2023屆江西省吉安市泰和縣中考考前最后一卷數(shù)學(xué)試卷含解析

2023年中考數(shù)學(xué)模擬試卷注意事項(xiàng)：1．答題前，考生先將自己的姓名、準(zhǔn)考證號(hào)填寫(xiě)清楚，將條形碼準(zhǔn)確粘貼在考生信息條形碼粘貼區(qū)。2．選擇題必須使用2B鉛筆填涂；非選擇題必須使用0．5毫米黑色字跡的簽字筆書(shū)寫(xiě)，字體工整、筆跡清楚。3．請(qǐng)按照題號(hào)順序在各題目的答題區(qū)域內(nèi)作答，超出答題區(qū)域書(shū)寫(xiě)的答案無(wú)效；在草稿紙、試題卷上答題無(wú)效。4．保持卡面清潔，不要折疊，不要弄破、弄皺，不準(zhǔn)使用涂改液、修正帶、刮紙刀。一、選擇題（每小題只有一個(gè)正確答案，每小題3分，滿分30分）1．下列說(shuō)法正確的是（）A．一個(gè)游戲的中獎(jiǎng)概率是110B．為了解全國(guó)中學(xué)生的心理健康情況，應(yīng)該采用普查的方式C．一組數(shù)據(jù)8,8,7,10,6,8,9的眾數(shù)和中位數(shù)都是8D．若甲組數(shù)據(jù)的方差S="0.01"，乙組數(shù)據(jù)的方差s＝0.1，則乙組數(shù)據(jù)比甲組數(shù)據(jù)穩(wěn)定2．如圖，將一正方形紙片沿圖（1）、（2）的虛線對(duì)折，得到圖（3），然后沿圖（3）中虛線的剪去一個(gè)角，展開(kāi)得平面圖形（4），則圖（3）的虛線是（）A． B． C． D．3．如圖，AB是⊙O的弦，半徑OC⊥AB于D，若CD=2，⊙O的半徑為5，那么AB的長(zhǎng)為（）A．3 B．4 C．6 D．84．函數(shù)y＝和y＝在第一象限內(nèi)的圖象如圖，點(diǎn)P是y＝的圖象上一動(dòng)點(diǎn)，PC⊥x軸于點(diǎn)C，交y＝的圖象于點(diǎn)B．給出如下結(jié)論：①△ODB與△OCA的面積相等；②PA與PB始終相等；③四邊形PAOB的面積大小不會(huì)發(fā)生變化；④CA＝AP．其中所有正確結(jié)論的序號(hào)是（）A．①②③ B．②③④ C．①③④ D．①②④5．甲乙兩同學(xué)均從同一本書(shū)的第一頁(yè)開(kāi)始，按照順序逐頁(yè)依次在每頁(yè)上寫(xiě)一個(gè)數(shù)，甲同學(xué)在第1頁(yè)寫(xiě)1，第2頁(yè)寫(xiě)3，第3頁(yè)寫(xiě)1，……，每一頁(yè)寫(xiě)的數(shù)均比前一頁(yè)寫(xiě)的數(shù)多2；乙同學(xué)在第1頁(yè)寫(xiě)1，第2頁(yè)寫(xiě)6，第3頁(yè)寫(xiě)11，……，每一頁(yè)寫(xiě)的數(shù)均比前一頁(yè)寫(xiě)的數(shù)多1．若甲同學(xué)在某一頁(yè)寫(xiě)的數(shù)為49，則乙同學(xué)在這一頁(yè)寫(xiě)的數(shù)為（）A．116 B．120 C．121 D．1266．如圖，直線AB∥CD，∠C＝44°，∠E為直角，則∠1等于（）A．132° B．134° C．136° D．138°7．如圖，要使□ABCD成為矩形，需添加的條件是（）A．AB=BC B．∠ABC=90° C．AC⊥BD D．∠1=∠28．