模塊4：統(tǒng)計分析-綜合指標(biāo)法

1項目3：平均指標(biāo)分析

項目4：變異指標(biāo)分析案例1：對某小組某月進(jìn)行統(tǒng)計，資料整理如下表：性別工資

總體的綜合數(shù)量指標(biāo)女男男男女男700800850900900950該組人數(shù)為6人該組成員男4人女2人該組工資總額為：700+800+850+900+900+950=5100

總量指標(biāo)?計算一下平均工資？3項目3：平均指標(biāo)分析

任務(wù)1：認(rèn)識平均指標(biāo)平均指標(biāo)的概念

:平均指標(biāo)又稱平均數(shù)，它反映了社會經(jīng)濟(jì)現(xiàn)象總體各單位某一數(shù)量標(biāo)志在一定時間、地點條件下所達(dá)到的一般水平。平均指標(biāo)的特點：1、抽象性，即總體內(nèi)各單位雖然存在數(shù)量差異，但在計算平均數(shù)時把這種差異平均了。2、代表性，即盡管各總體單位的標(biāo)志值大小不一，但我們可以用平均數(shù)這一指標(biāo)值來代表所有標(biāo)志值的一般水平。4平均指標(biāo)的作用：作用一，可以用來比較同類現(xiàn)象在不同地區(qū)、部門、單位（即不同總體）發(fā)展的一般水平作用二，可以用來對同一總體某一現(xiàn)象在不同時期上進(jìn)行比較，以反映該現(xiàn)象的發(fā)展趨勢或規(guī)律作用三，可以作為論斷事物的一種數(shù)量標(biāo)準(zhǔn)作用四，可以用來分析現(xiàn)象之間的依存關(guān)系作用五，可以估算和推算其他有關(guān)指標(biāo)5平均指標(biāo)的種類

1、平均指標(biāo)按其性質(zhì)可分為靜態(tài)平均數(shù)和動態(tài)平均數(shù)。2、按其表現(xiàn)形式可分為數(shù)值平均數(shù)和位置平均數(shù)。凡根據(jù)總體各單位標(biāo)志值計算的平均數(shù)，稱為數(shù)值平均數(shù)，常見的主要包括算術(shù)平均數(shù)、調(diào)和平均數(shù)和幾何平均數(shù)；凡根據(jù)總體標(biāo)志值的位置確定的平均數(shù)，稱為位置平均數(shù)。常見的主要有中位數(shù)和眾數(shù)。平均數(shù)分類靜態(tài)平均數(shù)動態(tài)平均數(shù)數(shù)值平均數(shù)位置平均數(shù)算術(shù)平均數(shù)調(diào)和平均數(shù)幾何平均數(shù)眾數(shù)中位數(shù)7任務(wù)2：計算與應(yīng)用算數(shù)平均數(shù)一、算術(shù)平均數(shù)的含義1、算術(shù)平均數(shù)是同一總體的標(biāo)志總量除以其單位總量。

基本公式是：算數(shù)平均數(shù)=注意：1、分子分母屬于同一總體2、平均數(shù)的計量單位與分子計量單位一致3、算術(shù)平均數(shù)不同于強(qiáng)度相對數(shù)8[例1]某企業(yè)某班組有8名工人，某日各人日產(chǎn)量（件）分別為：12121313

13161717，則該組工人的平均日產(chǎn)量為：

歸納簡單算術(shù)平均數(shù)法9如果我們在掌握了總體各單位標(biāo)志值的原始資料，就可以直接將各標(biāo)志值相加除以總體單位總量計算簡單算術(shù)平均數(shù)。計算公式：式中：——算術(shù)平均數(shù)

——總和符號x——總體各單位標(biāo)志值n——總體單位數(shù)注意：1、該公式用于未分組的資料2、受極端值的影響二、計算與應(yīng)用簡單算術(shù)平均數(shù)10[例2]就例1的資料，把工人按日產(chǎn)量分組可得表5-1表5—1加權(quán)算術(shù)平均數(shù)計算表按日產(chǎn)量分組（件）x工人數(shù)f各組日產(chǎn)量（件）xf

