2021-2022學年山東省沂水縣高三（最后沖刺）數(shù)學試卷含解析

2021-2022高考數(shù)學模擬試卷注意事項1．考生要認真填寫考場號和座位序號。2．試題所有答案必須填涂或書寫在答題卡上，在試卷上作答無效。第一部分必須用2B鉛筆作答；第二部分必須用黑色字跡的簽字筆作答。3．考試結(jié)束后，考生須將試卷和答題卡放在桌面上，待監(jiān)考員收回。一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。1．如圖網(wǎng)格紙上小正方形的邊長為，粗線畫出的是某幾何體的三視圖，則該幾何體的所有棱中最長棱的長度為（）A． B． C． D．2．《周易》是我國古代典籍，用“卦”描述了天地世間萬象變化．如圖是一個八卦圖，包含乾、坤、震、巽、坎、離、艮、兌八卦（每一卦由三個爻組成，其中“”表示一個陽爻，“”表示一個陰爻）．若從含有兩個及以上陽爻的卦中任取兩卦，這兩卦的六個爻中都恰有兩個陽爻的概率為（）A． B． C． D．3．已知實數(shù)，滿足約束條件，則目標函數(shù)的最小值為A． B．C． D．4．已知偶函數(shù)在區(qū)間內(nèi)單調(diào)遞減，，，，則，，滿足（）A． B． C． D．5．已知拋物線和點，直線與拋物線交于不同兩點，，直線與拋物線交于另一點．給出以下判斷：①直線與直線的斜率乘積為；②軸；③以為直徑的圓與拋物線準線相切.其中，所有正確判斷的序號是（）A．①②③ B．①② C．①③ D．②③6．如圖，平面四邊形中，，，，為等邊三角形，現(xiàn)將沿翻折，使點移動至點，且，則三棱錐的外接球的表面積為（）A． B． C． D．7．“是函數(shù)在區(qū)間內(nèi)單調(diào)遞增”的（）A．充分不必要條件 B．必要不充分條件C．充分必要條件 D．既不充分也不必要條件8．已知函數(shù)，對任意的，，當時，，則下列判斷正確的是（）A． B．函數(shù)在上遞增C．函數(shù)的一條對稱軸是 D．函數(shù)的一個對稱中心是9．設(shè)i為數(shù)單位，為z的共軛復數(shù)，若，則（）A． B． C． D．10．已知平面向量，滿足且，若對每一個確定的向量，記的最小值為，則當變化時，的最大值為（）A． B． C． D．111．學業(yè)水平測試成績按照考生原始成績從高到低分為、、、、五個等級．某班共有名學生且全部選考物理、化學兩科，這兩科的學業(yè)水平測試成績?nèi)鐖D所示．該班學生中，這兩科等級均為的學生有人，這兩科中僅有一科等級為的學生，其另外一科等級為，則該班（）A．物理化學等級都是的學生至多有人B．物理化學等級都是的學生至少有人C．這兩科只有一科等級為且最高等級為的學生至多有人D．這兩科只有一科等級為且最高等級為的學生至少有人12．若復數(shù)（為虛數(shù)單位），則（）A． B． C． D．二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13．已知向量，，滿足，，，則的取值范圍為_________.14．設(shè)函數(shù)，若在上的最大值為，則________.15．不等式的解集為________16．已知三棱錐的四個頂點都在球O的球面上，，，，，E，F(xiàn)分別為，的中點，，則球O的體積為______.三、解答題：共70分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17．（12分）在①，②，③這三個條件中任選一個，補充在下面問題中.若問題中的正整數(shù)存在，求的值；若不存在，說明理由.設(shè)正數(shù)等比數(shù)列的前項和為，是等差數(shù)列，__________，，，，是否存在正整數(shù)，使得成立？18．（12分）為了實現(xiàn)中華民族偉大復興之夢，把我國建設(shè)成為富強民主文明和諧美麗的社會主義現(xiàn)代化強國，黨和國家為勞動者開拓了寬廣的創(chuàng)造性勞動的舞臺.借此“東風”，某大型現(xiàn)代化農(nóng)場在種植某種大棚有機無公害的蔬菜時，為創(chuàng)造更大價值，提高畝產(chǎn)量，積極開展技術(shù)創(chuàng)新活動.該農(nóng)場采用了延長光照時間和降低夜間溫度兩種不同方案.為比較兩種方案下產(chǎn)量的區(qū)別，該農(nóng)場選取了40間大棚（每間一畝），分成兩組，每組20間進行試點.第一組采用延長光照時間的方案，第二組采用降低夜間溫度的方案.同時種植該蔬菜一季，得到各間大棚產(chǎn)量數(shù)據(jù)信息如下圖：（1）如果你是該農(nóng)場的負責人，在只考慮畝產(chǎn)量的情況下，請根據(jù)圖中的數(shù)據(jù)信息，對于下一季大棚蔬菜的種植，說出你的決策方案并說明理由；（2）已知種植該蔬菜每年固定的成本為6千元/畝.若采用延長光照時間的方案，光照設(shè)備每年的成本為0.22千元/畝；若采用夜間降溫的方案，降溫設(shè)備的每年成本為0.2千元/畝.已知該農(nóng)場共有大棚100間（每間1畝），農(nóng)場種植的該蔬菜每年產(chǎn)出兩次，且該蔬菜市場的收購均價為1千元/千斤.根據(jù)題中所給數(shù)據(jù)，用樣本估計總體，請計算在兩種不同的方案下，種植該蔬菜一年的平均利潤；（3）農(nóng)場根據(jù)以往該蔬菜的種植經(jīng)驗，認為一間大棚畝產(chǎn)量超過5.25千斤為增產(chǎn)明顯.在進行夜間降溫試點的20間大棚中隨機抽取3間，記增產(chǎn)明顯的大棚間數(shù)為，求的分布列及期望.19．（12分）已知函數(shù).（1）若曲線的切線方程為，求實數(shù)的值；（2）若函數(shù)在區(qū)間上有兩個零點，求實數(shù)的取值范圍.20．（12分）已知.（1）解關(guān)于x的不等式：；（2）若的最小值為M，且，求證：.21．（12分）已知，，不等式恒成立.（1）求證:（2）求證:.22．（10分）在平面直角坐標系中，曲線的參數(shù)方程為（是參數(shù)），以原點為極點，軸的正半軸為極軸建立極坐標系，直線的極坐標方程為.（1）求直線與曲線的普通方程，并求出直線的傾斜角；（2）記直線與軸的交點為是曲線上的動點，求點的最大距離.

