高數(shù)極限概括

第二章極限數(shù)列的極限無窮小量與無窮大量

結束函數(shù)的極限極限的運算極限存在定理兩個重要極限無窮小量的比較引言

極限是微積分學乃至分析數(shù)學的基本概念之一，用于描述變量在某一變化過程中的變化趨勢。極限的樸素思想和應用可追溯到古代，中國早在2000年前就已能算出方形、圓形、圓柱等幾何圖形的面積和體積，3世紀劉徽創(chuàng)立的割圓術，就是用圓內接正多邊形面積的極限是圓面積這一思想來近似計算圓周率π的。劉徽(約225–295年)我國古代魏末晉初的杰出數(shù)學家.他撰寫的《重差》對《九章算術》中的方法和公式作了全面的評注,指出并糾正了其中的錯誤,在數(shù)學方法和數(shù)學理論上作出了杰出的貢獻.他的“割圓術”求圓周率“割之彌細,所失彌小,割之又割,以至于不可割,則與圓合體而無所失矣”它包含了“用已知逼近未知,用近似逼近精確”的重要極限思想.的方法:第二章極限本章學習要求：了解數(shù)列極限和函數(shù)極限的概念，在后面內容的學習中逐步加深對極限思想的理解。

掌握函數(shù)極限存在與左右極限之間的關系，了解函數(shù)極限的性質，了解極限存在的兩個準則：夾逼準則和單調有界準則。

掌握極限的四項運算法則，會用兩個重要極限求極限。理解無窮小量、無窮大量的概念，掌握無窮小量階的比較，會用等價無窮小量求極限。

第一節(jié)數(shù)列的極限一、數(shù)列二、數(shù)列極限的定義三、數(shù)列極限的性質四、數(shù)列的收斂準則稱為一個數(shù)列,

記為{xn}.

定義1數(shù)列中的每一個數(shù)稱為數(shù)列的一項

xn=f(n)

稱為數(shù)列的通項或一般項一、數(shù)列數(shù)列也稱為序列介紹幾個數(shù)列xn0242nx1x2……

x???????????????……

例1…xnx2x1x0x3…??????????01–1x所有的奇數(shù)項所有的偶數(shù)項x1M3x1xx4x2??????????0所有奇數(shù)項1xnx3x2x1x0………??????????…

數(shù)列的性質單調性有界性定義2單調增加不減少的單調減少不增加的嚴格單調增加(單調增加)嚴格單調減少(單調減少)單調增加(不減少的)單調減少(不增加的)統(tǒng)稱為單調數(shù)列數(shù)列

數(shù)列的有界性回想一下前面講過的函數(shù)的有界性的情形我學過嗎？定義3數(shù)列的有界性的定義例2觀察例1中的幾個數(shù)列：…xnx2x1x0x3…??????????01–1xx1M3x1xx4x2??????????01xnx3x2x1x0………??????????…xn0242nx1x2……

x???????????????…

…

有些數(shù)列雖然無界,但它或者是下方有界的,或者是上方有界的.二、數(shù)列極限的定義001一般地,

如果數(shù)列{xn}當

n時,

列{xn}當

n時以

a為極限,記為xn

可以無限地趨近某個常數(shù)

a,

則稱數(shù)此時,也稱數(shù)列是收斂的.1x

看數(shù)列

{xn}:

從直觀上看,這個數(shù)列當n越來越大時,對應的項xn會越來越接近于1,或者說“當n趨向于無窮大時,數(shù)列xn趨近于1”.如何用精確的,量化的數(shù)學語言來刻劃這一事實?2x1x2x3x4xn

注意到,實數(shù)a,b的接近程度由|ab|確定.

|ab|越小,

則

a,b越接近.

因此,要說明“當n越來越大時,xn越來越接近于1”就只須說明“當n越來越大時,|xn1|會越來越接近于0”.正數(shù)

,|xn1|總會小于這個

,

條件是只要n充分的大。究竟要取多大呢？下面來分析：而要說明“|xn1|越來越接近于0”則只須說明“當n充分大時,|xn1|可以任意小”就行了。也就是說隨便給定一個任意小的事實上,

,給,

很小,,

只須n>1000即可,

數(shù)列中,從第1001項開始,以后各項都有

.要也即在這個又給,則從第10001項開始,以后各項都有一般,任給>0,不論多么小,

只須.因此,從第項開始,以后各項都有.因是任意的,這就說明了當n越來越大時,xn會越來越接近于1.要使預先任意給定一個正數(shù)>0,不論它的值多么小,當n無限增大時,

數(shù)列

{xn}總會從某一項開始,

以后的所有項都落在

U(1,)中.（在U(1,)外面只有有限項）若{xn}當

n時沒有極限,

則稱{xn}發(fā)散.若時,使當記為或此時,

也稱數(shù)列{xn}是收斂的.極限描述的是變量的變化趨勢數(shù)列的項不一定取到它的極限值.數(shù)列極限的定義：其中,是描述點xn

與點

1無限接近的度量標準,它是預先任意給定的,與{xn}的極限存在與否無關.不存在.由

N存在與否判斷數(shù)列的極限是否存在.

n>N描述

n.通過目標不等式來尋找N

>0,N=N().不等式稱為目標不等式.例3證故取則n>N時,由極限的定義,得例4證成立.由極限的定義可知:放大不等式法例5證通常說成：常數(shù)的極限等于其自身.例6證由絕對值不等式,得注意：該例題結論的逆命題不真.例如,{(1)n}.定理1（唯一性定理）若數(shù)列{xn}收斂,則其極限值必唯一.想想,如何證明它？三、數(shù)列極限的性質設數(shù)列{xn}收斂,但其極限不唯一,不妨設有：證運用反證法任意性常數(shù)由的任意性,上式矛盾,故a=b.定理2（有界性定理）

若數(shù)列{xn}收斂,

則{xn}必有界.證設則由極限定義,取時,即有則由數(shù)列有界的定義得：數(shù)列{xn}收斂,則必有界.該定理的逆命題不真,即有界數(shù)列不一定收斂.

例如,{(－1)n}.有界性定理的推論：即無界數(shù)列的極限不存在.無界數(shù)列必發(fā)散.例7發(fā)散的數(shù)列不一定都無界.例如,{(－1)n}.

收斂的數(shù)列必有界.

有界的數(shù)列不一定收斂.

無界的數(shù)列必發(fā)散.

發(fā)散的數(shù)列不一定無界.定理3（保號性定理）證由絕對值不等式的知識,立即得

a<0的情形類似可證,由同學自己完成.保號性定理的推論1：這里為嚴格不等號時此處仍是不嚴格不等號由保號性定理,運用反證法證明保號性定理的推論2：在極限存在的前提下,對不等式兩邊可以同時取極限,不等號的方向不變,但嚴格不等號也要改為不嚴格不等號.定理4（夾逼定理）設數(shù)列{xn},{yn},{zn}滿足下列關系:(2)則想想：如何證明夾逼定理?(1)yn

xnzn

,n(或從某一項開始);解由于例8想得通吧？解例9夾逼定理例10解定理6（單調有界數(shù)列收斂準則）

單調減少有下界的數(shù)列必有極限.單調增加有上界的數(shù)列必有極限.四、數(shù)列的收斂準則通常說成：單調有界的數(shù)列必有極限.證由中學的牛頓二項式展開公式例1