材料力學(xué)之動載荷

第三章動載荷1一、概述2/6/20232靜載荷：作用在構(gòu)件上的載荷是由零開始緩慢地增加到某一定值不再隨時間改變。桿內(nèi)各質(zhì)點均處于靜力平衡狀態(tài)。各點加速度很小，可以忽略不計。動載荷：使構(gòu)件產(chǎn)生明顯的加速度的載荷或者隨時間變化的載荷。例如：子彈放在鋼板上，板不受損；若以高速射擊，就可能擊穿鋼板；起重機從地面急劇地起吊重物，此時重物獲得加速度，作用在吊索上的載荷就是動載荷。2/6/20233動應(yīng)力：在動載荷作用下構(gòu)件內(nèi)產(chǎn)生的應(yīng)力，記為。實驗證明：在靜載荷下服從虎克定律的材料，在承受動載荷時，只要動應(yīng)力小于等于比例極限(<),胡克定律仍然有效，而且彈性模量E也與靜載荷下的數(shù)值相同(即=)。四類問題：作勻加速直線運動和勻角速旋轉(zhuǎn)的構(gòu)件；在沖擊載荷下構(gòu)件的應(yīng)力和變形的計算；交變應(yīng)力。震動。2/6/20234二、等加速運動構(gòu)件的應(yīng)力計算

—慣性力法(動靜法)2/6/202351、勻加速直線運動構(gòu)件

動靜法(達朗貝爾原理)即質(zhì)點的慣性力與作用于質(zhì)點的真實力組成平衡力系。在質(zhì)點系運動的每一瞬時，虛加于每個質(zhì)點上的慣性力和作用于質(zhì)點系的外力組成平衡力系，這就是質(zhì)點系的達朗貝爾原理。故慣性力是遍布于整個構(gòu)件的體積內(nèi)的體積力。

在慣性坐標(biāo)系(與地球固連的參考坐標(biāo)系)中，質(zhì)點運動滿足牛頓第二定律如引入慣性力即慣性力的方向與加速度a的方向相反，則有2/6/20236計算構(gòu)件的加速度；將相應(yīng)的慣性力作為外力虛加于各質(zhì)點；作為靜力平衡問題進行處理。設(shè)有等直桿：長l，截面積A,比重，受拉力F作用,以等加速度a運動，求：構(gòu)件的應(yīng)力、變形（摩擦力不計）。解：構(gòu)件的加速度：

maF構(gòu)件單位長度上的慣性力(慣性力集度)：動靜法解題的步驟：2/6/20237amFxx用截面法求內(nèi)力：根據(jù)平衡條件 ：應(yīng)力：即動應(yīng)力沿桿長作線性分布。0lx2/6/20238變形：dx整個桿件的絕對變形為：amFxx2/6/20239例1一吊車以勻加速度起吊重物Q,若吊索的橫截面積為A，材料比重為，上升加速度為a，試計算吊索中的應(yīng)力。QaxQx解：將吊索在x處切開，取下面部分作為研究對象。作用在這部分物體上的外力有：重物的重量：Q；x段的吊索重量：Ax，慣性力為：吊索截面上的內(nèi)力：根據(jù)動靜法，列平衡方程：2/6/202310吊索中的動應(yīng)力為：當(dāng)重物靜止或作勻速直線運動時，吊索橫截面上的靜荷應(yīng)力為：代入上式，并引入記號，稱為動荷系數(shù)，則：2/6/202311動載荷作用下構(gòu)件的強度條件為：式中的[]仍取材料在靜載荷作用下的許用應(yīng)力。動荷系數(shù)的物理意義：是動載荷、動荷應(yīng)力和動荷變形與靜載荷、靜荷應(yīng)力和靜荷變形之比。因此根據(jù)胡克定律，有以下重要關(guān)系：式中

分別表示動載荷，動應(yīng)力，動應(yīng)變和動位移；分別表示靜載荷，靜應(yīng)力，靜應(yīng)變和靜位移。2/6/202312因此在解決動載荷作用下的內(nèi)力、應(yīng)力和位移計算的問題時，均可在動載荷作為靜荷作用在物體上所產(chǎn)生的靜載荷，靜應(yīng)力，靜應(yīng)變和靜位移計算的基礎(chǔ)上乘以動荷系數(shù)，即通常情況下， 。2/6/2023132、等角速度旋轉(zhuǎn)的構(gòu)件旋轉(zhuǎn)圓環(huán)的應(yīng)力計算一平均直徑為D的薄壁圓環(huán)繞通過其圓心且垂直于圓環(huán)平面的軸作等角速度轉(zhuǎn)動。已知轉(zhuǎn)速為，截面積為A，比重為，壁厚為t。o解：等角速度轉(zhuǎn)動時，環(huán)內(nèi)各點具有向心加速度，且D>>t

