2022年高考數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí) 空間向量求空間距離（精講）（解析版）

7.6空間向量求空間距離（精講）思維導(dǎo)圖思維導(dǎo)圖常見考法常見考法考點一兩點距【例1】（1）（2021·全國課時練習(xí)）設(shè)點是點，，關(guān)于平面的對稱點，則（）A．10 B． C． D．38【答案】（1）A（2）（2021·河南濮陽市·高三一模（文））在棱長為的正四面體中，點為所在平面內(nèi)一動點，且滿足，則的最大值為（）A． B． C． D．【答案】（1）A（2）B【解析】（1）點是點，，關(guān)于平面的對稱點，的橫標(biāo)和縱標(biāo)與相同，而豎標(biāo)與相反，，，，直線與軸平行，，故選：A．（2）如圖所示，在平面內(nèi)，，所以點在平面內(nèi)的軌跡為橢圓，取的中點為點，連接，以直線為軸，直線為建立如下圖所示的空間直角坐標(biāo)系，則橢圓的半焦距，長半軸，該橢圓的短半軸為，所以，橢圓方程為.點在底面的投影設(shè)為點，則點為的中心，，故點正好為橢圓短軸的一個端點，，則，因為，故只需計算的最大值.設(shè)，則，則，當(dāng)時，取最大值，即，因此可得，故的最大值為.故選：B.【一隅三反】1．（2020·福建高三學(xué)業(yè)考試）在軸上與點的距離為3的點是（）A． B． C． D．和【答案】D【解析】設(shè)所求點的坐標(biāo)為，則由題可得，解得或1，故在軸上與點的距離為3的點是或.故選：D.2．（2021·全國高三專題練習(xí)）如圖，棱長為4的正四面體，，分別是，上的動點，且，則中點的軌跡長度為（）A． B． C． D．【答案】D【解析】把正四面體放在正方體中，并建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系，設(shè)該正方體的棱長為，因為正四面體的棱長為4，所以有，因此相應(yīng)點的坐標(biāo)為：，因為是上的動點，所以設(shè)點的坐標(biāo)為：，設(shè)，，因此有，因此，設(shè)中點為，因此有：，因為，所以，化簡得：，把代入中得：，顯然中點的軌跡是圓，半徑為，圓的周長為：.故選：D3．（2020·全國高三專題練習(xí)（理））在棱長為2的正方體中，點分別是棱的中點，是側(cè)面內(nèi)一點，若平行于平面，則線段長度的最小值是（）

