2017版數(shù)學(xué)考前搶分必做中檔大題規(guī)范練4含答案

學(xué)必求其心得，業(yè)必貴于專精學(xué)必求其心得，業(yè)必貴于專精學(xué)必求其心得，業(yè)必貴于專精中檔大題規(guī)范練4概率與統(tǒng)計(jì)1。(2016·北京）A，B，C三個(gè)班共有100名學(xué)生,為調(diào)查他們的體育鍛煉情況，通過(guò)分層抽樣獲得了部分學(xué)生一周的鍛煉時(shí)間，數(shù)據(jù)如下表(單位:小時(shí))：A班66.577.58B班6789101112C班34.567.5910.51213.5（1)試估計(jì)C班的學(xué)生人數(shù);（2)從A班和C班抽出的學(xué)生中，各隨機(jī)選取1人,A班選出的人記為甲，C班選出的人記為乙。假設(shè)所有學(xué)生的鍛煉時(shí)間相互獨(dú)立，求該周甲的鍛煉時(shí)間比乙的鍛煉時(shí)間長(zhǎng)的概率；(3)再?gòu)腁，B，C三個(gè)班中各隨機(jī)抽取一名學(xué)生，他們?cè)撝艿腻憻挄r(shí)間分別是7,9，8.25（單位：小時(shí))。這3個(gè)新數(shù)據(jù)與表格中的數(shù)據(jù)構(gòu)成的新樣本的平均數(shù)記為μ1，表格中數(shù)據(jù)的平均數(shù)記為μ0，試判斷μ0和μ1的大?。ńY(jié)論不要求證明）。解（1)C班學(xué)生人數(shù)約為100×eq\f（8,5＋7＋8)＝100×eq\f（8,20)＝40.(2）設(shè)事件Ai為“甲是現(xiàn)有樣本中A班的第i個(gè)人"，i＝1,2,…，5,事件Cj為“乙是現(xiàn)有樣本中C班的第j個(gè)人”，j＝1，2,…，8.由題意可知P(Ai)＝eq\f（1，5），i＝1,2，…，5；P（Cj)＝eq\f(1，8），j＝1，2，…,8。P(AiCj）＝P（Ai）P(Cj）＝eq\f（1，5）×eq\f（1，8)＝eq\f（1,40)，i＝1，2，…，5，j＝1，2,…，8.設(shè)事件E為“該周甲的鍛煉時(shí)間比乙的鍛煉時(shí)間長(zhǎng)”，由題意知，E＝A1C1∪A1C2∪A2C1∪A2C2∪A2C3∪A3C1∪A3C2∪A3C3∪A4C1∪A4C2∪A4C3∪A5C1∪A5C2∪A5C3∪A5C4。因此P（E)＝P（A1C1）＋P(A1C2）＋P（A2C1)＋P(A2C2）＋P(A2C3）＋P(A3C1）＋P(A3C2)＋P(A3C3)＋P(A4C1)＋P(A4C2)＋P（A4C3)＋P（A5C1)＋P（A5C2）＋P（A5C3）＋P(A5C4）＝15×eq\f(1，40）＝eq\f（3，8）。(3）μ1＜μ0。2.某學(xué)校為準(zhǔn)備參加市運(yùn)動(dòng)會(huì)，對(duì)本校甲、乙兩個(gè)田徑隊(duì)中30名跳高運(yùn)動(dòng)員進(jìn)行了測(cè)試，并用莖葉圖表示出本次測(cè)試30人的跳高成績(jī)(單位:cm)。跳高成績(jī)?cè)?75cm以上(包括175cm)定義為“合格"，成績(jī)?cè)?75cm以下定義為“不合格"。鑒于乙隊(duì)組隊(duì)晚，跳高成績(jī)相對(duì)較弱，為激勵(lì)乙隊(duì)隊(duì)員，學(xué)校決定只有乙隊(duì)中“合格”者才能參加市運(yùn)動(dòng)會(huì)開幕式旗林隊(duì)。(1）求甲隊(duì)隊(duì)員跳高成績(jī)的中位數(shù);（2)如果將所有的運(yùn)動(dòng)員按“合格”與“不合格”分成兩個(gè)層次，用分層抽樣抽取“合格”與“不合格”的人數(shù)共5人，則各層應(yīng)抽取多少人？（3）若從所有“合格”運(yùn)動(dòng)員中選取2名,用X表示所選運(yùn)動(dòng)員中甲隊(duì)能參加市運(yùn)動(dòng)會(huì)開幕式旗林隊(duì)的人數(shù),試寫出X的分布列，并求X的均值.