12131617231224391634合計8113[例1]某企業(yè)某班組有8名工人，某日各人日產(chǎn)量（件）分別為：12121313

13161717，則該組工人的平均日產(chǎn)量為：11根據(jù)表資料，計算平均日產(chǎn)量應(yīng)是：

=在加權(quán)算術(shù)平均數(shù)公式中，f稱為權(quán)數(shù)。這是因為在各組標(biāo)志值一定的情況下，f的大小對X的大小起著權(quán)衡輕重的作用。歸納加權(quán)算數(shù)平均數(shù)12當(dāng)掌握分組資料，且各個標(biāo)志值出現(xiàn)的次數(shù)不相同時，就可以以各組的單位數(shù)為權(quán)數(shù)采用加權(quán)算術(shù)平均數(shù)。1、由單項式數(shù)列計算的加權(quán)算術(shù)平均數(shù)三、計算與應(yīng)用加權(quán)算術(shù)平均數(shù)13[例3]將資料2改為加權(quán)算術(shù)平均數(shù)計算表表5—2工人按日產(chǎn)量分組情況按日產(chǎn)量分組（件）工人數(shù)（人）各組日產(chǎn)量（件）12131617213224134834合計8119按日產(chǎn)量分組（件）x工人數(shù)f各組日產(chǎn)量（件）xf

12131617231224391634合計8113【例2】=則有平均日產(chǎn)量

=平均日產(chǎn)量14可見，某組標(biāo)志值出現(xiàn)的次數(shù)越多，即權(quán)數(shù)f越大，平均數(shù)受該組的影響就越大，反之亦然。如果各組次數(shù)完全相同，即各組f相等，權(quán)數(shù)的權(quán)衡輕重的作用消失，則可得：當(dāng)f1=f2=…=fn=f（≠0）加權(quán)算數(shù)平均數(shù)=簡單算術(shù)平均數(shù)

[例4]據(jù)例2資料，以各組次數(shù)占總次數(shù)為權(quán)數(shù)，計算平均日產(chǎn)量。表5—3加權(quán)算術(shù)平均數(shù)計算表按日產(chǎn)量分組（件）x工人數(shù)f（人）工人數(shù)占總?cè)藬?shù)比重（%）

1213161723122537.512.52534.87524.25合計810014.125==14.125162、由組距數(shù)列計算加權(quán)算術(shù)平均數(shù)表5—4某商場食品部工人日銷售資料按日銷售額分組（元）職工人數(shù)（人）f組中值x各組銷售額（元）xf2000—25002500—30003000—350027722502750325045001925022750合計16—46500加權(quán)算數(shù)平均數(shù)公式的選擇：1、已知x、f，運用基本公式2、已知x，，運用變形公式=小思考根據(jù)組據(jù)數(shù)列計算的平均數(shù)是真實的平均數(shù)嗎？算術(shù)平均數(shù)的數(shù)學(xué)性質(zhì)1、各變量值與算術(shù)平均數(shù)離差之和為零2、總體標(biāo)志總量等于其算術(shù)平均數(shù)乘以總體單位總量3、加權(quán)算術(shù)平均數(shù)中，所有權(quán)數(shù)同比例的變化，則平均數(shù)不變20

[引例7]某集貿(mào)市場西紅柿的價格，早市每千克1元，午市每千克0.50元，晚市每千克0.25元。（1）若早、中、晚各買1千克，其平均價格為多少？（2）若早、中、晚分別買1千克、2千克、3千克，其平均價格為多少？（3）若早、中、晚各買1元錢，其平均價格為多少？解答:（1）

（2）任務(wù)3：計算與應(yīng)用調(diào)和平均數(shù)(3)用算術(shù)平均數(shù)的原理計算：①早、中、晚各買1元錢，合計花3元。②早上用1元錢可買1／1＝1千克，中午用1元錢可買2千克,晚上用1元錢可買4千克,合計共買西紅柿7千克。③平均價格為：用公式概括其計算過程：