一次函數(shù)y=ax+b與反比例函數(shù)y=在同一平面直角坐標(biāo)系中的圖象如左圖所示，則二次函數(shù)y=ax2+bx+c的圖象可能是()A． B． C． D．9．一家商店將某種服裝按成本價(jià)提高40%后標(biāo)價(jià)，又以8折（即按標(biāo)價(jià)的80%）優(yōu)惠賣(mài)出，結(jié)果每件作服裝仍可獲利15元，則這種服裝每件的成本是（）A．120元 B．125元 C．135元 D．140元10．∠BAC放在正方形網(wǎng)格紙的位置如圖，則tan∠BAC的值為（）A． B． C． D．二、填空題（共7小題，每小題3分，滿分21分）11．如圖，扇形OAB的圓心角為30°，半徑為1，將它沿箭頭方向無(wú)滑動(dòng)滾動(dòng)到O′A′B′的位置時(shí)，則點(diǎn)O到點(diǎn)O′所經(jīng)過(guò)的路徑長(zhǎng)為_(kāi)____．12．如圖所示，P為∠α的邊OA上一點(diǎn)，且P點(diǎn)的坐標(biāo)為（3，4），則sinα+cosα=_____．13．如圖的三角形紙片中，AB=8cm，BC=6cm，AC=5cm.沿過(guò)點(diǎn)B的直線折疊三角形，使點(diǎn)C落在AB邊的點(diǎn)E處，折痕為BD.則△AED的周長(zhǎng)為_(kāi)___cm.14．計(jì)算：（）0﹣=_____．15．已知一組數(shù)據(jù)1，2，0，﹣1，x，1的平均數(shù)是1，則這組數(shù)據(jù)的中位數(shù)為_(kāi)____．16．分式方程+=1的解為_(kāi)_______.17．請(qǐng)從以下兩個(gè)小題中任選一個(gè)作答，若多選，則按第一題計(jì)分．A．正多邊形的一個(gè)外角是40°，則這個(gè)正多邊形的邊數(shù)是____________.B．運(yùn)用科學(xué)計(jì)算器比較大?。篲_______sin37.5°.三、解答題（共7小題，滿分69分）18．（10分）“足球運(yùn)球”是中考體育必考項(xiàng)目之一．蘭州市某學(xué)校為了解今年九年級(jí)學(xué)生足球運(yùn)球的掌握情況，隨機(jī)抽取部分九年級(jí)學(xué)生足球運(yùn)球的測(cè)試成績(jī)作為一個(gè)樣本，按A，B，C，D四個(gè)等級(jí)進(jìn)行統(tǒng)計(jì)，制成了如下不完整的統(tǒng)計(jì)圖．（說(shuō)明：A級(jí)：8分﹣10分，B級(jí)：7分﹣7.9分，C級(jí)：6分﹣6.9分，D級(jí)：1分﹣5.9分）根據(jù)所給信息，解答以下問(wèn)題：（1）在扇形統(tǒng)計(jì)圖中，C對(duì)應(yīng)的扇形的圓心角是度；（2）補(bǔ)全條形統(tǒng)計(jì)圖；（3）所抽取學(xué)生的足球運(yùn)球測(cè)試成績(jī)的中位數(shù)會(huì)落在等級(jí)；（4）該校九年級(jí)有300名學(xué)生，請(qǐng)估計(jì)足球運(yùn)球測(cè)試成績(jī)達(dá)到A級(jí)的學(xué)生有多少人？19．（5分）圖1和圖2中，優(yōu)弧紙片所在⊙O的半徑為2，AB＝2，點(diǎn)P為優(yōu)弧上一點(diǎn)（點(diǎn)P不與A，B重合），將圖形沿BP折疊，得到點(diǎn)A的對(duì)稱點(diǎn)A′．