可近似地認(rèn)為環(huán)內(nèi)各點向心加速度相同，。沿圓環(huán)軸線均勻分布的慣性力集度為：Dto2/6/202314圓環(huán)橫截面上的內(nèi)力：oxyd圓環(huán)橫截面上的應(yīng)力：式中是圓環(huán)軸線上各點的線速度。強度條件為：2/6/202315旋轉(zhuǎn)圓環(huán)的變形計算在慣性力集度的作用下，圓環(huán)將脹大。令變形后的直徑為，則其直徑變化，徑向應(yīng)變?yōu)樗?/p>

由上式可見，圓環(huán)直徑增大主要取決于其線速度。對于輪緣與輪心用過盈裝配的構(gòu)件，使用時轉(zhuǎn)速應(yīng)有限制，否則，轉(zhuǎn)速過高有可能使輪緣與輪心發(fā)生松脫。2/6/202316例12-4如圖12-6（a）所示鋼軸AB的直徑為80mm，軸上有一直徑為80mm的鋼質(zhì)圓桿CD，CD垂直于AB。若AB以勻角速度=40rad/s轉(zhuǎn)動。材料的許用應(yīng)力[]=70MPa，密度為7.8g/cm3。試校核AB軸及CD桿的強度。

解（1）離C截面為x處的向心加速度為2/6/202317該處單位長度慣性力（圖12-6(b))為（2）由平衡方程（圖12-6(c)）得 G截面處軸向力為2/6/202318CDAB600600600xdx例2圖示剛軸AB的直徑為8cm,軸上有一直徑為8cm的鋼質(zhì)圓桿

CD,CD垂直于AB。若AB以勻角速度=401/s轉(zhuǎn)動。材料的

[]=70MPa,比重。試校核AB軸、CD桿的強度。解：單位長度慣性力：所以單位長度慣性力沿桿長線性分布。2/6/202319CDAB600600600xdx當(dāng)x=0.6m時，當(dāng)x=0.04m時，C所以CD桿中最大的軸力在D截面處：則CD桿中最大的應(yīng)力為所以CD桿安全。2/6/202320600DAB600M圖AB軸中最大的應(yīng)力為所以AB軸安全。2/6/202321三、構(gòu)件受沖擊時的應(yīng)力和變形計算

2/6/202322vQa受沖擊的構(gòu)件沖擊物沖擊問題的特點：結(jié)構(gòu)（受沖擊構(gòu)件）受外力（沖擊物）作用的時間很短，沖擊物的速度在很短的時間內(nèi)發(fā)生很大的變化，甚至降為零，沖擊物得到一個很大的負(fù)加速度a。因此，采用能量法近似計算沖擊時構(gòu)件內(nèi)的最大應(yīng)力和變形。2/6/202323計算沖擊問題時所作的假設(shè)：1、除機械能外，，所有其它能量損失，如塑性變形能、熱能等均忽略不計。2、在整個沖擊過程中，結(jié)構(gòu)保持線彈性，即力和變形成正比。3、假定沖擊物為剛體。只考慮其機械能，不計變形能。4、假定被沖擊物為彈性體。只考慮其變形能，不計機械能（被沖擊物質(zhì)量不計）。2/6/202324根據(jù)能量守恒定律，即T+V=UT:沖擊物接觸被沖擊物后，速度0，釋放出的動能；V:沖擊物接觸被沖擊物后，所減少的勢能；U:被沖擊構(gòu)件在沖擊物的速度0時所增加的變形能。2/6/202325根據(jù)計算沖擊問題時所作的假設(shè)，工程實際上的梁、桿均可簡化為彈簧來分析。現(xiàn)以一彈簧代表受沖構(gòu)件，受重物Q,在高度H處落下的作用，計算沖擊應(yīng)力。QhABQhQh彈簧2/6/202326Qh彈簧設(shè)：受重物Q自高度h落下，沖擊彈性系統(tǒng)后，速度開始下降至0，同時彈簧變形達到最大值。此時，全部動能轉(zhuǎn)化為變形能，桿內(nèi)動應(yīng)力達最大值（以后要回跳）。就以此時來計算：釋放出的動能（以勢能的降低來表示）增加的變形能，在彈性極限內(nèi)2/6/202327FQ被沖擊構(gòu)件增加的變形能U，應(yīng)等于沖擊載荷在沖擊過程中所作的功。：沖擊物速度為0時，作用于桿之力。于是變形能為根據(jù)能量守恒：T=U根據(jù)力和變形之間的關(guān)系：2/6/202328即解得：式中“+”對應(yīng)的是最大變形，

