成都實驗高級中學(xué)2021-2022學(xué)年高三下學(xué)期一?？荚嚁?shù)學(xué)試題含解析

2021-2022高考數(shù)學(xué)模擬試卷注意事項1．考生要認真填寫考場號和座位序號。2．試題所有答案必須填涂或書寫在答題卡上，在試卷上作答無效。第一部分必須用2B鉛筆作答；第二部分必須用黑色字跡的簽字筆作答。3．考試結(jié)束后，考生須將試卷和答題卡放在桌面上，待監(jiān)考員收回。一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。1．過圓外一點引圓的兩條切線，則經(jīng)過兩切點的直線方程是（）．A． B． C． D．2．為了得到函數(shù)的圖象，只需把函數(shù)的圖象上所有的點（）A．向左平移個單位長度 B．向右平移個單位長度C．向左平移個單位長度 D．向右平移個單位長度3．已知等差數(shù)列的前n項和為，且，，若（，且），則i的取值集合是（）A． B． C． D．4．已知集合，則()A． B．C． D．5．某三棱錐的三視圖如圖所示，則該三棱錐的體積為（）A． B．4C． D．56．拋物線C:y2=2px的焦點F是雙曲線C2:x2m-y21-m=1A．2+1 B．22+3 C．7．已知復(fù)數(shù)滿足（其中為的共軛復(fù)數(shù)），則的值為()A．1 B．2 C． D．8．復(fù)數(shù)（i是虛數(shù)單位）在復(fù)平面內(nèi)對應(yīng)的點在（）A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限9．若函數(shù)的定義域為M＝{x|－2≤x≤2}，值域為N＝{y|0≤y≤2},則函數(shù)的圖像可能是（）A． B． C． D．10．設(shè)全集U=R，集合，則（）A．{x|-1<x<4} B．{x|-4<x<1} C．{x|-1≤x≤4} D．{x|-4≤x≤1}11．將一張邊長為的紙片按如圖(1)所示陰影部分裁去四個全等的等腰三角形，將余下部分沿虛線折疊并拼成一個有底的正四棱錐模型，如圖(2)放置，如果正四棱錐的主視圖是正三角形，如圖(3)所示，則正四棱錐的體積是()A． B． C． D．12．將函數(shù)向左平移個單位，得到的圖象，則滿足（）A．圖象關(guān)于點對稱，在區(qū)間上為增函數(shù)B．函數(shù)最大值為2，圖象關(guān)于點對稱C．圖象關(guān)于直線對稱，在上的最小值為1D．最小正周期為，在有兩個根二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13．已知，記，則的展開式中各項系數(shù)和為__________．14．復(fù)數(shù)（其中i為虛數(shù)單位）的共軛復(fù)數(shù)為________.15．函數(shù)的圖象向右平移個單位后，與函數(shù)的圖象重合，則_____．16．已知關(guān)于的方程在區(qū)間上恰有兩個解，則實數(shù)的取值范圍是________三、解答題：共70分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17．（12分）在某社區(qū)舉行的2020迎春晚會上，張明和王慧夫妻倆參加該社區(qū)的“夫妻蒙眼擊鼓”游戲，每輪游戲中張明和王慧各蒙眼擊鼓一次，每個人擊中鼓則得積分100分，沒有擊中鼓則扣積分50分，最終積分以家庭為單位計分.已知張明每次擊中鼓的概率為，王慧每次擊中鼓的概率為；每輪游戲中張明和王慧擊中與否互不影響，假設(shè)張明和王慧他們家庭參加兩輪蒙眼擊鼓游戲.（1）若家庭最終積分超過200分時，這個家庭就可以領(lǐng)取一臺全自動洗衣機，問張明和王慧他們家庭可以領(lǐng)取一臺全自動洗衣機的概率是多少？（2）張明和王慧他們家庭兩輪游戲得積分之和的分布列和數(shù)學(xué)期望.18．（12分）已知函數(shù).（1）求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間；（2）當(dāng)時，如果方程有兩個不等實根，求實數(shù)t的取值范圍，并證明.19．（12分）如圖所示，已知平面，，為等邊三角形，為邊上的中點，且.(Ⅰ)求證：面；(Ⅱ)求證：平面平面；(Ⅲ)求該幾何體的體積．20．（12分）若數(shù)列前n項和為，且滿足（t為常數(shù)，且）（1）求數(shù)列的通項公式：（2）設(shè)，且數(shù)列為等比數(shù)列，令，.求證：.21．（12分）在直角坐標(biāo)系中，曲線的參數(shù)方程為以為極點，軸正半軸為極軸建立極坐標(biāo)系，設(shè)點在曲線上，點在曲線上，且為正三角形．（1）求點，的極坐標(biāo)；（2）若點為曲線上的動點，為線段的中點，求的最大值．22．（10分）在平面直角坐標(biāo)系中，點，直線的參數(shù)方程為為參數(shù)），以坐標(biāo)原點為極點，以軸的正半軸為極軸，建立極坐標(biāo)系，曲線的極坐標(biāo)方程為．（1）求曲線的直角坐標(biāo)方程；（2）若直線與曲線相交于不同的兩點是線段的中點，當(dāng)時，求的值．