發(fā)現(xiàn)：（1）點(diǎn)O到弦AB的距離是，當(dāng)BP經(jīng)過(guò)點(diǎn)O時(shí)，∠ABA′＝；（2）當(dāng)BA′與⊙O相切時(shí)，如圖2，求折痕的長(zhǎng)．拓展：把上圖中的優(yōu)弧紙片沿直徑MN剪裁，得到半圓形紙片，點(diǎn)P（不與點(diǎn)M，N重合）為半圓上一點(diǎn)，將圓形沿NP折疊，分別得到點(diǎn)M，O的對(duì)稱點(diǎn)A′，O′，設(shè)∠MNP＝α．（1）當(dāng)α＝15°時(shí)，過(guò)點(diǎn)A′作A′C∥MN，如圖3，判斷A′C與半圓O的位置關(guān)系，并說(shuō)明理由；（2）如圖4，當(dāng)α＝°時(shí)，NA′與半圓O相切，當(dāng)α＝°時(shí)，點(diǎn)O′落在上．（3）當(dāng)線段NO′與半圓O只有一個(gè)公共點(diǎn)N時(shí)，直接寫(xiě)出β的取值范圍．20．（8分）如圖，AC是⊙O的直徑，BC是⊙O的弦，點(diǎn)P是⊙O外一點(diǎn)，連接PA、PB、AB、OP，已知PB是⊙O的切線．(1)求證：∠PBA=∠C；(2)若OP∥BC，且OP=9，⊙O的半徑為3，求BC的長(zhǎng)．21．（10分）．22．（10分）如圖，已知O是坐標(biāo)原點(diǎn)，B、C兩點(diǎn)的坐標(biāo)分別為（3，﹣1）、（2，1）．以0點(diǎn)為位似中心在y軸的左側(cè)將△OBC放大到兩倍（即新圖與原圖的相似比為2），畫(huà)出圖形；分別寫(xiě)出B、C兩點(diǎn)的對(duì)應(yīng)點(diǎn)B′、C′的坐標(biāo)；如果△OBC內(nèi)部一點(diǎn)M的坐標(biāo)為（x，y），寫(xiě)出M的對(duì)應(yīng)點(diǎn)M′的坐標(biāo)．23．（12分）如圖，某市郊外景區(qū)內(nèi)一條筆直的公路a經(jīng)過(guò)三個(gè)景點(diǎn)A、B、C，景區(qū)管委會(huì)又開(kāi)發(fā)了風(fēng)景優(yōu)美的景點(diǎn)D，經(jīng)測(cè)量，景點(diǎn)D位于景點(diǎn)A的北偏東30′方向8km處，位于景點(diǎn)B的正北方向，還位于景點(diǎn)C的北偏西75°方向上，已知AB=5km.景區(qū)管委會(huì)準(zhǔn)備由景點(diǎn)D向公路a修建一條距離最短的公路，不考試其他因素，求出這條公路的長(zhǎng)．（結(jié)果精確到0.1km）．求景點(diǎn)C與景點(diǎn)D之間的距離．（結(jié)果精確到1km）．24．（14分）對(duì)于平面直角坐標(biāo)系xOy中的點(diǎn)P和直線m，給出如下定義：若存在一點(diǎn)P，使得點(diǎn)P到直線m的距離等于1，則稱P為直線m的平行點(diǎn)．（1）當(dāng)直線m的表達(dá)式為y＝x時(shí)，①在點(diǎn)，，中，直線m的平行點(diǎn)是______；②⊙O的半徑為，點(diǎn)Q在⊙O上，若點(diǎn)Q為直線m的平行點(diǎn)，求點(diǎn)Q的坐標(biāo)．（2）點(diǎn)A的坐標(biāo)為（n，0），⊙A半徑等于1，若⊙A上存在直線的平行點(diǎn)，直接寫(xiě)出n的取值范圍．

