學思想)則是一條暗線，需要教師挖掘、提煉并貫穿在教學過程中。21.學生理解或掌握數(shù)學思想方法的過程有如下三個重要階段（潛意識階段、明朗化階段、深刻理解階段）。22.面對一個問題,通過認真的觀測和思考,通過歸納或類比提出猜想,然后從兩個方面入手：演繹證明此猜想為真;或者（找出反例說明此猜想為假)，并且進一步修正或否認此猜想。23．變量數(shù)學產(chǎn)生的數(shù)學基礎是(解析幾何)，標志是（微積分）。24.化歸方法是將(待解決的問題)轉化為已知問題。2５.公理方法是從盡也許少的初始概念和公理出發(fā),應用嚴格的（邏輯推理),使一門數(shù)學構建成為演繹系統(tǒng)的一種方法2６.數(shù)學的第一次危機是由于出現(xiàn)了(不可公度性）而導致的。27.數(shù)學猜想具有兩個明顯的特點：(科學性)與(推測性）。28．所謂社會科學數(shù)學化就是指數(shù)學向（社會科學）的滲透，運用數(shù)學方法來揭示（社會現(xiàn)象）的一般規(guī)律。２９.分類必須遵循的原則是（不反復、無漏掉、標準同一、按層次逐步劃分)。30．深層類比又稱實質性類比，它是通過(對被比較對象的處在互相依存的各種相似屬性之間的多種因果關系的分析）而得到的類比。31．概括通常涉及兩種:經(jīng)驗概括和理論概括。而經(jīng)驗概括是從事實出發(fā),以對個別事物所作的觀測陳述為基礎，上升為普遍的結識——(由對個體特性的結識上升為對個體所屬種的特性）的結識。3２.算法大體可以分為(多項式算法和指數(shù)型算法)兩大類。33．辯駁反例是用（一個反例)否認(猜想)的一種思維形式。34.類比聯(lián)想是人們運用類比法獲得猜想的一種思想方法，它的重要環(huán)節(jié)是(聯(lián)想－類比－猜測）。35．歸納猜想是運用歸納法得道的猜想,它的思維環(huán)節(jié)是（猜測-歸納－特例）。3６．傳統(tǒng)數(shù)學教學只注重（形式化的）的數(shù)學知識傳授,忽略了數(shù)學思想方法的挖掘、整理、提煉。３7．所謂統(tǒng)一性,就是（部分與部分、部分與整體）之間的協(xié)調。38．中國《九章算術》（以算為主）的算法體系和古希臘《幾何原本》(邏輯演繹)的體系在數(shù)學歷史發(fā)展進程中爭奇斗妍、交相輝映。39.所謂數(shù)學模型方法是（運用數(shù)學模型解決問題的一般數(shù)學方法)。40.所謂特殊化是指在研究問題時,（從對象的一個給定集合出發(fā),進而考慮某個包含于該集合的較小集合)的思想方法。41．算法的有效性是指(假如使用該算法從它的初始數(shù)據(jù)出發(fā)，可以得到這一問題的對的解)。４2．所謂數(shù)形結合方法，就是在研究數(shù)學問題時,（由數(shù)思形、見形思數(shù)、數(shù)形結合考慮問題）的一種思想方法。43.古代數(shù)學大體可分為兩種不同的類型：一種是崇尚邏輯推理,以《幾何原本》為代表;一種是長于計算和實際應用，以（中國《九章算術》)為典范。４4.數(shù)學的統(tǒng)一性是客觀世界統(tǒng)一性的反映，是數(shù)學中各個分支固有的內在聯(lián)系的體現(xiàn),它表現(xiàn)為(數(shù)學的各個分支互相滲透和互相結合)的趨勢。45.學生理解或掌握數(shù)學思想方法的過程一般有三個重要階段：（潛意識階段、明朗化階段、深刻理解階段)。46．在數(shù)學中建立公理體系最早的是幾何學，而這方面的代表著作是古希臘歐幾里得的(《幾何原本》)。4７.隨機現(xiàn)象的特點是（在一定條件下,也許發(fā)生某種結果，也也許不發(fā)生某種結果）。４8.演繹法與(歸納法)被認為是理性思維中兩種最重要的推理方法。4９．在化歸過程中應遵循的原則是（簡樸化原則、熟悉化原則、和諧化原則）。５０.