第4章曲線曲面

曲線與曲面

在CAD中經(jīng)常要處理復(fù)雜的自由形狀曲線和曲面，特別是在汽車(chē)、航空航天、船舶、輕工等領(lǐng)域的CAD中，自由曲線和曲面設(shè)計(jì)是一個(gè)重要問(wèn)題。CAD技術(shù)采取的基本做法是：給出一系列離散點(diǎn)的空間坐標(biāo)；將上述離散點(diǎn)分段，并選擇某個(gè)函數(shù)模式計(jì)算每一小段內(nèi)任意點(diǎn)的坐標(biāo)。上述計(jì)算過(guò)程又稱為擬合或逼近，所選擇的函數(shù)模式則稱為擬合函數(shù)或逼近函數(shù)。應(yīng)用領(lǐng)域一曲線、曲面的參數(shù)表示1.曲線曲面的數(shù)學(xué)表示形式在數(shù)學(xué)上，曲線曲面常采用顯式、隱式和參數(shù)幾種表示形式。*顯式表示顯式表示不能表示封閉或多值曲線，如圓等。*隱式表示可以表示多值曲線，如拋物線、橢圓等，但仍存在曲線與坐標(biāo)軸的選取相關(guān)，不便于計(jì)算與編程等。*參數(shù)表示將曲線或曲面上的點(diǎn)的坐標(biāo)表示為某參數(shù)的函數(shù)。

與曲線曲面顯式和隱式表示法相比較，參數(shù)表示法具有如下優(yōu)點(diǎn)：可方便的表示三維曲線，并有更多的自由度來(lái)控制曲線曲面形狀；參數(shù)表示的曲線曲面與坐標(biāo)系選擇無(wú)關(guān)；在參數(shù)表達(dá)式中使用切矢量來(lái)代替非參數(shù)方程中的斜率，便于處理斜率為無(wú)窮大情況；易于用矢量和矩陣表示幾何量，從而便于計(jì)算機(jī)計(jì)算與編程。1.曲線曲面的數(shù)學(xué)表示形式2.參數(shù)曲線定義及切矢量、主法矢和曲率一條用參數(shù)表示的三維曲線是一個(gè)有界的、連續(xù)的點(diǎn)集，可表示為曲線的端點(diǎn)在u=0、u=1處，曲線上任一點(diǎn)的位置矢量（坐標(biāo)）可用矢量P(u)表示切矢量設(shè)曲線上Q、R兩點(diǎn)，其參數(shù)分別為u、u+u，位置矢量分別為P(u)、P(u+u)。矢量P=P(u+u)-P(u)表示連接QR的弦長(zhǎng)，當(dāng)u0時(shí)，位置矢量關(guān)于參數(shù)u的一階導(dǎo)數(shù)矢量稱為曲線在該點(diǎn)的切矢量，方向?yàn)榍芯€方向。

