理論力學(xué) 12 動(dòng)量矩定理

12動(dòng)量矩定理動(dòng)量定理建立了作用力與動(dòng)量變化之間的關(guān)系，揭示了質(zhì)點(diǎn)系機(jī)械運(yùn)動(dòng)規(guī)律的一個(gè)側(cè)面，而不是全貌。例如，圓輪繞質(zhì)心轉(zhuǎn)動(dòng)時(shí)，無(wú)論它怎樣轉(zhuǎn)動(dòng)，圓輪的動(dòng)量始終是零，動(dòng)量定理不能說(shuō)明這種運(yùn)動(dòng)的規(guī)律。動(dòng)量矩定理則是從另一個(gè)側(cè)面，揭示出質(zhì)點(diǎn)系相對(duì)于某一固定點(diǎn)或質(zhì)心的運(yùn)動(dòng)規(guī)律。本章將推導(dǎo)動(dòng)量矩定理并闡明其應(yīng)用。12.1轉(zhuǎn)動(dòng)慣量、平行軸定理

12.1.1

轉(zhuǎn)動(dòng)慣量質(zhì)點(diǎn)系的運(yùn)動(dòng)，不僅與作用在質(zhì)點(diǎn)系上的力有關(guān)，還與質(zhì)點(diǎn)系各質(zhì)點(diǎn)的質(zhì)量其及分布情況有關(guān)。質(zhì)心是描述質(zhì)點(diǎn)系質(zhì)量分布的一個(gè)特征量，轉(zhuǎn)動(dòng)慣量(Momentofinertia)則是描述質(zhì)點(diǎn)系質(zhì)量分布的另一個(gè)特征量。剛體對(duì)軸

z

的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量，是剛體內(nèi)各質(zhì)點(diǎn)的質(zhì)量

mi與它到該軸的垂直距離

rzi

的平方的乘積之和，記作

Jz。（12-1）若剛體的質(zhì)量是連續(xù)分布，則式（12-1）可用積分表示為：（12-2）積分號(hào)下標(biāo)

M

表示積分范圍遍及整個(gè)剛體?？梢?，轉(zhuǎn)動(dòng)慣量恒為正值，它的大小不僅和整個(gè)剛體的質(zhì)量大小有關(guān)，而且還和剛體各部分的質(zhì)量相對(duì)于轉(zhuǎn)軸的分布情況有關(guān)。它是由剛體的質(zhì)量，質(zhì)量分布以及轉(zhuǎn)軸位置這三個(gè)因素共同決定的，與剛體的運(yùn)動(dòng)狀態(tài)無(wú)關(guān)。轉(zhuǎn)動(dòng)慣量單位是千克·米2(

k

g

·

m2)。剛體對(duì)某軸

z

的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量

J

z與其質(zhì)量

M

的比值的平方根為一個(gè)當(dāng)量長(zhǎng)度，稱為剛體對(duì)該軸的回轉(zhuǎn)半徑(Radiusofgyration)，即：（12-3）注意：回轉(zhuǎn)半徑是在計(jì)算物體轉(zhuǎn)動(dòng)慣量時(shí)，假想地把物體全部質(zhì)量集中到距軸為回轉(zhuǎn)半徑的某一質(zhì)點(diǎn)上，且其轉(zhuǎn)動(dòng)慣量與物體的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量相等。

12.1.2簡(jiǎn)單形狀均質(zhì)剛體的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量根據(jù)式（12-2），則

