2023年春經(jīng)濟數(shù)學基礎(chǔ)微積分部分

08春經(jīng)濟數(shù)學基礎(chǔ)微積分部分第一部微分學第1章函數(shù)1．理解函數(shù)概念。理解函數(shù)概念時，要掌握函數(shù)的兩要素定義域和相應(yīng)關(guān)系,這要解決下面四個方面的問題：(1）掌握求函數(shù)定義域的方法,會求初等函數(shù)的定義域和函數(shù)值。要掌握常見函數(shù)的自變量的變化范圍,如分式的分母不為0，對數(shù)的真數(shù)大于0,偶次根式下表達式大于0。例１求函數(shù)的定義域。解：的定義域是，的定義域是,但由于在分母上,因此。故函數(shù)的定義域就是上述函數(shù)定義域的公共部分，即1<x＜2。(2)理解函數(shù)的相應(yīng)關(guān)系的含義：表達當自變量取值為時，因變量的取值為。例如，對于函數(shù),表達運算：設(shè)，求。解:由于,說明表達運算:，因此=再將代入，得＝2.掌握函數(shù)奇偶性的判別,知道它的幾何特點;判斷函數(shù)是奇函數(shù)或是偶函數(shù),可以用定義去判斷，即（1）若,則偶函數(shù);（2）若,則奇函數(shù)。也可以根據(jù)一些已知的函數(shù)的奇偶性，再運用“奇函數(shù)±奇函數(shù)、奇函數(shù)×偶函數(shù)仍為奇函數(shù);偶函數(shù)±偶函數(shù)、偶函數(shù)×偶函數(shù)、奇函數(shù)×奇函數(shù)仍為偶函數(shù)”的性質(zhì)來判斷。例3下列函數(shù)中，( ）是偶函數(shù)。Ａ． B.C. ?Ｄ.解:根據(jù)偶函數(shù)的定義以及奇函數(shù)×奇函數(shù)是偶函數(shù)的原則，可以驗證Ａ中和都是奇函數(shù),故它們的乘積是偶函數(shù),因此Ａ對的。既然是單選題，A已經(jīng)對的，那么其它的選項一定是錯誤的。故對的選項是A。第2章極限,導(dǎo)數(shù)與微分1．掌握求簡樸極限的常用方法。求極限的常用方法有:（1)運用極限的四則運算法則;(2)運用兩個重要極限；(３）運用無窮小量的性質(zhì)(有界變量乘以無窮小量還是無窮小量）；2.知道一些與極限有關(guān)的概念(1）知道函數(shù)在某點極限存在的充足必要條件是該點左右極限都存在且相等;（２）了解無窮小量的概念，知道無窮小量的性質(zhì);(3）會判斷函數(shù)在某點的連續(xù)性，會求函數(shù)的間斷點。例1下列變量中，是無窮小量的為(）Ａ．B．Ｃ． D.解:A中：由于時，是無窮小量,是有界變量,由定理,是無窮小量；B中:由于時，,故不是無窮小量；C中:由于時，,故；但是時,，故，因此當時不是無窮小量。D中:由于，故時，，不是無窮小量。因此對的的選項是B。例2當(）時,在處連續(xù)。A.0 ?B.-1 C.2? D.1解:函數(shù)在一點連續(xù)必須滿足既是左連續(xù)又是右連續(xù)。由于，而左連續(xù)。故當１時，在處連續(xù)。對的的選項是D。３.理解導(dǎo)數(shù)定義。理解導(dǎo)數(shù)定義時，要解決下面幾個問題：（1）牢記導(dǎo)數(shù)定義的極限表達式；（2)會求曲線的切線方程;（３）知道可導(dǎo)與連續(xù)的關(guān)系（可導(dǎo)的函數(shù)一定連續(xù)，連續(xù)的函數(shù)不一定可導(dǎo)）。例3曲線在點（1,0）處的切線是（)Ａ．?B.Ｃ. D．解：根據(jù)導(dǎo)數(shù)的幾何意義可知，是曲線在點(1,0）處的切線斜率,故切線方程是，即；故對的的選項是Ａ。例4求曲線在點處的切線方程。解:由于,所以，在點處的切線方程為,即。4.純熟掌握求導(dǎo)數(shù)或微分的方法。具體方法有:(１）運用導(dǎo)數(shù)(或微分)的基本公式(2）運用導(dǎo)數(shù)（或微分）的四則運算法則（3)運用復(fù)合函數(shù)微分法例5求下列導(dǎo)數(shù)或微分：(1）設(shè)，求;(2）設(shè),求ｙ;（3）設(shè),求。