彈性力學(xué)課件

第一章緒論§1.1彈性力學(xué)的內(nèi)容§1.2彈性力學(xué)的幾個(gè)基本概念§1.3彈性力學(xué)的基本假定§1.1彈性力學(xué)的內(nèi)容1.彈性體力學(xué)：簡(jiǎn)稱彈性力學(xué)，有稱彈性理論（TheoryofElasticity)，研究彈性體由于受外力、邊界約束或溫度改變等原因而發(fā)生的應(yīng)力、形變和位移。研究對(duì)象：彈性體研究目標(biāo)：變形等效應(yīng)，即應(yīng)力、形變和位移。2.對(duì)彈性力學(xué)、材料力學(xué)和結(jié)構(gòu)力學(xué)作比較彈性力學(xué)的任務(wù)和材料力學(xué),結(jié)構(gòu)力學(xué)的任務(wù)一樣,是分析各種結(jié)構(gòu)物或其構(gòu)件在彈性階段的應(yīng)力和位移,校核它們是否具有所需的強(qiáng)度和剛度,并尋求或改進(jìn)它們的計(jì)算方法.(1)研究對(duì)象：材料力學(xué)主要研究桿件在拉壓、剪切、彎曲、扭轉(zhuǎn)作用下的應(yīng)力、形變和位移；結(jié)構(gòu)力學(xué)研究桿系結(jié)構(gòu)，如桁架、鋼架或兩者混合的構(gòu)架等；彈性力學(xué)研究各種形狀的彈性體，除桿件外（對(duì)桿件進(jìn)行進(jìn)一步的、較精確的分析），還研究平面體、空間體，板和殼等。(2)研究方法:彈性力學(xué)與材料力學(xué)有相似，又有一定區(qū)別。彈性力學(xué)：在彈性體區(qū)域內(nèi)必須嚴(yán)格考慮靜力學(xué)、幾何學(xué)和物理學(xué)三方面條件，在邊界上嚴(yán)格考慮受力條件或約束條件，由此建立微分方程和邊界條件進(jìn)行求解，得出精確解答。材料力學(xué)：雖然也考慮這幾個(gè)方面的的條件，但不是十分嚴(yán)格。一般地說(shuō),由于材料力學(xué)建立的是近似理論,因此得出的是近似的解答。但對(duì)于細(xì)長(zhǎng)的桿件結(jié)構(gòu)而言,材料力學(xué)力解答的精度是足夠的,符合工程的要求。彈性力學(xué):梁的深度并不遠(yuǎn)小于梁的跨度，而是同等大小的，那么，橫截面的正應(yīng)力并不按直線分布，而是按曲線變化的。qq例如：材料力學(xué):研究直梁在橫向載荷作用下的平面彎曲，引用了平面假設(shè)，結(jié)果：橫截面上的正應(yīng)力按直線分布。這時(shí)，材料力學(xué)中給出的最大正應(yīng)力將具有很大的誤差。結(jié)構(gòu)力學(xué)：研究桿系結(jié)構(gòu)，彈性力學(xué)通常并不研究桿件系統(tǒng)，但在20世紀(jì)50年代中葉發(fā)展起來(lái)的有限單元法中(基于彈性力學(xué)的理論)，把連續(xù)體劃分成有限大小的單元構(gòu)件，然后用結(jié)構(gòu)力學(xué)里的位移法、力法或混合法求解，更加顯示了彈性力學(xué)與結(jié)構(gòu)力學(xué)結(jié)合綜和應(yīng)用的良好效果。彈性力學(xué)在土木、水利、機(jī)械、航空等工程學(xué)科中占有重要的地位。許多非桿件形狀的結(jié)構(gòu)必須用彈性力學(xué)方法進(jìn)行分析。例如，大壩，橋梁等。xzyo§1.2彈性力學(xué)中的幾個(gè)基本概念彈性力學(xué)的基本概念:外力、應(yīng)力、形變和位移1.外力：體積力和表面力，簡(jiǎn)稱體力和面力體力：分布在物體體積內(nèi)的力，例如重力和慣性力。VPfFfxfyfzf:

極限矢量,即物體在P點(diǎn)所受體力的集度。方向就是F的極限方向。fx,fy,fz：體力分量,沿坐標(biāo)正方向?yàn)檎?，沿坐?biāo)負(fù)方向?yàn)樨?fù)。量綱：N/m3=kg?m/s2?m3=kg/m2?s2即：L-2MT-2fx,fy,fz：體力分量。xzyofSP面力：分布在物體表面的力，例如流體壓力和接觸力。Ffyfzfx量綱：N/m2=kg?m/s2?m2=kg/m?s2即：L-1MT-2f:

極限矢量,即物體在P點(diǎn)所受面力的集度。方向就是F的極限方向。沿坐標(biāo)正方向?yàn)檎?，沿坐?biāo)負(fù)方向?yàn)樨?fù)。符號(hào)規(guī)定:內(nèi)力：發(fā)生在物體內(nèi)部的力，即物體本身不同部分之間相互作用的力。xzyoPAτpFⅠⅡ2.應(yīng)力：?jiǎn)挝唤孛婷娣e的內(nèi)力.p:

極限矢量,即物體在截面mn上的、在P點(diǎn)的應(yīng)力。方向就是F的極限方向。量綱：N/m2=kg?m/s2?m2=kg/m?s2

即：L-1MT-2應(yīng)力分量：，ABCzyzxzyzyxyxyxzxyyzyxzyzzxxyxzxPyxzOPA=x,PB=y,PC=zx,y,

z,

xy,xz,yx,yz,zx,zy,正面：截面上的外法線沿坐標(biāo)軸的正方向正面上的應(yīng)力以沿坐標(biāo)軸的正方向?yàn)檎?，沿坐?biāo)軸的負(fù)方向?yàn)樨?fù)。負(fù)面：截面上的外法線沿坐標(biāo)軸的負(fù)方向負(fù)面上的應(yīng)力以沿坐標(biāo)軸的負(fù)方向?yàn)檎刈鴺?biāo)軸的正方向?yàn)樨?fù)。正應(yīng)力符號(hào)規(guī)定與材力同，切應(yīng)力與材力不相同。符號(hào)規(guī)定:（不考慮位置,把應(yīng)力當(dāng)作均勻應(yīng)力）ABCzyzxzyzyxyxyxzxbyyzyxzyzzxxyxzxaPyxzo連接前后兩面中心的直線ab作為矩軸，列出力矩平衡方程，得得:同理可得:切應(yīng)力互等定理：作用在兩個(gè)互相垂直的面上并且垂直于該兩面角線的切應(yīng)力是互等的(大小相等,正符號(hào)也相同)?？梢宰C明,已知x,y,

z,

yz,zx,xy,

就可求得該點(diǎn)任意截面上的,.因此，此六個(gè)應(yīng)力分量可以完全確定該點(diǎn)的應(yīng)力狀態(tài)。zyzxzyzyxyxyxzxyyzyxzyzzxxyxzxPyxzOABCABCzyzxzyzyxyxyxzxyyzyxzyzzxxyxzxPyxzO用各部分的長(zhǎng)度和角度來(lái)表示。PA=x,PB=y,PC=z線應(yīng)變：?jiǎn)挝婚L(zhǎng)度的伸縮或相對(duì)伸縮,亦稱正應(yīng)變.用表示切應(yīng)變：各線段之間的直角的改變.用表示3.形變：就是形狀的改變。ABCzyzxzyzyxyxyxzxyyzyxzyzzxxyxzxPyxzO

x:

x方向的線段PA的線應(yīng)變。xy:

y與x兩方向的線段PB與PC之間的直角的改變。

:

伸長(zhǎng)為正，縮短為負(fù)。量綱：1符號(hào)規(guī)定::