(元/千克)歸納調(diào)和平均數(shù)的含義22調(diào)和平均數(shù)是總體各單位標(biāo)志值倒數(shù)的算術(shù)平均數(shù)的倒數(shù)，因而也稱為倒數(shù)平均數(shù)。與算術(shù)平均數(shù)一樣，由于掌握的資料不同，分為簡單調(diào)和平均數(shù)和加權(quán)調(diào)和平均數(shù)。一、調(diào)和平均數(shù)的含義23二、計算與應(yīng)用簡單調(diào)和平均數(shù)簡單調(diào)和平均數(shù)是標(biāo)志值倒數(shù)的簡單算術(shù)平均數(shù)的倒數(shù)適用情況：在各個標(biāo)志值相應(yīng)的標(biāo)志總量均為一個單位的情況下求平均數(shù)時，用簡單調(diào)和平均數(shù)，即在各變量值對平均數(shù)起同等作用時應(yīng)用。其計算公式為：式中——調(diào)和平均數(shù)；x——各標(biāo)志值；n——項數(shù)。24加權(quán)調(diào)和平均數(shù)：是各變量值倒數(shù)的加權(quán)算術(shù)平均數(shù)的倒數(shù)。適用情況：在各個標(biāo)志值相應(yīng)的標(biāo)志總量不相等的情況下求平均數(shù)，用加權(quán)調(diào)和平均數(shù)，即在各變量值對平均數(shù)起的作用不同時應(yīng)用。

式中：m——調(diào)和平均數(shù)的權(quán)數(shù)三、計算與應(yīng)用加權(quán)調(diào)和平均數(shù)25[例8]如例7資料，早上買西紅柿為3元，中午買2元，晚上買1元，則其平均價格為：價格（元/千克）1.000.500.25合計金額m3216

數(shù)量（千克）m/x34411

調(diào)和平均數(shù)與算術(shù)平均數(shù)的關(guān)系

m=xf

推導(dǎo)出調(diào)和平均數(shù)與算術(shù)平均數(shù)的實質(zhì)是一致的。各適用于不同條件下的：1、已知變量值，權(quán)數(shù)時，運用算術(shù)平均數(shù)；2、已知變量值，各組標(biāo)志總量時，運用調(diào)和平均數(shù)；從這個意義上講，調(diào)和平均數(shù)是算術(shù)平均數(shù)的一種變形應(yīng)用。27下面通過實例來說明加權(quán)算術(shù)平均數(shù)和加權(quán)調(diào)和平均數(shù)兩種方法的應(yīng)用。［例9］某飯店分一部、二部、三部，2010年計劃收入分別為300萬元、260萬元、240萬元，計劃完成程度分別為102％，107％，109％，求平均計劃完成程度。根據(jù)掌握的資料，平均計劃完成程度應(yīng)采用以計劃收入為權(quán)數(shù)的加權(quán)算術(shù)平均法來計算，見表5—7。28表5—7某飯店計劃完成資料及計算表平均計劃完成程度為：計劃完成（%）x計劃收入（萬元）f實際收入（萬元）xf

