2017-2018學(xué)年高二數(shù)學(xué)上學(xué)期期末復(fù)習(xí)備考黃金30題專題06大題易丟分（20題）理VIP

學(xué)必求其心得，業(yè)必貴于專精學(xué)必求其心得，業(yè)必貴于專精PAGE37學(xué)必求其心得，業(yè)必貴于專精大題易丟分1?！绢}文】已知，且,設(shè)命題p：函數(shù)在上單調(diào)遞減；命題q：函數(shù)在上為增函數(shù)，（1）若“p且q”為真，求實(shí)數(shù)c的取值范圍（2）若“p且q”為假，“p或q"為真,求實(shí)數(shù)c的取值范圍．【答案】（1）；（2）試題解析：(1)∵函數(shù)y＝cx在R上單調(diào)遞減，∴0<c〈1，即p:0〈c<1又∵f（x)＝x2－2cx＋1在上為增函數(shù)，∴c≤,即q:.∴“p且q"為真時,（2)∵c〉0且c≠1，∴p：c>1,q：且c≠1。又∵“p或q"為真，“p且q"為假，∴p真q假或p假q真．當(dāng)p真,q假時，｛c|0〈c〈1｝∩｛c|，且c≠1}＝｛c｜<c<1｝．當(dāng)p假,q真時，｛c|c〉1}∩{c｜0<c≤}＝?.綜上所述,實(shí)數(shù)c的取值范圍是｛c｜<c<1}．2．【題文】已知集合是函數(shù)的定義域,集合是不等式（)的解集,：，:.（1）若，求實(shí)數(shù)的取值范圍；（2）若是的充分不必要條件，求實(shí)數(shù)的取值范圍?！敬鸢浮浚?);（2)?！窘馕觥吭囶}分析：(1）分別求函數(shù)的定義域和不等式（a＞0）的解集化簡集合A,由得到區(qū)間端點(diǎn)值之間的關(guān)系，解不等式組得到a的取值范圍；（2)求出?p對應(yīng)的x的取值范圍，由?p是q的充分不必要條件得到對應(yīng)集合之間的關(guān)系,由區(qū)間端點(diǎn)值的關(guān)系列不等式組求解a的范圍．（2)易得：:或,∵是的充分不必要條件，∴是的真子集則，解得：∴的取值范圍為:點(diǎn)睛:本題考查了函數(shù)定義域的求法，考查了一元二次不等式的解法，考查了數(shù)學(xué)轉(zhuǎn)化思想方法，解答的關(guān)鍵是對區(qū)間端點(diǎn)值的比較，是中檔題．3?！绢}文】已知，向量,向量，集合．（1）判斷“”是“"的什么條件;（2）設(shè)命題：若,則．命題:若集合的子集個數(shù)為2，則．判斷，，的真假,并說明理由．【答案】（1）充分不必要條件。(2）為真命題為假命題為真命題.【方法點(diǎn)睛】本題主要以向量平行、垂直的關(guān)系和真子集的個數(shù)為背景,考查了充分條件、必要條件的判斷以及復(fù)合命題的真假的判斷，注重了對基礎(chǔ)的考查,難度不大;假設(shè)是條件，是結(jié)論；由可以推出,由不可以推出,則是的充分不必要條件（）；若由不可以推出,由可以推出，則是的必要不充分條件（)；只要有一個為真即為真,有一個為假即為假，的真假性和相反.4．【題文】如圖，在四棱錐中，底面是邊長為的正方形，側(cè)棱底面,且側(cè)棱的長是,點(diǎn)分別是的中點(diǎn).(Ⅰ)證明：平面；（Ⅱ）求三棱錐的體積。【答案】(Ⅰ）證明見解析；（Ⅱ）.【解析】試題分析:（Ⅰ）連結(jié)，通過勾股定理計(jì)算可知，由三線合一得出平面；（Ⅱ）根據(jù)中位線定理計(jì)算得出是邊長為的正三角形，以為棱錐的底面,則為棱錐的高，代入棱錐的體積公式計(jì)算.試題解析：（Ⅰ)證明:四邊形是邊長為的正方形，是的中點(diǎn),又側(cè)棱底面，面又是等腰三角形，是的中點(diǎn),.同理是等腰三角形，是的中點(diǎn),面平面（Ⅱ）側(cè)棱底面,面由(Ⅱ）知：平面,是三棱錐到平面的距離分別是的中點(diǎn)，，，四邊形是邊長為的正方形，是的中點(diǎn)三角形是等邊三角形5．【題文】如圖所示，直三棱柱中，，,為棱的中點(diǎn)。