對(duì)稱及三十二種對(duì)稱型

顯晶質(zhì)體、隱晶質(zhì)體、非晶質(zhì)體內(nèi)部質(zhì)點(diǎn)在三維空間成周期性重復(fù)排列的固體為晶質(zhì)體。其中較粗的用肉眼或者放大鏡可以看出晶粒來為顯晶質(zhì)。細(xì)微的只有通過顯微鏡才能分辨稱為隱晶質(zhì)。內(nèi)部質(zhì)點(diǎn)在三維空間不成周期性重復(fù)排列的固體沒有規(guī)則的幾何多面體外形。為非晶質(zhì)體。（蛋白石）第三講：晶體對(duì)稱規(guī)律（一）

一、晶體宏觀對(duì)稱要素及對(duì)稱操作（一）對(duì)稱的概念（二）晶體對(duì)稱的特點(diǎn)（三）對(duì)稱要素和對(duì)稱操作

（四）晶體對(duì)稱定律

二、晶體對(duì)稱型、晶類和對(duì)稱分類

（一）對(duì)稱型的概念及構(gòu)成（二）三十二對(duì)稱型與晶類的概念（三）晶體的對(duì)稱分類一、晶體宏觀對(duì)稱要素及對(duì)稱操作（一）對(duì)稱的概念

對(duì)稱的現(xiàn)象在自然界和我們?nèi)粘Ｉ钪卸己艹Ｒ?，如蝴蝶、花冠、?dòng)物的形體等，都常呈對(duì)稱的圖形。對(duì)稱的圖形必須由兩個(gè)以上的相同部分組成，如兩個(gè)眼睛大小不一，形狀不同，就不是對(duì)稱。但是只具有相同的部分還不一定是對(duì)稱圖形，如圖（板書顯示）是由兩個(gè)全等的三角形組成，但它并不是對(duì)稱圖形。因此，對(duì)稱的圖形還必須符合另一個(gè)條件，那就是這些相同的部分通過一定的操作（如旋轉(zhuǎn)、反映、反伸）可以發(fā)生重復(fù)。換句話說，也就是相同的部分通過一定的操作彼此可以重合起來，使圖形中恢復(fù)原來的形象。因此，對(duì)稱就是物體相同部分有規(guī)律的重復(fù)。對(duì)稱性在日常生活中很常見，但對(duì)稱的概念還有更深邃和更廣泛的含義：變換中的不變性；建造大自然的密碼；審美要素。對(duì)稱的概念還在不斷被科學(xué)賦予新意。（二）晶體對(duì)稱的特點(diǎn)

生物的對(duì)稱是為了適應(yīng)生存的需要（不對(duì)稱就是殘疾），建筑物，用品器皿的對(duì)稱是人為的，是為了美觀和適用，晶體外形的對(duì)稱表現(xiàn)為相同的晶面，晶棱和角頂作有規(guī)律的重復(fù)。晶體的對(duì)稱取決于它內(nèi)在的格子構(gòu)造，具如下特點(diǎn)：1．由于晶體內(nèi)部都具有格子構(gòu)造，而格子構(gòu)造本身就是質(zhì)點(diǎn)在三維空間周期重復(fù)的體現(xiàn)。因此，所有晶體都是對(duì)稱的。2．晶體的對(duì)稱受格子構(gòu)造規(guī)律的限制，只有符合格子構(gòu)造規(guī)律的對(duì)稱才能在晶體上體現(xiàn)。因此，晶體的對(duì)稱是有限的。3．晶體的對(duì)稱不僅體現(xiàn)在外形上，同時(shí)也體現(xiàn)在物理性質(zhì)上，也就是該晶體的對(duì)稱不僅包含幾何意義，也包含物理意義。（三）對(duì)稱要素和對(duì)稱操作對(duì)稱操作：欲使圖形中相同部分重復(fù)，必須通過一定的操作，這種操作稱為對(duì)稱操作。對(duì)稱要素：在進(jìn)行對(duì)稱操作時(shí)所應(yīng)用的輔助幾何要素（點(diǎn)——對(duì)稱中心；線——對(duì)稱軸；面——對(duì)稱面）稱為對(duì)稱要素。晶體外形可能存在的對(duì)稱要素和相應(yīng)的對(duì)稱操作如下：1．對(duì)稱中心（C）：為一個(gè)假想的幾何點(diǎn)，相應(yīng)的對(duì)稱操作是對(duì)于這個(gè)點(diǎn)的倒反（反伸）。結(jié)論：在晶體中，若存在對(duì)稱中心時(shí)，其晶面必然是兩兩平行（不管是反向或正向平行）而且相等的。晶體如有對(duì)稱中心存在時(shí)，它必定位于晶體的幾何中心，對(duì)稱中心用“C”表示。2．對(duì)稱面（P）：是一個(gè)假想的平面，相應(yīng)的對(duì)稱操作是對(duì)此平面的反映。對(duì)稱面將圖形平分為互為鏡象的兩個(gè)相等部分。

