2023高等數(shù)學(xué)第八章向量代數(shù)重點(diǎn)知識(shí)點(diǎn)講解課件

第八章向量代數(shù)與

空間解析幾何

第一節(jié)向量及其線性運(yùn)算表示法:向量的模

:向量的大小,一、向量的概念向量:(又稱矢量).既有大小,又有方向的量稱為向量向徑

(矢徑):自由向量:與起點(diǎn)無(wú)關(guān)的向量.起點(diǎn)為原點(diǎn)的向量.單位向量:模為1的向量,零向量:模為0的向量,有向線段M1

M2,或a,若向量a與b大小相等,方向相同,則稱a與b相等,記作a＝b;與a

的模相同,但方向相反的向量稱為a

的負(fù)向量,因平行向量可平移到同一直線上,故兩向量平行又稱兩向量共線

.若k(≥3)個(gè)向量經(jīng)平移可移到同一平面上,則稱此k個(gè)向量共面

.記作－a;規(guī)定:零向量與任何向量平行

;若向量a與b方向相同或相反,則稱a與b平行,

a∥b;記作二、向量的線性運(yùn)算1.向量的加法三角形法則:平行四邊形法則:運(yùn)算規(guī)律:交換律結(jié)合律三角形法則可推廣到多個(gè)向量相加.機(jī)動(dòng)目錄上頁(yè)下頁(yè)返回結(jié)束2.向量的減法三角不等式3.向量與數(shù)的乘法

是一個(gè)數(shù),規(guī)定:可見(jiàn)

與a

的乘積是一個(gè)新向量,記作總之:運(yùn)算律:結(jié)合律分配律因此定理1

設(shè)

a

為非零向量,則(為唯一實(shí)數(shù))證:“”.,?。健狼以僮C數(shù)的唯一性.則a∥b設(shè)a∥b取正號(hào),反向時(shí)取負(fù)號(hào),,a,b

同向時(shí)則b

與a

同向,設(shè)又有b＝

a,“”則已知

b＝a,b＝0a,b同向a∥ba,b反向橫軸縱軸豎軸定點(diǎn)空間直角坐標(biāo)系

三個(gè)坐標(biāo)軸的正方向符合右手系.三、空間直角坐標(biāo)系1.空間直角坐標(biāo)系的基本概念Ⅶ面面面ⅠⅡⅢⅣⅤⅥⅧ

坐標(biāo)面

坐標(biāo)原點(diǎn)

坐標(biāo)軸

卦限(八個(gè))空間的點(diǎn)有序數(shù)組特殊點(diǎn)的表示:坐標(biāo)軸上的點(diǎn)坐標(biāo)面上的點(diǎn)2.向量的坐標(biāo)表示設(shè)點(diǎn)

M

則沿三個(gè)坐標(biāo)軸方向的分向量.的坐標(biāo)為此式稱為向量

r

的坐標(biāo)分解式,在空間直角坐標(biāo)系下,任意向量r

，都可以找到一點(diǎn)M，使得r=OM，稱其為點(diǎn)M關(guān)于原點(diǎn)O的向徑。四、利用坐標(biāo)作向量的線性運(yùn)算設(shè)則平行向量對(duì)應(yīng)坐標(biāo)成比例:五、向量的模、方向角

1.向量的模與兩點(diǎn)間的距離公式則有由勾股定理得因得兩點(diǎn)間的距離公式:對(duì)兩點(diǎn)與2.方向角與方向余弦設(shè)有兩非零向量任取空間一點(diǎn)O,稱

=∠AOB(0≤

≤

)

為向量

的夾角.類似可定義向量與軸,軸與軸的夾角.與三坐標(biāo)軸的夾角

,,

為其方向角.方向角的余弦稱為其方向余弦.

記作方向余弦的性質(zhì):例1已知兩點(diǎn)和的模、方向余弦和方向角.解:計(jì)算向量作業(yè)

P13習(xí)題8-11，4，5，15第二節(jié)數(shù)量積向量積

啟示:實(shí)例兩向量作這樣的運(yùn)算,結(jié)果是一個(gè)數(shù)量定義一、兩向量的數(shù)量積

記作故1、關(guān)于數(shù)量積的說(shuō)明證證2、數(shù)量積符合下列運(yùn)算規(guī)律：(1)交換律：(2)分配律：(3)若為常數(shù)：若、為常數(shù)：設(shè)3、數(shù)量積的坐標(biāo)表達(dá)式由此得兩向量夾角余弦的坐標(biāo)表示式可知兩向量垂直的充要條件為解證：因?yàn)樗詫?shí)例二、兩向量的向量積定義向量積也稱為“叉積”、“外積”。1、關(guān)于向量積的說(shuō)明：//證////2、向量積符合下列運(yùn)算規(guī)律：（1）（2）分配律：（3）若為數(shù)：設(shè)3、向量積的坐標(biāo)表達(dá)式向量積的坐標(biāo)表達(dá)式//由上式可推出：補(bǔ)充解作業(yè)