“-”代表的是回跳到的最高位置。所以取正值。2/6/202329式中為沖擊時的動荷系數(shù)其中是結(jié)構(gòu)中沖擊受力點沿受力方向在靜載荷（大小為沖擊物重量）作用下的位移。2/6/202330因為所以沖擊應(yīng)力為強度條件為2/6/2023311、若沖擊物是以一垂直速度v作用于構(gòu)件上，則由可得：2、若已知的是沖擊物沖擊前的能量，則由(為被沖擊物在靜荷

Q作用下的變形能)關(guān)于動荷系數(shù)的討論:2/6/2023323、當(dāng)h=0或v=0時，重物突然放在構(gòu)件上，此時。4、不僅與沖擊物的動能有關(guān)，與載荷、構(gòu)件截面尺寸有關(guān)，更與有關(guān)。這是與靜應(yīng)力的根本不同點。構(gòu)件越易變形，剛度越小，即“柔能克剛”。2/6/202333水平?jīng)_擊時的動荷系數(shù)計算。Qvl解：根據(jù)能量守恒：沖擊過程中釋放的動能等于桿件增加的變形能。(a)(b)設(shè)：一重量為Q的重物以水平速度v撞在直桿上，若直桿的E、I、均為已知。試求桿內(nèi)最大正應(yīng)力。2/6/202334將(b)代入(a)式：解得：式中表示水平?jīng)_擊時假設(shè)以沖擊物重量大小的力沿水平方向以靜載荷作用于沖擊點時，該點沿水平方向的位移。2/6/202335所以即水平?jīng)_擊時的動荷系數(shù)為桿內(nèi)最大動應(yīng)力為2/6/202336四、幾個沖擊實例的計算2/6/202337實例1等截面直桿的沖擊拉伸應(yīng)力lhQ已知：等截面直桿長為l，截面積為A，桿件的彈性模量為E，重物Q從高H處自由落下。解：靜應(yīng)力和靜伸長分別為，動荷系數(shù)為沖擊應(yīng)力為可見：不僅與桿的截面積A有關(guān)，且與長度l、體積V=Al

有關(guān)。而且V，。2/6/202338實例2等截面簡支梁的沖擊彎曲應(yīng)力已知：梁的抗彎剛度為EI，抗彎截面模量為W。在梁的中點處受到重物Q從高h(yuǎn)處自由下落的沖擊。解：梁中點處的靜撓度為ABQhl/2l/2動荷系數(shù)最大沖擊應(yīng)力為可見：也與桿體積

V=Al有關(guān)。而且V，。2/6/202339ABQhl/2l/2k如果在B支座下加一彈簧，彈性系數(shù)為k，此時梁中點處的靜撓度將變?yōu)榧丛龃螅瑒雍上禂?shù)下降，使下降，此即彈簧的緩沖作用。2/6/202340實例3等截面圓軸受沖擊扭轉(zhuǎn)時的應(yīng)力等圓截面圓軸上有飛輪，以等角速度轉(zhuǎn)動，飛輪的轉(zhuǎn)動慣量為,由于某種原因在A端突然剎車。求此時軸內(nèi)的沖擊應(yīng)力。解：飛輪動能的改變量：軸的變形能(為沖擊扭轉(zhuǎn)力矩)2/6/202341由T=U得：解得：所以軸內(nèi)沖擊應(yīng)力為（與體積V=Al有關(guān)）所以對于轉(zhuǎn)軸，要避免突然剎車。2/6/202342例3起重機吊索下端與重物之間有一緩沖彈簧，每單位力引起的伸長為，吊索橫截面面積，彈性模量，所吊重物質(zhì)量為

Q=50KN。以等速

v=1m/s下降，在l=20m時突然剎車，求吊索內(nèi)的應(yīng)力(吊索和彈簧的質(zhì)量不計)。vl解：根據(jù)重物沖擊過程中釋放的能量(包括動能和勢能)轉(zhuǎn)化為吊索增加的變形能計算。吊索和彈簧的靜變形：在重物的速度v0的同時，吊索和彈簧的變形增加,即動變形為。所以=13.48cm2/6/202343因為（a）經(jīng)過整理，(a)式變?yōu)榻獾米冃卧黾恿繛関l2/6/202344吊索和彈簧的最大伸長量所以動荷系數(shù)為=1.87吊索內(nèi)的應(yīng)力vl2/6/202345如果吊索和重物之間沒有彈簧，則由此可見彈簧所起的緩沖作用。vl