O

A桿對(duì)

z

軸、y

軸的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量為：（1）均質(zhì)細(xì)直桿：如圖12-1所示均質(zhì)細(xì)直桿，質(zhì)量為m，長(zhǎng)為l，建立坐標(biāo)系如圖。在直桿上取長(zhǎng)為

d

x

的微段，作為質(zhì)點(diǎn)看待，其質(zhì)量：（2）均質(zhì)矩形薄板：質(zhì)量為

m

，邊長(zhǎng)分別為

b

和

h

的均質(zhì)矩形薄板，O

為形心，如圖12-2所示。取一平行

x軸之細(xì)條，其寬度為

d

y

。該細(xì)條對(duì)

x

軸的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量為：均質(zhì)矩形薄板對(duì)

x

軸的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量為：同理均質(zhì)矩形薄板對(duì)

y

軸的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量為：圓盤對(duì)z軸的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量為：圓盤質(zhì)量：（3）均質(zhì)等厚圓盤：質(zhì)量為

m

，半徑為

R

均質(zhì)等厚薄圓盤，如圖12-3所示。將圓盤分為很多同心細(xì)圓環(huán)

，其中某細(xì)圓環(huán)的半徑為

r

，寬度為

d

r。令圓盤單位面積的質(zhì)量為r，則細(xì)圓環(huán)對(duì)過(guò)圓心O

且垂直于圓盤平面的

z

軸的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量為：

12.1.3平行軸定理定理：剛體對(duì)于任一軸的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量，等于剛體對(duì)于通過(guò)質(zhì)心并與該軸平行的軸的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量，加上剛體的質(zhì)量與兩軸間距離平方的乘積，即：（12-4）證明：設(shè)有一剛體，質(zhì)量為

M

，z

軸通過(guò)質(zhì)心

C

，軸與z軸平行且相距為

d

，取

x

、y

軸如圖12-4所示。剛體內(nèi)任一點(diǎn)

Mi的質(zhì)量

m

i，它到

z

軸和軸的距離分別為

ri和。由轉(zhuǎn)動(dòng)慣量的定義知，剛體對(duì)于軸的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量可表示為：

由質(zhì)心坐標(biāo)公式：例12-1復(fù)擺由一均質(zhì)細(xì)桿及一均質(zhì)圓球剛連而成，如圖12-5所示。均質(zhì)細(xì)桿質(zhì)量為

m1，均質(zhì)圓球質(zhì)量為

m

2，半徑為

r

。試計(jì)算擺對(duì)于通過(guò)

O

點(diǎn)并垂直于桿的

z

軸的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量。解：以

Jz1和

J

z2分別表示桿與球?qū)τ?/p>

z

軸轉(zhuǎn)動(dòng)慣量，則擺對(duì)于

z

軸的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量為兩者之和，即：均質(zhì)細(xì)桿對(duì)于

z

軸轉(zhuǎn)動(dòng)慣量為：均質(zhì)圓球?qū)τ?/p>

z

軸轉(zhuǎn)動(dòng)慣量為：例12-2計(jì)算均質(zhì)正圓錐體對(duì)其底圓直徑的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量。已知圓錐體質(zhì)量為

M

，底圓半徑為

R

，高為

h

，如圖12-6所示。解：把圓錐體分成許多厚度為

d

z

的薄圓片，該薄圓片的質(zhì)量為r為圓錐體的密度，r為薄圓片的半徑。圓錐體的質(zhì)量為薄圓片對(duì)自身直徑的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量為由幾何關(guān)系知：薄圓片對(duì)

y

軸轉(zhuǎn)動(dòng)慣量

d

Jy為：整個(gè)圓錐體對(duì)于

y

軸的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量為：12.2質(zhì)點(diǎn)和質(zhì)點(diǎn)系的動(dòng)量矩如同力矩一樣，質(zhì)點(diǎn)和質(zhì)點(diǎn)系的動(dòng)量也可以取矩，描述質(zhì)點(diǎn)和質(zhì)點(diǎn)系的轉(zhuǎn)動(dòng)特征。動(dòng)量矩(Momentofmomentum)和動(dòng)量一樣，也是度量物體機(jī)械運(yùn)動(dòng)的一種物理量。

12.2.1質(zhì)點(diǎn)的動(dòng)量矩設(shè)質(zhì)點(diǎn)某瞬時(shí)的動(dòng)量

m

v

，對(duì)固定點(diǎn)

