反比例函數(shù)綜合復習講義全

反比例函數(shù)知識整理1、反比例函數(shù)的概念一般地，函數(shù)y=-(k是常數(shù)，k豐0)叫做反比例函數(shù)。反比例函數(shù)的解析式也可以寫x成y=kx-1的形式。自變量x的取值范圍是x中0的一切實數(shù)，函數(shù)的取值范圍也是一切非零實數(shù)。2、反比例函數(shù)的圖像反比例函數(shù)的圖像是雙曲線，它有兩個分支，這兩個分支分別位于第一、三象限，或第二、四象限，它們關于原點對稱。由于反比例函數(shù)中自變量x"0，函數(shù)yW0，所以，它的圖像與x軸、y軸都沒有交點，即雙曲線的兩個分支無限接近坐標軸，但永遠達不到坐標軸。3、反比例函數(shù)的性質當k>0時，函數(shù)圖像的兩個分支分別在第一、三象限。在每個象限內，y隨x的增大而減小。當k<0時，函數(shù)圖像的兩個分支分別在第二、四象限。在每個象限內，隨x的增大而增大。4、反比例函數(shù)解析式的確定確定及埃是的方法仍是待定系數(shù)法。由于在反比例函數(shù)y=-中，只有一個待定系數(shù)，因x此只需要一對對應值或圖像上的一個點的坐標，即可求出k的值，從而確定其解析式。5、反比例函數(shù)中反比例系數(shù)的幾何意義k如下圖，過反比例函數(shù)y=-(k豐°)圖像上任一點P作x軸、y軸的垂線PM，PN，則所x得的矩形PMON的面積S=PM?PN=|y|?|x|=|xy|。y=一，?=xy=k,S=1klox考點一、反比例函數(shù)的性質【例1】已知反比例函數(shù)y=10，當1<x<2時，y的取值范圍是()x(A)0<y<5 (B)1<y<2 (C)5<y<10 (D)y>10【舉一反三】1、已知y是x的反比例函數(shù)，當x>0時，y隨x的增大而減小.請寫出一個滿足以上條件的函數(shù)表達式m2、已知一次函數(shù)y=kx+b(k<O)與反比例函數(shù)y=—(mwO)的圖象相交于A、B兩點,1 2x其橫坐標分別是一1和3,當yjy2時，實數(shù)x的取值范圍是( )A.x<—l或O<x<3 B.—1<x<O或O<x<3C.—1<x<O或x>3 D.O<x<3

3、函數(shù)y=mx+3、函數(shù)y=mx+n與y=mx，其中mw0,nw0,那么它們在同一坐標系中的圖象可能是（）考點典例二、反比例函數(shù)圖象上點的坐標特征【例2】（2015自貢）若點（X1，yi），（X2，y2），（X3，y3），都是反比例函數(shù)尸一圖象上的點，并且yi<0<y2<>3，則下列各式中正確的是（）A.x<A.x<x<x【舉一反三】B.x<x<xD.x<x<x則y1與y2的大小關系1、若點A（1,y）和點B（2,y0）在反比例函數(shù)y則y1與y2的大小關系是：y1y2（填“>”、"v”或“="）.2、如圖，過點C（1,2）分別作x軸、y軸的平行線，交直線y=—x+6于A、B兩k點，若反比例函數(shù)y=—（x>0）的圖像與4ABC有公共點，則k的取值范圍是x（）A.24k《9 B,2<k<8 C.2<k<5 D.5<k<83、如圖，P是函數(shù)y=_1（x>0）的圖象上的一點，直緡=-x+1分別交x軸、y軸于2x點A、B，過點P分別作PM^x軸于點M，交AB于點E，作PN^y軸于點N，交AB于點F，則AF.BE的值為?？键c典例三、反比例函數(shù)圖象上點的坐標與方程的關系【例3】已知函數(shù)y=-1的圖象在第一象限的一支曲線上有一點A（a，c），點B（b，cx+1）在該函數(shù)圖象的另外一支上，則關于一元二次方程ax2+bx+c=0的兩根x『x2判斷正確的是【 】A.x1+x>1，x/x>0 B.x1+x<0，x1?x>0C.0<x1+x2<1，x1?x2>0 D.x】+x?與xjx?的符號都不確定【舉一反三】1 1 2 1 2 1 21、（2015?湖南常德）已知A（1，、四）是反比例函數(shù)圖象上的一點，直線AC經(jīng)過點A及坐標原點且與反比例函數(shù)圖象的另一支交于點C，求C的坐標及反比例函數(shù)的解析式。