參考答案一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。1．C【解析】

利用正方體將三視圖還原，觀察可得最長棱為AD，算出長度.【詳解】幾何體的直觀圖如圖所示，易得最長的棱長為故選：C.【點睛】本題考查了三視圖還原幾何體的問題，其中利用正方體作襯托是關(guān)鍵，屬于基礎(chǔ)題.2．B【解析】

基本事件總數(shù)為個，都恰有兩個陽爻包含的基本事件個數(shù)為個，由此求出概率.【詳解】解：由圖可知，含有兩個及以上陽爻的卦有巽、離、兌、乾四卦，取出兩卦的基本事件有（巽，離），（巽，兌），（巽，乾），（離，兌），（離，乾），（兌，乾）共個，其中符合條件的基本事件有（巽，離），（巽，兌），（離，兌）共個，所以，所求的概率.故選：B.【點睛】本題滲透傳統(tǒng)文化，考查概率、計數(shù)原理等基本知識，考查抽象概括能力和應(yīng)用意識，屬于基礎(chǔ)題．3．B【解析】

作出不等式組對應(yīng)的平面區(qū)域，目標函數(shù)的幾何意義為動點到定點的斜率，利用數(shù)形結(jié)合即可得到的最小值．【詳解】解：作出不等式組對應(yīng)的平面區(qū)域如圖：目標函數(shù)的幾何意義為動點到定點的斜率，當位于時，此時的斜率最小，此時．故選B．【點睛】本題主要考查線性規(guī)劃的應(yīng)用以及兩點之間的斜率公式的計算，利用z的幾何意義，通過數(shù)形結(jié)合是解決本題的關(guān)鍵．4．D【解析】

