材料力學(xué)之動(dòng)載荷

第三章動(dòng)載荷1一、概述2/6/20232靜載荷：作用在構(gòu)件上的載荷是由零開始緩慢地增加到某一定值不再隨時(shí)間改變。桿內(nèi)各質(zhì)點(diǎn)均處于靜力平衡狀態(tài)。各點(diǎn)加速度很小，可以忽略不計(jì)。動(dòng)載荷：使構(gòu)件產(chǎn)生明顯的加速度的載荷或者隨時(shí)間變化的載荷。例如：子彈放在鋼板上，板不受損；若以高速射擊，就可能擊穿鋼板；起重機(jī)從地面急劇地起吊重物，此時(shí)重物獲得加速度，作用在吊索上的載荷就是動(dòng)載荷。2/6/20233動(dòng)應(yīng)力：在動(dòng)載荷作用下構(gòu)件內(nèi)產(chǎn)生的應(yīng)力，記為。實(shí)驗(yàn)證明：在靜載荷下服從虎克定律的材料，在承受動(dòng)載荷時(shí)，只要?jiǎng)討?yīng)力小于等于比例極限(<),胡克定律仍然有效，而且彈性模量E也與靜載荷下的數(shù)值相同(即=)。四類問題：作勻加速直線運(yùn)動(dòng)和勻角速旋轉(zhuǎn)的構(gòu)件；在沖擊載荷下構(gòu)件的應(yīng)力和變形的計(jì)算；交變應(yīng)力。震動(dòng)。2/6/20234二、等加速運(yùn)動(dòng)構(gòu)件的應(yīng)力計(jì)算

—慣性力法(動(dòng)靜法)2/6/202351、勻加速直線運(yùn)動(dòng)構(gòu)件

動(dòng)靜法(達(dá)朗貝爾原理)即質(zhì)點(diǎn)的慣性力與作用于質(zhì)點(diǎn)的真實(shí)力組成平衡力系。在質(zhì)點(diǎn)系運(yùn)動(dòng)的每一瞬時(shí)，虛加于每個(gè)質(zhì)點(diǎn)上的慣性力和作用于質(zhì)點(diǎn)系的外力組成平衡力系，這就是質(zhì)點(diǎn)系的達(dá)朗貝爾原理。故慣性力是遍布于整個(gè)構(gòu)件的體積內(nèi)的體積力。

在慣性坐標(biāo)系(與地球固連的參考坐標(biāo)系)中，質(zhì)點(diǎn)運(yùn)動(dòng)滿足牛頓第二定律如引入慣性力即慣性力的方向與加速度a的方向相反，則有2/6/20236計(jì)算構(gòu)件的加速度；將相應(yīng)的慣性力作為外力虛加于各質(zhì)點(diǎn)；作為靜力平衡問題進(jìn)行處理。設(shè)有等直桿：長l，截面積A,比重，受拉力F作用,以等加速度a運(yùn)動(dòng)，求：構(gòu)件的應(yīng)力、變形（摩擦力不計(jì)）。解：構(gòu)件的加速度：

maF構(gòu)件單位長度上的慣性力(慣性力集度)：動(dòng)靜法解題的步驟：2/6/20237amFxx用截面法求內(nèi)力：根據(jù)平衡條件 ：應(yīng)力：即動(dòng)應(yīng)力沿桿長作線性分布。0lx2/6/20238變形：dx整個(gè)桿件的絕對變形為：amFxx2/6/20239例1一吊車以勻加速度起吊重物Q,若吊索的橫截面積為A，材料比重為，上升加速度為a，試計(jì)算吊索中的應(yīng)力。QaxQx解：將吊索在x處切開，取下面部分作為研究對象。作用在這部分物體上的外力有：重物的重量：Q；x段的吊索重量：Ax，慣性力為：吊索截面上的內(nèi)力：根據(jù)動(dòng)靜法，列平衡方程：2/6/202310吊索中的動(dòng)應(yīng)力為：當(dāng)重物靜止或作勻速直線運(yùn)動(dòng)時(shí)，吊索橫截面上的靜荷應(yīng)力為：代入上式，并引入記號，稱為動(dòng)荷系數(shù)，則：2/6/202311動(dòng)載荷作用下構(gòu)件的強(qiáng)度條件為：式中的[]仍取材料在靜載荷作用下的許用應(yīng)力。動(dòng)荷系數(shù)的物理意義：是動(dòng)載荷、動(dòng)荷應(yīng)力和動(dòng)荷變形與靜載荷、靜荷應(yīng)力和靜荷變形之比。因此根據(jù)胡克定律，有以下重要關(guān)系：式中