O

的矢徑為

r

，如圖12-7所示。質(zhì)點(diǎn)的動(dòng)量對(duì)固定點(diǎn)O的矩為一矢量，定義為質(zhì)點(diǎn)對(duì)固定點(diǎn)O

的動(dòng)量矩(Momentofmomentumofaparticle)

，記為：即：（12-5）圖12-7定義：動(dòng)量

m

v

對(duì)各直角坐標(biāo)軸之矩為：（12-6）質(zhì)點(diǎn)對(duì)

O

點(diǎn)的動(dòng)量矩在通過(guò)

O

點(diǎn)的任意軸上的投影，等于質(zhì)點(diǎn)對(duì)該軸的動(dòng)量矩。即：（12-7）l

為任意軸上的單位矢量。

12.2.2質(zhì)點(diǎn)系的動(dòng)量矩質(zhì)點(diǎn)系內(nèi)各質(zhì)點(diǎn)對(duì)固定點(diǎn)

O

的動(dòng)量矩的矢量和，稱為質(zhì)點(diǎn)系對(duì)點(diǎn)

O

的動(dòng)量矩(Momentofmomentumofsystemofparticles)

，用

L

O表示，則有：（12-8）質(zhì)點(diǎn)系對(duì)各坐標(biāo)軸動(dòng)量矩的表達(dá)式為：（12-9）質(zhì)點(diǎn)系對(duì)

O

點(diǎn)的動(dòng)量矩在通過(guò)

O

點(diǎn)的任意軸上的投影，等于質(zhì)點(diǎn)系對(duì)該軸的動(dòng)量矩。即：l

為任意軸上的單位矢量。（12-10）

12.2.3定軸轉(zhuǎn)動(dòng)剛體的動(dòng)量矩動(dòng)量矩的單位是?！っ住っ?

N

·

m

·

s

)。設(shè)剛體繞固定軸

z

轉(zhuǎn)動(dòng)，某瞬時(shí)剛體的角速度w，如圖12-8所示。對(duì)于剛體內(nèi)任一質(zhì)點(diǎn)

Mi，其質(zhì)量為

mi，轉(zhuǎn)動(dòng)半徑為

r

i，動(dòng)量

mi

v

i。于是質(zhì)點(diǎn)

Mi對(duì)軸的動(dòng)量矩為：

剛體對(duì)

z

軸的動(dòng)量矩為：（12-11）定軸轉(zhuǎn)動(dòng)剛體對(duì)其轉(zhuǎn)軸的動(dòng)量矩，等于剛體對(duì)其轉(zhuǎn)軸的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量與角速度之乘積。Lz正負(fù)號(hào)與w正負(fù)號(hào)相同。例12-3如圖12-9所示一復(fù)擺以角速度w繞

O

軸轉(zhuǎn)動(dòng)。已知均質(zhì)桿

OA

長(zhǎng)為

l

，質(zhì)量為

m

1，均質(zhì)圓盤

C

2的半徑為

r

，質(zhì)量為

m

2，試求復(fù)擺對(duì)

O

軸的動(dòng)量矩。解：

J

O的計(jì)算：復(fù)擺對(duì)

O

軸的動(dòng)量矩：例12-4如圖12-10所示系統(tǒng)中，物塊

A

、B

的質(zhì)量分別為m

1、m

2，均質(zhì)圓輪(視為圓盤)的半徑為r，質(zhì)量為

m

。繩與輪間無(wú)相對(duì)滑動(dòng)，不計(jì)繩的質(zhì)量。圖示瞬時(shí)已知

A

塊的速度為

v

，試求系統(tǒng)對(duì)轉(zhuǎn)軸

O

的動(dòng)量矩。解：物塊

A

、B

與輪組成一質(zhì)點(diǎn)系，質(zhì)點(diǎn)系對(duì)轉(zhuǎn)軸O的動(dòng)量矩等于系內(nèi)各物體對(duì)轉(zhuǎn)軸動(dòng)量矩的代數(shù)和。運(yùn)動(dòng)學(xué)分析：