參考答案一、選擇題（每小題只有一個(gè)正確答案，每小題3分，滿分30分）1、C【解析】

眾數(shù)，中位數(shù)，方差等概念分析即可.【詳解】A、中獎(jiǎng)是偶然現(xiàn)象，買(mǎi)再多也不一定中獎(jiǎng)，故是錯(cuò)誤的；B、全國(guó)中學(xué)生人口多，只需抽樣調(diào)查就行了，故是錯(cuò)誤的；C、這組數(shù)據(jù)的眾數(shù)和中位數(shù)都是8，故是正確的；D、方差越小越穩(wěn)定，甲組數(shù)據(jù)更穩(wěn)定，故是錯(cuò)誤.故選C.【點(diǎn)睛】考核知識(shí)點(diǎn)：眾數(shù)，中位數(shù)，方差.2、D【解析】

本題關(guān)鍵是正確分析出所剪時(shí)的虛線與正方形紙片的邊平行.【詳解】要想得到平面圖形(4)，需要注意(4)中內(nèi)部的矩形與原來(lái)的正方形紙片的邊平行，故剪時(shí)，虛線也與正方形紙片的邊平行，所以D是正確答案，故本題正確答案為D選項(xiàng).【點(diǎn)睛】本題考查了平面圖形在實(shí)際生活中的應(yīng)用，有良好的空間想象能力過(guò)動(dòng)手能力是解題關(guān)鍵.3、D【解析】

連接OA，構(gòu)建直角三角形AOD；利用垂徑定理求得AB=2AD；然后在直角三角形AOD中由勾股定理求得AD的長(zhǎng)度，從而求得AB=2AD=1．【詳解】連接OA．∵⊙O的半徑為5，CD=2，∵OD=5-2=3，即OD=3；又∵AB是⊙O的弦，OC⊥AB，∴AD=AB；在直角三角形ODC中，根據(jù)勾股定理，得AD==4，∴AB=1．故選D．【點(diǎn)睛】本題考查了垂徑定理、勾股定理．解答該題的關(guān)鍵是通過(guò)作輔助線OA構(gòu)建直角三角形，在直角三角形中利用勾股定理求相關(guān)線段的長(zhǎng)度．4、C【解析】解：∵A、B是反比函數(shù)上的點(diǎn)，∴S△OBD=S△OAC=，故①正確；當(dāng)P的橫縱坐標(biāo)相等時(shí)PA=PB，故②錯(cuò)誤；∵P是的圖象上一動(dòng)點(diǎn)，∴S矩形PDOC=4，∴S四邊形PAOB=S矩形PDOC﹣S△ODB﹣﹣S△OAC=4﹣﹣=3，故③正確；連接OP，=4，∴AC=PC，PA=PC，∴=3，∴AC=AP；故④正確；綜上所述，正確的結(jié)論有①③④．故選C．點(diǎn)睛：本題考查的是反比例函數(shù)綜合題，熟知反比例函數(shù)中系數(shù)k的幾何意義是解答此題的關(guān)鍵．5、C【解析】

根據(jù)題意確定出甲乙兩同學(xué)所寫(xiě)的數(shù)字，設(shè)甲所寫(xiě)的第n個(gè)數(shù)為49，根據(jù)規(guī)律確定出n的值，即可確定出乙在該頁(yè)寫(xiě)的數(shù)．【詳解】甲所寫(xiě)的數(shù)為1，3，1，7，…，49，…；乙所寫(xiě)的數(shù)為1，6，11，16，…，設(shè)甲所寫(xiě)的第n個(gè)數(shù)為49，根據(jù)題意得：49＝1+（n﹣1）×2，整理得：2（n﹣1）＝48，即n﹣1＝24，解得：n＝21，則乙所寫(xiě)的第21個(gè)數(shù)為1+（21﹣1）×1＝1+24×1＝121，故選：C．【點(diǎn)睛】考查了有理數(shù)的混合運(yùn)算，弄清題中的規(guī)律是解本題的關(guān)鍵．6、B【解析】過(guò)E作EF∥AB，求出AB∥CD∥EF，根據(jù)平行線的性質(zhì)得出∠C=∠FEC，∠BAE=∠FEA，求出∠BAE，即可求出答案．解：過(guò)E作EF∥AB，∵AB∥CD，∴AB∥CD∥EF，∴∠C=∠FEC，∠BAE=∠FEA，∵∠C=44°，∠AEC為直角，∴∠FEC=44°，∠BAE=∠AEF=90°﹣44°=46°，∴∠1=180°﹣∠BAE=180°﹣46°=134°，故選B．“點(diǎn)睛”本題考查了平行線的性質(zhì)的應(yīng)用，能正確作出輔助線是解此題的關(guān)鍵．7、B【解析】