A． B． C． D．【答案】D【解析】以為原點，為軸，為軸，為軸，建立空間直角坐標(biāo)系，

，0，，，2，，，2，，，0，，，2，，，2，，設(shè)平面的法向量，，，則，取，得，1，，設(shè)，2，，，，則，2，，平行于平面，，整理得，線段長度，當(dāng)且僅當(dāng)時，線段長度取最小值．故選：D．考點二點線距、線線距【例2-1】（2021·安徽）已知正方體ABCD-A1B1C1D1的棱長為2，點E是A1B1的中點，則點A到直線BE的距離是()A． B．C． D．【答案】B【解析】建立如圖所示空間直角坐標(biāo)系，則＝(0,2,0)，＝(0,1,2)．∴cosθ＝＝.∴sinθ＝.故點A到直線BE的距離d＝||sinθ＝2×.故答案為B【例2-2】（2021·全國高三專題練習(xí)）三棱錐中，，，.記中點為，中點為（1）求異面直線與的距離；（2）求二面角的余弦值.【答案】（1）；（2）【解析】三棱錐三組對棱相等，因此三棱錐的外接平行六面體為長方體，將三棱錐放在長方體中研究設(shè)長方體的三維分別為、、且，即，解得：因此以為坐標(biāo)原點，長方體在處的三條棱的方向為正方向建立空間直角坐標(biāo)系，則，，，，，，（1），，設(shè)垂直于和，所以，令，，，所以，而，因此所求距離為：（2），，設(shè)平面的一個法向量為，則，令，則，，所以，設(shè)平面的一個法向量為，則，令，則，，所以，所以，所以所求角的余弦值為.【一隅三反】1．（2020·全國高三專題練習(xí)）設(shè)為矩形所在平面外的一點，直線平面，，，.求點到直線的距離.【答案】.【解析】因為平面，所以，所以，因為四邊形為矩形，所以,所以,因為，，所以在上的射影長為，又，所以點到直線的距離.故答案為：2．（2020·全國高三專題練習(xí)）如下圖，在四棱錐中，已知平面，且四邊形為直角梯形，，，．（1）求平面與平面夾角的余弦值；（2）定義：兩條異面直線之間的距離是指其中一條直線上任意一點到另一條直線距離的最小值，利用此定義求異面直線與之間的距離．【答案】（1）；（2）【解析】以為正交基底建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系，則各點的坐標(biāo)為B（1,0,0），，，（1）因為平面，且面，，又，且，AD⊥平面PAB，所以是平面PAB的一個法向量，因為，.設(shè)平面PCD的法向量為，則，即，令，解得，.所以是平面PCD的一個法向量，從而，所以平面PAB與平面PCD所成二面角的余弦值為；（2）因為，設(shè)為直線PB上一點，且，又，則，則點到直線的距離∵∴所以異面直線PB與CD之間的距離為.考點三點面、面面距【例3-1】（2021·云南民族大學(xué)附屬中學(xué)高三月考（理））如圖，在三棱柱中，平面，，，點為的中點.（1）求證：平面；（2）求點到平面的距離.【答案】（1）證明見解析；（2）.【解析】（1）證明：因為平面，平面，所以.在中，，，，所以.所以.因為，，平面，所以平面.（2）由（1）知，，，，如圖，以為原點建立空間直角坐標(biāo)系.則，，，.，.設(shè)平面的法向量為，則即令，則，，所以.又因為，故點到平面的距離.【例3-2】．（2020·全國高三專題練習(xí)）在棱長為的正方體中，則平面與平面之間的距離為A． B．C． D．【答案】B【解析】建立如圖所示的直角坐標(biāo)系，則，，，，所以，，，設(shè)平面的一個法向量，則，即，解得，故，顯然平面平面，所以平面與平面之間的距離．【一隅三反】1．（2021·全國高一專題練習(xí)）正方體ABCD-A1B1C1D1的棱長為1，E，F(xiàn)分別為BB1，CD的中點，則點F到平面A1D1E的距離為________．【答案】【解析】取射線AB，AD，AA1分別為x軸、y軸、z軸非負(fù)半軸建立空間直角坐標(biāo)系，如圖所示．則A1(0，0，1)，E，F(xiàn)，D1(0，1，1)．所以＝，＝(0，1，0)．設(shè)平面A1D1E的法向量為=(x，y，z)．則即，令z＝2，則x＝1，得=(1，0，2)，又＝，所以點F到平面A1D1E的距離.故答案為：2．（2021·山東菏澤市·高三期末）已知四邊形是邊長為1的正方形，半徑為1的圓所在平面與平面垂直，點是圓上異于的任一點，當(dāng)點到平面的距離最大時四面體的體積為________．【答案】【解析】以D為原點，直線DA為x軸，直線DC為y軸，垂直于平面ABCD的直線為z軸建立空間直角坐標(biāo)系，