直角變小為正，變大為負(fù)。可以證明,已知x,

y,

z,

yz,

zx,

xy,

就可求得經(jīng)過(guò)該點(diǎn)任一線段上的線應(yīng)變.也可以求得經(jīng)過(guò)該點(diǎn)任意兩個(gè)線段之間的角度的改變。因此，此六個(gè)形變分量可以完全確定該點(diǎn)的形變狀態(tài)。4.位移：就是位置的移動(dòng)。任意一點(diǎn)的位移用它在x,y,z三軸上的投影u,v,w來(lái)表示.量綱：L符號(hào)規(guī)定:沿坐標(biāo)軸正方向?yàn)檎?沿坐標(biāo)軸負(fù)方向?yàn)樨?fù)，一般而論，彈性體內(nèi)任意一點(diǎn)的體力分量、面力分量、應(yīng)力分量、形變分量和位移分量都隨該點(diǎn)的位置而變，因而都是位置坐標(biāo)的函數(shù)?！?.3彈性力學(xué)中的基本假設(shè)在彈性力學(xué)的問(wèn)題里,通常是已知物體的邊界(形狀和大小),

物體的彈性常數(shù),物體所受的體力,物體邊界上的約束情況或面力,而應(yīng)力分量、形變分量和位移分量則是需要求解的未知量.一.研究方法1.考慮靜力學(xué)、幾何學(xué)和物理學(xué)三方面條件，分別建立三套方程。建立微分方程：根據(jù)微分體的平衡條件；建立幾何方程：根據(jù)微分線段上形變與位移之間的幾何關(guān)系；建立物理方程：根據(jù)應(yīng)力與形變之間的物理關(guān)系。2.在彈性體的邊界上，建立邊界條件。應(yīng)力邊界條件：在給定面力的邊界上，根據(jù)邊界上的微分體的平衡條件；位移邊界條件：在給定的約束邊界上，根據(jù)邊界上的約束條件。求解彈性力學(xué)問(wèn)題，即在邊界條件下根據(jù)平衡微分方程、幾何方程、物理方程求解應(yīng)力分量、形變分量和位移分量。為使問(wèn)題求解成為可能，通常必須按照所研究的物體性質(zhì)，以及求解問(wèn)題的范圍，略去一些影響很小的次要因素，作出若干基本假定。二.彈性力學(xué)的基本假定(3)均勻性—假定物體是均勻的.(1)連續(xù)性—假定物體是連續(xù)的.(4)各向同性—假定物體是各向同性的.符合以上四個(gè)假定的物體，就成為理想彈性體.(2)完全彈性—假定物體是完全彈性的.形變與引起變的應(yīng)力成正比,即兩者成線性關(guān)系.(5)小變形假定—假定位移和形變是微小的.它包含兩個(gè)含義：ⅰ假定應(yīng)變分量<<1.例如：普通梁中的正應(yīng)變<<10-3<<1,切應(yīng)變

<<1;ⅱ假定物體的位移<<物體尺寸.例如：梁中撓度<<

梁的高度這樣，在建立平衡微分方程時(shí)，可以用變形前的尺寸代替變形后的尺寸，從而使方程大為簡(jiǎn)化；在建立幾何方程時(shí)，由于<<1，可以在同一方程中只保留形變成分的一次冪，而略去二次冪及更高次冪，從而使幾何方程成為線性方程。例如：對(duì)于微小轉(zhuǎn)角a，對(duì)于微小正應(yīng)變e，這樣，彈性力學(xué)里的幾何方程和微分方程都簡(jiǎn)化為線性方程，彈性力學(xué)問(wèn)題都化為線性問(wèn)題，從而可以應(yīng)用疊加原理。第二章平面問(wèn)題的基本理論§2.1平面應(yīng)力問(wèn)題與平面應(yīng)變問(wèn)題§2.2平衡微分方程§2.3平面問(wèn)題中一點(diǎn)的應(yīng)力狀態(tài)§2.4幾何方程剛體位移§2.5物理方程§2.6邊界條件§2.7圣維南原理§2.8按位移求解平面問(wèn)題§2.9按應(yīng)力求解平面問(wèn)題相容方程§2.10常體力情況下的簡(jiǎn)化應(yīng)力函數(shù)§2.1平面應(yīng)力問(wèn)題與平面應(yīng)變問(wèn)題如果彈性體具有某種特殊的形狀，并且承受的是某些特殊的外力和約束，就可以把空間問(wèn)題簡(jiǎn)化為近似的平面問(wèn)題。一.第一種平面問(wèn)題—平面應(yīng)力問(wèn)題xyozyd/2d/2這類問(wèn)題的條件是：彈性體是等厚度(d)的薄板，體力、面力和約束都只有xy平面的量(fx,fy,fx,fy,u,v),都不沿z向變化；并且面力和約束只作用于板邊，在板面()上沒(méi)有任何面力和約束的作用。因板很薄，外力不沿厚度變化，應(yīng)力沿板厚連續(xù)，有由切應(yīng)力互等定理：只剩下平行于xy面的三個(gè)平面應(yīng)力分量，即

