復(fù)變函數(shù)論第三版課后習(xí)題答案

第一章習(xí)題解答（一）1．設(shè)，求及。解：由于所以，。2．設(shè)，試用指數(shù)形式表示及。解：由于所以。3．解二項(xiàng)方程。解：。4．證明證明：由于，并說(shuō)明其幾何意義。所以其幾何意義是：平行四邊形對(duì)角線長(zhǎng)平方和等于于兩邊長(zhǎng)的和的平方。5．設(shè)z1，z2，z3三點(diǎn)適合條件：的一個(gè)正三角形的頂點(diǎn)。,。證明z1，z2，z3是內(nèi)接于單位圓證由于因?yàn)?，知的三個(gè)頂點(diǎn)均在單位圓上。所以，又，故，同理，知是內(nèi)接于單位圓的一個(gè)正三角形。6．下列關(guān)系表示點(diǎn)的軌跡的圖形是什么？它是不是區(qū)域。（1）；解：點(diǎn)的軌跡是（2）與兩點(diǎn)連線的中垂線，不是區(qū)域。；解：令由，即，得故點(diǎn)的軌跡是以直線為邊界的左半平面（包括直線）；不是區(qū)域。（3）解：令由，，得，即；故點(diǎn)的軌跡是以虛軸為邊界的右半平面（不包括虛軸）；是區(qū)域。（4）；解：令由，得，即故點(diǎn)的軌跡是以直線為邊界的梯形（包括直線；不包括直線）；不是區(qū)域。（5）；解：點(diǎn)的軌跡是以原點(diǎn)為心，2為半徑，及以（6）為心，以1為半徑的兩閉圓外部，是區(qū)域。；解：點(diǎn)的軌跡是位于直線的上方（不包括直線），且在以原點(diǎn)為心，2為半徑的圓內(nèi)部分（不包括直線圓?。?；是區(qū)域。（7）；解：點(diǎn)的軌跡是以正實(shí)軸、射線及圓弧為邊界的扇形（不包括邊界），是區(qū)域。（8）解：令由，得故點(diǎn)的軌跡是兩個(gè)閉圓的外部，是區(qū)域。7．證明：z平面上的直線方程可以寫(xiě)成證設(shè)直角坐標(biāo)系的平面方程為（a是非零復(fù)常數(shù)，C是實(shí)常數(shù)）將代入，得令，則，上式即為，代入。反之：將得則有；即為一般直線方程。8．證明：平面上的圓周可以寫(xiě)成其中A、C為實(shí)數(shù)，為復(fù)數(shù)，且。證明：設(shè)圓方程為其中將當(dāng)時(shí)表實(shí)圓；代入，得即其中且；反之：令得代入其中即為圓方程。10．求下列方程（t是實(shí)參數(shù)）給出的曲線。（1）；（2）；（3）；（4），解（1）（2）。即直線。，即為橢圓；（3），即為雙曲線；（4），即為雙曲線中位于第一象限中的一支。11．函數(shù)將z平面上的下列曲線變成平面上的什么曲線；（2）？（1）解，，可得（1）（2）是平面上一直線；，于是，是平面上一平行與v軸的直線。13．試證證設(shè)在負(fù)實(shí)軸上（包括原點(diǎn)）不連續(xù)，除此而外在z平面上處處連續(xù)。，因?yàn)閒(0)無(wú)定義，所以f(z)在原點(diǎn)z=0處不連續(xù)。當(dāng)z0為負(fù)實(shí)軸上的點(diǎn)時(shí)，即，有所以不存在，即在負(fù)實(shí)軸上不連續(xù)。而argz在z平面上的其它點(diǎn)處的連續(xù)性顯然。14．設(shè)()?????+=,0,623yxxyzf求證在原點(diǎn)處不連接。證由于可知極限不存在，故在原點(diǎn)處不連接。16.試問(wèn)函數(shù)f(z)=1/(1–z)在單位圓|z|<1內(nèi)是否連續(xù)？是否一致連續(xù)？【解】(1)f(z)在單位圓|z|<1內(nèi)連續(xù)．因?yàn)閦在內(nèi)連續(xù)，故f(z)=1/(1–z)在\{1}內(nèi)連續(xù)(連續(xù)函數(shù)的四則運(yùn)算)，因此f(z)在單位圓|z|<1內(nèi)連續(xù)．(2)f(z)在單位圓|z|<1內(nèi)不一致連續(xù)．令zn=1–1/n，wn=1–1/(n+1)，n+．則zn,wn都在單位圓|z|<1內(nèi)，|znwn|0，但|f(zn)f(wn)|=|n(n+1)|=1>0，故f(z)在單位圓|z|<1內(nèi)不一致連續(xù)．[也可以直接用實(shí)函數(shù)f(x)=1/(1–x)在(0,1)不一致連續(xù)來(lái)說(shuō)明，只要把這個(gè)實(shí)函數(shù)看成是f(z)在E={z|Im(z)=0,0<Re(z)<1}上的限制即可．]17.試證：復(fù)數(shù)列zn=xn+iyn以z0=x0+iy0為極限的充要條件是實(shí)數(shù)列{xn}及{yn}分別以x0及y0為極限．【解】()若復(fù)數(shù)列zn=xn+iyn以z0=x0+iy0為極限，則>0，N+，使得n>N，有|znz0|<．