解：(１）這是一個復(fù)合函數(shù)運用復(fù)合函數(shù)求導(dǎo)數(shù)(2）==（3);５.知道高階導(dǎo)數(shù)概念，會求函數(shù)的二階導(dǎo)數(shù)。例６已知ｙ=，則（）A.B．Ｃ.D.解：,。故對的的選項是D。第3章導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用1.掌握函數(shù)單調(diào)性的判別方法，掌握極值點的判別方法,會求函數(shù)的極值。通常的方法是運用一階導(dǎo)數(shù)的符號判斷單調(diào)性，也可以運用已知的基本初等函數(shù)的單調(diào)性判斷。例1在指定區(qū)間[－10,10]內(nèi)，函數(shù)()是單調(diào)增長的。A. ?Ｂ.???C. ??Ｄ.解：這個題目重要考察同學們對基本初等函數(shù)圖形的掌握情況。因它們都是比較簡樸的函數(shù),從圖形上就比較容易看出它們的單調(diào)性。A中是正弦函數(shù)，它的圖形在指定區(qū)間[－10，１０]內(nèi)是波浪形的,因此不是單調(diào)增長函數(shù)。Ｂ中是指數(shù)函數(shù)，(=-<0,故它是單調(diào)減少函數(shù)。C中是冪函數(shù),它在指定區(qū)間［-10,10]內(nèi)的圖形是拋物線,因此不是單調(diào)增長函數(shù)。根據(jù)排除法可知對的答案應(yīng)是D。也可以用求導(dǎo)數(shù)的方法驗證:由于在指定區(qū)間[－１0，１０]內(nèi),有故是單調(diào)增長函數(shù)。對的的選項是Ｄ。例２函數(shù)的單調(diào)增長區(qū)間是_______＿_。解:用求導(dǎo)數(shù)的方法,由于令則，則函數(shù)的單調(diào)增長區(qū)間應(yīng)當填寫。2.了解一些基本概念。(1)了解函數(shù)極值的概念，知道函數(shù)極值存在的必要條件,知道函數(shù)的極值點與駐點的區(qū)別與聯(lián)系;例3函數(shù)的駐點是.解：根據(jù)駐點定義,令,得。應(yīng)當填寫（2)了解邊際概念和需求價格彈性概念;例4已知需求函數(shù)為，則需求彈性＝.解:由于,且=所以應(yīng)當填寫例5已知需求函數(shù),當時,需求彈性為()．A.B.C．D．解:由于，且=;故對的選項是C３．純熟掌握求經(jīng)濟分析中的問題(如平均成本最低、收入最大和利潤最大等)。掌握求邊際函數(shù)的方法，會計算需求彈性。例6設(shè)生產(chǎn)某種產(chǎn)品臺時的成本（萬元）,試求（1）當時的總成本，平均成本和邊際成本;(２)當產(chǎn)量為多少時,平均成本最小。解：(１)當時的總成本(萬元)當時的平均成本(萬元／臺）當時的邊際成本;（２),令,求得。由于故意義的駐點唯一,且平均成本存在著最小大值，所以當產(chǎn)量為２０臺時,可使平均成本達成最小大。例７設(shè)某產(chǎn)品的成本函數(shù)為（元）,其中q是產(chǎn)量，單位：件。單位銷售價格為(元／件)問產(chǎn)量為多少時可使利潤達成最大。最大利潤是多少?解：由于，且所以,令,解得(件）因唯一駐點唯一，故q=２50件是所求的最大值點。當產(chǎn)量為２５0件時,利潤最大。最大利潤為(元)例８生產(chǎn)某種產(chǎn)品的固定費用是100０萬元,每多生產(chǎn)1臺該種產(chǎn)品，其成本增長10萬元，又知對該產(chǎn)品的需求為ｑ=120-2ｐ（其中q是產(chǎn)銷量,單位:臺；p是價格,單位:萬元)．求(1)使該產(chǎn)品利潤最大的產(chǎn)量;(２)該產(chǎn)品的邊際收入.解:(1)設(shè)總成本函數(shù)為Ｃ(q)，收入函數(shù)為R(q)，利潤函數(shù)為L(ｑ)，于是Ｃ(q)=1０q+1000(萬元),R（q)=qp=(萬元),L（ｑ)=Ｒ(ｑ）-C(q)=(萬元),得到q=5０(臺),由于駐點唯一,故ｑ=５０臺是所求最小值點。即生產(chǎn)50臺的該種產(chǎn)品能獲最大利潤。