2018屆廣東省廣州市數(shù)學復習專項檢測試題24不等式恒成立問題的處理方法

學必求其心得，業(yè)必貴于專精學必求其心得，業(yè)必貴于專精PAGE7-學必求其心得，業(yè)必貴于專精不等式恒成立問題的處理方法1、轉換為求函數(shù)的最值恒成立的最大值；恒成立的最小值。例1、已知函數(shù)在處取得極值，其中為常數(shù)。(1）試確定的值;（2）討論函數(shù)的單調區(qū)間;（3）若對任意，不等式恒成立,求實數(shù)的取值范圍。解：（1）(2）略（3）由（2）知，在處取得極小值，此極小值也是最小值。要使恒成立，只需，即,從而，解得或,的取值范圍為。例2、已知對任意恒成立，試求實數(shù)的取值范圍。解：等價于對任意恒成立,又等價于時，的最小值成立.由于在上為增函數(shù)，則,所以。例3、函數(shù)在上既是奇函數(shù)又是減函數(shù)，且當時，有恒成立，求實數(shù)的取值范圍。解：由得到:因為為奇函數(shù)，故有恒成立，又因為為減函數(shù),從而有對恒成立；設，則對于恒成立，函數(shù)，對稱軸為。①當時，，即，又∴②當，即時，，即，∴,又，∴③當時，恒成立.∴故由①②③可知:。2、主參換位例4、若不等式對恒成立，求實數(shù)的取值范圍。例5、若對于任意，不等式恒成立，求實數(shù)的取值范圍。解：例6、已知函數(shù)，其中為實數(shù)。若不等式對任意都成立，求實數(shù)的取值范圍.解：由題設知，對任意,不等式都成立，即,都成立.設()，則是一個以為自變量的一次函數(shù)。恒成立,則，為上的單調遞增函數(shù)。所以對任意，恒成立的充分必要條件是，,，于是的取值范圍是。3、分離參數(shù)（1）將參數(shù)與變量分離，即化為(或)恒成立的形式;（2）求在上的最大（或最小）值；（3）解不等式（或),得的取值范圍。適用題型:參數(shù)與變量能分離；函數(shù)的最值易求出。例7、當時，不等式恒成立，則實數(shù)的取值范圍是。解：當時,由得。令，則易知在上是減函數(shù)，所以時，則∴.例8、已知函數(shù)，其中。（1）當滿足什么條件時，取得極值;（2）已知，且在區(qū)間上單調遞增,試用表示出的取值范圍。解:（1）（2）在區(qū)間上單調遞增在上恒成立恒成立，;設，，令得或（舍），當時，，當時,單調增函數(shù);當時，單調減函數(shù)，，；當時,，此時在區(qū)間恒成立，所以在區(qū)間上單調遞增，,。綜上，當時,；當時，。4、數(shù)形結合例9、若對任意,不等式恒成立，則實數(shù)的取值范圍是。解：，不等式恒成立,則由一次函數(shù)性質及圖象知，即。例10、當時,不等式恒成立，求實數(shù)的取值范圍。例11、已知關于的函數(shù)，其中，若當在區(qū)間內任意取值時，的值恒為正，求實數(shù)的取值范圍。解：，令，則,則有，于是問題轉化為:當時，恒成立，求實數(shù)的取值范圍。因為是關于的一次函數(shù)，則當時，恒成立的充要條件是，解得。所以當時，；當時，。

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