一部二部三部102107109300260240306.0278.2261.6合計800845.829

計劃完成數(shù)（%）x實際完成數(shù)（萬元）m計劃收入（萬元）m/x

一部二部三部102107109306.0278.2261.6300260240合計-----845.8800平均計劃完成程度為：表5—8某飯店實際完成資料及計算表30［例10］2010年某工業(yè)部門相關(guān)指標(biāo)數(shù)值，計算平均生產(chǎn)工人勞動生產(chǎn)率。資料見表5—9。表5—92010年某工業(yè)部門有關(guān)資料按勞動生產(chǎn)分組（萬元/人）工業(yè)增加值（萬元）2—44—66—88—10746060.78593670.911151155.531147773.57合計3638660.7931表5—102010年平均生產(chǎn)工人勞動生產(chǎn)率計算表將表中數(shù)值代入公式，可得平均生產(chǎn)工人勞動生產(chǎn)率為：按勞動生產(chǎn)分組（萬元/人）組中值（萬元/人）x工業(yè)增加值（萬元）m生產(chǎn)工人數(shù)（人）m/x2—44—66—88—103579746060.78593670.911151155.531147773.57248687118734164451127530合計—3638660.7965940232幾何平均數(shù)是若干個變量值的連乘積開數(shù)次方來計算的一種平均數(shù)。1、簡單幾何平均數(shù)是用n個變量相乘開n次方的算術(shù)平方根來計算的平均數(shù)。2、加權(quán)幾何平均數(shù)：

對于每個變量值的次數(shù)不同的分組資料，采用加權(quán)幾何平均數(shù)。

任務(wù)4：計算與應(yīng)用幾和平均數(shù)33[例11]某企業(yè)生產(chǎn)某種產(chǎn)品要經(jīng)過三道工序，第一道工序的產(chǎn)品合格率是92%，第二道工序的產(chǎn)品合格率是95%，第三道工序的產(chǎn)品合格率是90%，要求計算該產(chǎn)品三道工序的平均合格率。

[例12]某銀行各月的利率分配為：有4個月為3％，2個月為5％，2個月為8％，3個月為10％，1個月為15％。要求計算月平均利率。該例分兩步計算：

(1)先計算平均月本利率：＝＝1.0682(2)再計算月平均利率為：

G－1=106.82％－100％＝6.82％35一、中位數(shù)（一）中位數(shù)的概念及特點1、概念：將總體的各單位的標(biāo)志值按大小順序排列，處于中間位置的那個標(biāo)志值就是中位數(shù)，用符號Me表示。2、中位數(shù)的特點1）代表整個總體各單位標(biāo)志值的平均水平2）不受極端值的影響任務(wù)5：計算與應(yīng)用位置平均數(shù)361、根據(jù)未分組資料計算①當(dāng)n為奇數(shù)時，中位數(shù)就是居于中間位置的那個標(biāo)志值。［例13］設(shè)有9個工人生產(chǎn)某種產(chǎn)品，其日產(chǎn)量件數(shù)按大小順序排列為67778991014。中位數(shù)的位置：Me=8(件)（二）中位數(shù)的確定②當(dāng)n為偶數(shù)時，中位數(shù)是處于中間位置的那兩個標(biāo)志值的算術(shù)平均數(shù)。［例］設(shè)有10個工人生產(chǎn)某種產(chǎn)品，其日產(chǎn)量件數(shù)按大小順序排列為6777899101418。中位數(shù)位置中位數(shù)Me=(件)2、根據(jù)分組資料計算38（1）根據(jù)單項數(shù)列確定中位數(shù)[例14]某學(xué)院2009到2010學(xué)年共有30名同學(xué)獲得獎學(xué)金的分布情況下表表5—11學(xué)生獲獎學(xué)金分布情況及計算表獎學(xué)金金額（元/人）人數(shù)（人）人數(shù)累計3005008001000150036876合計30

向上累計（人）39172430—

向下累（人）302721136—

39中位數(shù)位置為：=（人）無論是向上累計法還是向下累計法，所選擇的累計人數(shù)數(shù)值都應(yīng)是含15人的最小數(shù)值。表中的向上累計17和向下累計21符合這一要求，它們對應(yīng)的都是第三組。即Me

=800元。40（2）根據(jù)組距數(shù)列確定中位數(shù)[例15]某企業(yè)職工按月收入總額分組情況如下表41

①用下限公式估算中位數(shù)的值：式中：——中位數(shù)L——中位數(shù)所在組下限——總體單位總數(shù)

——中位數(shù)所在組的次數(shù)

——中位數(shù)所在組之前的向上累計次數(shù)

d——中位數(shù)所在組的組距42將數(shù)值代入上公式計算出：(元)如果就表所給的資料，計算出向下累計戶數(shù)，①用上限公式估算中位數(shù)的值：式中：U——中位數(shù)所在組的上限