參考答案一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。1．A【解析】過圓外一點，引圓的兩條切線，則經(jīng)過兩切點的直線方程為，故選．2．D【解析】

通過變形，通過“左加右減”即可得到答案.【詳解】根據(jù)題意，故只需把函數(shù)的圖象上所有的點向右平移個單位長度可得到函數(shù)的圖象，故答案為D.【點睛】本題主要考查三角函數(shù)的平移變換，難度不大.3．C【解析】

首先求出等差數(shù)列的首先和公差，然后寫出數(shù)列即可觀察到滿足的i的取值集合.【詳解】設(shè)公差為d，由題知，，解得，，所以數(shù)列為，故.故選：C.【點睛】本題主要考查了等差數(shù)列的基本量的求解，屬于基礎(chǔ)題.4．B【解析】

先由得或，再計算即可.【詳解】由得或，，,又，.故選：B【點睛】本題主要考查了集合的交集，補集的運算，考查學(xué)生的運算求解能力.5．B【解析】

還原幾何體的直觀圖，可將此三棱錐放入長方體中,利用體積分割求解即可.【詳解】如圖，三棱錐的直觀圖為，體積.故選:B.【點睛】本題主要考查了錐體的體積的求解,利用的體積分割的方法,考查了空間想象力及計算能力,屬于中檔題.6．A【解析】

先由題和拋物線的性質(zhì)求得點P的坐標(biāo)和雙曲線的半焦距c的值，再利用雙曲線的定義可求得a的值，即可求得離心率.【詳解】由題意知，拋物線焦點F1,0，準(zhǔn)線與x軸交點F'(-1,0)，雙曲線半焦距c=1，設(shè)點Q(-1,y)ΔFPQ是以點P為直角頂點的等腰直角三角形，即PF所以PQ⊥拋物線的準(zhǔn)線，從而PF⊥x軸，所以P1,2∴2a=P即a=故雙曲線的離心率為e=故選A【點睛】本題考查了圓錐曲線綜合，分析題目，畫出圖像，熟悉拋物線性質(zhì)以及雙曲線的定義是解題的關(guān)鍵，屬于中檔題.7．D【解析】

按照復(fù)數(shù)的運算法則先求出，再寫出，進而求出.【詳解】，，.故選：D【點睛】本題考查復(fù)數(shù)的四則運算、共軛復(fù)數(shù)及復(fù)數(shù)的模，考查基本運算能力，屬于基礎(chǔ)題.8．B【解析】

利用復(fù)數(shù)的四則運算以及幾何意義即可求解.【詳解】解：，則復(fù)數(shù)（i是虛數(shù)單位）在復(fù)平面內(nèi)對應(yīng)的點的坐標(biāo)為：，位于第二象限.故選：B.【點睛】本題考查了復(fù)數(shù)的四則運算以及復(fù)數(shù)的幾何意義，屬于基礎(chǔ)題.9．B【解析】因為對A不符合定義域當(dāng)中的每一個元素都有象，即可排除；對B滿足函數(shù)定義，故符合；對C出現(xiàn)了定義域當(dāng)中的一個元素對應(yīng)值域當(dāng)中的兩個元素的情況，不符合函數(shù)的定義，從而可以否定；對D因為值域當(dāng)中有的元素沒有原象，故可否定．故選B．10．C【解析】