(2)因R(ｑ）=，故邊際收入R(q）=60-ｑ(萬元/臺)。第二部一元函數(shù)積分學第1章不定積分1．理解原函數(shù)與不定積分概念。(1)什么是原函數(shù)?若函數(shù)的導(dǎo)數(shù)等于，即，則稱函數(shù)是的原函數(shù)。(2)什么是不定積分？原函數(shù)的全體（其中是任意常數(shù)）稱為的不定積分，記為=。(3）知道不定積分與導(dǎo)數(shù)(微分）之間的關(guān)系。不定積分與導(dǎo)數(shù)(微分）之間互為逆運算,即先積分,再求導(dǎo)，等于它自身；先求導(dǎo)，再積分，等于函數(shù)加上一個任意常數(shù)，即=，=,，例1假如F（x)是f(ｘ）的一個原函數(shù)，c為任意常數(shù),則下式成立的是(）。 A．???B．?C.?? D.解：假如Ｆ（x）是ｆ（x）的一個原函數(shù)，則Ｆ(ｘ）＋c都是ｆ(x）的原函數(shù)，故有，即對的的選項是Ｃ。例2假如，則f（ｘ)＝(） Ａ．2sin2ｘ B．－2cos2ｘ ?C．－２sｉｎ2x D．2cos２x解:f(ｘ)＝．對的的選項是Ｄ。例3設(shè)是函數(shù)的一個原函數(shù)，則=（?）。?A．? B．?C.? D.解：由于是函數(shù)的一個原函數(shù),即有=,故==故對的的選項C。例4設(shè)的一個原函數(shù)是,則（ )。 A． ?B. ?C． ??D.解:由于的一個原函數(shù)是，故(=故對的的選項B。例５已知=ｓｉｎx+c，則f(ｘ）=（)?A.B.xsinxC．D．xｃosｘ解：對=sinx+ｃ兩端求導(dǎo)，得，故ｆ（x）＝，對的的選項是C。2.純熟掌握不定積分的計算方法。常用的積分方法有（1）運用積分基本公式直接進行積分;(2)第一換元積分法（湊微分法）；(3)分部積分法，重要掌握被積函數(shù)是以下類型的不定積分：①冪函數(shù)與指數(shù)函數(shù)相乘;②冪函數(shù)與對數(shù)函數(shù)相乘；③冪函數(shù)與正(余)弦函數(shù)相乘;例6.(??)。A.? B．??C． Ｄ．解:兩種方法,其一是湊微分直接計算:其二是求導(dǎo)計算:四個備選答案中都具有項，對它求導(dǎo)與被積函數(shù)比較可知，是的原函數(shù)。對的的選項是B。例7計算下列積分(1)? （2) （3)解:(１）由于所以=（2）設(shè)，運用分部積分公式,（3)設(shè),運用分部積分公式,==第2章定積分1．了解定積分的概念，知道奇偶函數(shù)在對稱區(qū)間上的積分結(jié)果．奇偶函數(shù)在對稱區(qū)間上的積分有以下結(jié)果:若是奇函數(shù),則有若是偶函數(shù),則有例1若是的一個原函數(shù)，則下列等式成立的是().A．B．C．D．解：可知，對的的選項是B。例2＝（ ）。 Ａ.－ｌn(x2+1) B.lｎ(x2+１)C．ln(x２+1）2x ?D．.－ｌn(x２+1)2ｘ解：＝-ln（ｘ２+1)。故對的的選項是A。例３。解：由于是奇函數(shù),故0。應(yīng)當填寫：0２.純熟掌握定積分的計算方法。例４計算下列定積分(１)（2） ?(2）(4)解：（1）運用,于是＝＝注意,（2)運用=，可知＝＝?(３）用分部積分法＝=（4)用分部積分法=－=＝3.知道無窮限積分的收斂概念,會求簡樸的無窮限積分。例5廣義積分=。解：由于=。應(yīng)當填寫：例6下列無窮積分中收斂的是（).A.B．C.D.解：由于==1;所以對的的選項是B。第3章積分應(yīng)用1．純熟掌握用不定積分和定積分求總成本函數(shù)、收入函數(shù)和利潤函數(shù)或其增量的方法。例１生產(chǎn)某產(chǎn)品的邊際成本為（萬元/百臺）,邊際收入為（萬元/百臺)，其中ｘ為產(chǎn)量，若固定成本為10萬元，問（1）產(chǎn)量為多少時，利潤最大?(２)從利潤最大時的產(chǎn)量再生產(chǎn)２百臺，利潤有什么變化?解：（１)邊際利潤 令，得(百臺）又是的唯一駐點,根據(jù)問題的實際意義可知存在最大值，故是的最大值點,即當產(chǎn)量為1０(百臺）時,利潤最大。(2)利潤的變化即從利潤