分別表示動(dòng)載荷，動(dòng)應(yīng)力，動(dòng)應(yīng)變和動(dòng)位移；分別表示靜載荷，靜應(yīng)力，靜應(yīng)變和靜位移。2/6/202312因此在解決動(dòng)載荷作用下的內(nèi)力、應(yīng)力和位移計(jì)算的問題時(shí)，均可在動(dòng)載荷作為靜荷作用在物體上所產(chǎn)生的靜載荷，靜應(yīng)力，靜應(yīng)變和靜位移計(jì)算的基礎(chǔ)上乘以動(dòng)荷系數(shù)，即通常情況下， 。2/6/2023132、等角速度旋轉(zhuǎn)的構(gòu)件旋轉(zhuǎn)圓環(huán)的應(yīng)力計(jì)算一平均直徑為D的薄壁圓環(huán)繞通過其圓心且垂直于圓環(huán)平面的軸作等角速度轉(zhuǎn)動(dòng)。已知轉(zhuǎn)速為，截面積為A，比重為，壁厚為t。o解：等角速度轉(zhuǎn)動(dòng)時(shí)，環(huán)內(nèi)各點(diǎn)具有向心加速度，且D>>t

可近似地認(rèn)為環(huán)內(nèi)各點(diǎn)向心加速度相同，。沿圓環(huán)軸線均勻分布的慣性力集度為：Dto2/6/202314圓環(huán)橫截面上的內(nèi)力：oxyd圓環(huán)橫截面上的應(yīng)力：式中是圓環(huán)軸線上各點(diǎn)的線速度。強(qiáng)度條件為：2/6/202315旋轉(zhuǎn)圓環(huán)的變形計(jì)算在慣性力集度的作用下，圓環(huán)將脹大。令變形后的直徑為，則其直徑變化，徑向應(yīng)變?yōu)樗?/p>

由上式可見，圓環(huán)直徑增大主要取決于其線速度。對于輪緣與輪心用過盈裝配的構(gòu)件，使用時(shí)轉(zhuǎn)速應(yīng)有限制，否則，轉(zhuǎn)速過高有可能使輪緣與輪心發(fā)生松脫。2/6/202316例12-4如圖12-6（a）所示鋼軸AB的直徑為80mm，軸上有一直徑為80mm的鋼質(zhì)圓桿CD，CD垂直于AB。若AB以勻角速度=40rad/s轉(zhuǎn)動(dòng)。材料的許用應(yīng)力[]=70MPa，密度為7.8g/cm3。試校核AB軸及CD桿的強(qiáng)度。

解（1）離C截面為x處的向心加速度為2/6/202317該處單位長度慣性力（圖12-6(b))為（2）由平衡方程（圖12-6(c)）得 G截面處軸向力為2/6/202318CDAB600600600xdx例2圖示剛軸AB的直徑為8cm,軸上有一直徑為8cm的鋼質(zhì)圓桿

CD,CD垂直于AB。若AB以勻角速度=401/s轉(zhuǎn)動(dòng)。材料的

[]=70MPa,比重。試校核AB軸、CD桿的強(qiáng)度。解：單位長度慣性力：所以單位長度慣性力沿桿長線性分布。2/6/202319CDAB600600600xdx當(dāng)x=0.6m時(shí)，當(dāng)x=0.04m時(shí)，C所以CD桿中最大的軸力在D截面處：則CD桿中最大的應(yīng)力為所以CD桿安全。2/6/202320600DAB600M圖AB軸中最大的應(yīng)力為所以AB軸安全。2/6/202321三、構(gòu)件受沖擊時(shí)的應(yīng)力和變形計(jì)算