x,y,

xy=

yx所以這種問(wèn)題稱為平面應(yīng)力問(wèn)題。xyozyd/2d/21.設(shè)薄板的厚度為d,xy為中面,z軸垂直于xy面.因?yàn)榘迕嫔喜皇芰?，所?.由于物體形狀和外力、約束沿z向均不變化,故x,y,

xy

只是x,y的函數(shù),

ex,

ey,

gxy

也只是x,y的函數(shù),但位移與z有關(guān)。二.第二種平面問(wèn)題—平面應(yīng)變問(wèn)題oyx這類問(wèn)題的條件是：彈性體為常截面的很長(zhǎng)的柱體，體力、面力和約束條件與平面應(yīng)力問(wèn)題相似，只有xy平面的體力fx,fy；面力fx,fy和約束u,v的作用，且都不沿z向變化。§2.2平衡微分方程在彈性力學(xué)中分析問(wèn)題，要考慮靜力學(xué)、幾何學(xué)和物理學(xué)三方面條件，分別建立三套方程。首先考慮平面問(wèn)題的靜力學(xué)方面，建立微分體的平衡微分體方程—應(yīng)力分量與體力分量之間的關(guān)系式。zyd/2d/2oyxxyo從圖示薄板或柱形體中，取出一個(gè)微小的正六面體，邊長(zhǎng)為dx,dy,在z方向的尺寸取為1個(gè)單位尺寸。xyodxdy一般而論,應(yīng)力分量是位置坐標(biāo)x和y的函數(shù),因此,作用于左右兩對(duì)面或上下兩對(duì)面的應(yīng)力分量不完全相同,有微小的差。oxyx略去二階及二階以上的微量后得：例：設(shè)作用于左面的正應(yīng)力為x，則右面的正應(yīng)力由于x坐標(biāo)的改變而改變，可由泰勒展開(kāi)得：若x為常量,則,左右兩面都是x,即為均勻應(yīng)力。泰勒展開(kāi)式oxyx同理，設(shè)左面的切應(yīng)力為xy，則右面的切應(yīng)力為xyyyxCfxfy設(shè)上面的正應(yīng)力及切應(yīng)力為x,xy，則下面的正應(yīng)力其切應(yīng)力為因六面體是微小的,所以,各面的應(yīng)力可認(rèn)為是均勻分布,作用在對(duì)應(yīng)面中心.所受體力也可認(rèn)為是均勻分布,作用在對(duì)應(yīng)面中心。oCxyyyxxyxfxfy首先，以過(guò)中心C并平行于z軸，列出將上式除以dxdy,得令dx,dy趨近于零，得這正是切應(yīng)力互等定理。oCxyyyxxyxfxfy其次，以x軸為投影軸，列出將上式除以dxdy,得同樣，以y軸為投影軸，列出可得一個(gè)相似的微分方程于是得出應(yīng)力分量與體力分量之間的關(guān)系式—平面問(wèn)題中的平衡微分方程。這2個(gè)微分方程中包含3個(gè)未知函數(shù)x,y,xy=yx

,因此，決定應(yīng)力分量的問(wèn)題是超靜定問(wèn)題，必須考慮幾何方程和物理學(xué)方面的條件，才能解決問(wèn)題。對(duì)于平面應(yīng)變問(wèn)題,微分體一般還有作用于前后兩面的正應(yīng)力z,但不影響上述方程的建立,上述方程對(duì)于兩種平面問(wèn)題同樣適用。§2.3平面問(wèn)題中一點(diǎn)的應(yīng)力狀態(tài)OxyyyxxyxPBAsnnOxyyyxxyxyyxxxyP應(yīng)力狀態(tài)就是指一點(diǎn)處所有斜截面上的應(yīng)力的集合。假定已知任意點(diǎn)P處坐標(biāo)面的應(yīng)力分量x,y,xy=yx