鏡像反映可理解為：如果垂直于對(duì)稱面作任意直線時(shí)，則在此直線上，位于對(duì)稱面的兩側(cè)且距離對(duì)稱面等距離的地方，必可找到性質(zhì)完全相同的對(duì)應(yīng)點(diǎn)。晶體中如有對(duì)稱面存在時(shí)，必定通過晶體的幾何中心。

晶體中對(duì)稱面與晶面、晶棱有如下關(guān)系：（1）垂直并平分晶面；（2）垂直晶棱并通過它的中心；（3）包含晶棱。舉例：立方體有9P，

平分晶面和晶棱有3個(gè)P，包含晶棱有6個(gè)P。

一個(gè)晶體中，可以沒有對(duì)稱面，如有，可以有一個(gè)或多個(gè)。3．對(duì)稱軸（Ln）：是一根通過晶體中心的假想直線，相應(yīng)的對(duì)稱操作是圍繞此直線的旋轉(zhuǎn)。當(dāng)圖形繞此直線旋轉(zhuǎn)一定角度后，可使相同部分重復(fù)。旋轉(zhuǎn)一周重復(fù)的次數(shù)稱為軸次n，重復(fù)時(shí)所旋轉(zhuǎn)的最小角度稱為基轉(zhuǎn)角，兩者關(guān)系為對(duì)稱軸以L表示，軸次n寫在它的右上角，記為L(zhǎng)n；晶體外形上可能出現(xiàn)的對(duì)稱軸有L1，L2，L3，L4，L6；

L1無實(shí)際意義。

軸次高于2的對(duì)稱軸又稱為高次軸（L3，L4，L6）。在一個(gè)晶體中，可以有，也可以沒有對(duì)稱軸，而每一種對(duì)稱軸也可以有一個(gè)或多個(gè)，一般把對(duì)稱軸的數(shù)目寫在符號(hào)Ln的前面，如3L4,4L3。在一個(gè)晶體中，對(duì)稱軸可能出露的位置為：（1）晶面的中心；（2）晶棱的中點(diǎn)；（3）角頂上。舉例：立方體（L2位于棱中點(diǎn)；L4位于面中心，L3位于角頂）。4．倒轉(zhuǎn)軸（Lin）：又稱旋轉(zhuǎn)反伸軸。是一根通過晶體中心的假想直線，相應(yīng)的對(duì)稱操作是圍繞此直線的旋轉(zhuǎn)和對(duì)此直線上一個(gè)與晶體中心重合的點(diǎn)反伸的復(fù)合操作。即圖形圍繞此直線旋轉(zhuǎn)一定角度后，再對(duì)此直線上一個(gè)與晶體中心重合的點(diǎn)進(jìn)行反伸可使相等部分重復(fù)。旋轉(zhuǎn)反伸軸以Lin表示，i是反伸的意思，n為軸次，n可以為1、2、3、4、6。相應(yīng)的基轉(zhuǎn)角為360o，180o，120o，90o，60o。以四方四面體模型為例，說明Li4。關(guān)于倒轉(zhuǎn)軸Lin與普通對(duì)稱要素的關(guān)系：能夠在晶體中出現(xiàn)的Li1、Li2、Li3、Li4、Li6，除Li4是一種完全獨(dú)立的對(duì)稱要素外，其余四種倒轉(zhuǎn)軸都可以用其它簡(jiǎn)單的對(duì)稱要素或它們的組合來代替，其關(guān)系如下：Li1=CLi2=PLi3=L3CLi6=L3P（PL3）（注：Li6