（數(shù)學思想方法)是聯(lián)系數(shù)學知識與數(shù)學能力的紐帶,是數(shù)學科學的靈魂，它對發(fā)展學生的數(shù)學能力,提高學生的思維品質都具有十分重要的作用。５１．三段論是演繹推理的重要形式,它由（大前提、小前提、結論）三部分組成。52．傳統(tǒng)數(shù)學教學只注重（形式化的數(shù)學知識)的傳授，而忽略對知識發(fā)生過程中（數(shù)學思想方法）的挖掘。５３.特殊化方法是指在研究問題中,（從對象的一個給定集合出發(fā),進而考慮某個包含于該集合的較小集合）的思想方法。5４.分類方法的原則是(不反復、無漏掉、標準同一、按層次逐步劃分)。55．數(shù)學模型可以分為三類:（概念型、方法型、結構型）。５６．學生理解或掌握數(shù)學思想方法的過程有如下三個重要階段（潛意識階段、明朗化階段、深刻理解階段)。５7．強抽象就是指,通過（把一些新的特性加入到某一概念中）而形成新概念的抽象過程。５8.菱形概念的抽象過程就是把一個新的特性：(一組鄰邊相等）,加入到平行四邊形概念中去,使平行四邊形概念得到了強化。５8.分類必須遵循的原則是(不反復、無漏掉、標準同一、按層次逐步劃分）。59.面對一個問題,通過認真的觀測和思考，通過歸納或類比提出猜想，然后從兩個方面入手:演繹證明此猜想為真;或者(找出反例說明此猜想為假)，并且進一步修正或否認此猜想。6０．《幾何原本》所開創(chuàng)的(公理化方法)方法不僅成為一種數(shù)學陳述模式，并且還被移植到其它學科，并且促進他們的發(fā)展。61．變量數(shù)學產(chǎn)生的數(shù)學基礎是(解析幾何）,標志是（微積分)。62.(數(shù)學基礎知識于數(shù)學思想方法)是數(shù)學教學的兩條主線。63．深層類比又稱實質性類比，它是通過（對被比較對象的處在互相依存的各種相似屬性之間的各種因果關系的分析)而得到的類比。６4.一個概括過程涉及(比較、區(qū)分、擴張、分析等幾個重要環(huán)節(jié)）。65．所謂類比，是指（由一類事物所具有的某種屬性可以推測與其類似的事物也具有這種屬性的一種推理方法）;常稱這種方法為類比法，也稱類比推理。66．猜想具有兩個顯著特點:（一是具有一定的科學性,二是具有一定的推測性)。67．所謂數(shù)學模型方法是(運用數(shù)學模型解決問題的一般數(shù)學方法）。68．數(shù)學模型具有(抽象性、準確性和演繹性、預測性)特性。6９．概括通常涉及兩種:經(jīng)驗概括和理論概括。而經(jīng)驗概括是從事實出發(fā)，以對個別事物所作的觀測陳述為基礎,上升為普遍的結識——（由對個體特性的結識上升為對個體所屬種的特性)的結識。70.三段論是演繹推理的重要形式。三段論由（大前提、小前提、結論)三部分組成。7１．化歸方法是指，(數(shù)學家們把待解決的問題通過某種轉化過程,歸結到一類已經(jīng)能解決或者比較容易解決的問題中,最終獲得原問題的解答的一種手段和方法）。72．在計算機時代，(計算方法）已成為與理論方法、實驗方法并列的第三種科學方法。7３.算法具有下列特點：（有限性、擬定性、有效性)。7４.化歸方法的三個要素是:（化歸對象、化歸目的、化歸途徑)。７5．根據(jù)學生掌握數(shù)學思想方法的過程有潛意識、明朗化、深刻理解三個階段,可相應地將小學數(shù)學思想方法教學設計成（多次孕育、初步理解、簡樸應用)三個階段。76．一個概括過程涉及(比較、區(qū)分、擴張、分析等幾個重要環(huán)節(jié))等幾個重要環(huán)節(jié)。77．古代數(shù)學大體可以分為兩種不同的類型：一種是（崇尚邏輯推理）,以《幾何原本》為代表;一種是（長于計算和實際應用）,以《九種算術》為典范。７8．《九章算術》思想方法的特點重要有(開放的歸納體系、算法化的內容、模型化的方法）。79.