,求經(jīng)過(guò)該點(diǎn)且平行于z軸的任意斜截面上的應(yīng)力。pypxpOxyyyxxyxnPBA用n代表斜截面AB的外法線方向，其方向余弦為設(shè)AB=ds,則PA=lds,PB=mds,

SPAB=ldsmds/2設(shè)垂直于平面的尺寸為1。由得其中fx為x方向得體力分量。將上式除以ds,然后命ds趨于0（AB→0）得同理由得一.求任意斜截面上的正應(yīng)力n

和切應(yīng)力n

snnpypxpOxyyyxxyxnPBA令斜截面得正應(yīng)力為n,切應(yīng)力為n.由px,py投影得可見(jiàn)，已知點(diǎn)P處的應(yīng)力分量x,y,xy=yx

,就可求得經(jīng)過(guò)該點(diǎn)的任意斜截面上的正應(yīng)力n和切應(yīng)力n。OxyyyxxyxyyxxxyP1212a1snnOxyyyxxyxPBA二.求主應(yīng)力及主應(yīng)力的方位—應(yīng)力主向應(yīng)力主面上=0，=p投影得代入得pypxp由上兩式分別解出m/l,得于是，有解得OxyyyxxyxyyxxxyP1212a1易得下面求主應(yīng)力方向即得即得設(shè)1與x軸的夾角為1設(shè)2與x軸的夾角為2OxyyyxxyxyyxxxyP1212a1由得于是有就是說(shuō)，1,2的方向互相垂直。從材料力學(xué)知識(shí)我們知道與應(yīng)力主向成450的斜面上?！?.4幾何方程剛體位移xyOPBAuP'A'B'同理PB的線應(yīng)變：PA的線應(yīng)變：一.幾何方程：任一點(diǎn)的微分線段上的形變分量與位移分量之間的關(guān)系式。v設(shè)同理PB的轉(zhuǎn)角：PA與PB之間的轉(zhuǎn)角：xyOPBAuP'A'B'vPA的轉(zhuǎn)角：幾何方程：上列幾何方程對(duì)兩種平面問(wèn)題同樣適用。二.形變與位移之間的關(guān)系1.如果物體的位移確定，則形變完全確定。從物理概念:當(dāng)物理變形后各點(diǎn)的位置完全確定,任一微分線段上的形變（伸縮、轉(zhuǎn)角等）也就完全確定了.從數(shù)學(xué)概念:當(dāng)位移函數(shù)確定時(shí)，其導(dǎo)數(shù)也就確定了。2.當(dāng)物體的形變分量確定時(shí)，位移分量不完全確定。從物理概念:在物體內(nèi)形變不變的條件下,物體還可以做剛體運(yùn)動(dòng)—平動(dòng)和轉(zhuǎn)動(dòng),即還有剛體運(yùn)動(dòng)的人任意性.從數(shù)學(xué)概念:由形變分量求位移分量是一個(gè)積分的過(guò)程，在常微分中，會(huì)出現(xiàn)一個(gè)任意常數(shù)；而在偏微分中，要出現(xiàn)一個(gè)與積分變量無(wú)關(guān)的任意函數(shù)。這些任意函數(shù)是未定項(xiàng)，這些未定項(xiàng)正是剛體平移和剛體轉(zhuǎn)動(dòng)量。若假設(shè)求出相應(yīng)的位移分量。代入幾何方程：將前二式對(duì)x及y積分，得F1及f2為任意函數(shù)。代入幾何方程中的第三式，得方程左邊是y的函數(shù)，只隨y而變；而右邊是x的函數(shù)，只隨x而變。因此，只可能兩邊都等于同一常數(shù)。于是得積分得其中u0及v0為任意常數(shù)。代入得這就是“形變?yōu)榱恪睍r(shí)的位移，也就是所謂“與形變無(wú)關(guān)的位移”，因此必然是剛體位移。下面根據(jù)平面運(yùn)動(dòng)的原理加以證明。u0及v0分別為物體沿x軸及y軸方向的剛體位移，而為物體繞z軸得剛體轉(zhuǎn)動(dòng)。PxyxyOzyx當(dāng)只有u0不為零時(shí)，物體內(nèi)任一點(diǎn)位移分量.物體的所有各點(diǎn)只沿x方向移動(dòng)同樣距離u0，所以u(píng)0代表物體沿x方向的剛體位移。坐標(biāo)為(x,y)的任一點(diǎn)P沿y方向移動(dòng)x,沿x負(fù)方向移動(dòng)y,