2/6/202322vQa受沖擊的構(gòu)件沖擊物沖擊問題的特點(diǎn)：結(jié)構(gòu)（受沖擊構(gòu)件）受外力（沖擊物）作用的時(shí)間很短，沖擊物的速度在很短的時(shí)間內(nèi)發(fā)生很大的變化，甚至降為零，沖擊物得到一個(gè)很大的負(fù)加速度a。因此，采用能量法近似計(jì)算沖擊時(shí)構(gòu)件內(nèi)的最大應(yīng)力和變形。2/6/202323計(jì)算沖擊問題時(shí)所作的假設(shè)：1、除機(jī)械能外，，所有其它能量損失，如塑性變形能、熱能等均忽略不計(jì)。2、在整個(gè)沖擊過程中，結(jié)構(gòu)保持線彈性，即力和變形成正比。3、假定沖擊物為剛體。只考慮其機(jī)械能，不計(jì)變形能。4、假定被沖擊物為彈性體。只考慮其變形能，不計(jì)機(jī)械能（被沖擊物質(zhì)量不計(jì)）。2/6/202324根據(jù)能量守恒定律，即T+V=UT:沖擊物接觸被沖擊物后，速度0，釋放出的動(dòng)能；V:沖擊物接觸被沖擊物后，所減少的勢能；U:被沖擊構(gòu)件在沖擊物的速度0時(shí)所增加的變形能。2/6/202325根據(jù)計(jì)算沖擊問題時(shí)所作的假設(shè)，工程實(shí)際上的梁、桿均可簡化為彈簧來分析。現(xiàn)以一彈簧代表受沖構(gòu)件，受重物Q,在高度H處落下的作用，計(jì)算沖擊應(yīng)力。QhABQhQh彈簧2/6/202326Qh彈簧設(shè)：受重物Q自高度h落下，沖擊彈性系統(tǒng)后，速度開始下降至0，同時(shí)彈簧變形達(dá)到最大值。此時(shí)，全部動(dòng)能轉(zhuǎn)化為變形能，桿內(nèi)動(dòng)應(yīng)力達(dá)最大值（以后要回跳）。就以此時(shí)來計(jì)算：釋放出的動(dòng)能（以勢能的降低來表示）增加的變形能，在彈性極限內(nèi)2/6/202327FQ被沖擊構(gòu)件增加的變形能U，應(yīng)等于沖擊載荷在沖擊過程中所作的功。：沖擊物速度為0時(shí)，作用于桿之力。于是變形能為根據(jù)能量守恒：T=U根據(jù)力和變形之間的關(guān)系：2/6/202328即解得：式中“+”對應(yīng)的是最大變形，

“-”代表的是回跳到的最高位置。所以取正值。2/6/202329式中為沖擊時(shí)的動(dòng)荷系數(shù)其中是結(jié)構(gòu)中沖擊受力點(diǎn)沿受力方向在靜載荷（大小為沖擊物重量）作用下的位移。2/6/202330因?yàn)樗詻_擊應(yīng)力為強(qiáng)度條件為2/6/2023311、若沖擊物是以一垂直速度v作用于構(gòu)件上，則由可得：2、若已知的是沖擊物沖擊前的能量，則由(為被沖擊物在靜荷