此時(shí)有|xnx0||znz0|<；|yny0||znz0|<．故實(shí)數(shù)列{xn}及{yn}分別以x0及y0為極限．()若實(shí)數(shù)列{xn}及{yn}分別以x0及y0為極限，則>0，N1+，使得n>N1，有|xnx0|</2；N2+，使得n>N2，有|yny0|</2．令N=max{N1,N2}，則n>N，有n>N1且n>N2，故有|znz0|=|(xnx0)+i(yny0)||xnx0|+|yny0|</2+/2=．所以，復(fù)數(shù)列zn=xn+iyn以z0=x0+iy0為極限．20.如果復(fù)數(shù)列{zn}合于limnzn=z0，證明limn(z1+z2+...+zn)/n=z0．當(dāng)z0時(shí)，結(jié)論是否正確？【解】(1)>0，K+，使得n>K，有|znz0|</2．記M=|z1z0|+...+|zKz0|，則當(dāng)n>K時(shí)，有|(z1+z2+...+zn)/nz0|=|(z1z0)+(z2z0)+...+(znz0)|/n(|z1z0|+|z2z0|+...+|znz0|)/n=(|z1z0|+...+|zKz0|)/n+(|zK+1z0|+...+|znz0|)/nM/n+(nK)/n·(/2)M/n+/2．因limn(M/n)=0，故L+，使得n>L，有M/n</2．令N=max{K,L}，則當(dāng)n>K時(shí)，有|(z1+z2+...+zn)/nz0|M/n+/2</2+/2=．所以，limn(z1+z2+...+zn)/n=z0．(2)當(dāng)z0時(shí)，結(jié)論不成立．這可由下面的反例看出．例：zn=(1)n·n，n+．顯然limnzn=．但k+，有(z1+z2+...+z2k)/(2k)=1/2，因此數(shù)列{(z1+z2+...+zn)/n}不趨向于．[這個(gè)結(jié)論的證明的方法與實(shí)數(shù)列的情況完全相同，甚至反例都是一樣的．]2．如果，試證明（1）；（2）解（1）（2）4．設(shè)，試證。證由于及有6.設(shè)|z|=1，試證：|(az+b)/(b*z+a*)|=1．(z*表示復(fù)數(shù)z的共軛)【解】此題應(yīng)該要求b*z+a*0．|az+b|=|(az+b)*|=|a*z*+b*|=|a*z*+b*|·|z|=|(a*z*+b*)·z|=|a*z*·z+b*·z|=|a*|z|2+b*·z|=|b*z+a*|．故|(az+b)/(b*z+a*)|=1．8.試證：以z1,z2,z3為頂點(diǎn)的三角形和以w1,w2,w3為頂點(diǎn)的三角形同向相似的充要條件為=0．【解】?jī)蓚€(gè)三角形同向相似是指其中一個(gè)三角形經(jīng)過(guò)(一系列的)旋轉(zhuǎn)、平移、位似這三種初等幾何變換后可以變成另一個(gè)三角形(注意沒(méi)有反射變換)．例如我們將采用下述的觀點(diǎn)來(lái)證明：以z1,z2,z3為頂點(diǎn)的三角形和以w1,w2,w3為頂點(diǎn)的三角形同向相似的充要條件是：將它們的一對(duì)對(duì)應(yīng)頂點(diǎn)都平移到原點(diǎn)后，它們只相差一個(gè)位似旋轉(zhuǎn)．記f1(z)=zz1(將z1變到0的平移)；f3(z)=zw1(將0變到w1的平移)；那么，三角形z1z2z3與三角形w1w2w3同向相似存在某個(gè)繞原點(diǎn)的旋轉(zhuǎn)位似變換f2(z)=z0z，使得f2(f1(zk))=f3(wk)，(k=2,3)，其中z0\{0}存在z0\{0}，使得z0(zkz1)=wkw1，(k=2,3)(w2w1)/(z2z1)=(w3w1)/(z3z1)=0=0=0．[證完]9.試證：四個(gè)相異點(diǎn)z1,z2,z3,z4共圓周或共直線的充要條件是(z1–z4)/(z1–z2):(z3–z4)/(z3–z2)為實(shí)數(shù)．【解】在平面幾何中，共線的四個(gè)點(diǎn)A,B,C,D的交比定義為(A,B;C,D)=(AC/CB):(AD/DB)．這是射影幾何中的重要的不變量．類(lèi)似地，在復(fù)平面上，(不一定共線的)四個(gè)點(diǎn)z1,z2,z3,z4的交比定義為[z1z2,z3z4]=(z1–z3)/(z2–z3):(z1–z4)/(z2–z4)．本題的結(jié)論是說(shuō)：復(fù)平面上四個(gè)點(diǎn)共圓或共線的充要條件是其交比為實(shí)數(shù)．()分兩種情況討論(1)若(z1–z4)/(z1–z2)為實(shí)數(shù)，則(z3–z4)/(z3–z2)也是實(shí)數(shù)．