根據(jù)一個(gè)角是90度的平行四邊形是矩形進(jìn)行選擇即可．【詳解】解：A、是鄰邊相等，可判定平行四邊形ABCD是菱形；

B、是一內(nèi)角等于90°，可判斷平行四邊形ABCD成為矩形；

C、是對(duì)角線互相垂直，可判定平行四邊形ABCD是菱形；

D、是對(duì)角線平分對(duì)角，可判斷平行四邊形ABCD成為菱形；故選：B．【點(diǎn)睛】本題主要應(yīng)用的知識(shí)點(diǎn)為：矩形的判定．①對(duì)角線相等且相互平分的四邊形為矩形．②一個(gè)角是90度的平行四邊形是矩形．8、B【解析】

根據(jù)題中給出的函數(shù)圖像結(jié)合一次函數(shù)性質(zhì)得出a＜0，b＞0，再由反比例函數(shù)圖像性質(zhì)得出c＜0，從而可判斷二次函數(shù)圖像開(kāi)口向下，對(duì)稱軸：＞0，即在y軸的右邊，與y軸負(fù)半軸相交，從而可得答案.【詳解】解：∵一次函數(shù)y=ax+b圖像過(guò)一、二、四，∴a＜0，b＞0，又∵反比例函數(shù)y=圖像經(jīng)過(guò)二、四象限，∴c＜0，∴二次函數(shù)對(duì)稱軸：＞0，∴二次函數(shù)y=ax2+bx+c圖像開(kāi)口向下，對(duì)稱軸在y軸的右邊，與y軸負(fù)半軸相交，故答案為B.【點(diǎn)睛】本題考查了二次函數(shù)的圖形，一次函數(shù)的圖象，反比例函數(shù)的圖象，熟練掌握二次函數(shù)的有關(guān)性質(zhì)：開(kāi)口方向、對(duì)稱軸、與y軸的交點(diǎn)坐標(biāo)等確定出a、b、c的情況是解題的關(guān)鍵．9、B【解析】試題分析：通過(guò)理解題意可知本題的等量關(guān)系，即每件作服裝仍可獲利=按成本價(jià)提高40%后標(biāo)價(jià)，又以8折賣(mài)出，根據(jù)這兩個(gè)等量關(guān)系，可列出方程，再求解．解：設(shè)這種服裝每件的成本是x元，根據(jù)題意列方程得：x+15=（x+40%x）×80%解這個(gè)方程得：x=125則這種服裝每件的成本是125元．故選B．考點(diǎn)：一元一次方程的應(yīng)用．10、D【解析】

連接CD，再利用勾股定理分別計(jì)算出AD、AC、BD的長(zhǎng)，然后再根據(jù)勾股定理逆定理證明∠ADC=90°，再利用三角函數(shù)定義可得答案．【詳解】連接CD，如圖：，CD=，AC=∵，∴∠ADC=90°，∴tan∠BAC==．故選D．【點(diǎn)睛】本題主要考查了勾股定理，勾股定理逆定理，以及銳角三角函數(shù)定義，關(guān)鍵是證明∠ADC=90°．二、填空題（共7小題，每小題3分，滿分21分）11、【解析】

點(diǎn)O到點(diǎn)O′所經(jīng)過(guò)的路徑長(zhǎng)分三段，先以A為圓心，1為半徑，圓心角為90度的弧長(zhǎng)，再平移了AB弧的長(zhǎng)，最后以B為圓心，1為半徑，圓心角為90度的弧長(zhǎng)．根據(jù)弧長(zhǎng)公式計(jì)算即可．【詳解】解：∵扇形OAB的圓心角為30°，半徑為1，∴AB弧長(zhǎng)=∴點(diǎn)O到點(diǎn)O′所經(jīng)過(guò)的路徑長(zhǎng)=故答案為:【點(diǎn)睛】本題考查了弧長(zhǎng)公式：．也考查了旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)和圓的性質(zhì)．12、【解析】