初等代數(shù)的特點是(用字母符號來表達各種數(shù),研究的對象重要是代數(shù)式的計算和方程的求解）。三、判斷題1．提出一個問題的猜想是解決這個問題的終結。（×）２.一個數(shù)學理論體系內的每一個命題都必須給出證明。（×)3.數(shù)學中的許多問題都無法歸結為尋找具體算法的問題。(×)4．計算是隨著計算機的發(fā)明而被人們廣泛應用的方法。(×）5．反例在否認一個命題時它并不具有特殊的威力。(×)６．在解決數(shù)學問題時，往往需要綜合運用多種數(shù)學思想方法才干取得效果。(√)7．分類可使知識條理化、系統(tǒng)化。（√)８.既沒有脫離數(shù)學知識的數(shù)學思想方法,也沒有不涉及數(shù)學思想方法的數(shù)學知識。(√）9.對同一數(shù)學對象,若選取不同的標準，可以得到不同的分類。(√)10．完全歸納法實質上屬于演繹推理的范疇。（√)11.數(shù)學模型方法是近代才產(chǎn)生的。(×）12．在小學數(shù)學教學中，本教材所涉及到的數(shù)學思想方法并不多見。（×)１3．所謂特殊化是指在研究問題時,從對象的一個給定集合出發(fā),進而考慮某個包含于該集合的較小集合的思想。（√)1４.既沒有脫離數(shù)學知識的數(shù)學思想方法，也沒有不涉及數(shù)學思想方法的數(shù)學知識。（√)15．對同一數(shù)學對象，若選取不同的標準,可以得到不同的分類。(√)16.數(shù)學思想方法教學從屬數(shù)學教學范疇，只要貫徹通常的數(shù)學教學原則就可實現(xiàn)數(shù)學思想方法教學目的。(×）17.數(shù)學基礎知識和數(shù)學思想方法是數(shù)學教學的兩條主線。(√)18.新頒發(fā)的《數(shù)學課程標準》中的特點之一“再發(fā)明”體現(xiàn)了我國數(shù)學課程改革與發(fā)展的新的理念。(√）19.法國的布爾巴基學派運用數(shù)學結構實現(xiàn)了數(shù)學的統(tǒng)一。(√）20．由類比法推得的結論必然對的。（×）2１．計算機是數(shù)學的發(fā)明物,又是數(shù)學的發(fā)明者。(√）22．抽象得到的新概念與表述本來的對象的概念之間一定有種屬關系。(×)23．一個數(shù)學理論體系內的每一個命題都必須給出證明。(×）2４.貫穿在整個數(shù)學發(fā)展歷史過程中有兩個思想,一是公理化思想，一是機械化思想。（√)25.提出一個問題的猜想是解決這個問題的終結。（×）２６．數(shù)學模型方法在生物學、經(jīng)濟學、軍事學等領域沒應用。（×）27.在解決數(shù)學問題時,往往需要綜合運用多種數(shù)學思想方法才干取得效果。（√)２8．假如某一類問題存在算法,并且構造出這個算法，就一定能求出該問題的精確解。(×)２９．分類可使知識條理化、系統(tǒng)化。(√)３0.在建立數(shù)學模型的過程中，不必通過數(shù)學抽象這一環(huán)節(jié)。（×）31.《九章算術》不涉及代數(shù)、幾何內容。(×)3２.既沒有脫離數(shù)學知識的數(shù)學思想方法,也沒有不涉及數(shù)學思想方法的數(shù)學知識。(√）３３．對同一數(shù)學對象,若選取不同的標準,可以得到不同的分類。(√）34.特殊化是研究共性中的個性的一種方法。(×）3５．數(shù)學模型方法應用面很窄。（×）36．數(shù)學思想方法教學從屬數(shù)學教學范疇,只要貫徹通常的數(shù)學教學原則就可實現(xiàn)數(shù)學思想方法教學目的。(×）3７.由類比法推得的結論必然對的。（×）38.有時特殊情況能與一般情況等價。(√）3９.演繹的主線特點就是當它的前提為真時，結論必然為真。(√）40．抽象得到的新概念與表述本來的對象概念之間不一定有種屬關系。（×)4１.完全歸納法實質上屬于演繹推理的范疇。