——中位數(shù)所在組之后的向下累計數(shù)43（一）眾數(shù)的概念與條件概念：眾數(shù)是總體中各單位出現(xiàn)次數(shù)最多的那個標(biāo)志值。適用條件：只有當(dāng)總體單位數(shù)比較多，且標(biāo)志值的分布具有明顯的集中趨勢時，眾數(shù)的確定才有意義。二、眾數(shù)44（二）眾數(shù)的確定

首先要將數(shù)據(jù)資料進(jìn)行分組，編制次數(shù)分布數(shù)列；然后，根據(jù)變量數(shù)列的不同種類采用不同的方法。1、由單項數(shù)列來確定眾數(shù)在單項式數(shù)列情況下，運用觀察發(fā)找出次數(shù)出現(xiàn)最多的那個標(biāo)志值即眾數(shù)452、由組距數(shù)列來計算眾數(shù)仍以表5—12為例，通過觀察，第四組的次數(shù)最多，故可確定眾數(shù)在第四組內(nèi)。利用差數(shù)法，可以推斷出眾數(shù)的近似值的公式為：46下限公式

式中：——眾數(shù)

L——眾數(shù)所在組的下限

d——眾數(shù)所在組的組距

——眾數(shù)組與前一組次數(shù)之差

——眾數(shù)組與后一組次數(shù)之差47上限公式

式中：u——眾數(shù)所在組的上限48算術(shù)平均數(shù)應(yīng)用最廣泛的一種平均數(shù)調(diào)和平均數(shù)算術(shù)平均數(shù)的轉(zhuǎn)化形式,這種平均數(shù)使用較少。而且，它要求每個原數(shù)據(jù)值都不能為零。幾何平均數(shù)用于計算相對數(shù)（如比率、速度等）的平均數(shù)中位數(shù)平均數(shù)的補充形式，兩者都是為避免原數(shù)據(jù)中極端值的影響而采用的方法，都不受每個原數(shù)據(jù)大小的影響，而只受位置和次數(shù)的影響。眾數(shù)根據(jù)同一資料分別計算和確定五種平均數(shù)，得到的結(jié)果一般是不同的。就算術(shù)平均數(shù)、調(diào)和平均數(shù)和幾何平均數(shù)來說，算術(shù)平均數(shù)最大，幾何平均數(shù)其次，調(diào)和平均數(shù)最小。導(dǎo)入案例16：某企業(yè)甲、乙、丙三個班組，每組都是五人，生產(chǎn)同一種產(chǎn)品，每人每日生產(chǎn)件數(shù)(單位：件)如下：甲組：73，74，75，76，77乙組：50，65，70，90，100丙組：75，75，75，75，75要比較三個班組的生產(chǎn)水平，需分別計算每人平均生產(chǎn)件數(shù)。＝＝75(件)

＝＝75(件)

＝＝75(件)計算結(jié)果表明，三組工人的平均水平都是75件,也就是說，三組工人的生產(chǎn)水平?jīng)]有差別。而事實上三組工人的生產(chǎn)水平差異是比較大的。反映離散趨勢的統(tǒng)計量–

標(biāo)志變異指標(biāo)如下如所示，三個不同的曲線表示三個不同的總體，其均值相同，但離中趨勢不同。因此，要說明平均水平代表性的大小，必須與變異指標(biāo)結(jié)合運用。51一、標(biāo)志變異指標(biāo)的意義（一）標(biāo)志變異指標(biāo)的含義

標(biāo)志變異指標(biāo)又稱標(biāo)志變動度，是用來說明總體各單位某一數(shù)量標(biāo)志值差異程度的的綜合指標(biāo)，反映標(biāo)志值分布的離中趨勢。一般而言，標(biāo)志變動度越大，平均數(shù)代表性越小，反之，平均數(shù)代表性越大。