首先由函數(shù)為偶函數(shù)，可得函數(shù)在內(nèi)單調(diào)遞增，再由，即可判定大小【詳解】因為偶函數(shù)在減，所以在上增，，，，∴.故選：D【點睛】本題考查函數(shù)的奇偶性和單調(diào)性,不同類型的數(shù)比較大小,應(yīng)找一個中間數(shù),通過它實現(xiàn)大小關(guān)系的傳遞，屬于中檔題.5．B【解析】

由題意，可設(shè)直線的方程為，利用韋達定理判斷第一個結(jié)論；將代入拋物線的方程可得，，從而，，進而判斷第二個結(jié)論；設(shè)為拋物線的焦點，以線段為直徑的圓為，則圓心為線段的中點．設(shè)，到準線的距離分別為，，的半徑為，點到準線的距離為，顯然，，三點不共線，進而判斷第三個結(jié)論.【詳解】解：由題意，可設(shè)直線的方程為，代入拋物線的方程，有．設(shè)點，的坐標分別為，，則，．所．則直線與直線的斜率乘積為．所以①正確．將代入拋物線的方程可得，，從而，，根據(jù)拋物線的對稱性可知，，兩點關(guān)于軸對稱，所以直線軸．所以②正確．如圖，設(shè)為拋物線的焦點，以線段為直徑的圓為，則圓心為線段的中點．設(shè)，到準線的距離分別為，，的半徑為，點到準線的距離為，顯然，，三點不共線，則．所以③不正確．故選：B.【點睛】本題主要考查拋物線的定義與幾何性質(zhì)、直線與拋物線的位置關(guān)系等基礎(chǔ)知識，考查運算求解能力、推理論證能力和創(chuàng)新意識，考查數(shù)形結(jié)合思想、化歸與轉(zhuǎn)化思想,屬于難題．6．A【解析】

將三棱錐補形為如圖所示的三棱柱，則它們的外接球相同，由此易知外接球球心應(yīng)在棱柱上下底面三角形的外心連線上，在中，計算半徑即可.【詳解】由，，可知平面．將三棱錐補形為如圖所示的三棱柱，則它們的外接球相同．由此易知外接球球心應(yīng)在棱柱上下底面三角形的外心連線上，記的外心為，由為等邊三角形，可得．又，故在中，，此即為外接球半徑，從而外接球表面積為．故選：A【點睛】本題考查了三棱錐外接球的表面積，考查了學生空間想象，邏輯推理，綜合分析，數(shù)學運算的能力，屬于較難題.7．C【解析】，令解得當，的圖像如下圖當，的圖像如下圖由上兩圖可知，是充要條件【考點定位】考查充分條件和必要條件的概念，以及函數(shù)圖像的畫法.8．D【解析】

利用輔助角公式將正弦函數(shù)化簡，然后通過題目已知條件求出函數(shù)的周期，從而得到，即可求出解析式，然后利用函數(shù)的性質(zhì)即可判斷.【詳解】，又，即，有且僅有滿足條件；又，則，，函數(shù)，對于A，，故A錯誤；對于B，由，解得，故B錯誤；對于C，當時，，故C錯誤；對于D，由，故D正確.故選：D【點睛】本題考查了簡單三角恒等變換以及三角函數(shù)的性質(zhì)，熟記性質(zhì)是解題的關(guān)鍵，屬于基礎(chǔ)題.9．A【解析】

由復數(shù)的除法求出，然后計算．【詳解】，∴．故選：A.【點睛】本題考查復數(shù)的乘除法運算，考查共軛復數(shù)的概念，掌握復數(shù)的運算法則是解題關(guān)鍵．10．B【解析】