2、如圖，若雙曲線y=-與邊長為5的等邊4AOB的邊OA,AB分別相交于C,D兩點,x且OC=3BD，則實數(shù)k的值為.43、如圖，直線y=6-x交*軸、y軸于A、B兩點，P是反比例函數(shù)y=-(x>0)圖象上x位于直線下方的一點，過點P作x軸的垂線，垂足為點M,交AB于點E,過點P作y軸的垂線，垂足為點N,交AB于點F。則AF-BE=( )D.6V2D.6V2第3題圖 第4題圖 第5題圖4、如上圖中，正比例函數(shù)y=3x的圖象與反比例函數(shù)y=-(k>0)的圖象交于點B,若-x取1,2,3,…，20,對應的R3AOB的面積分別為S1,S2,…，S20,則S1+S2+…+S205、兩個反比例函數(shù)y=-和y=1在第一象限內的圖象如圖所示，點P在y=-的圖象上,xx xPC，X軸于點C,交y=1的圖象于點A,PD，y軸于點D,交y=1的圖象于點B,當x x點P在y=-的圖象上運動時，以下結論：x①4ODB與aOCA的面積相等； ②四邊形PAOB的面積不會發(fā)生變化；③PA與PB始終相等；④當點A是PC的中點時，點B一定是PD的中點.其中一定正確的是?？键c典例四、反比例函數(shù)與一次函數(shù)的交點問題【例4】如圖，一次函數(shù)yjky+b的圖象和反比例函數(shù)y廣的圖象交于A(1,2),B(-2,-1)兩點，若y]Vy2,則x的取值范圍是()A.xvlB.xV-2C.-2VXV0或x>1D.xV-2或0VxV1【舉一反三】1、如圖，在平面直角坐標系中，A(-3,1),以點O為直角頂點作等腰直角三角形AOB,雙曲線y=&在第一象限內的圖象經(jīng)過點B,設直線AB的解析式為y=kx+b，當1X 2 2y1>y2時，x的取值范圍是( ).A.-5<x<1 B.0<x<1或x<一5 C.-6<x<1 D.0<x<1或x<一62、已知反比例函數(shù)_L與一次函數(shù)y=2x-1,其中一次函數(shù)的圖象經(jīng)過(a,b)、2x(a+1,b+k)兩點.(1)求反比例函數(shù)的解析式；(2)如圖，已知A點是上述兩函數(shù)圖象在第一象限內的交點，求A點的坐標；(3)利用(2)的結果，在x軸上是否存在點P,使4AOP為等腰三角形？若存在,請把所有符合條件的P點坐標都求出來；若不存在，請說明理由.3、如圖，矩形OABC的頂點A、C分別在x、y軸的正半軸上，點D為對角線OB的中點,點E(4,n)在邊AB上，反比例函數(shù)y=k(kw0)在第一象限內的圖象經(jīng)過點D、E,x且tan/BOA=1.2(1)求反比例函數(shù)的解析式和n的值；(2)若反比例函數(shù)的圖象與矩形的邊BC交于點F,將矩形折疊，使點O與點F重合，折痕分別與x、y軸正半軸交于點H、G,求線段OG的長.考點典例五、反比例函數(shù)的圖象和k的幾何意義