動(dòng)量矩計(jì)算：系統(tǒng)對(duì)轉(zhuǎn)軸

O

的動(dòng)量矩：12.3動(dòng)量矩定理

12.3.1質(zhì)點(diǎn)的動(dòng)量矩定理動(dòng)量矩定義：對(duì)時(shí)間求導(dǎo)數(shù)得：（12-12）表明：質(zhì)點(diǎn)對(duì)固定點(diǎn)

O

的動(dòng)量矩對(duì)時(shí)間的一階導(dǎo)數(shù)等于作用力對(duì)同一點(diǎn)的主矩。式

(12-12)

稱為質(zhì)點(diǎn)的動(dòng)量矩定理(Theoremsofmomentofmomentumofapartied)。將式

(12-12)

投影到固定直角坐標(biāo)軸上得：（12-13）即：質(zhì)點(diǎn)對(duì)某一定軸的動(dòng)量矩對(duì)時(shí)間的一階導(dǎo)數(shù)等于作用力對(duì)于同一軸的矩。

12.3.2質(zhì)點(diǎn)動(dòng)量矩守恒定理如果質(zhì)點(diǎn)所受力對(duì)某一定點(diǎn)

O

的矩恒為零，則由式(12-12)知，質(zhì)點(diǎn)對(duì)該點(diǎn)的動(dòng)量矩保持不變。（12-14）如果作用于質(zhì)點(diǎn)的力對(duì)于某一固定軸

l的矩恒為零，則由式

(12-13)

知，質(zhì)點(diǎn)對(duì)該軸的動(dòng)量矩保持不變。（12-15）以上結(jié)論稱為質(zhì)點(diǎn)動(dòng)量矩守恒定理（Theoremsofconservationofmomentofmomentumofaparticle）。

12.3.3質(zhì)點(diǎn)系的動(dòng)量矩定理對(duì)于質(zhì)點(diǎn)系內(nèi)各質(zhì)點(diǎn)，對(duì)同一固定點(diǎn)應(yīng)用動(dòng)量矩定理，寫出每個(gè)質(zhì)點(diǎn)的動(dòng)量矩方程，并把作用于質(zhì)點(diǎn)的力分解成外力F

e和內(nèi)力F

i，有：全部相加得：（12-16）直角坐標(biāo)軸投影式：（12-17）結(jié)論：質(zhì)點(diǎn)系對(duì)某定點(diǎn)（或某定軸）的動(dòng)量矩對(duì)時(shí)間的導(dǎo)數(shù)，等于作用于質(zhì)點(diǎn)系的全部外力對(duì)同一點(diǎn)(

或同一軸

)主矩的矢量和(

代數(shù)和

)，這就是質(zhì)點(diǎn)系的動(dòng)量矩定理(

Theoremsofmomentofmomentumofsystemofparticles

)。

12.3.4質(zhì)點(diǎn)系動(dòng)量矩守恒定理當(dāng)外力對(duì)于某定點(diǎn)

(

或某定軸

)

的主矩

(

或力矩的代數(shù)和

)

等于零時(shí)，質(zhì)點(diǎn)系對(duì)于該點(diǎn)

(

或該軸

)

的動(dòng)量矩保持不變。這就是質(zhì)點(diǎn)系動(dòng)量矩守恒定理

(

Theoremsofconservationofmomentofmomentumofsystemofparticles

)。由質(zhì)點(diǎn)系動(dòng)量矩定理可知：質(zhì)點(diǎn)系的內(nèi)力不改變質(zhì)點(diǎn)系的動(dòng)量矩，只有作用于質(zhì)點(diǎn)系的外力才能使質(zhì)點(diǎn)系的動(dòng)量矩發(fā)生變化。例12-5高爐運(yùn)送礦石用的卷場(chǎng)機(jī)如圖12-11所示，已知鼓輪的半徑為