P23習(xí)題8-21(1)、(3)，3，4，9第三節(jié)平面及其方程

如果一非零向量垂直于一平面，這向量就叫做該平面的法線向量．法線向量的特征：垂直于平面內(nèi)的任一向量．已知設(shè)平面上的任一點(diǎn)為必有一、平面的點(diǎn)法式方程平面的點(diǎn)法式方程平面上的點(diǎn)都滿足上方程，不在平面上的點(diǎn)都不滿足上方程．其中法向量

已知點(diǎn)解取所求平面方程為化簡(jiǎn)得取法向量化簡(jiǎn)得所求平面方程為解由平面的點(diǎn)法式方程平面的一般方程法向量二、平面的一般方程平面通過(guò)坐標(biāo)原點(diǎn)；平面通過(guò)軸；平面平行于軸；平面平行于坐標(biāo)面；類似地可討論情形.類似地可討論情形.平面一般方程的幾種特殊情況：設(shè)平面為由平面過(guò)原點(diǎn)知所求平面方程為解設(shè)平面為將三點(diǎn)坐標(biāo)代入得解將代入所設(shè)方程得平面的截距式方程設(shè)平面為由所求平面與已知平面平行得（向量平行的充要條件）解化簡(jiǎn)得令代入體積式所求平面方程為定義（通常取銳角）兩平面法向量之間的夾角稱為兩平面的夾角.三、兩平面的夾角按照兩向量夾角余弦公式有兩平面夾角余弦公式兩平面的特殊位置關(guān)系：////例4研究以下各組里兩平面的位置關(guān)系：解兩平面相交，夾角兩平面平行兩平面平行但不重合．兩平面平行兩平面重合.解點(diǎn)到平面距離公式1.平面的方程（熟記平面的幾種特殊位置的方程）2.兩平面的夾角.3.點(diǎn)到平面的距離公式.點(diǎn)法式方程.一般方程.截距式方程.（注意兩平面的位置特征）四、小結(jié)作業(yè)

P29習(xí)題8-34做書(shū)上1，3，5，6，9第四節(jié)空間直線及其方程定義空間直線可看成兩平面的交線．空間直線的一般方程一、空間直線的一般方程方向向量：如果一非零向量平行于一條已知直線，這個(gè)向量稱為這條直線的方向向量．//二、空間直線的對(duì)稱式方程與參數(shù)方程直線的對(duì)稱式方程令直線的一組方向數(shù)方向向量的方向余弦稱為直線的方向余弦.直線的參數(shù)方程例1用對(duì)稱式方程及參數(shù)方程表示直線解在直線上任取一點(diǎn)取解得點(diǎn)坐標(biāo)因所求直線與兩平面的法向量都垂直取對(duì)稱式方程參數(shù)方程解所以交點(diǎn)為取所求直線方程定義直線直線^兩直線的方向向量的夾角.（銳角）兩直線的夾角公式三、兩直線的夾角兩直線的特殊位置關(guān)系：//直線直線例如，解設(shè)所求直線的方向向量為根據(jù)題意知取所求直線的方程解先作一過(guò)點(diǎn)M且與已知直線垂直的平面再求已知直線與該平面的交點(diǎn)N,令代入平面方程得,交點(diǎn)取所求直線的方向向量為所求直線方程為定義直線和它在平面上的投影直線的夾角稱為直線與平面的夾角．^^四、直線與平面的夾角直線與平面的夾角公式直線與平面的特殊位置關(guān)系：////解為所求夾角．1.空間直線的一般方程.2.空間直線的對(duì)稱式方程與參數(shù)方程.3.兩直線的夾角.4.直線與平面的夾角.（注意兩直線的特殊位置關(guān)系）（注意直線與平面的特殊位置關(guān)系）五、小結(jié)作業(yè)

