2018屆廣東省廣州市數(shù)學(xué)復(fù)習(xí)專項(xiàng)檢測(cè)試題31平面向量與三角形的應(yīng)用舉例

學(xué)必求其心得，業(yè)必貴于專精學(xué)必求其心得，業(yè)必貴于專精PAGE14-學(xué)必求其心得，業(yè)必貴于專精平面向量與三角形的應(yīng)用舉例一、平面向量與三角形的心1、重心(中線交點(diǎn)）(1）是的重心（2）是的重心（是平面上的點(diǎn))證明:∵是的重心∴，即由此可得。例如：已知向量，滿足條件，,求證：是正三角形.分析：對(duì)于本題中的條件,容易想到，點(diǎn)是的外心，而另一個(gè)條件表明，點(diǎn)是的重心。故本題可描述為，若存在一個(gè)點(diǎn)既是三角形的重心也是外心，則該三角形一定是正三角形。又如，若一個(gè)三角形的重心與外接圓圓心重合，則此三角形為何種三角形？與本題實(shí)質(zhì)是相同的。顯然，本題中的條件可改為。2、垂心（高線交點(diǎn))（1）是的垂心由，同理，.故是的垂心.反之亦然。（2）是（非直角三角形)的垂心,則有且。3、外心（邊垂直平分線交點(diǎn)，外接圓圓心)（1)是的外心（點(diǎn)到的三個(gè)頂點(diǎn)距離相等)（2)是的外心（為三邊垂直平分線交點(diǎn)）(3）是的外心，則有且。4、內(nèi)心（角平分線交點(diǎn)，內(nèi)切圓圓心）（1）是的內(nèi)心（2)是的內(nèi)心(3）引進(jìn)單位向量，使條件變得更簡(jiǎn)潔。記，,的單位向量為，則是的內(nèi)心（4)是的內(nèi)心，則故或(5）是的內(nèi)心（6）向量所在直線過的內(nèi)心（是的角平分線所在直線）(7）設(shè)是所在平面內(nèi)任意一點(diǎn)，為內(nèi)心例如：是平面上一定點(diǎn)，是平面上不共線的三個(gè)點(diǎn),動(dòng)點(diǎn)滿足則的軌跡一定通過的（）A、外心B、內(nèi)心C、重心D、垂心分析：已知等式即，設(shè)，顯然都是單位向量，以二者為鄰邊構(gòu)造平行四邊形，則結(jié)果為菱形，故為的平分線,選。5、外心與重心：若是的外心，是重心，則6、外心與垂心：若是的外心，是垂心，則7、重心與垂心：若是的重心，是垂心，則8、外心、重心、垂心：若分別是銳角的外心、重心、垂心,則證明：按重心定理：是的重心;按垂心定理:，由此可得：。9、三角形的外心、重心、垂心的位置關(guān)系：（1)三角形的外心、重心、垂心三點(diǎn)共線，即歐拉線;（2）三角形的重心在歐拉線上，且為外心、垂心連線的第一個(gè)三分點(diǎn),即重心到垂心的距離是重心到外心距離的2倍。例如：在中,已知分別是三角形的外心、重心、垂心。求證：三點(diǎn)共線，且。證明:以為原點(diǎn)，所在的直線為軸，建立如上圖所示的直角坐標(biāo)系。設(shè)、、,分別為的中點(diǎn),則有：，由題設(shè)可設(shè),，即，故三點(diǎn)共線，且。二、應(yīng)用舉例1、已知在所在平面內(nèi)，且，且，則點(diǎn)依次是的（C）A、重心外心垂心B、重心外心內(nèi)心C、外心重心垂心D、外心重心內(nèi)心（D）A、三個(gè)內(nèi)角的角平分線的交點(diǎn) B、三條邊的垂直平分線的交點(diǎn)C、三條中線的交點(diǎn) D、三條高的交點(diǎn)解:由，得∴∴是的垂心，即三條高的交點(diǎn).3、在同一個(gè)平面上有及一點(diǎn)滿足關(guān)系式：，則為的（D）A、外心B、內(nèi)心C、重心D、垂心4、已知，為三角形所在平面上的動(dòng)點(diǎn),且滿足:，則點(diǎn)為的(D)A、外心B、內(nèi)心C、重心D、垂心5、已知是所在平面內(nèi)任意一點(diǎn)，且，則是的（C）A、外心B、內(nèi)心C、重心D、垂心解：若是的重心，則有（是的中點(diǎn)），∴?！嗯c重合，即是的重心。6、已知的頂點(diǎn)及平面內(nèi)一點(diǎn)滿足:，則為的（C)A、外心B、內(nèi)心C、重心D、垂心7、已知是平面上一定點(diǎn)，是平面上不共線的三個(gè)點(diǎn),動(dòng)點(diǎn)滿足：，則的軌跡一定通過的(C)A、外心B、內(nèi)心C、重心D、垂心8、已知,為三角形所在平面上的一點(diǎn),且點(diǎn)滿足：,則點(diǎn)為的（B）A、外心B、內(nèi)心C、重心D、垂心9、在中，動(dòng)點(diǎn)滿足：，則點(diǎn)一定通過的（B）A、外心B、內(nèi)心C、重心D、垂心10、已知是平面內(nèi)的一個(gè)點(diǎn),是平面上不共線的三點(diǎn)，動(dòng)點(diǎn)滿足，則點(diǎn)的軌跡一定過的(B）A、外心B、內(nèi)心C、重心D、垂心11、已知是平面上不共線的三點(diǎn),是的重心，動(dòng)點(diǎn)滿足,則點(diǎn)一定為的（B）A、邊中線的中點(diǎn)B、邊中線的三等分點(diǎn)(非重心)C、重心D、邊的中點(diǎn)分析：取邊的中點(diǎn),則，由,得3,,即點(diǎn)為三角形中邊中線的一個(gè)三等分點(diǎn)，且不過重心。12、非零向量與滿足且，則為（D）A、三邊均不相等的三角形B、直角三角形C、等腰非等邊三角形D、等邊三角形13、的外接圓的圓心為，兩邊上的高的交點(diǎn)為，,則實(shí)數(shù).解:當(dāng)為時(shí)，不妨設(shè),則是的中點(diǎn),是直角頂點(diǎn)，∴，∴，∴。14、若是的外心，是三邊中點(diǎn)構(gòu)成的的外心，且，則。（其實(shí)是的中點(diǎn)，∴;也可用特例時(shí)得）15、在四邊形中，=，,則四邊形的面積是。解析：由題知四邊形是菱形，其邊長(zhǎng)為，且對(duì)角線等于邊長(zhǎng)的倍，所以，故,.16、如圖,已知點(diǎn)是的重心，過作直線與兩邊分別交于兩點(diǎn)，且，，求證:.證明：點(diǎn)是的重心，得,有.又三點(diǎn)共線（不在直線上），于是存在，使得，有，得，于是得。17、已知為的外心,求證：。分析：構(gòu)造坐標(biāo)系證明。如圖，以為坐標(biāo)原點(diǎn)，在軸的正半軸，在軸的上方.，直線的方程是，由于點(diǎn)與點(diǎn)必在直線的同側(cè)，且，因此有，得。直線的方程是，由于點(diǎn)與點(diǎn)必在直線的同