解(1）由莖葉圖知，甲田徑隊(duì)12名隊(duì)員的跳高成績(jī)從小到大排列后中間的兩個(gè)成績(jī)?yōu)?76、178，故中位數(shù)為eq\f（1,2)(176＋178）＝177。（2)由莖葉圖可知,甲、乙兩隊(duì)合格人數(shù)為12，不合格人數(shù)為18,所以抽取五人，合格人數(shù)為eq\f(5,30）×12＝2，不合格人數(shù)為eq\f（5,30）×18＝3.(3)X＝0,1，2，P（X＝0）＝eq\f（C\o\al（2，4)，C\o\al（2，12）)＝eq\f（1，11），P（X＝1）＝eq\f（C\o\al(1,8）C\o\al（1,4）,C\o\al(2，12))＝eq\f(16，33），P(X＝2）＝eq\f（C\o\al(2，8）,C\o\al(2，12））＝eq\f(14，33).故X的分布列為X012Peq\f(1，11）eq\f(16,33）eq\f（14，33)E(X）＝0×eq\f（1，11）＋1×eq\f（16,33)＋2×eq\f(14，33)＝eq\f(4,3）.3。安排5個(gè)大學(xué)生到A，B，C三所學(xué)校支教，設(shè)每個(gè)大學(xué)生去任何一所學(xué)校是等可能的。(1）求5個(gè)大學(xué)生中恰有2個(gè)人去A校支教的概率；(2)設(shè)有大學(xué)生去支教的學(xué)校的個(gè)數(shù)為ξ，求ξ的分布列。解（1）5個(gè)大學(xué)生到三所學(xué)校支教的所有可能為35＝243(種)，設(shè)“恰有2個(gè)人去A校支教”為事件M，則有Ceq\o\al（2,5）·23＝80(種),∴P(M)＝eq\f（80，243）。即5個(gè)大學(xué)生中恰有2個(gè)人去A校支教的概率為eq\f（80,243）。(2）由題意得：ξ＝1,2，3，ξ＝1?5人去同一所學(xué)校，有Ceq\o\al(1，3）＝3(種)，∴P(ξ＝1)＝eq\f(3，243）＝eq\f（1，81),ξ＝2?5人去兩所學(xué)校，即分為4,1或3，2有Ceq\o\al（2,3)·（Ceq\o\al（4，5）＋Ceq\o\al（3，5))·Aeq\o\al(2，2）＝90（種)，∴P(ξ＝2)＝eq\f(90,243)＝eq\f（30，81）＝eq\f(10，27），ξ＝3?5人去三所學(xué)校，即分為3,1，1或2,2,1有（eq\f（C\o\al(3，5)·C\o\al(1,2)·1,2!）＋eq\f(C\o\al(2,5)·C\o\al(2，3)·1，2!))·Aeq\o\al(3,3）＝150（種），∴P（ξ＝3）＝eq\f(150,243）＝eq\f（50，81).∴ξ的分布列為ξ123Peq\f(1，81)eq\f（10，27）eq\f(50，81）4。甲、乙兩人進(jìn)行定點(diǎn)投籃比賽，在距籃筐3米線內(nèi)設(shè)一點(diǎn)A，在點(diǎn)A處投中一球得2分，不中得0分；在距籃筐3米線外設(shè)一點(diǎn)B，在點(diǎn)B處投中一球得3分，不中得0分，已知甲、乙兩人在A點(diǎn)投中的概率都是eq\f(1,2）,在B點(diǎn)投中的概率都是eq\f（1，3），且在A，B兩點(diǎn)處投中與否相互獨(dú)立，設(shè)定甲、乙兩人先在A處各投籃一次，然后在B處各投籃一次，總得分高者獲勝。(1）求甲投籃總得分ξ的分布列和均值；(2）求甲獲勝的概率。解（1)設(shè)“甲在A點(diǎn)投中"為事件A，“甲在B點(diǎn)投中”為事件B，根據(jù)題意，ξ的可能取值為0,2，3，5，則P（ξ＝0）＝P（eq\x\to(A）eq\x\to（B））＝(1－eq\f（1,2)）×（1－eq\f（1,3))＝eq\f(1，3），P（ξ＝2）＝P(Aeq\x\to（B）)＝eq\f（1，2）×（1－eq\f(1,3))＝eq\f(1,3），P（ξ＝3)＝P（eq\x\to(A)B）＝（1－eq\f（1，2)）×eq\f(1，3)＝eq\f（1，6)，P(ξ＝5)＝P（AB）＝eq\f（1，2）×eq\f（1,3）＝eq\f(1,6).