解一元二次不等式求得集合，由此求得【詳解】由，解得或.因為或，所以.故選：C【點睛】本小題主要考查一元二次不等式的解法，考查集合補集的概念和運算，屬于基礎(chǔ)題.11．B【解析】設(shè)折成的四棱錐的底面邊長為，高為，則，故由題設(shè)可得，所以四棱錐的體積，應(yīng)選答案B．12．C【解析】

由輔助角公式化簡三角函數(shù)式，結(jié)合三角函數(shù)圖象平移變換即可求得的解析式，結(jié)合正弦函數(shù)的圖象與性質(zhì)即可判斷各選項.【詳解】函數(shù)，則，將向左平移個單位，可得，由正弦函數(shù)的性質(zhì)可知，的對稱中心滿足，解得，所以A、B選項中的對稱中心錯誤；對于C，的對稱軸滿足，解得，所以圖象關(guān)于直線對稱；當(dāng)時，，由正弦函數(shù)性質(zhì)可知，所以在上的最小值為1，所以C正確；對于D，最小正周期為，當(dāng)，，由正弦函數(shù)的圖象與性質(zhì)可知，時僅有一個解為，所以D錯誤；綜上可知，正確的為C，故選：C.【點睛】本題考查了三角函數(shù)式的化簡，三角函數(shù)圖象平移變換，正弦函數(shù)圖象與性質(zhì)的綜合應(yīng)用，屬于中檔題.二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13．【解析】

根據(jù)定積分的計算，得到，令，求得，即可得到答案．【詳解】根據(jù)定積分的計算，可得，令，則，即的展開式中各項系數(shù)和為.【點睛】本題主要考查了定積分的應(yīng)用，以及二項式定理的應(yīng)用，其中解答中根據(jù)定積分的計算和二項式定理求得的表示是解答本題的關(guān)鍵，著重考查了運算與求解能力，屬于基礎(chǔ)題．14．【解析】

利用復(fù)數(shù)的乘法運算求出，再利用共軛復(fù)數(shù)的概念即可求解.【詳解】由，則.故答案為：【點睛】本題考查了復(fù)數(shù)的四則運算以及共軛復(fù)數(shù)的概念，屬于基礎(chǔ)題.15．【解析】

根據(jù)函數(shù)圖象的平移變換公式求得變換后的函數(shù)解析式,再利用誘導(dǎo)公式求得滿足的方程,結(jié)合題中的范圍即可求解.【詳解】由函數(shù)圖象的平移變換公式可得,函數(shù)的圖象向右平移個單位后,得到的函數(shù)解析式為,因為函數(shù)，所以函數(shù)與函數(shù)的圖象重合,所以,即,因為,所以.故答案為:【點睛】本題考查函數(shù)圖象的平移變換和三角函數(shù)的誘導(dǎo)公式;誘導(dǎo)公式的靈活運用是求解本題的關(guān)鍵;屬于中檔題.16．【解析】

先換元，令，將原方程轉(zhuǎn)化為，利用參變分離法轉(zhuǎn)化為研究兩函數(shù)的圖像交點，觀察圖像，即可求出．【詳解】因為關(guān)于的方程在區(qū)間上恰有兩個解，令，所以方程在上只有一解，即有，直線與在的圖像有一個交點，由圖可知，實數(shù)的取值范圍是，但是當(dāng)時，還有一個根，所以此時共有3個根.綜上實數(shù)的取值范圍是.【點睛】本題主要考查學(xué)生運用轉(zhuǎn)化與化歸思想的能力，方程有解問題轉(zhuǎn)化成兩函數(shù)的圖像有交點問題，是常見的轉(zhuǎn)化方式．三、解答題：共70分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17．（1）（2）詳見解析【解析】