任務(wù)6：計算與應(yīng)用標(biāo)志變異指標(biāo)52（二）標(biāo)志變異指標(biāo)的作用1、可以衡量平均指標(biāo)的代表性。2、標(biāo)志變異指標(biāo)可以說明社會經(jīng)濟(jì)現(xiàn)象變動過程的均衡性、節(jié)奏性和穩(wěn)定性。3、標(biāo)志變異指標(biāo)是統(tǒng)計分析的一個基本指標(biāo)。（三）常用標(biāo)志變異指標(biāo)全距平均差標(biāo)準(zhǔn)差標(biāo)志變動系數(shù)53（一）全距概念：全距又稱極差，它是總體各單位標(biāo)志值中最大值與最小值之差，用R表示，其公式表示為R=最大標(biāo)志值—最小標(biāo)志值計算導(dǎo)入案例的全距：甲組：73，74，75，76，77乙組：50，65，70，90，100丙組：75，75，75，75，75優(yōu)點：直觀、簡單、易于理解缺點：粗糙、不全面二、計算標(biāo)志變異指標(biāo)54概念：平均差是總體中各單位標(biāo)志值與其平均數(shù)離差絕對值的算術(shù)平均數(shù)，用符號“A.D”表示。計算方法：1、簡單平均差如掌握的資料未分組時可用簡單平均差來計算。其計算公式：導(dǎo)入案例16的平均差的計算比較見下一幻燈片（二）平均差55甲組工人日產(chǎn)量平均差

（件）乙組工人日產(chǎn)量平均差：（件）丙組工人日產(chǎn)量平均差：

（件）比較：說明丙組工人平均日產(chǎn)量的代表性最大，乙組工人的平均日產(chǎn)量的代表性最小，而甲組代表性介于中間。56如果掌握的資料分組時，應(yīng)采用加權(quán)平均法計算平均差。其計算公式為：2、加權(quán)平均差57[例19]以某企業(yè)某車間工人日產(chǎn)量資料為例，見表5—16

1、首先計算平均數(shù)如下：（件）582、計算平均差：（件）59（三）標(biāo)準(zhǔn)差概念：標(biāo)準(zhǔn)差是總體各單位標(biāo)志值對其算術(shù)平均數(shù)離差的平方的算術(shù)平均數(shù)的平方根。又稱均方差，用表示標(biāo)準(zhǔn)差計算方法：1、簡單標(biāo)準(zhǔn)差如掌握的資料未分組時可用簡單標(biāo)準(zhǔn)差來計算，其計算公式為：60[例20]以甲、乙兩班學(xué)員的年齡為例，計算其標(biāo)準(zhǔn)差61由表中資料計算：甲班標(biāo)準(zhǔn)差（歲）乙班標(biāo)準(zhǔn)差（歲）62如掌握的資料為分組資料時，可采用下面公式計算加權(quán)標(biāo)準(zhǔn)差：式中f是各組的權(quán)數(shù)，其他符號與簡單標(biāo)準(zhǔn)差計算式中的意義相同。2、加權(quán)標(biāo)準(zhǔn)差63[例21]對于分組資料：已知甲車間工人的平均日產(chǎn)量42千克，其標(biāo)準(zhǔn)差為5.6千克。乙車間工人的產(chǎn)量資料如下，計算乙車間工人的平均日產(chǎn)量及標(biāo)準(zhǔn)差。fxxf64乙車間平均產(chǎn)量：

（千克）乙車間標(biāo)準(zhǔn)差：

（千克）比較甲乙車間平均日產(chǎn)量的代表性：甲乙平均日產(chǎn)量相等，標(biāo)準(zhǔn)差分別：5.6千克，7.8千克說明乙車間工人平均日產(chǎn)量的代表性小于甲車間。65（四）標(biāo)準(zhǔn)差系數(shù)[例22]某車間某小組有6個工人，分別帶了1個徒工，其日產(chǎn)量（件）數(shù)列如下：甲組（6個工人組）：626570738