根據(jù)正弦和余弦的概念求解．【詳解】解：∵P是∠α的邊OA上一點(diǎn)，且P點(diǎn)坐標(biāo)為（3，4），∴PB=4，OB=3，OP==5,故sinα==,cosα=,∴sinα+cosα=,故答案為【點(diǎn)睛】此題考查的是銳角三角函數(shù)的定義，解答此類題目的關(guān)鍵是找出所求角的對(duì)應(yīng)邊．13、7【解析】

根據(jù)翻折變換的性質(zhì)可得BE=BC，DE=CD，然后求出AE，再求出△ADE的周長(zhǎng)=AC+AE．【詳解】∵折疊這個(gè)三角形點(diǎn)C落在AB邊上的點(diǎn)E處，折痕為BD，∴BE=BC，DE=CD，∴AE=AB-BE=AB-BC=8-6=2cm，∴△ADE的周長(zhǎng)=AD+DE+AE，=AD+CD+AE，=AC+AE，=5+2，=7cm．故答案為：7.【點(diǎn)睛】本題考查了翻折變換的性質(zhì)，翻折前后對(duì)應(yīng)邊相等，對(duì)應(yīng)角相等．14、-1【解析】

本題需要運(yùn)用零次冪的運(yùn)算法則、立方根的運(yùn)算法則進(jìn)行計(jì)算.【詳解】由分析可得：（）0﹣=1－2＝﹣1.【點(diǎn)睛】熟練運(yùn)用零次冪的運(yùn)算法則、立方根的運(yùn)算法則是本題解題的關(guān)鍵.15、2【解析】

解:這組數(shù)據(jù)的平均數(shù)為2，

有（2+2+0-2+x+2）=2，

可求得x=2．

將這組數(shù)據(jù)從小到大重新排列后，觀察數(shù)據(jù)可知最中間的兩個(gè)數(shù)是2與2，

其平均數(shù)即中位數(shù)是（2+2）÷2=2．

故答案是：2．16、【解析】

根據(jù)解分式方程的步驟，即可解答．【詳解】方程兩邊都乘以，得：，解得：，檢驗(yàn)：當(dāng)時(shí)，，所以分式方程的解為，故答案為．【點(diǎn)睛】考查了解分式方程，解分式方程的基本思想是“轉(zhuǎn)化思想”，把分式方程轉(zhuǎn)化為整式方程求解解分式方程一定注意要驗(yàn)根．17、9,>【解析】

（1）根據(jù)任意多邊形外角和等于360可以得到正多邊形的邊數(shù)（2）用科學(xué)計(jì)算器計(jì)算即可比較大小.【詳解】（1）正多邊形的一個(gè)外角是40°，任意多邊形外角和等于360（2）利用科學(xué)計(jì)算器計(jì)算可知，sin37.5°.故答案為(1).9,(2).>【點(diǎn)睛】此題重點(diǎn)考察學(xué)生對(duì)正多邊形外交和的理解，掌握正多邊形外角和，會(huì)用科學(xué)計(jì)算器是解題的關(guān)鍵.三、解答題（共7小題，滿分69分）18、（1）117（2）見(jiàn)解析（3）B（4）30【解析】