所以ξ的分布列為ξ0235Peq\f（1,3）eq\f(1,3)eq\f（1,6）eq\f(1,6）E（ξ）＝0×eq\f(1,3)＋2×eq\f（1,3）＋3×eq\f（1,6）＋5×eq\f（1，6）＝2.(2）同理，乙的總得分η的分布列為ξ0235Peq\f(1,3)eq\f(1,3)eq\f（1,6）eq\f（1，6)甲獲勝包括：甲得2分、3分、5分三種情形，這三種情形之間彼此互斥。因此，所求事件的概率為P＝P（ξ＝2)×P(η＝0)＋P（ξ＝3)×P(η〈3）＋P（ξ＝5)×P（η〈5）＝eq\f（1，3)×eq\f（1，3)＋eq\f(1，6）×（eq\f（1，3）＋eq\f(1,3）)＋eq\f(1，6)×（1－eq\f(1，6)）＝eq\f（13，36).5.某學(xué)校高一年級(jí)學(xué)生某次身體素質(zhì)體能測(cè)試的原始成績(jī)采用百分制，已知所有這些學(xué)生的原始成績(jī)均分布在［50，100］內(nèi)，發(fā)布成績(jī)使用等級(jí)制各等級(jí)劃分標(biāo)準(zhǔn)見下表，規(guī)定:A、B、C三級(jí)為合格等級(jí)，D為不合格等級(jí).百分制85分及以上70分到84分60分到69分60分以下等級(jí)ABCD為了解該校高一年級(jí)學(xué)生身體素質(zhì)情況,從中抽取了n名學(xué)生的原始成績(jī)作為樣本進(jìn)行統(tǒng)計(jì)，按照[50,60），［60，70），［70,80），[80，90），［90，100］的分組作出頻率分布直方圖如圖1所示，樣本中分?jǐn)?shù)在80分及以上的所有數(shù)據(jù)的莖葉圖如圖2所示.（1)求n和頻率分布直方圖中x，y的值；（2)根據(jù)樣本估計(jì)總體的思想，以事件發(fā)生的頻率作為相應(yīng)事件發(fā)生的概率，若在該校高一學(xué)生中任選3人，求至少有1人成績(jī)是合格等級(jí)的概率；（3)在選取的樣本中，從A、C兩個(gè)等級(jí)的學(xué)生中隨機(jī)抽取了3名學(xué)生進(jìn)行調(diào)研，記ξ表示所抽取的3名學(xué)生中為C等級(jí)的學(xué)生人數(shù)，求隨機(jī)變量ξ的分布列及均值。解(1)n＝eq\f(6，0.012×10）＝50,x＝eq\f(2,50×10）＝0。004，y＝eq\f（1－0.04－0.1－0。12－0.56,10）＝0.018。(2）成績(jī)是合格等級(jí)人數(shù)為（1－0.1)×50＝45，抽取的50人中成績(jī)是合格等級(jí)的頻率為eq\f（9，10)，故從該校學(xué)生中任選1人,成績(jī)是合格等級(jí)的概率為eq\f（9，10），設(shè)在該校高一學(xué)生中任選3人，至少有1人成績(jī)是合格等級(jí)的事件為A，則P（A)＝1－Ceq\o\al（0,3)×(1－eq\f（9，10）)3＝eq\f(999，1000)。（3)由題意可知C等級(jí)的學(xué)生人數(shù)為0.18×50＝9,A等級(jí)的學(xué)生人數(shù)為3，故ξ的取值為0，1，2，3，則P（ξ＝0)＝eq\f(C\o\al(3，3）,C\o\al（3，12））＝eq\f(1,220），P（ξ＝1）＝eq\f(C\o\al(1,9)C\o\al（2，3)，C\o\al（3,12))＝eq\f(27，220),P（ξ＝2）＝eq\f（C\o\al（2，9)C\o\al（1，3），C\o\al（3,12）)＝eq\f（108，220)＝eq\f(27,55），P(ξ＝3)＝eq\f（C\o\al（3，9),C\o\al（3,12)）＝eq\f（84,220)＝eq\f（21,55)，所以ξ的