P36習(xí)題8-41，2，8第五節(jié)曲面及其方程水桶的表面、臺(tái)燈的罩子面等．曲面在空間解析幾何中被看成是點(diǎn)的幾何軌跡．曲面方程的定義：曲面的實(shí)例：一、曲面方程的概念解根據(jù)題意有所求方程為特殊地：球心在原點(diǎn)時(shí)方程為1、球面方程2、旋轉(zhuǎn)曲面定義以一條平面曲線繞其平面上的一條直線旋轉(zhuǎn)一周所成的曲面稱為旋轉(zhuǎn)曲面。這條定直線叫旋轉(zhuǎn)曲面的軸2、旋轉(zhuǎn)曲面定義以一條平面曲線繞其平面上的一條直線旋轉(zhuǎn)一周所成的曲面稱為旋轉(zhuǎn)曲面。這條定直線叫旋轉(zhuǎn)曲面的軸2、旋轉(zhuǎn)曲面定義以一條平面曲線繞其平面上的一條直線旋轉(zhuǎn)一周所成的曲面稱為旋轉(zhuǎn)曲面。這條定直線叫旋轉(zhuǎn)曲面的軸2、旋轉(zhuǎn)曲面定義以一條平面曲線繞其平面上的一條直線旋轉(zhuǎn)一周所成的曲面稱為旋轉(zhuǎn)曲面。這條定直線叫旋轉(zhuǎn)曲面的軸2、旋轉(zhuǎn)曲面定義以一條平面曲線繞其平面上的一條直線旋轉(zhuǎn)一周所成的曲面稱為旋轉(zhuǎn)曲面。這條定直線叫旋轉(zhuǎn)曲面的軸2、旋轉(zhuǎn)曲面定義以一條平面曲線繞其平面上的一條直線旋轉(zhuǎn)一周所成的曲面稱為旋轉(zhuǎn)曲面。這條定直線叫旋轉(zhuǎn)曲面的軸2、旋轉(zhuǎn)曲面定義以一條平面曲線繞其平面上的一條直線旋轉(zhuǎn)一周所成的曲面稱為旋轉(zhuǎn)曲面。這條定直線叫旋轉(zhuǎn)曲面的軸2、旋轉(zhuǎn)曲面定義以一條平面曲線繞其平面上的一條直線旋轉(zhuǎn)一周所成的曲面稱為旋轉(zhuǎn)曲面。這條定直線叫旋轉(zhuǎn)曲面的軸2、旋轉(zhuǎn)曲面定義以一條平面曲線繞其平面上的一條直線旋轉(zhuǎn)一周所成的曲面稱為旋轉(zhuǎn)曲面。這條定直線叫旋轉(zhuǎn)曲面的軸2、旋轉(zhuǎn)曲面定義以一條平面曲線繞其平面上的一條直線旋轉(zhuǎn)一周所成的曲面稱為旋轉(zhuǎn)曲面。這條定直線叫旋轉(zhuǎn)曲面的軸2、旋轉(zhuǎn)曲面定義以一條平面曲線繞其平面上的一條直線旋轉(zhuǎn)一周所成的曲面稱為旋轉(zhuǎn)曲面。這條定直線叫旋轉(zhuǎn)曲面的軸2、旋轉(zhuǎn)曲面定義以一條平面曲線繞其平面上的一條直線旋轉(zhuǎn)一周所成的曲面稱為旋轉(zhuǎn)曲面。這條定直線叫旋轉(zhuǎn)曲面的軸旋轉(zhuǎn)過(guò)程中的特征：如圖將代入得方程解圓錐面方程例3將下列各曲線繞對(duì)應(yīng)的軸旋轉(zhuǎn)一周，求生成的旋轉(zhuǎn)曲面的方程．旋轉(zhuǎn)雙曲面旋轉(zhuǎn)橢球面旋轉(zhuǎn)拋物面定義3、柱面觀察柱面的形成過(guò)程:平行于定直線并沿定曲線移動(dòng)的直線所形成的曲面稱為柱面.這條定曲線叫柱面的準(zhǔn)線，動(dòng)直線叫柱面的母線.定義3、柱面平行于定直線并沿定曲線移動(dòng)的直線所形成的曲面稱為柱面.這條定曲線叫柱面的準(zhǔn)線，動(dòng)直線叫柱面的母線.觀察柱面的形成過(guò)程:從柱面方程看柱面的特征：（其他類推）實(shí)例橢圓柱面//軸雙曲柱面//軸拋物柱面//軸橢圓柱面//軸ozyMx拋物柱面//軸雙曲柱面//軸(1)橢球面：4、二次曲面(三元二次方程)（2）橢圓拋物面xyzo(3)雙曲拋物面（馬鞍面）xzoyxyoz(4)單葉雙曲面圖形(5)雙葉雙曲面圖形xyozOxyz(6)二次錐面1.曲面方程的概念2.旋轉(zhuǎn)曲面的概念及求法.3.柱面的概念(母線、準(zhǔn)線).小結(jié)4.二次曲面作業(yè)

P45習(xí)題8-51，8(1)、(3)，10(1)、(2)第六節(jié)空間曲線及其方程

空間曲線的一般方程特點(diǎn):

曲線上的點(diǎn)都滿足方程，滿足方程的點(diǎn)都在曲線上，不在曲線上的點(diǎn)不能同時(shí)滿足兩個(gè)方程.空間曲線C可看作空間兩曲面的交線.一、空間曲線的一般方程例1方程組表示怎樣的曲線？解表示圓柱面，表示平面，交線為橢圓.空間曲線的參數(shù)方程二、空間曲線的參數(shù)方程

動(dòng)點(diǎn)從A點(diǎn)出發(fā)，經(jīng)過(guò)t時(shí)間，運(yùn)動(dòng)到M點(diǎn)螺旋線的參數(shù)方程取時(shí)間t為參數(shù)，解則螺旋線的參數(shù)方程可以化為螺旋線的重要性質(zhì)：上升的高度與轉(zhuǎn)過(guò)的角度成正比．即上升的高度螺距消去變量z后得：曲線關(guān)于的投影柱面設(shè)空間曲線的一般方程：以此空間曲線為準(zhǔn)線，垂直于所投影的坐標(biāo)面.投影柱面的特征：三、空間曲線在坐標(biāo)面上的投影類似地：可定義空間曲線在其他坐標(biāo)面上的投影面上的投影曲線,面上的投影曲線,空間曲線在面上的投影曲線如圖:投影曲線的研究過(guò)