（1）先根據(jù)B等級(jí)人數(shù)及其百分比求得總?cè)藬?shù)，總?cè)藬?shù)減去其他等級(jí)人數(shù)求得C等級(jí)人數(shù)，繼而用360°乘以C等級(jí)人數(shù)所占比例即可得；（2）根據(jù)以上所求結(jié)果即可補(bǔ)全圖形；（3）根據(jù)中位數(shù)的定義求解可得；（4）總?cè)藬?shù)乘以樣本中A等級(jí)人數(shù)所占比例可得．【詳解】解：（1）∵總?cè)藬?shù)為18÷45%=40人，∴C等級(jí)人數(shù)為40﹣（4+18+5）=13人，則C對(duì)應(yīng)的扇形的圓心角是360°×=117°，故答案為117；（2）補(bǔ)全條形圖如下：（3）因?yàn)楣灿?0個(gè)數(shù)據(jù)，其中位數(shù)是第20、21個(gè)數(shù)據(jù)的平均數(shù)，而第20、21個(gè)數(shù)據(jù)均落在B等級(jí)，所以所抽取學(xué)生的足球運(yùn)球測(cè)試成績(jī)的中位數(shù)會(huì)落在B等級(jí)，故答案為B．（4）估計(jì)足球運(yùn)球測(cè)試成績(jī)達(dá)到A級(jí)的學(xué)生有300×=30人．【點(diǎn)睛】本題考查的是條形統(tǒng)計(jì)圖和扇形統(tǒng)計(jì)圖的綜合運(yùn)用，讀懂統(tǒng)計(jì)圖，從不同的統(tǒng)計(jì)圖中得到必要的信息是解決問(wèn)題的關(guān)鍵．條形統(tǒng)計(jì)圖能清楚地表示出每個(gè)項(xiàng)目的數(shù)據(jù)；扇形統(tǒng)計(jì)圖直接反映部分占總體的百分比大小．19、發(fā)現(xiàn)：（1）1，60°；（2）2；拓展：（1）相切，理由詳見(jiàn)解析；（2）45°；30°；（3）0°＜α＜30°或45°≤α＜90°．【解析】

發(fā)現(xiàn)：（1）利用垂徑定理和勾股定理即可求出點(diǎn)O到AB的距離；利用銳角三角函數(shù)的定義及軸對(duì)稱性就可求出∠ABA′．（2）根據(jù)切線的性質(zhì)得到∠OBA′=90°，從而得到∠ABA′=120°，就可求出∠ABP，進(jìn)而求出∠OBP=30°．過(guò)點(diǎn)O作OG⊥BP，垂足為G，容易求出OG、BG的長(zhǎng)，根據(jù)垂徑定理就可求出折痕的長(zhǎng)．拓展：（1）過(guò)A'、O作A'H⊥MN于點(diǎn)H，OD⊥A'C于點(diǎn)D．用含30°角的直角三角形的性質(zhì)可得OD=A'H=A'N=MN=2可判定A′C與半圓相切；（2）當(dāng)NA′與半圓相切時(shí)，可知ON⊥A′N，則可知α=45°，當(dāng)O′在時(shí)，連接MO′，則可知NO′=MN，可求得∠MNO′=60°，可求得α=30°；（3）根據(jù)點(diǎn)A′的位置不同得到線段NO′與半圓O只有一個(gè)公共點(diǎn)N時(shí)α的取值范圍是0°＜α＜30°或45°≤α＜90°．【詳解】發(fā)現(xiàn)：（1）過(guò)點(diǎn)O作OH⊥AB，垂足為H，如圖1所示,∵⊙O的半徑為2，AB=2，∴OH==在△BOH中，OH=1，BO=2∴∠ABO=30°∵圖形沿BP折疊，得到點(diǎn)A的對(duì)稱點(diǎn)A′．∴∠OBA′=∠ABO=30°∴∠ABA′=60°（2）過(guò)點(diǎn)O作OG⊥BP，垂足為G，如圖2所示．∵BA′與⊙O相切，∴OB⊥A′B．∴∠OBA′=90°．∵∠OBH=30°，∴∠ABA′=120°．∴∠A′BP=∠ABP=60°．∴∠OBP=30°．∴OG=OB=1．∴BG=．∵OG⊥BP，∴BG=PG=．∴BP=2．∴折痕的長(zhǎng)為2拓展：（1）相切．分別過(guò)A'、O作A'H⊥MN于點(diǎn)H，OD⊥A'C于點(diǎn)D．如圖3所示，∵A'C∥MN∴四邊形A'HOD是矩形∴A'H=O∵α=15°∴∠A'NH=30∴OD=A'H=A'N=MN=2∴A'C與半圓（2）當(dāng)NA′與半圓O相切時(shí)，則ON⊥NA′，∴∠ONA′=2α=90°，∴α=45當(dāng)O′在上時(shí)，連接MO′，則可知NO′=MN，∴∠O′MN=0°∴∠MNO′=60°，∴α=30°，故答案為：45°；30°．（3）∵點(diǎn)P，M不重合，∴α＞0，由（2）可知當(dāng)α增大到30°時(shí)，點(diǎn)O′在半圓上，∴當(dāng)0°＜α＜30°時(shí)點(diǎn)O′在半圓內(nèi)，線段NO′與半圓只有一個(gè)公共點(diǎn)B；當(dāng)α增大到45°時(shí)NA′與半圓相切，即線段NO′與半圓只有一個(gè)公共點(diǎn)B．當(dāng)α繼續(xù)增大時(shí)，點(diǎn)P逐漸靠近點(diǎn)N，但是點(diǎn)P，N不重合，∴α＜90°，∴當(dāng)45°≤α＜90°線段BO′與半圓只有一個(gè)公共點(diǎn)B．綜上所述0°＜α＜30°或45°≤α＜90°．【點(diǎn)睛】本題考查了切線的性質(zhì)、垂徑定理、勾股定理、三角函數(shù)的定義、30°角所對(duì)的直角邊等于斜邊的一半、翻折問(wèn)題等知識(shí)，正確的作出輔助線是解題的關(guān)鍵．20、(1)證明見(jiàn)解析；(2)BC=1．【解析】