R

，質(zhì)量為m

1，輪繞

O

軸轉(zhuǎn)動(dòng)。小車和礦石總質(zhì)量為m

2，作用在鼓輪上的力偶矩為

M

，鼓輪對(duì)轉(zhuǎn)軸的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量為

J

O，軌道的傾角為q。設(shè)繩的質(zhì)量和各處摩擦均忽略不計(jì)，求小車的加速度

a

。解：視小車為質(zhì)點(diǎn)，取小車與鼓輪組成質(zhì)點(diǎn)系。以順時(shí)針為正，質(zhì)點(diǎn)系對(duì)

O

軸的動(dòng)量矩為：作用于質(zhì)點(diǎn)系的外力除M

，G

1和

G

2外，尚有軸承

O

的反力

Fox和

Foy，軌道對(duì)車的約束力FN。其中G

1，

FOx，F(xiàn)oy對(duì)

O

軸力矩為零。將

G

2分解為

Gτ和

G

n，G

n與FN相抵消，且：則系統(tǒng)外力對(duì)

O

軸的矩為：由質(zhì)點(diǎn)系對(duì)

O

軸的動(dòng)量矩定理有：小車的加速度沿斜坡向上。例12-6在圖

12-12(a)中，小球

A

，B

以細(xì)繩相連，質(zhì)量均為

m

，其余構(gòu)件質(zhì)量不計(jì)，忽略摩擦。系統(tǒng)繞

z

軸自由轉(zhuǎn)動(dòng)，初始時(shí)系統(tǒng)的角速度為w0，當(dāng)細(xì)繩拉斷后，求各桿與鉛垂線成q角時(shí)系統(tǒng)的角速度w。見圖12-12（b）。解：此系統(tǒng)所受的重力和軸承的支反力對(duì)于轉(zhuǎn)軸的矩都等于零，因此系統(tǒng)對(duì)于轉(zhuǎn)軸的動(dòng)量矩守恒。當(dāng)q=0時(shí)，動(dòng)量矩為：當(dāng)θ≠

0時(shí)，動(dòng)量矩為：因?yàn)?/p>

Lz1=

Lz2，最后得：12.4剛體繞定軸的轉(zhuǎn)動(dòng)微分方程設(shè)剛體在主動(dòng)力

F1，F(xiàn)2，…，F(xiàn)n作用下繞定軸

AB

轉(zhuǎn)動(dòng)

，軸承

A，B的反力為

FAx，F(xiàn)Ay和FBx，F(xiàn)By，F(xiàn)Bz，如圖12-13所示。由動(dòng)量矩定理得：設(shè)任一瞬時(shí)剛體的角速度為w，由式(

12-11

)知，剛體對(duì)轉(zhuǎn)軸

z

的動(dòng)量矩剛體的定軸轉(zhuǎn)動(dòng)微分方程(

Differentialequations

ofrotationofrigidbodywithafixedaxis

)，即剛體對(duì)定軸的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量與角加速度的乘積，等于作用于剛體的主動(dòng)力對(duì)該軸的矩的代數(shù)和。（12-18）由上可知：（1）作用于剛體的主動(dòng)力對(duì)轉(zhuǎn)軸的矩使剛體的轉(zhuǎn)動(dòng)狀態(tài)發(fā)生變化。（2）如果作用于剛體的主動(dòng)力對(duì)轉(zhuǎn)軸的矩的代數(shù)和等于零，則剛體作勻速轉(zhuǎn)動(dòng)；如果主動(dòng)力對(duì)轉(zhuǎn)軸的矩的代數(shù)和為恒量，則剛體作勻變速轉(zhuǎn)動(dòng)。（3）在一定的時(shí)間間隔內(nèi)，當(dāng)主動(dòng)力對(duì)轉(zhuǎn)軸的矩相同時(shí)，剛體的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量越大，轉(zhuǎn)動(dòng)狀態(tài)變化越??；轉(zhuǎn)動(dòng)慣量越小，轉(zhuǎn)動(dòng)狀態(tài)變化越大。這就是說(shuō)，剛體轉(zhuǎn)動(dòng)慣量的大小表現(xiàn)了剛體轉(zhuǎn)動(dòng)狀態(tài)改變的難易程度。因此說(shuō)，轉(zhuǎn)動(dòng)慣量是剛體轉(zhuǎn)動(dòng)時(shí)慣性的度量。剛體的轉(zhuǎn)動(dòng)微分方程與質(zhì)點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)微分方程形式相似，求解問(wèn)題的方法與步驟也相似。應(yīng)用剛體轉(zhuǎn)動(dòng)微分方程可以求解有關(guān)轉(zhuǎn)動(dòng)剛體的動(dòng)力學(xué)兩類問(wèn)題。例12-7如圖12-14所示，已知滑輪半徑為