（√）42．古希臘的柏拉圖曾在他的學校門口張榜聲明:不懂幾何的人不得入內。這是由于他的學校里所學習的課程要用到很多幾何知識。(×）43.完全歸納法的一般推理形式是:設S=具有性質Ｐ,因此推斷集合S中的每一個對象都具有性質Ｐ。(×)44．《九章算術》是世界上最早系統(tǒng)地敘述分數(shù)運算的著作，它關于負數(shù)的論述也是世界上最早的。(√)4５．算術反映的是物體集合之間的函數(shù)關系。（×）４6.《幾何原本》是歐幾里得獨立創(chuàng)作的。(×)47.《九章算術》系統(tǒng)地總結了先秦和東漢初年我國的數(shù)學成就。（√）48.丟番圖在其著作《算術》中用了許多符號，它標志著文字代數(shù)開始向簡寫代數(shù)轉變,丟番圖的《算術》是數(shù)學史上的里程碑。(√）49.解析幾何的產(chǎn)生重要歸功于笛卡兒和費爾馬。（√)50．英國的牛頓和德國的萊布尼茲分別以幾何學和物理學為背景用無窮小量方法建立了微積分。（√）５1．隨機現(xiàn)象就是雜亂無章的現(xiàn)象,無論是個別還是整體,其隨機現(xiàn)象都沒有規(guī)律性。（×）5２.數(shù)學學科的新發(fā)展——分形幾何，其分形的思想就是將某一對象的細微部分放大后，其結構與原先的同樣。(√)５3．我國中小學數(shù)學成績舉世公認，“高分必然產(chǎn)生高發(fā)明力”,我國中學生的科學測試成績名列前茅。（×）54．我國《數(shù)學課程標準》指出,數(shù)學知識就是“數(shù)與形以及演繹的知識”。（√)55．在數(shù)學基礎知識與數(shù)學思想方法是數(shù)學教學的兩條主線，并且是兩條明線。(×)56．數(shù)學抽象擺脫了客觀事物的物質性質,從中抽取其數(shù)與形,因而數(shù)學抽象具有無物質性。(√)57.數(shù)學公理化方法在其他學科也能起到作用，所以它是萬能的。(×）58．數(shù)學模型具有預測性、準確性和演繹性,但不涉及抽象性。（×）59.猜想具有兩個顯著的特點:一定的科學性和一定的推測性。（√)60．表層類比和深層類比其涵義是同樣的。（×)６１.數(shù)學史上著名的“哥尼斯堡七橋問題”最后由歐拉用一筆畫方法解決了其無解。（√)62.分類方法具有兩要素：母項與子項。(×）63．算法具有無限性、不擬定性與有效性。（×）64．理論方法、實驗方法和計算方法并列為三種科學方法。（√)６５．最早使用數(shù)學模型方法的當數(shù)中國古人。(√)６6．化歸方法是一種發(fā)現(xiàn)問題的方法。(×）67．類比猜想的重要環(huán)節(jié)是:猜測聯(lián)想類比。（×）68．盡管中西方對數(shù)學的奉獻不同，但在數(shù)學思想方面是一致的。（×）６9.不可公度性的發(fā)現(xiàn)引發(fā)了第二次數(shù)學危機。（×）７0．中學生只需理解數(shù)學思想方法就能運用自如了，不需經(jīng)歷多次孕育階段。（×）四、簡答題１.第一次數(shù)學危機最終如何解決了？ｐ83（p24５）答:為了克服無理數(shù)悖論引發(fā)的危機,古希臘數(shù)學家發(fā)展了幾何學中的比例論，它等價于無理數(shù)理論。當然，從理論上徹底解決這一危機還是靠現(xiàn)代實數(shù)理論的建立。在實數(shù)理論中,無理數(shù)可以定義為有理數(shù)的極限。第一次數(shù)學危機的結果是使數(shù)學逐漸走上了演繹科學的道路，為數(shù)學的公理化奠定了基礎。何謂化歸方法？它遵循哪三個原則?p10２-1０5答：所謂“化歸”,可以理解為轉化和歸結的意思。化歸方法是指數(shù)學家們把待解決的問題,通過某種轉化過程，歸結到一類已經(jīng)能解決或者比較容易解決的問題中,最終獲得原問題的解答的一種手段和方法。