合成位移為同樣,v0代表物體沿y方向的剛體位移。當(dāng)只有不為零時(shí),物體內(nèi)任一點(diǎn)位移分量PxyxyOzyx可見(jiàn),合成位移的方向與徑向線段OP垂直,也就是沿著切向.因OP線上所有點(diǎn)移動(dòng)方向都沿著切線,且移動(dòng)的距離為,可見(jiàn)代表物體繞z軸的剛體轉(zhuǎn)動(dòng)。既然物體在形變?yōu)榱銜r(shí)可以有剛體位移，那么，當(dāng)物體發(fā)生一定形變時(shí)，由于約束條件不同，可能有不同的剛體位移，為了完全確定位移，就必須有適當(dāng)?shù)膭傮w約束條件?！?.5物理方程物理方程:應(yīng)力分量和形變分量之間的物理關(guān)系式.在理想彈性體（滿足連續(xù)性，完全彈性，均勻性和各向同性）中，物理方程就是材料力學(xué)中學(xué)過(guò)的胡克定律：物理方程有兩種形式：1.=f()

此式是用應(yīng)力表示應(yīng)變，其中應(yīng)力取為基本未知數(shù)，用于按應(yīng)力求解。2.

=f()

此式是用應(yīng)變表示應(yīng)力，其中應(yīng)變?nèi)榛疚粗獢?shù)，用于按位移求解。胡克定律的一般形式：E是彈性模量，G是切變模量，又稱剛度模量，稱為泊松系數(shù)，或泊松比。一.平面應(yīng)力問(wèn)題的物理方程將代入上式得獨(dú)立的物理方程另外：因z可由x,y求出,故不作為獨(dú)立的未知函數(shù)。二.平面應(yīng)變問(wèn)題的物理方程將代入上式得獨(dú)立的物理方程另外：因z可由x,y求出,故不作為獨(dú)立的未知函數(shù)。與平面應(yīng)力問(wèn)題的物理方程對(duì)比，只需將E換為，

換為對(duì)于兩類平面問(wèn)題，三套方程除了物理方程中的系數(shù)須變換外,其他平衡方程和幾何方程是完全相同的.三套方程中包含8個(gè)未知函數(shù)：x,y,xy=yx,x,y,xy及u,v.還需考慮邊界條件,才能求出這些未知函數(shù).§2.6邊界條件邊界條件表示在邊界上位移與約束，或應(yīng)力與面力之間的關(guān)系式。它分為位移邊界條件、應(yīng)力邊界條件和混合邊界條件。一.位移邊界條件設(shè)在部分邊界上給定了約束位移分量u(s)和v(s),則對(duì)于邊界上的每一點(diǎn)，位移函數(shù)u,v應(yīng)滿足條件（在su上）其中(u)s和(v)s是位移的邊界值，u(s)和v(s)在邊界上是坐標(biāo)的已知函數(shù)。位移邊界條件注意1.上式要求在s上任一點(diǎn)位移分量必須等于對(duì)應(yīng)的約束位移分量。（在su上）2.上式是函數(shù)方程，而不是簡(jiǎn)單的代數(shù)方程或數(shù)值方程。位移邊界條件實(shí)質(zhì)上是變形連續(xù)條件在約束邊界上的表達(dá)式。設(shè)n為斜截面的外法線方向，其方向余弦二.應(yīng)力邊界條件設(shè)在s部分邊界上給定了面力分量fx(s)和fy(s),則可以由邊界上任一點(diǎn)微分體的平衡條件，導(dǎo)出應(yīng)力與面力之間的關(guān)系式。在邊界上任一點(diǎn)P取出一個(gè)微分體,斜面AB就是邊界面,x,y,xy為應(yīng)力分量邊界值。oxyyyxxyxPBAfxfy邊界為斜截面時(shí)n設(shè)AB=ds，

z方向厚度為1由平衡條件，得出微分體的應(yīng)力分量與邊界面上的面力之間的關(guān)系：（在s上）其中在邊界上是坐標(biāo)的已知函數(shù)，l,m