R

，轉(zhuǎn)動(dòng)慣量為

J

，帶動(dòng)滑輪的皮帶拉力為

F1和

F2。求滑輪的角加速度

a

。解：由剛體繞定軸的轉(zhuǎn)動(dòng)微分方程有：例12-8在圖12-15中物理擺的質(zhì)量為

m

，C

為其質(zhì)心，擺對(duì)懸掛點(diǎn)的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量為

JO，求微小擺動(dòng)的周期。解：設(shè)j角以逆時(shí)針?lè)较驗(yàn)檎?。?dāng)小j角為正時(shí)，重力對(duì)點(diǎn)O之矩為負(fù)。由此得擺的轉(zhuǎn)動(dòng)微分方程為：此方程的通解為：j

0為角振幅，j為初相位，它們由運(yùn)動(dòng)初始條件確定。擺動(dòng)周期為：12.5相對(duì)質(zhì)心的動(dòng)量矩定理、剛體平面運(yùn)動(dòng)微分方程

12.5.1相對(duì)質(zhì)心的動(dòng)量矩定理動(dòng)量矩定理，強(qiáng)調(diào)矩心或矩軸是固定點(diǎn)或固定軸。實(shí)際上，若取質(zhì)點(diǎn)系的質(zhì)心為矩心，則動(dòng)量矩定理的形式將保持不變。定理：質(zhì)點(diǎn)系相對(duì)于質(zhì)心的動(dòng)量矩對(duì)時(shí)間的導(dǎo)數(shù)，等于作用于質(zhì)點(diǎn)系的外力對(duì)質(zhì)心的主矩，即：（12-19）質(zhì)點(diǎn)系對(duì)質(zhì)心的動(dòng)量矩定理(Theoremsofmomentofmomentumwithrespecttoacenterofmass)

。證明略。

12.5.2剛體平面運(yùn)動(dòng)微分方程剛體的平面運(yùn)動(dòng)可以分解為隨質(zhì)心

C

的平動(dòng)和繞質(zhì)心軸

Cz相對(duì)轉(zhuǎn)動(dòng)。隨質(zhì)心C

的平動(dòng)可由質(zhì)心運(yùn)動(dòng)定理確定。繞質(zhì)心軸Cz

相對(duì)轉(zhuǎn)動(dòng)由相對(duì)于質(zhì)心的動(dòng)量矩定理確定。

（12-20）將前一式投影到

x

，y

軸上，后一式投影到

Cz軸上：（12-21）（12-22）式中

JC為剛體過(guò)其質(zhì)心

Cz軸的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量。式

(

12-22

)

稱為剛體平面運(yùn)動(dòng)微分方程(

Differentialequationofplanarmotionofrigidbody

)

。（12-21）或?qū)懗衫?2-9一均質(zhì)圓柱體重量為

G

，半徑為

r

。無(wú)初速地放在傾角為q的斜面上。試確定當(dāng)圓柱體在斜面上作純滾時(shí)的摩擦因數(shù)的范圍，并求出作純滾動(dòng)時(shí)質(zhì)心

C

的加速度。解：（1）取圓柱體為研究對(duì)象，并進(jìn)行受力分析。受重力

G

，斜面的反力

FN和摩擦力

FS，如圖12-1