它重要遵循:１、簡樸化原則;2、熟悉化原則;3、和諧化原則。什么是公理方法和公理體系?p９５-９６答：公理方法就是從初始概念和公理出發(fā),按照一定的規(guī)定(邏輯規(guī)則)定義出其他所有的概念,推導出其他一切命題的一種演繹方法。由初始概念、公理、定義、邏輯規(guī)則、定理等構成的演繹體系叫做公理體系。公理方法是構成公理體系的方法,公理體系是由公理方法得到的數(shù)學理論體系。什么是類比猜想?并舉一個例子說明。p7７答：人類運用類比法,根據(jù)一類事物所具有的某種屬性，得出與其類似的事物也具有這種屬性的一種推測性的判斷，即猜想，這種思想方法稱為類比猜想。例如，分式與分數(shù)非常相似,只但是是用字母代替代數(shù)而已。因此，我們可以猜想，分式與分數(shù)在定義、基本性質、約分、通分、四則運算等方面都是相應相似的。數(shù)學思想方法教學為什么要遵循循序漸進原則?試舉例說明。p20０答:數(shù)學思想方法的形成難于知識的理解和一般技能的掌握,它需要學生進一步理解事物之間的本質聯(lián)系。學生對每種數(shù)學思想方法的結識都是在反復理解和運用中形成的,是從個別到一般,從具體到抽象，從感性到理性，從低檔到高級地沿著螺旋式方向上升的。如，學生理解數(shù)形結合方法可從小學的畫示意圖找數(shù)量關系著手孕育;學習數(shù)軸時,規(guī)定學生會借助數(shù)軸來表達相反數(shù)、絕對值、比較有理數(shù)的大小。簡述《幾何原本》思想方法特點。p３答:答:（1）封閉的演繹體系：由于在《幾何原本》中,除了推導時所需要的邏輯規(guī)則外,每個定理的證明所采用的論據(jù)均是公設、公理或前面已經(jīng)證明過的定理,并且引入的概念(除原始概念）也基本上是符合邏輯上對概念下定義的規(guī)定，原則上不再依賴其它東西。抽象化的內容：它所探討的是概念和命題之間的邏輯關系，不討論這些概念和命題與社會生活之間的關系，也不考察這些數(shù)學模型所由之產(chǎn)生的現(xiàn)實原型。公理化的方法。什么是算法的有限性特點？試舉一個不符合算法有限性特點的例子。p121答:一個算法必須在有限步內終止。例如，十進制小數(shù)的除法的算法。若取數(shù)4．5和３作為初始數(shù)據(jù),計算結果為1.５．但對于初始數(shù)據(jù)20和3，計算過程為：過程為6.6666……3|2018201８２01８…無論如何延續(xù)這個過程都不能結束，同時也不會出現(xiàn)中斷?？梢?，十進小數(shù)除法對于２0和3這組數(shù)不符合算法的有限性這個特點。我國數(shù)學教育存在哪些問題?試舉例子說明。p178－181答：我國數(shù)學教育存在的問題重要有：第一，數(shù)學教學重結果，輕過程;重解題訓練，輕智力、情感開發(fā)；不重視創(chuàng)新能力培養(yǎng),雖然學生考試分數(shù)高,但是學習能力低下。第二,重模仿，輕探索,學習缺少積極性,缺少判斷力和獨立思考能力。例如，有道著名的測試題:“有一條船上,有75頭牛，32頭羊,問船長幾歲？”學生把75和32兩個數(shù)相加，得到１07，認為這不會是船長的年齡，相乘、相除又不合適，選擇相減得出４３歲。美國著名數(shù)學教育家認為“這是我們把學生越教越笨的典型例子?！钡谌?學生課業(yè)承擔過重。簡述公理化方法發(fā)展。p96-１00答:公理方法經(jīng)歷了具體的公理體系、抽象的公理體系和形式化的公理體系三個階段。第一個具體的公理體系就是歐幾里得的《幾何原本》。非歐幾何是抽象的公理體系的典型代表。希爾伯特的《幾何基礎》開創(chuàng)了形式化的公理體系的先河,現(xiàn)代數(shù)學的幾乎所有理論都是用形式公理體系表述出來的，現(xiàn)代科學也盡量采用形式公理法作為研究和表述手段。簡述概括與抽象的關系。p6５答:概括方法與抽象方法是不同的。