（1）要積分超過分，則需兩人共擊中次，或者擊中次，由此利用相互獨立事件概率計算公式，計算出所求概率.（2）求得的所有可能取值，根據(jù)相互獨立事件概率計算公式，計算出分布列并求得數(shù)學(xué)期望.【詳解】（1）由題意，當(dāng)家庭最終積分超過200分時，這個家庭就可以領(lǐng)取一臺全自動洗衣機，所以要想領(lǐng)取一臺全自動洗衣機，則需要這個家庭夫妻倆在兩輪游戲中至少擊中三次鼓.設(shè)事件為“張明第次擊中”，事件為“王慧第次擊中”，，由事件的獨立性和互斥性可得（張明和王慧家庭至少擊中三次鼓），所以張明和王慧他們家庭可以領(lǐng)取一臺全自動洗衣機的概率是.（2）的所有可能的取值為－200，－50，100，250，400.，，，，.∴的分布列為－200－50100250400∴（分）【點睛】本小題考查概率，分布列，數(shù)學(xué)期望等概率與統(tǒng)計的基礎(chǔ)知識；考查運算求解能力，推理論證能力，數(shù)據(jù)處理，應(yīng)用意識.18．（1）當(dāng)時，的單調(diào)遞增區(qū)間是，單調(diào)遞減區(qū)間是；當(dāng)時，的單調(diào)遞增區(qū)間是，單調(diào)遞減區(qū)間是；（2），證明見解析.【解析】

（1）求出，對分類討論，分別求出的解，即可得出結(jié)論；（2）由（1）得出有兩解時的范圍，以及關(guān)系，將，等價轉(zhuǎn)化為證明，不妨設(shè)，令，則，即證，構(gòu)造函數(shù)，只要證明對于任意恒成立即可.【詳解】（1）的定義域為R，且.由，得；由，得.故當(dāng)時，函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間是，單調(diào)遞減區(qū)間是；當(dāng)時，函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間是，單調(diào)遞減區(qū)間是.（2）由（1）知當(dāng)時，，且.當(dāng)時，；當(dāng)時，.當(dāng)時，直線與的圖像有兩個交點，實數(shù)t的取值范圍是.方程有兩個不等實根，，，，，，即.要證，只需證，即證，不妨設(shè).令，則，則要證，即證.令，則.令，則，在上單調(diào)遞增，.，在上單調(diào)遞增，，即成立，即成立..【點睛】本題考查函數(shù)與導(dǎo)數(shù)的綜合應(yīng)用，涉及到函數(shù)單調(diào)性、極值、零點、不等式證明，構(gòu)造函數(shù)函數(shù)是解題的關(guān)鍵，意在考查直觀想象、邏輯推理、數(shù)學(xué)計算能力，屬于較難題.19．（Ⅰ）見解析；（Ⅱ）見解析；（Ⅲ）.【解析】

（I）取的中點，連接，通過證明四邊形為平行四邊形，證得，由此證得平面.（II）利用，證得平面，從而得到平面，由此證得平面平面.（III）作交于點，易得面，利用棱錐的體積公式，計算出棱錐的體積.【詳解】(Ⅰ)取的中點，連接，則，，故四邊形為平行四邊形.故.又面，平面，所以面.(Ⅱ)為等邊三角形，為中點，所以.又，所以面.又，故面，所以面平面.(Ⅲ)幾何體是四棱錐，作交于點，即面，.【點睛】本小題主要考查線面平行的證明，考查面面垂直的證明，考查四棱錐體積的求法，考查空間想象能力，所以中檔題.20．（1）（2）詳見解析【解析】

（1）利用可得的遞推關(guān)系，從而可求其通項.（2）由為等比數(shù)列可得，從而可得的通項，利用錯位相減法可得的前項和，利用不等式的性質(zhì)可證.【詳解】（1）由題意，得：（t為常數(shù)，且），當(dāng)時，得，得.由，故，，故.（2）由，由為等比數(shù)列可知：，又，故，化簡得到，所以或（舍）.所以，，則.設(shè)的前n項和為.則，相減可得【點睛】數(shù)列的通項與前項和的關(guān)系式，我們常利用這個關(guān)系式實現(xiàn)與之間的相互轉(zhuǎn)化.數(shù)列求和關(guān)鍵看通項的結(jié)構(gòu)形式，如果通項是等差數(shù)列與等比數(shù)列的和，則用分組求和法；如果通項是等差數(shù)列與等比數(shù)列的乘積，則用錯位相減法；如果通項可以拆成一個數(shù)列連續(xù)兩項的差，那么用裂項相消法；如果通項的符號有規(guī)律的出現(xiàn)，則用并項求和法.21．（1），；（2）.【解析】

（1）利用極坐標(biāo)和直角坐標(biāo)的互化公式，即得解；（2）設(shè)點的直角坐標(biāo)為，則點的直角坐標(biāo)為．將此代入曲線的方程，可得點在以為圓心，為半徑的圓上，所以的最大值為，即得解.【詳解】（1）因為點在