【例5】（2015涼山州）以正方形ABCD兩條對角線的交點O為坐標原點，建立如圖所示的平面直角坐標系，雙曲線y=3經(jīng)過點D，則正方形ABCD的面積是（）xA.10B.11C.12D.13【舉一反三】L如圖，A.3是雙曲線y=-上的兩點，過A點作AC，x軸，交OB于D點，垂足為xC.若4ADO的面積為1,D為OB的中點，則k的值為（）TOC\o"1-5"\h\z“4 一8八八 一A.— B.C.3 D.43 3k，2、如圖，正方形OABC的面積是4,點B在反比例函數(shù)y=_（k>0,x<0）x的圖象上.若點R是該反比例函數(shù)圖象上異于點B的任意一點，過點R分別作x軸、y軸的垂線，垂足為M、N,從矩形OMRN的面積中減去其與正方形OABC重合部分的面積，記剩余部分的面積為S.則當S=m（m為常數(shù)，且0cm<4）時，則點R的坐標是。（用含m的代數(shù)式表示）3、如圖，若點M是x軸正半軸上的任意一點，過點M作PQ//y軸，分別交函數(shù)y=幺（x>0）和y=與（x>0）的圖象于點P和Q，連接OP、x xOQ,則下列結論正確的是（）A./A./POQ不可能等于900B,也=4QMK2C.C.這兩個函數(shù)的圖象一定關于x軸對稱D.4POQ的面積是1(|kI+IkI)2 1 24、如圖，點A（x/y）、B（x2,yj都在雙曲線y--（x>0）上，且x2-x1=4，y[y2=2;分別過點a、B向x軸、y軸作垂線段,垂足分別為C、D、E、F,AC與BF相交于G點，四邊形FOCG的面積為2,五邊形AEODB的面積為14,那么雙曲線的解析式為.課后練習一、選擇題.已知反比例函數(shù)的圖象y=—2上有兩點A（x,y）、B（x.y。），若y>y。，則^^ 1 1 22 1 2x「x2的值是（）A.正數(shù)B.負數(shù) C.非正數(shù)D.不能確定.（2015.河北省，第10題，3分）一臺印刷機每年可印刷的書本數(shù)量y（萬冊）與它的使用時間x（年）成反比例關系，當x=2時，y=20.則y與x的函數(shù)圖象大致是（ ）TOC\o"1-5"\h\z.J2015?湖北武漢，9題，3分）在反比例函數(shù)『上迎圖象上有兩點A（x,y卜B（x,% 112y2）,X1V0Vx2,y1vy2，則m的取值范圍是（）A.m>1 B.mV1 C.m>1 D.m<13k4.（2015?黑龍江綏化）如圖，反比例函數(shù)y=—（xV0）的圖象經(jīng)過點P，則k的值為（ ）xA.-6B.-5C.6D.55.（2015.寧夏，第8題，3分）函數(shù)y=k與y=-kx2+k（k豐0）在同一直角坐標系中的X大致圖象可能是（）的圖象交于點A,與y軸交于點M,與x軸交于點N,且AM：MN=1：2,則卜=..（2015?黑龍江省黑河市、齊齊哈爾市、大興安嶺）如圖，點A是反比例函數(shù)圖象上一點，過點A作AB，y軸于點B,點C、D在x軸上，且BC//AD,四邊形ABCD的面積為3,則這個反比例函數(shù)的解析式為..（2015.山東臨沂第14題,3分）在平面直角坐標系中，直線y=-x+2與反比例函數(shù)y=1X的圖象有唯一公共點.若直線y=-X+b與反比例函數(shù)y=1的圖象有2個公共點，則b的X取值范圍是（）

(C)b>2或bv—2. (D)bv—2.(C)b>2或bv—2. (D)bv—2.二、填空題9.已知雙曲線yk-19.已知雙曲線y——經(jīng)過點(-2,1),則k的值等于▲x(2015.河南省，第11題，3分)如圖，直線y=kx與雙曲線y=2(x>。)交于點Ax(1,a)/k=(2015.陜西省，第13題，3分)如圖，在平面直角坐標系中，過點M(-3,2)分別作x軸、y軸的垂線與反比例函數(shù)y=4的圖象交于A、B兩點，則四邊形MAOB的面積為x(2015.山東濟南，第20題,3分)如圖，等邊三角形AOB的頂點A的坐標為(-4,0),頂點B在反比例函數(shù)y=-(xV0)的圖象上，則k=x(2015.山東日照，第16題，4分)如圖，在平面直角坐標系xOy中，四邊形ODEF和四邊形ABCD都是正方形，點F在x軸的正半軸上，點C在邊DE上，反比例函數(shù)y=(kW0,x>0)的圖象過點B,E.若AB=2,則k的值為.三、解答題如圖，在平面直角坐標系xOy中，一次函數(shù)y=ax+b的圖象與x軸相交于點A(-2,k0),與y軸交于點C,與反比例函數(shù)y=—在第一象限內的圖象交于點B(m,n),連x結OB.若S.aob=6,Saboc=2.(1)求一次函數(shù)的表達式；

(2)求反比例函數(shù)的表達式.(2015?遼寧大連)如圖，在平面坐標系中，/AOB=90°,AB//x軸，OB=2,雙一一k曲線y=—經(jīng)過點B.將4AOB繞點B逆時針旋轉，使點O的對應點D落在X軸的正半軸x上.若AB的對應線段CB恰好經(jīng)過點O.(1)點B的坐標和雙曲線的解析式.(2)判斷點C是否在雙曲線上，并說明理由.——=一的圖象相交X(2015?遼寧沈陽)如圖，已知一次函數(shù)y二于點A(4,n),與x軸相交于點B.(1)填空：n的值為,k的值為;(2)以AB為