抽象是舍棄事物的一些屬性而收括固定出其固有的另一些屬性的思維過程,抽象得到的新概念與表述本來的對象的概念之間不一定有種屬關系。概括是在思維中由結識個別事物的本質屬性,發(fā)展到結識具有這種本質屬性的一切事物,從而形成關于這類事物的普遍概念。盡管有差別,但是又互相聯(lián)系、密不可分。抽象是概括的基礎，沒有抽象就不能結識任何事物的本質屬性,就無法概括。概括也是抽象思維過程中所必需的一個環(huán)節(jié)。簡述培養(yǎng)數(shù)學猜想能力的途徑。p88－９3答：引導學生面對問題,認真觀測和思考，通過歸納或者類比提出猜想,演繹證明猜想為真，或者尋找反例說明猜想為假，有助于激發(fā)學生的創(chuàng)新精神。數(shù)學猜想能力培養(yǎng)途徑：用猜想學習新知識;用猜想探究數(shù)學規(guī)律；用猜想幫助解題。微積分產(chǎn)生可以歸結為哪四類情況？p1９答：1、已知物體移動的距離為時間的函數(shù),求物體瞬時速度和加速度；反過來,已知物體的加速度為時間的函數(shù),求速度和距離;2、求曲線切線的斜率和方程；3、求函數(shù)的最大值和最小值;4、求曲線的長度，曲邊梯形的面積，曲面圍成的物體的重心。常量數(shù)學應用的局限性是什么?p16答:初等數(shù)學都是以不變的數(shù)量（即常量）和固定的圖形為其研究對象,運用這些知識可以有效地描述和解釋相對穩(wěn)定的事物和現(xiàn)象?？墒菍τ谀切┻\動變化的事物和現(xiàn)象,它們顯然無能為力。1４.為什么說《幾何原本》是一個封閉的演繹體系？p3答：由于在《幾何原本》中，除了推導時所需要的邏輯規(guī)則外,每個定理的證明所采用的論據(jù)均是公設、公理或前面已經(jīng)證明過的定理,并且引入的概念（除原始概念)也基本上是符合邏輯上對概念下定義的規(guī)定,原則上不再依賴其它東西。因此《幾何原本》是一個封閉的演繹體系。此外,《幾何原本》的理論體系回避任何與社會生產(chǎn)現(xiàn)實生活有關的應用問題,因此對于社會生活的各個領域來說,它也是封閉的。所以，《幾何原本》是一個封閉的演繹體系。為什么說最早使用數(shù)學模型方法的是中國人?p134答：由于在中國古算書《九章算術》中就已經(jīng)系統(tǒng)地使用了數(shù)學模型?！毒耪滤阈g》將２4６個題目歸結為九類，即九類不同的數(shù)學模型，故名為“九章”。它在每一章中所設立的問題，都是從大量的實際問題中選擇具有典型意義的現(xiàn)實原型,然后再通過“術”(即算法）轉化為數(shù)學模型。其中有些章就是專門討論某種數(shù)學模型的應用，如“勾股”“方程”等。簡述表層類比，并用舉例說明。p75－７6答：表層類比是根據(jù)兩個被比較對象的表面形式或結構上的相似所進行的類比。這種類比可靠性較差，結論具有很大的或然性。如，由三角形內角平分線性質,類比得到三角形外角平分線性質,就是一種結論上的類比。１7．《幾何原本》貫徹哪兩條邏輯規(guī)定？ｐ９7答：《幾何原本》貫穿了兩條邏輯規(guī)定：第一,公理必須是明顯的,因而是無需加以證明的,其是否真實應受推出結果的檢查，但它仍是不加證明而采用的命題;初始概念必須是直接可以理解的,因而無需加以定義。第二，由公理證明定理時，必須遵守邏輯規(guī)律與邏輯規(guī)則;同樣，通過初始概念以直接或間接方式對派生概念下定義時，必須遵守下定義的邏輯規(guī)則。簡述數(shù)學抽象的特性。p61答：數(shù)學抽象具有以下特性：數(shù)學抽象具有無物質性;數(shù)學抽象具有層次性；數(shù)學抽象過程要憑借分析或直覺;數(shù)學的抽象不僅有概念抽象尚有方法抽象。簡述將“化隱為顯”列為數(shù)學思想方法教學的一條原則的理由。p199答:由于數(shù)學思想方法往往隱含在知識的背后，知識教