(Ⅰ）探究直線與平面的位置關(guān)系，并說明理由;（Ⅱ）若,求三棱錐的體積?！敬鸢浮浚á瘢┮娊馕觯á颍！窘馕觥吭囶}分析：（I)連接,設(shè)，則為的中點(diǎn)由三角形中位線定理可得四邊形為平行四邊形，由線面平行的判定定理可得平面；（II）由點(diǎn)到平面的距離等于點(diǎn)到平面的距離，再利用“等積變換”可得，進(jìn)而可得三棱錐的體積。（Ⅱ）易知平面,由(Ⅰ)可知，平面。所以點(diǎn)到平面的距離等于點(diǎn)到平面的距離,所以.因?yàn)?所以，故三棱錐的體積為.6．如圖，在三棱錐中，，底面，，且.（1）若為上一點(diǎn)，且,證明:平面平面.(2）若為棱上一點(diǎn)，且平面，求三棱錐的體積.【答案】（1）見解析；（2）【解析】試題分析：(1）由平面可得，又,,所以平面，根據(jù)面面垂直的判定定理得平面平面。（2)在中，由余弦定理得，根據(jù)勾股定理可得AB=3，BC=1,PB=2，由平面可得，從而得到,故BD=1.過作,交于，則為三棱錐的高，且由三棱錐的體積公式可得。試題解析：(1）證明：∵平面,平面∴。又，，∴平面.∵平面,∴平面平面。(2)解：在中，由余弦定理得,∴,由條件得解得∵平面，平面，平面平面，∴,∴.過作，交于,則為三棱錐的高，則.∵，∴.即三棱錐的體積為。7．【題文】如圖,在三棱柱中，底面，，，，是棱上一點(diǎn)．（I）求證:．（II）若,分別是，的中點(diǎn)，求證：∥平面．（III)若二面角的大小為，求線段的長【答案】（I)見解析（II）見解析(III）（II）連接交于點(diǎn)．∵四邊形是平行四邊形，∴是的中點(diǎn)．又∵,分別是，的中點(diǎn)，∴，且,∴四邊形是平行四邊形,∴．又平面，面，∴平面．（III）∵，且平面,∴,，兩兩垂直。以為原點(diǎn)，，，分別為軸，軸，軸建立空間直角坐標(biāo)系．設(shè)，則，，，，∴,,．設(shè)平面的法向量為，故，，則有，令,則，又平面的法向量為．∵二面角的大小為，∴，解得，即，，∴．點(diǎn)睛：利用法向量求解空間二面角的關(guān)鍵在于“四破”：第一,破“建系關(guān)”，構(gòu)建恰當(dāng)?shù)目臻g直角坐標(biāo)系;第二，破“求坐標(biāo)關(guān)”，準(zhǔn)確求解相關(guān)點(diǎn)的坐標(biāo)；第三，破“求法向量關(guān)”，求出平面的法向量；第四,破“應(yīng)用公式關(guān)”。8．【題文】如圖，直三棱柱中，，，是棱上的動點(diǎn).證明：;若平面分該棱柱為體積相等的兩個部分，試確定點(diǎn)的位置,并求二面角的大小.【答案】(1）見解析（2）30°試題解析：解：（I）平面,又，即平面,又平面,；（II），依題意，為中點(diǎn)；(法1）取的中點(diǎn),過點(diǎn)作于點(diǎn)，連接，面面面，得點(diǎn)與點(diǎn)重合,且是二面角的平面角。設(shè),則,得二面角的大小為30°.（法2)以為空間坐標(biāo)原點(diǎn)，為軸正向、為軸正向、為軸正向，建立空間直角坐標(biāo)系，設(shè)的長為1，則.作中點(diǎn)，連結(jié),則，從而平面，平面的一個法向量設(shè)平面的一個法向量為，則，令，得，故二面角為30°。點(diǎn)睛：(1）探索性問題通常用“肯定順推法”,將不確定性問題明朗化.其步驟為假設(shè)滿足條件的元素（點(diǎn)、直線、曲線或參數(shù)）存在,用待定系數(shù)法設(shè)出，列出關(guān)于待定系數(shù)的方程組，若方程組有實(shí)數(shù)解，則元素（點(diǎn)、直線、曲線或參數(shù)）存在;否則,元素（點(diǎn)、直線、曲線或參數(shù)）不存在。（2)反證法與驗(yàn)證法也是求解探索性問題常用的方法.9．【題文】已知坐標(biāo)平面上點(diǎn)與兩個定點(diǎn)，的距離之比等于5。