設(shè)(z1–z4)/(z1–z2)=t，t．則z4=(1–t)z1+tz2，故z4在z1,z2所確定的直線上，即z1,z2,z4共線．因此，同理，z1,z2,z3也共線．所以，z1,z2,z3,z4是共線的．(2)若(z1–z4)/(z1–z2)為虛數(shù)，則(z3–z4)/(z3–z2)也是虛數(shù)．故Arg((z1–z4)/(z1–z2))k，Arg((z3–z4)/(z3–z2))k．而Arg((z1–z4)/(z1–z2))–Arg((z3–z4)/(z3–z2))=Arg((z1–z4)/(z1–z2):(z3–z4)/(z3–z2))=k．注意到Arg((z–z4)/(z–z2))=Arg((z4–z)/(z2–z))是z2–z到z4–z的正向夾角，若Arg((z1–z4)/(z1–z2))=Arg((z3–z4)/(z3–z2))，則z1,z3在z2,z4所確定的直線的同側(cè)，且它們對(duì)z2,z4所張的角的大小相同，故z1,z2,z3,z4是共圓的．若Arg((z1–z4)/(z1–z2))=Arg((z3–z4)/(z3–z2))+，則z1,z3在z2,z4所確定的直線的異側(cè)，且它們對(duì)z2,z4所張的角的大小互補(bǔ)，故z1,z2,z3,z4也是共圓的．()也分兩種情況討論(1)若z1,z2,z3,z4是共線的，則存在s,t\{0,1}，使得z4=(1–s)z3+sz2，z4=(1–t)z1+tz2，那么，z3–z4=s(z3–z2)，即(z3–z4)/(z3–z2)=s；而z1–z4=t(z1–z2)，即(z1–z4)/(z1–z2)=t，所以，(z1–z4)/(z1–z2):(z3–z4)/(z3–z2)=t/s．(2)若z1,z2,z3,z4是共圓的，若z1,z3在z2,z4所確定的直線的同側(cè)，那么，Arg((z4–z1)/(z2–z1))=Arg((z4–z3)/(z2–z3))因此(z4–z1)/(z2–z1):(z4–z3)/(z2–z3)是實(shí)數(shù)．也就是說(shuō)(z1–z4)/(z1–z2):(z3–z4)/(z3–z2)是實(shí)數(shù)．若z1,z3在z2,z4所確定的直線的異側(cè)，則Arg((z4–z1)/(z2–z1))+Arg((z2–z3)/(z4–z3))=(2k+1)，故Arg((z1–z4)/(z1–z2):(z3–z4)/(z3–z2))=Arg((z1–z4)/(z1–z2))–Arg((z3–z4)/(z3–z2))=Arg((z1–z4)/(z1–z2))+Arg((z3–z2)/(z3–z4))=Arg((z4–z1)/(z2–z1))+Arg((z2–z3)/(z4–z3))=(2k+1)，所以，(z1–z4)/(z1–z2):(z3–z4)/(z3–z2)仍為實(shí)數(shù)．[證完]這個(gè)題目寫(xiě)的很長(zhǎng)，歡迎同學(xué)們給出更簡(jiǎn)單的解法．11.試證：方程|zz1|/|zz2|=k(0<k1，z1z2)表示z平面的一個(gè)圓周，其圓心為z0，半徑為，且z0=(z1k2z2)/(1k2)，=k|z1z2|/|1k2|．【解】到兩定點(diǎn)距離成定比的點(diǎn)的軌跡是圓或直線．當(dāng)比值不等于1時(shí)，軌跡是一個(gè)圓，這個(gè)圓就是平面幾何中著名的Apollonius圓．設(shè)0<k1，z1z2，z0=(z1k2z2)/(1k2)，=k|z1z2|/|1k2|．z，|zz0|=|z(z1k2z2)/(1k2)|=k|z1z2|/|1k2||z(1k2)(z1k2z2)|=k|z1z2||(zz1)k2(zz2)|=k|z1z2||(zz1)/kk(zz2)|=|z1z2||(zz1)/kk(zz2)|=|(zz1)(zz2)||(zz1)/kk(zz2)|2=|(zz1)(zz2)|2|zz1|2/k2+k2|zz2|2=|zz1|2+|zz2|2(1/k21)|zz1|2=(1k2)|zz2|2|zz1|2/k2=|zz2|2|zz1|/|zz2|=k．[證完]直接地雙向驗(yàn)證，可能需要下面的結(jié)論，其幾何意義非常明顯的．命題：若復(fù)數(shù)z,w0，則||z|·w/|w||w|·z/|z||=|wz|．證明：我們用z*表示復(fù)數(shù)z的共軛．||z|·w/|w||w|·z/|z||2=||z|·w/|w||2+||w|·z/|z||22Re[(|z|·w/|w|)·(|w|·z/|z|)*]=|z|2+|w|22Re(w·z*)=|wz|2．或更直接地，||z|·w/|w||w|·z/|z||=||z|·w/|w||w|·z/|z||·|z*/|z||·|w*/|w||=|(|z