切矢量切矢量單位切矢量

所以以弧長(zhǎng)為參數(shù)的切矢量為單位切矢量。主法矢與曲率主法矢主法矢總是指向曲線凹入的方向。曲率曲率表示切向量沿曲線的變化率，它描述了曲線在某點(diǎn)的彎曲程度。曲率越大，曲線在此點(diǎn)彎曲地越厲害。曲率的倒數(shù)稱為曲率半徑。曲率的計(jì)算：３.曲線段間連續(xù)性定義在實(shí)際應(yīng)用中，曲線常常以分段形式定義，或由多段曲線拼合而成。關(guān)于各曲線段在連接點(diǎn)處的連續(xù)性有兩種判斷標(biāo)準(zhǔn)：參數(shù)連續(xù)和幾何連續(xù)。參數(shù)連續(xù)——判斷連接點(diǎn)處曲線方程相對(duì)于參數(shù)u的各階導(dǎo)數(shù)連續(xù)性，如果具有n階導(dǎo)數(shù)，則稱曲線n階參數(shù)連續(xù)，記為幾何連續(xù)——判斷連接點(diǎn)處曲線方程相對(duì)于弧長(zhǎng)s的各階導(dǎo)數(shù)連續(xù)性，如果具有n階導(dǎo)數(shù)，則稱曲線n階幾何連續(xù)，記為曲線的參數(shù)連續(xù)性與參數(shù)的選擇有關(guān)；而幾何連續(xù)性不依賴于參數(shù)的選取，而是反映曲線的具體幾何特征。連續(xù)性定義在曲線曲面造型中，一般僅討論和連續(xù)。當(dāng)曲線具有C0連續(xù)時(shí)，表示曲線在連接點(diǎn)處位置矢量相同；當(dāng)曲線具有C1連續(xù)時(shí)，表示前后兩個(gè)曲線段在連接點(diǎn)處切矢方向相同，大小相等；當(dāng)曲線具有C2連續(xù)時(shí)，表示曲線在連接點(diǎn)的二階導(dǎo)矢相同；G0的含義同C0；G1表示曲線在連接點(diǎn)切矢方向相同，但大小可能不同；G2表示曲線在連接點(diǎn)處具有相同的曲率．Bezier是法國(guó)雷諾汽車(chē)公司Bezier先生于1962年提出的一種曲線曲面構(gòu)造方法。Bezier曲線不通過(guò)給定的中間離散點(diǎn)，但是設(shè)計(jì)人員可以容易地通過(guò)改變這些離散點(diǎn)的位置來(lái)控制和改變擬合的Bezier曲線的形狀。因此，給出的離散點(diǎn)又稱為控制點(diǎn)。Bezier曲線適宜用于象汽車(chē)車(chē)身等自由形狀的構(gòu)形設(shè)計(jì)。二Bezier曲線Bezier曲線擬合實(shí)例

Bezier曲線方程

對(duì)于給定的N+1個(gè)點(diǎn)，可定義n次Bezier曲線，擬合計(jì)算式為：

t－參變量，取值范圍為0~1；

P(t)－任意擬合點(diǎn)的坐標(biāo)，P(t)=[x(t),y(t)]；－給定的第i個(gè)點(diǎn)的坐標(biāo)；－混比函數(shù)，反映第i個(gè)點(diǎn)對(duì)擬合點(diǎn)的影響，它定義為當(dāng)控制點(diǎn)數(shù)為4時(shí)，擬合的Bezier曲線是三次多項(xiàng)式函數(shù)。將混合函數(shù)按照定義計(jì)算式展開(kāi)，經(jīng)整理可得三次Bezier曲線計(jì)算式：Bezier曲線方程Bezier曲線性質(zhì)零次Bezier曲線就是一個(gè)頂點(diǎn)P0；一次Bezier曲線就是連接兩個(gè)頂點(diǎn)P0與P1的直線；二次Bezier曲線是以P0和P2為端點(diǎn)的拋物線。下面以三次為例說(shuō)明：端點(diǎn)特征根據(jù)三次Bezier曲線的參數(shù)表示，有曲線通過(guò)給定點(diǎn)列的始點(diǎn)和終點(diǎn)，曲線始點(diǎn)和終點(diǎn)處的切線方向分別與特征多邊形的首、末兩邊重合，其大小為首末兩邊長(zhǎng)的3倍。凸包性(ConvexHull)Bezier曲線恒位于其控制頂點(diǎn)所形成的凸包內(nèi)幾何不變性Bezier曲線的位置與形狀僅與其特征多邊形頂點(diǎn)位置有關(guān)，而與坐標(biāo)系的選擇無(wú)關(guān)。在幾何變換中，只要直接對(duì)特征多邊形的頂點(diǎn)變換即可，無(wú)需對(duì)曲線上的每一點(diǎn)變換。全局控制性將給出的控制點(diǎn)循序連接可組成一折線，Bezier曲線光滑地隨著該折線的變化而變化。通過(guò)改動(dòng)控制點(diǎn)的配置，控制Bezier曲線的變化趨勢(shì)。對(duì)Bezier曲線，改變一個(gè)控制點(diǎn)的位置，將影響整條曲線的形狀，所以總控制點(diǎn)數(shù)目不宜過(guò)多。Bezier曲線性質(zhì)Bezier曲線函數(shù)也是多項(xiàng)式，其次數(shù)為段內(nèi)控制點(diǎn)數(shù)目減1。當(dāng)控制點(diǎn)數(shù)目較多時(shí)，宜分段擬合。兩條三次Bezier曲線P(t)，Q(t)，進(jìn)行拼接：（1）G0連續(xù)P(t)的終點(diǎn)與Q(t)的始點(diǎn)相連，滿足P(1)=Q(0)。Bezier曲線拼接