根據(jù)題意,建立平面直角坐標系.令.為中點.由即可求得點的軌跡方程.將變形,結(jié)合及平面向量基本定理可知三點共線.由圓切線的性質(zhì)可知的最小值即為到直線的距離最小值,且當與圓相切時,有最大值.利用圓的切線性質(zhì)及點到直線距離公式即可求得直線方程,進而求得原點到直線的距離,即為的最大值.【詳解】根據(jù)題意,設(shè),則由代入可得即點的軌跡方程為又因為,變形可得,即,且所以由平面向量基本定理可知三點共線,如下圖所示:所以的最小值即為到直線的距離最小值根據(jù)圓的切線性質(zhì)可知,當與圓相切時,有最大值設(shè)切線的方程為,化簡可得由切線性質(zhì)及點到直線距離公式可得,化簡可得即所以切線方程為或所以當變化時,到直線的最大值為即的最大值為故選:B【點睛】本題考查了平面向量的坐標應(yīng)用,平面向量基本定理的應(yīng)用,圓的軌跡方程問題,圓的切線性質(zhì)及點到直線距離公式的應(yīng)用,綜合性強,屬于難題.11．D【解析】

根據(jù)題意分別計算出物理等級為，化學等級為的學生人數(shù)以及物理等級為，化學等級為的學生人數(shù)，結(jié)合表格中的數(shù)據(jù)進行分析，可得出合適的選項.【詳解】根據(jù)題意可知，名學生減去名全和一科為另一科為的學生人（其中物理化學的有人，物理化學的有人），表格變?yōu)椋何锢砘瘜W對于A選項，物理化學等級都是的學生至多有人，A選項錯誤；對于B選項，當物理和，化學都是時，或化學和，物理都是時，物理、化學都是的人數(shù)最少，至少為（人），B選項錯誤；對于C選項，在表格中，除去物理化學都是的學生，剩下的都是一科為且最高等級為的學生，因為都是的學生最少人，所以一科為且最高等級為的學生最多為（人），C選項錯誤；對于D選項，物理化學都是的最多人，所以兩科只有一科等級為且最高等級為的學生最少（人），D選項正確.故選：D.【點睛】本題考查合情推理，考查推理能力，屬于中等題.12．B【解析】

根據(jù)復數(shù)的除法法則計算，由共軛復數(shù)的概念寫出.【詳解】,,故選：B【點睛】本題主要考查了復數(shù)的除法計算，共軛復數(shù)的概念，屬于容易題.二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13．【解析】

設(shè)，，，，由，，，根據(jù)平面向量模的幾何意義，可得A點軌跡為以O(shè)為圓心、1為半徑的圓，C點軌跡為以B為圓心、1為半徑的圓，為的距離，利用數(shù)形結(jié)合求解.【詳解】設(shè)，，，，如圖所示：因為，，，所以A點軌跡為以O(shè)為圓心、1為半徑的圓，C點軌跡為以B為圓心、1為半徑的圓，則即的距離，由圖可知，.故答案為：【點睛】本題主要考查平面向量的模及運算的幾何意義，還考查了數(shù)形結(jié)合的方法，屬于中檔題.14．【解析】

求出函數(shù)的導數(shù)，由在上，可得在上單調(diào)遞增，則函數(shù)最大值為，即可求出參數(shù)的值.【詳解】解：定義域為，在上單調(diào)遞增，故在上的最大值為故答案為：【點睛】本題考查利用導數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性與最值，屬于基礎(chǔ)題.15．【解析】

通過平方，將無理不等式化為有理不等式求解即可。【詳解】由得，解得，所以解集是?！军c睛】本題主要考查無理不等式的解法。16．【解析】

可證，則為的外心，又則平面即可求出，的值，再由勾股定理求出外接球的半徑，最后根據(jù)體積公式計算可得.【詳解】解：，，，因為為的中點，所以為的外心，因為，所以點在內(nèi)的投影為的外心，所以平面，平面，所以，所以，又球心在上，設(shè)，則，所以，所以球O體積，.故答案為：【點睛】本題考查多面體外接球體積的求法，考查空間想象能力與思維能力，考查計算能力，屬于中檔題．三、解答題：共70分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17．見解析【解析】

