《概率論與數(shù)理統(tǒng)計(jì)》習(xí)題及答案 第七章

《概率論與數(shù)理統(tǒng)計(jì)》習(xí)題及答案第七章1．對某一距離進(jìn)行5次測量，結(jié)果如下：（米）.已知測量結(jié)果服從，求參數(shù)和的矩估計(jì).解，的矩估計(jì)為，的矩估計(jì)為所以2．設(shè)是來自對數(shù)級數(shù)分布的一個樣本，求的矩估計(jì).解（1）因?yàn)楹茈y解出來，所以再求總體的二階原點(diǎn)矩（2）（1）（2）得所以所以得的矩估計(jì)3．設(shè)總體服從參數(shù)為和的二項(xiàng)分布，為取自的樣本，試求參數(shù)和的矩估計(jì)解解之得，，即，，所以和的矩估計(jì)為，.4．設(shè)總體具有密度其中參數(shù)解為已知常數(shù)，且，從中抽得一個樣本，，求的矩估計(jì)，解出得于是的矩估計(jì)為.5．設(shè)總體的密度為試用樣本求參數(shù)的矩估計(jì)和極大似然估計(jì).解先求矩估計(jì)：解出得所以的矩估計(jì)為.再求極大似然估計(jì)：，，，解得的極大似然估計(jì)：.6．已知總體在估計(jì).上服從均勻分布，是取自的樣本，求的矩估計(jì)和極大似然解先求矩估計(jì)：，解方程組得注意到，得的矩估計(jì)為，.再求極大似然估計(jì)，，由極大似然估計(jì)的定義知，的極大似然估計(jì)為；.7．設(shè)總體的密度函數(shù)如下，試?yán)脴颖?，求參?shù)的極大似然估計(jì).（1）（2）.解（1）解似然方程，得的極大似然估計(jì)（2）由極大似然估計(jì)的定義得的極大似然估計(jì)為樣本中位數(shù)，即8．設(shè)總體服從指數(shù)分布試?yán)脴颖窘馇髤?shù)的極大似然估計(jì).由極大似然估計(jì)的定義，的極大似然估計(jì)為9．設(shè)來自幾何分布，試求未知參數(shù)的極大似然估計(jì).解，解似然方程，得的極大似然估計(jì)。10．設(shè)是來自兩個參數(shù)指數(shù)分布的一個樣本.其中，求參數(shù)和的（1）極大似然估計(jì)；（2）矩估計(jì)。解（1）由極大似然估計(jì)的定義，得；的極大似然估計(jì)為解似然方程得的極大似然估計(jì)（2）解方程組得.所以的矩估計(jì)為11．罐中有個硬幣，其中有個是普通硬幣（擲出正面與反面的概率各為0.5）其余個硬幣兩面都是正面，從罐中隨機(jī)取出一個硬幣，把它連擲兩次，記下結(jié)果，但不去查看它屬于哪種硬幣，如此重復(fù)次，若擲出0次、1次、2次正面的次數(shù)分別為，利用（1）矩法；（2）極大似然法去估計(jì)參數(shù)。解設(shè)為連擲兩次正面出現(xiàn)的次數(shù)，‘取出的硬幣為普通硬幣’，則,，即的分布為（1）解出得的矩估計(jì)為（2），，解似然方程得的極大似然估計(jì).12．設(shè)總體的分布列為截尾幾何分布，從中抽得樣本解，其中有個取值為，求的極大似然估計(jì)。解似然方程得的極大似然估計(jì).13．設(shè)總體服從正態(tài)分布是其樣本，（1）求使得是的無偏估計(jì)量；（2）求使得為的無偏估計(jì)量.解（1）可見當(dāng)時，是的無偏估計(jì)量.（2）設(shè)，因，所以.因?yàn)椋杂谑枪十?dāng)時是的無偏估計(jì)。14．設(shè)是來自參數(shù)為的泊松分布總體的樣本，試證對任意的常數(shù)，統(tǒng)計(jì)量是的無偏估計(jì)量。證（此處利用了是估計(jì)。的無偏估計(jì)，是的無偏估計(jì)），所以對任意的是的無偏15．設(shè)總體有期望;（2）為一樣本，問下列統(tǒng)計(jì)量是否為的無偏估計(jì)量？（1）;（3）;（4）；（5）；（6）.解（1），（2），（3）都是樣本的線性組合，而且組合系數(shù)之和為1，故它們都是的無偏估計(jì)。但（4），（5），（6）一般不是的無偏估計(jì)，如，則，而不是0就是1，且，故即不是的無偏估計(jì)。16．設(shè)是參數(shù)的無偏估計(jì)量，且有，試證明不是的無偏估計(jì)量。證即，不是的無偏估計(jì)量.注：該題說明：當(dāng)是未知參數(shù)的無偏估計(jì)時，的函數(shù)不