Q作用下的變形能)關(guān)于動(dòng)荷系數(shù)的討論:2/6/2023323、當(dāng)h=0或v=0時(shí)，重物突然放在構(gòu)件上，此時(shí)。4、不僅與沖擊物的動(dòng)能有關(guān)，與載荷、構(gòu)件截面尺寸有關(guān)，更與有關(guān)。這是與靜應(yīng)力的根本不同點(diǎn)。構(gòu)件越易變形，剛度越小，即“柔能克剛”。2/6/202333水平?jīng)_擊時(shí)的動(dòng)荷系數(shù)計(jì)算。Qvl解：根據(jù)能量守恒：沖擊過程中釋放的動(dòng)能等于桿件增加的變形能。(a)(b)設(shè)：一重量為Q的重物以水平速度v撞在直桿上，若直桿的E、I、均為已知。試求桿內(nèi)最大正應(yīng)力。2/6/202334將(b)代入(a)式：解得：式中表示水平?jīng)_擊時(shí)假設(shè)以沖擊物重量大小的力沿水平方向以靜載荷作用于沖擊點(diǎn)時(shí)，該點(diǎn)沿水平方向的位移。2/6/202335所以即水平?jīng)_擊時(shí)的動(dòng)荷系數(shù)為桿內(nèi)最大動(dòng)應(yīng)力為2/6/202336四、幾個(gè)沖擊實(shí)例的計(jì)算2/6/202337實(shí)例1等截面直桿的沖擊拉伸應(yīng)力lhQ已知：等截面直桿長為l，截面積為A，桿件的彈性模量為E，重物Q從高H處自由落下。解：靜應(yīng)力和靜伸長分別為，動(dòng)荷系數(shù)為沖擊應(yīng)力為可見：不僅與桿的截面積A有關(guān)，且與長度l、體積V=Al

有關(guān)。而且V，。2/6/202338實(shí)例2等截面簡支梁的沖擊彎曲應(yīng)力已知：梁的抗彎剛度為EI，抗彎截面模量為W。在梁的中點(diǎn)處受到重物Q從高h(yuǎn)處自由下落的沖擊。解：梁中點(diǎn)處的靜撓度為ABQhl/2l/2動(dòng)荷系數(shù)最大沖擊應(yīng)力為可見：也與桿體積

V=Al有關(guān)。而且V，。2/6/202339ABQhl/2l/2k如果在B支座下加一彈簧，彈性系數(shù)為k，此時(shí)梁中點(diǎn)處的靜撓度將變?yōu)榧丛龃螅瑒?dòng)荷系數(shù)下降，使下降，此即彈簧的緩沖作用。2/6/202340實(shí)例3等截面圓軸受沖擊扭轉(zhuǎn)時(shí)的應(yīng)力等圓截面圓軸上有飛輪，以等角速度轉(zhuǎn)動(dòng)，飛輪的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量為,由于某種原因在A端突然剎車。求此時(shí)軸內(nèi)的沖擊應(yīng)力。解：飛輪動(dòng)能的改變量：軸的變形能(為沖擊扭轉(zhuǎn)力矩)2/6/202341由T=U得：解得：所以軸內(nèi)沖擊應(yīng)力為（與體積V=Al有關(guān)）所以對于轉(zhuǎn)軸，要避免突然剎車。2/6/202342例3起重機(jī)吊索下端與重物之間有一緩沖彈簧，每單位力引起的伸長為，吊索橫截面面積，彈性模量，所吊重物質(zhì)量為

Q=50KN。以等速

v=1m/s下降，在l=20m時(shí)突然剎車，求吊索內(nèi)的應(yīng)力(吊索和彈簧的質(zhì)量不計(jì))。vl解：根據(jù)重物沖擊過程中釋放的能量(包括動(dòng)能和勢能)轉(zhuǎn)化為吊索增加的變形能計(jì)算。吊索和彈簧的靜變形：在重物的速度v0的同時(shí)，吊索和彈簧的變形增加,即動(dòng)變形為。所以=13.48cm2/6/202343因?yàn)椋╝）經(jīng)過整理，(a)式變?yōu)榻獾米冃卧黾恿繛関l2/6/202344吊索和彈簧的最大伸長量所以動(dòng)荷系數(shù)為=1.87吊索內(nèi)的應(yīng)力vl2/6/202345如果吊索和重物之間沒有彈簧，則由此可見彈簧所起的緩沖作用。vl