（2）G1連續(xù)曲線在拼接點(diǎn)具有相同的單位切矢量，即則有（3）G2連續(xù)滿足

Bezier曲線拼接

為得到分段之間G1光滑過(guò)渡，在銜接點(diǎn)處應(yīng)使前段的最后兩個(gè)控制點(diǎn)和后段最先兩個(gè)控制點(diǎn)同在一條直線上。

由連接點(diǎn)兩邊各兩個(gè)頂點(diǎn)所構(gòu)成的平行四邊形對(duì)角線須平行且相等，位于同一平面。B樣條的概念是由Schoenberg（舍恩伯格）于40年代提出；B樣條方法是在保留Bezier方法的優(yōu)點(diǎn)同時(shí)，克服其由于整體不具有局部性質(zhì)的缺點(diǎn)，以及解決在描述復(fù)雜形狀時(shí)帶來(lái)的連接問(wèn)題下提出來(lái)的;B樣條曲線具有與Bezier曲線相類(lèi)似的功能，它的特點(diǎn)在于多項(xiàng)式的次數(shù)可不受控制點(diǎn)數(shù)目的限制，能獨(dú)立選擇次數(shù)并具有局部構(gòu)形性。三B樣條曲線B樣條曲線方程

三次B樣條插值點(diǎn)坐標(biāo)的計(jì)算式是：

t－參變量，變化范圍為0~1；－相鄰四個(gè)控制點(diǎn)的坐標(biāo)值。B樣條曲線與Bezier曲線的差別Bezier曲線的次數(shù)等于控制頂點(diǎn)數(shù)減1，B樣條曲線的次數(shù)與控制頂點(diǎn)無(wú)關(guān)；Bezier曲線的基函數(shù)是多項(xiàng)式函數(shù)，B樣條曲線的基函數(shù)是分段多項(xiàng)式；Bezier曲線：參數(shù)多項(xiàng)式曲線；B樣條曲線：參數(shù)樣條曲線Bezier曲線：缺乏局部性；B樣條：具有局部性最常使用的B樣條曲線是三次B樣條曲線。對(duì)三次B樣條曲線來(lái)說(shuō)，任意插值點(diǎn)的坐標(biāo)值只與相鄰四個(gè)控制點(diǎn)坐標(biāo)有關(guān)；如果改動(dòng)任意某個(gè)控制點(diǎn)的坐標(biāo)，其對(duì)曲線形狀影響波及的范圍只是前后各三個(gè)小段跨度。B樣條曲線方程

B樣條曲線擬合的圖例B樣條曲線的性質(zhì)端點(diǎn)位置矢量

起點(diǎn)與終點(diǎn)分別位于兩個(gè)三角形中線1/3處；B樣條曲線的性質(zhì)端點(diǎn)切矢量分別平行于P0P2、P1P3邊，其長(zhǎng)度為該邊長(zhǎng)的一半；端點(diǎn)的二階導(dǎo)數(shù)矢量應(yīng)為相鄰兩直線邊所構(gòu)成的平行四邊形的對(duì)角線。B樣條曲線的性質(zhì)局部性k次B樣條曲線只被相鄰的k+1個(gè)控制點(diǎn)控制，與其它點(diǎn)無(wú)關(guān)；凸包性

曲線比Bezier曲線更逼近于控制點(diǎn)連線折線。當(dāng)連線相鄰的4個(gè)控制點(diǎn)處于一條直線上時(shí)，三次B樣條曲線變?yōu)橐粭l直線，且與該直線的一部分重合。當(dāng)連續(xù)3個(gè)控制點(diǎn)重合時(shí)，擬合的三次B樣條曲線將通過(guò)此重合點(diǎn)。當(dāng)連續(xù)3個(gè)控制點(diǎn)處于一條直線連線上時(shí)，擬合的三次