(1)求點(diǎn)的軌跡方程,并說明軌跡是什么圖形;（2）記（1）中的軌跡為，過點(diǎn)的直線被所截得的線段的長為8，求直線的方程.【答案】(1）（2），或．【解析】【試題分析】（1）運(yùn)用兩點(diǎn)間距離公式建立方程進(jìn)行化簡；（2）借助直線與圓的位置關(guān)系，運(yùn)用圓心距、半徑、弦長之間的關(guān)系建立方程待定直線的斜率,再用直線的點(diǎn)斜式方程分析求解：（1)由題意,得化簡，得．即．點(diǎn)的軌跡方程是軌跡是以為圓心，以為半徑的圓(2)當(dāng)直線的斜率不存在時，，此時所截得的線段的長為，符合題意．當(dāng)直線的斜率存在時，設(shè)的方程為,即，圓心到的距離,由題意，得，解得．∴直線的方程為．即。綜上，直線的方程為，或。點(diǎn)睛：軌跡方程的探求是高中數(shù)學(xué)中重要的題型之一,本題中的第一問是典型的到兩定點(diǎn)距離之比為定值的點(diǎn)的軌跡的探求.求解時直接運(yùn)用兩點(diǎn)間距離公式建立方程,然后再兩邊平方進(jìn)行化簡,從而獲得答案；第二問也是傳統(tǒng)的直線與圓相交的問題題型。求解時先運(yùn)用點(diǎn)斜式建立直線的方程，然后運(yùn)用圓心距、半徑、弦長之間的關(guān)系建立方程待定直線的斜率，再用直線的點(diǎn)斜式方程使得問題獲解.10．【題文】已知圓的圓心在直線上，且與另一條直線相切于點(diǎn).（1）求圓的標(biāo)準(zhǔn)方程；(2)已知，點(diǎn)在圓上運(yùn)動，求線段的中點(diǎn)的軌跡方程?！敬鸢浮?1）圓C的方程為（x﹣1）2+（y+2）2=2；(2）（x﹣3）2+（y﹣1）2=?！窘馕觥吭囶}分析：（1)由題意可知所求圓的圓心在經(jīng)過點(diǎn)，且與直線垂直的直線上，又所求圓的圓心在直線上，解方程組求出圓心,求出半徑，即的長,可得圓的方程；

（2)設(shè)，則有代入圓即可得到線段的中點(diǎn)的軌跡方程.試題解析：(1）設(shè)圓C的方程為（x﹣a）2+（y﹣b）2=r2，根據(jù)題意得：,解得：,則圓C的方程為（x﹣1）2+（y+2）2=；(2)設(shè)M（x，y)，B(x0，y0），則有代入圓C方程得:（2x﹣5）2+（2y﹣4)2=8,化簡得（x﹣3）2+（y﹣1）2=11．【題文】已知與曲線相切的直線，與軸，軸交于兩點(diǎn),為原點(diǎn)，，，（）。（1）求證:：與相切的條件是:.（2）求線段中點(diǎn)的軌跡方程；（3）求三角形面積的最小值.【答案】（1）見解析；（2)；（3）．【解析】試題分析:（1）寫出直線的截距式方程，化為一般式，化圓的一般式方程為標(biāo)準(zhǔn)式，求出圓心坐標(biāo)和半徑，由圓心到直線的距離等于半徑得到曲線C與直線l相切的充要條件;

(2)設(shè)出線段AB的中點(diǎn)坐標(biāo),由中點(diǎn)坐標(biāo)公式得到a，b與AB中點(diǎn)坐標(biāo)的關(guān)系，代入（1）中的條件得線段AB中點(diǎn)的軌跡方程．（3）因?yàn)閍與b都大于2,且三角形AOB為直線三角形，要求面積的最小值即要求ab的最小值,根據(jù)（1）中直線l與圓相切的條件（a—2）（b—2)=2解出ab，然后利用基本不等式即可求出ab最小時當(dāng)且經(jīng)當(dāng)a與b相等，求出此時的a與b即可求出面積的最小值．(3)，,解得,，，最小面積．點(diǎn)睛：本題考查了軌跡方程,考查了直線和圓位置關(guān)系的判斷，點(diǎn)到直線的距離公式的用法,解題的關(guān)鍵是對等式進(jìn)行靈活變換,利用基本不等式求函數(shù)的最值.12．【題文】已知動圓：與圓：交于、兩點(diǎn)，且這兩點(diǎn)平分圓的圓周．（1）求動圓的圓心的軌跡方程；(2)求圓半徑最小時的方程．【答案】（1)；(2）.