（1）連接OB，根據(jù)切線的性質(zhì)和圓周角定理求出∠PBO=∠ABC=90°，即可求出答案；

（2）求出△ABC∽△PBO，得出比例式，代入求出即可．【詳解】(1)連接OB，∵PB是⊙O的切線，∴PB⊥OB，∴∠PBA+∠OBA=90°，∵AC是⊙O的直徑，∴∠ABC=90°，∠C+∠BAC=90°，∵OA=OB，∴∠OBA=∠BAO，∴∠PBA=∠C；(2)∵⊙O的半徑是3，∴OB=3，AC=6，∵OP∥BC，∴∠BOP=∠OBC，∵OB=OC，∴∠OBC=∠C，∴∠BOP=∠C，∵∠ABC=∠PBO=90°，∴△ABC∽△PBO，∴=，∴=，∴BC=1．【點(diǎn)睛】本題考查平行線的性質(zhì)，切線的性質(zhì)，相似三角形的性質(zhì)和判定，圓周角定理等知識(shí)點(diǎn)，能綜合運(yùn)用知識(shí)點(diǎn)進(jìn)行推理是解題關(guān)鍵．21、5﹣．【解析】

根據(jù)特殊角的三角函數(shù)值進(jìn)行計(jì)算即可．【詳解】原式==3﹣+4﹣2=5﹣．【點(diǎn)睛】本題考查了特殊角的三角函數(shù)值，是基礎(chǔ)題目比較簡(jiǎn)單．22、(1)畫(huà)圖見(jiàn)解析(2)B'（-6,2）、C'（-4，-2）(3)M'（-2x,-2y）【解析】

解：（1）（2）以0點(diǎn)為位似中心在y軸的左側(cè)將△OBC放大到兩倍，則是對(duì)應(yīng)點(diǎn)的坐標(biāo)放大兩倍，并將符號(hào)進(jìn)行相應(yīng)的改變，因?yàn)锽(3，-1)，則B’(-6,2)C(2,1)，則C‘（-4，-2）（3）因?yàn)辄c(diǎn)M(x，y)在△OBC內(nèi)部，則它的對(duì)應(yīng)點(diǎn)M′的坐標(biāo)是M的坐標(biāo)乘以2，并改變符號(hào)，即M’（-2x,-2y）23、（1）景點(diǎn)D向公路a修建的這條公路的長(zhǎng)約是3.1km；（2）景點(diǎn)C與景點(diǎn)D之間的距離約為4km．【解析】

解：（1）如圖，過(guò)點(diǎn)D作DE⊥AC于點(diǎn)E，過(guò)點(diǎn)A作AF⊥DB，交DB的延長(zhǎng)線于點(diǎn)F，在Rt△DAF中，∠ADF=30°，∴AF=A