如圖所示：

則，，，

依題意，可設(shè)，其中，．

設(shè)平面MAB的法向量是，，，

由可得取，得，

又

到平面MAB的距離，

點C到平面ABM的距離有最大值，其最大值為，

當(dāng)h取得最大值時，，則，

且，，

三棱錐的體積．

故答案為：；3．（2021·上海普陀區(qū)·高三其他模擬）如圖，在直四棱柱ABCD﹣A1B1C1D1中，底面ABCD為菱形，AC=4，BD=2，且側(cè)棱AA1=3.其中O1為A1C1與B1D1的交點.（1）求點B1到平面D1AC的距離；（2）在線段BO1上，是否存在一個點P，使得直線AP與CD1垂直？若存在，求出線段BP的長；若不存在，請說明理由.【答案】（1）；（2）存在，.【解析】（1）由于菱形的對角線互相垂直平分，故以AC與BD的交點O為原點，以射線OA?OB?OO1分別為x?y?z軸，建立空間直角坐標(biāo)系.由已知條件，相關(guān)點的坐標(biāo)為A(2，0，0)，B(0，1，0)，C(﹣2，0，0)，O1(0，0，3)，B1(0，1，3)，D1(0，﹣1，3)，設(shè)平面D1AC的法向量為，由，，得，令z=1，則因，故點B1到平面D1AC的距離為.（2）設(shè)，則由，，得.又，故當(dāng)時，.于是，在線段BO1上存在點P，使得AP⊥CD1，此時.4．（2021·浙江高三專題練習(xí)）如圖，在正方體中，為的中點.（1）證明：平面；（2）求直線到平面的距離；（3）求平面與平面夾角的余弦值.【答案】（1）證明見解析；（2）；（3）.【解析】如圖建立空間直角坐標(biāo)系，設(shè)正方體的棱長為2則，，，，，（1）設(shè)平面的法向量為，，令，則，，，，面平面.（2）平面，直線到平面的距離即為點到平面的距離，，，==，直線到平面的距離為.（3）平面的一個法向量為，設(shè)平面與平面夾角為，，==，所以平面與平面夾角的余弦值.考點四距離中的動點【例4】（2021·北京首都師大二附高三開學(xué)考試）如圖，在四棱錐中，底面，底面為梯形，，，且．（Ⅰ）若點為上一點且，證明：平面；（Ⅱ）求二面角的大??；（Ⅲ）在線段上是否存在一點，使得?若存在，求出的長；若不存在，說明理由．【答案】（Ⅰ）見解析；（Ⅱ）；（Ⅲ）存在，且.【解析】（Ⅰ）過點作，交于，連接，因為，，所以．又，，所以．所以為平行四邊形,所以．又平面，平面，所以平面．（Ⅱ）因為梯形中，，，所以．因為平面，所以,如圖，以為原點，所在直線為軸建立空間直角坐標(biāo)系,所以．設(shè)平面的一個法向量為，平面的一個法向量為,因為所以，即，取得到，因為，所以，即，令得，所以,因為二面角為銳角，所以二面角為；（Ⅲ）假設(shè)存在點，設(shè)，其中，所以，所以，解得，所以存在點，且．【一隅三反】1．（2021·全國高三專題練習(xí)）如圖，在四棱錐中，底面，底面是矩形，，與底面所成角的正切值為，是的中點，線段上的動點.（1）證明：平面；（2）若二面角的余弦值為，求的長.【答案】（1）證明見解析；（2）.【解析】（1）證明：平面平面，.又，，，平面，平面，又平面，∴.又，是的中點，，又，，平面，平面.（2）以，，分別為軸，軸，軸建立空間直角坐標(biāo)系，如圖所示.∵與底面所成角的正切值為，，∴，則，，.設(shè)，則，設(shè)平面的法向量為，由，得：，而平面的一個法向量為，依題意得：，即，得或(舍).故.2．（2021·廣西桂林市·高三月考（理））如圖所示，在三棱錐中，側(cè)棱平面BCD，F(xiàn)為線段BD中點，，，.（1）證明：平面ABD；（2）設(shè)Q是線段AD上一點，二面角的正弦值為，求的值.【答案】（1）證明見解析；（2）.【解析】（1）因為，F(xiàn)為線段BD中點，所以.因為平面BCD，平面BCD，所以.又因為平面ABD，平面ABD，，所以平面ABD.（2）在三棱錐中，在平面BCD內(nèi)作于E.以B為原點建立如圖空間直角坐標(biāo)系.由題得，，，，，，.設(shè)，所以.設(shè)，分別為平面ABQ，平面CBQ的一個法向量.則，.即，.不妨取，.因為二面角的正弦值為，則余弦值為，所以，解得（舍）或.因此，的值為.3．（2021·全國高三專題練習(xí)（理））如圖所示，已知四棱錐，側(cè)面是邊長為的正三角形，且平面平面，底面是菱形，且，為棱上的動點，且=().（1）求證:；（2）試確定的值，使得平面與平面夾角的余弦