【解析】試題分析：（1）由題意得圓心為弦的中點(diǎn)，故，由此可得點(diǎn)M的軌跡方程；（2）由（1）知圓M的半徑為，故求出的值即可，由于，所以，從而，所以當(dāng)，時半徑最小,由此可得解。（2）由（＊)式,知，于是有，而圓半徑，∴當(dāng)時，，，所求圓的方程為．13．【題文】已知橢圓的右焦點(diǎn)為，離心率為。（1）若，求橢圓的方程;（2）設(shè)直線與橢圓相交于兩點(diǎn),分別為線段的中點(diǎn),若坐標(biāo)原點(diǎn)在以為直徑的圓上，且，求的取值范圍.【答案】（1）;（2）.【解析】（1）由，右焦點(diǎn)為，求出,，可得，即可求出橢圓的方程；(2）聯(lián)立直線與橢圓的方程，消去，得到關(guān)于的一元二次方程,設(shè),可得根與系數(shù)的關(guān)系,根據(jù)題意得，易知,四邊形為平行四邊形，則，結(jié)合向量數(shù)量積公式及，即可求出的取值范圍.由題意得，∴。又∵，∴?！鄼E圓的方程為.(2）由得.設(shè)。所以，依題意,，易知，四邊形為平行四邊形,所以.∵,,∴.即，將其整理為?！摺??！?，即.點(diǎn)睛：在圓錐曲線中研究最值或范圍問題時，若題目的條件和結(jié)論能體現(xiàn)一種明確的函數(shù)關(guān)系，則可首先建立目標(biāo)函數(shù),再求這個函數(shù)的最值．在利用代數(shù)法解決最值與范圍問題時常從以下方面考慮：①利用判別式來構(gòu)造不等關(guān)系，從而確定參數(shù)的取值范圍;②利用已知參數(shù)的范圍,求新參數(shù)的范圍，解這類問題的關(guān)鍵是在兩個參數(shù)之間建立等量關(guān)系；③利用隱含或已知的不等關(guān)系建立不等式，從而求出參數(shù)的取值范圍.14．【題文】已知橢圓（）的離心率為，且過點(diǎn).（1)求橢圓的方程；(2）若直線（）與橢圓交于兩點(diǎn)，記直線的斜率分別為，試探究是否為定值,若是，請求出該定值；若不是，請說明理由?！敬鸢浮浚?）(2）為定值,該定值為0【解析】試題分析:（1）由橢圓的離心率公式,求得a2=4b2，將M代入橢圓方程,即可求得a和b的值,求得橢圓方程；（2）將直線l：代入橢圓方程,利用韋達(dá)定理及直線的斜率公式，即可取得k1+k2=0．試題解析：（1)依題意，解得，故橢圓的方程為；（2）,下面給出證明：設(shè),，將代入并整理得,，解得,且故，,則，分子=，故為定值，該定值為0。15．【題文】已知圓：過圓上任意一點(diǎn)向軸引垂線垂足為（點(diǎn)、可重合）,點(diǎn)為的中點(diǎn)。（1）求的軌跡方程;（2)若點(diǎn)的軌跡方程為曲線，不過原點(diǎn)的直線與曲線交于、兩點(diǎn)，滿足直線,,的斜率依次成等比數(shù)列，求面積的取值范圍?！敬鸢浮浚?）；(2）面積的取值范圍為。【解析】試題分析:（1)設(shè)，則，代入圓：即可得解；（2）由題意可知，直線的斜率存在且不為，故可設(shè)直線的方程為（），與橢圓聯(lián)立得,設(shè),,由直線,，的斜率依次成等比數(shù)列，，可得，再由，，計(jì)算即可.試題解析：（1)設(shè),則，則有：，整理得：.(2)由題意可知，直線的斜率存在且不為，故可設(shè)直線的方程為（），，,由消去得則，且，.故因?yàn)橹本€，，的斜率依次成等比數(shù)列,即,又，所以，即。由于直線，的斜率存在，且，得且，設(shè)為到直線的距離,，則，所以面積的取值范圍為。點(diǎn)睛：在圓錐曲線中研究最值或范圍問題時，若題目的條件和結(jié)論能體現(xiàn)一種明確的函數(shù)關(guān)系，則可首先建立目標(biāo)函數(shù),再求這個函數(shù)的最值．