在對(duì)稱分類上具有獨(dú)立意義。）☆旋轉(zhuǎn)反伸軸

–Lin

操作為旋轉(zhuǎn)+反伸的復(fù)合操作。具體的操作過程：

Li

1=C

Li

2=P

Li

3=L3C

Li

4

Li

6=L3P

Li1為旋轉(zhuǎn)360o后反伸，因?yàn)閳D形旋轉(zhuǎn)360o后復(fù)原，也就是說等于不旋轉(zhuǎn)而單純反伸，所以Li1=C。

Li

1=CLi2為旋轉(zhuǎn)180o后反伸，如圖，

點(diǎn)1圍繞Li2旋轉(zhuǎn)180o后，再憑供Li2上的一點(diǎn)反伸與點(diǎn)2重合，但由圖可見，憑籍垂直于Li2（過中心）的對(duì)稱面的反映，也同樣可以使點(diǎn)1與點(diǎn)2重合。

因此，Li2=P。

Li

2=PLi3為旋轉(zhuǎn)120o后反伸，經(jīng)Li3的作用可以依次獲得1、2、3、4、5、6共6個(gè)點(diǎn)，而由點(diǎn)1開始通過L3的作用可獲得點(diǎn)1、3、5，再通過C的作用又獲得點(diǎn)2、4、6，總共獲得6個(gè)點(diǎn)，與由Li3所推導(dǎo)出來的完全相同，因此，Li3=L3C；

Li6為旋轉(zhuǎn)60o后反伸，從點(diǎn)1開始，旋轉(zhuǎn)60o反伸獲得點(diǎn)2，依次類推，可獲得點(diǎn)1、2、3、4、5、6共6個(gè)點(diǎn)，若將Li6代之以L3p，由點(diǎn)1開始，經(jīng)L3的作用可獲得點(diǎn)1、3、5，再經(jīng)過垂直于L3的P作用又可獲得點(diǎn)2、4、6，因此，Li6=L3P（PL3）。（四）晶體對(duì)稱定律

由上述對(duì)稱軸我們可以看出：有沒有L5及高于L6的對(duì)稱軸呢？答案是：

晶體中不可能出現(xiàn)五次及高于六次的對(duì)稱軸。這就是晶體對(duì)稱定律。圖示證明如下：二、晶體對(duì)稱型、晶類和對(duì)稱分類（一）對(duì)稱型的概念及構(gòu)成：

一個(gè)結(jié)晶多面體中全部對(duì)稱要素的組合稱為該結(jié)晶多面體的對(duì)稱型。舉例：3L44L36L29PC，將一個(gè)晶體模型上所有對(duì)稱要素找出來，按一定規(guī)則和順序?qū)懗隽性谝黄穑礊樵?/p>

晶體的對(duì)稱型。由于在結(jié)晶多面體中，全部對(duì)稱要素相交于一點(diǎn)

（中心），在進(jìn)行對(duì)稱操作時(shí)，至少有一個(gè)點(diǎn)不移動(dòng)。因此，對(duì)稱型又稱點(diǎn)群。（二）三十二種對(duì)稱型與晶類的概念：

經(jīng)數(shù)學(xué)推導(dǎo)，晶體可能具有的對(duì)稱型（點(diǎn)群）總共只有32種。因此，具有相同對(duì)稱型的晶體歸為一個(gè)晶類。即：自然界產(chǎn)出的所有晶體的對(duì)稱總共只可能出現(xiàn)32個(gè)對(duì)稱型，相應(yīng)即可分為32個(gè)晶類。（三）三十二種對(duì)稱型及對(duì)稱分類晶族名稱晶系名稱晶體常數(shù)特點(diǎn)對(duì)稱特點(diǎn)對(duì)稱型種類低級(jí)晶族（無高次軸）三斜晶系a≠b≠c≠

≠

≠90°無對(duì)稱面無對(duì)稱軸1.L12.C單斜晶系a≠b≠c==90°≠90°L2

或P不多于1個(gè)3.L24.P5.L2PC斜方晶系(正交晶系)a≠b≠c===90°L2或P多于1個(gè)6.3L27.L22P8.3L23PC中級(jí)晶族（只有一個(gè)高次軸）四方晶系a=b≠c===90°有一個(gè)L4或Li49.L4;10.L44L2;11.L4PC12.L44P;13.L44L25PC14.Li4;15.Li42L22P三方晶系a=b≠c==90°;=120°有一個(gè)L316.L3;17.L33L2;18.L33P19.L3C;20.L33L23PC六方晶系有一個(gè)L6或Li621.Li6