根據(jù)等差數(shù)列性質(zhì)及、，可求得等差數(shù)列的通項公式，由即可求得的值；根據(jù)等式，變形可得，分別討論取①②③中的一個，結(jié)合等比數(shù)列通項公式代入化簡，檢驗是否存在正整數(shù)的值即可.【詳解】∵在等差數(shù)列中，，∴，∴公差，∴，∴，若存在正整數(shù)，使得成立，即成立，設(shè)正數(shù)等比數(shù)列的公比為的公比為，若選①，∵，∴，∴，∴，∴當時，滿足成立.若選②，∵，∴，∴，∴，∴方程無正整數(shù)解，∴不存在正整數(shù)使得成立.若選③，∵，∴，∴，∴，∴解得或（舍去），∴，∴當時，滿足成立.【點睛】本題考查了等差數(shù)列通項公式的求法，等比數(shù)列通項公式及前n項和公式的應(yīng)用，遞推公式的簡單應(yīng)用，補充條件后求參數(shù)的值，屬于中檔題.18．（1）見解析；（2）（i）該農(nóng)場若采用延長光照時間的方法，預計每年的利潤為426千元；（ii）若采用降低夜間溫度的方法，預計每年的利潤為424千元；（3）分布列見解析，.【解析】

（1）估計第一組數(shù)據(jù)平均數(shù)和第二組數(shù)據(jù)平均數(shù)來選擇.（2）對于兩種方法，先計算出每畝平均產(chǎn)量，再算農(nóng)場一年的利潤.（3）估計頻率分布直方圖可知，增產(chǎn)明顯的大棚間數(shù)為5間，由題意可知，的可能取值有0，1，2，3，再算出相應(yīng)的概率，寫出分布列，再求期望.【詳解】（1）第一組數(shù)據(jù)平均數(shù)為千斤/畝，第二組數(shù)據(jù)平均數(shù)為千斤/畝，可知第一組方法較好，所以采用延長光照時間的方法；（（2）（i）對于采用延長光照時間的方法：每畝平均產(chǎn)量為千斤.∴該農(nóng)場一年的利潤為千元.（ii）對于采用降低夜間溫度的方法：每畝平均產(chǎn)量為千斤，∴該農(nóng)場一年的利潤為千元.因此，該農(nóng)場若采用延長光照時間的方法，預計每年的利潤為426千元；若采用降低夜間溫度的方法，預計每年的利潤為424千元.（3）由圖可知，增產(chǎn)明顯的大棚間數(shù)為5間，由題意可知，的可能取值有0，1，2，3，；；；.所以的分布列為0123所以.【點睛】本題主要考查樣本估計總體和離散型隨機變量的分布列，還考查了數(shù)據(jù)處理和運算求解的能力，屬于中檔題.19．（1）；（2）或【解析】

（1）根據(jù)解析式求得導函數(shù)，設(shè)切點坐標為，結(jié)合導數(shù)的幾何意義可得方程，構(gòu)造函數(shù)，并求得，由導函數(shù)求得有最小值，進而可知由唯一零點，即可代入求得的值；（2）將解析式代入，結(jié)合零點定義化簡并分離參數(shù)得，構(gòu)造函數(shù)，根據(jù)題意可知直線與曲線有兩個交點；求得并令求得極值點，列出表格判斷的單調(diào)性與極值，即可確定與有兩個交點時的取值范圍.【詳解】（1）依題意，，，設(shè)切點為，，故，故，則；令，，故當時，，當時，，故當時，函數(shù)有最小值，由于，故有唯一實數(shù)根0，即，則；（2）由，得.所以“在區(qū)間上有兩個零點”等價于“直線與曲線在有兩個交點”；由于.由，解得，.當變化時，與的變化情況如下表所示：30+0極小值極大值所以在，上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增.又因為，，，，故當或時，直線與曲線在上有兩個交點，即當或時，函數(shù)在區(qū)間上有兩個零點.【點睛】本題考查了導數(shù)的幾何意義應(yīng)用，由切線方程求參數(shù)