在利用代數(shù)法解決最值與范圍問題時常從以下方面考慮:①利用判別式來構(gòu)造不等關(guān)系,從而確定參數(shù)的取值范圍;②利用已知參數(shù)的范圍,求新參數(shù)的范圍，解這類問題的關(guān)鍵是在兩個參數(shù)之間建立等量關(guān)系；③利用隱含或已知的不等關(guān)系建立不等式，從而求出參數(shù)的取值范圍16．【題文】設(shè)點(diǎn)，動圓經(jīng)過點(diǎn)且和直線相切,記動圓的圓心的軌跡為曲線。（1）求曲線的方程；（2)設(shè)曲線上一點(diǎn)的橫坐標(biāo)為,過的直線交于另一點(diǎn)，交軸于點(diǎn)，過點(diǎn)作的垂線交于另一點(diǎn).若是的切線,求的最小值.【答案】(1);（2)。（2）由題意知,過點(diǎn)的直線斜率存在且不為0，設(shè)其為。則，當(dāng)，則.聯(lián)立方程，整理得：。即:，解得或?！?，而，∴直線斜率為?！?聯(lián)立方程,整理得:，即:，，解得:，或.∴∴。而拋物線在點(diǎn)處切線斜率：，是拋物線的切線，∴，整理得，∴，解得（舍去），或，∴.17．【題文】已知橢圓中心在坐標(biāo)原點(diǎn)，焦點(diǎn)在坐標(biāo)軸上,且經(jīng)過三點(diǎn)。（1）求橢圓的方程;(2)在直線上任取一點(diǎn)，連接，分別與橢圓交于兩點(diǎn),判斷直線是否過定點(diǎn)？若是,求出該定點(diǎn)。若不是，請說明理由.【答案】(1）；(2)【解析】試題分析：由于橢圓過兩個不同的點(diǎn)，故可設(shè)橢圓方程為，代入已知點(diǎn)的坐標(biāo),可以橢圓的方程.（2)的直線均是過頂點(diǎn)的直線，故通過聯(lián)立方程組可以得到兩點(diǎn)的坐標(biāo),再根據(jù)橢圓及其動點(diǎn)的對稱性可以知道定點(diǎn)如果存在，則必定在軸上，猜出定點(diǎn)的坐標(biāo)為,最后利用斜率證明三點(diǎn)共線。（1)設(shè)橢圓方程為,將代入橢圓方程得到，計(jì)算得出，所以橢圓方程為.當(dāng)時，，三點(diǎn)共線；綜上，三點(diǎn)共線也就是過定點(diǎn)。點(diǎn)睛：直線與圓錐曲線的位置關(guān)系中，如果已知動直線過定點(diǎn)且與圓錐曲線有另一個交點(diǎn)，那么通過韋達(dá)定理可以求出另一個交點(diǎn)的坐標(biāo)并用斜率表示它,從而考慮與該點(diǎn)相關(guān)的一些定點(diǎn)定值問題.另外,我們用先猜后證的策略考慮定點(diǎn)定值問題，因此這樣可以使得代數(shù)式變形化簡的目標(biāo)更明確。18．【題文】已知橢圓的短軸端點(diǎn)和焦點(diǎn)組成的四邊形為正方形,且橢圓過點(diǎn)．（1）求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程；(2)四邊形的頂點(diǎn)都在橢圓上，且對角線、過原點(diǎn)，若，求證：四邊形的面積為定值．【答案】(1);（2)見解析.【解析】試題分析：（1）由題意，，又,解得即得橢圓標(biāo)準(zhǔn)方程（2）設(shè)直線的方程為，設(shè)，，聯(lián)立得,寫出韋達(dá)定理，因?yàn)?，∴，∴?∴,解得則=，結(jié)合即得解。試題解析:（1)由題意，，又，解得，，所以橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為．（2）設(shè)直線的方程為,設(shè)，，聯(lián)立得,,，,∵，∴，∴，，∴，∴，∴，設(shè)原點(diǎn)到直線的距離為,則，∴,即四邊形的面積為定值．19．【題文】已知拋物線的焦點(diǎn)為，準(zhǔn)線與軸的交點(diǎn)為，過點(diǎn)的直線與拋物線相交于不同的兩點(diǎn).（1）若，求直線的方程；（2)記的斜率分別為，試問：的值是否隨直線位置的變化而變化？證明你的結(jié)論?！敬鸢浮浚?）；（2）的值不隨直線的變化而變化，證明見解析?！窘馕觥?/p>