是邊界面外法線的方向余弦。fx(s)和fy(s),oxyyyxxyxPBAfxfyn除以ds，

并令ds→0，得同理：于是，得到應(yīng)力邊界條件3.在導(dǎo)出應(yīng)力邊界條件時(shí),只考慮到面力(一階微量),不需考慮二階微量—體力。4.應(yīng)力邊界條件是邊界點(diǎn)上微分體的平衡條件，也屬于靜力邊界條件。（在s上）注意1.應(yīng)力邊界條件表示邊界s上任一點(diǎn)的應(yīng)力和面力之間的關(guān)系。也是函數(shù)方程，在s上每一點(diǎn)都應(yīng)滿足。2.上式中的面力、應(yīng)力都有不同的正負(fù)符號(hào)規(guī)定，且分別作用于通過(guò)邊界點(diǎn)的不同面上。2.邊界為坐標(biāo)面時(shí)若x=a

為正x

面，則有若x=b為負(fù)x面，則有oxyyyxxyxPBAfxfyaoxyyyxxyxPBAfxfyb正負(fù)x面上的面力分量一般為隨y而變化的函數(shù)。l=－1,m=0l=1,m=0（在s上）3.應(yīng)力邊界條件的兩種表達(dá)方式(1)在邊界點(diǎn)取出一個(gè)微分體，考慮其平衡條件，得出（在s上）(2)在同一邊界面上，應(yīng)力分量的邊界值就等于對(duì)應(yīng)的面力分量。應(yīng)力分量的絕對(duì)值等于對(duì)應(yīng)的面力分量的絕對(duì)值，面力分量的方向就是應(yīng)力分量的方向。即數(shù)值相同，方向一致。例如：若邊界面y=c,d分別為正、負(fù)坐標(biāo)面在斜截面上：px,py為斜截面應(yīng)力oxyyyxxyxPfxfydyyxfyoxyyxxyxPfxcyxyyoxyyyxxyxPfxfypxpy三.混合邊界條件物體的一部分邊界具有已知位移，因而具有位移邊界條件，如（在su上）另一部分邊界則具有已知面力，因而具有應(yīng)力邊界條件（在s上）在同一邊界上還可能出現(xiàn)混合邊界條件,即兩個(gè)邊界條件中一個(gè)是位移邊界條件,另一個(gè)則是應(yīng)力邊界條件.oxyx方向y方向x方向y方向oxy§2.7圣維南原理及其應(yīng)用求解彈性力學(xué)問(wèn)題時(shí)，應(yīng)力分量、形變分量和位移分量必須滿足三套方程，還必須滿足邊界條件，但要使邊界條件得到完全滿足很困難。圣維南原理為簡(jiǎn)化局部邊界的應(yīng)力邊界條件提供了有效的方法。圣維南原理：如果把物體的一小部分邊界上的面力,變換為分布不同但靜力等效的面力(主矢量相同，對(duì)于同一點(diǎn)的主矩也相同),那么,近處的應(yīng)力分布將有明顯的改變,但是遠(yuǎn)處所受的影響可以不計(jì)。1.圣維南原理只能應(yīng)用于一小部分邊界上，又稱為局部邊界，小邊界或次要邊界。一.圣維南原理應(yīng)用的條件所謂“近處”,根據(jù)經(jīng)驗(yàn),一般地講大約是變換面力的邊界的1~2倍范圍內(nèi),此范圍之外可認(rèn)為是“遠(yuǎn)處”。如果將面力的等效變換范圍應(yīng)用到大邊界(又稱為主要邊界)上,則必然使整個(gè)的應(yīng)力狀態(tài)都改變了。因此,不適用圣維南原理。FF/2F/2FFFq2.小邊界的面力變換為靜力等效的面力.3.經(jīng)變換后，只對(duì)近處的應(yīng)力分布有明顯的影響，但遠(yuǎn)處的應(yīng)力幾乎不受影響。FF/2F/2FFFF/2F/2F/2F/2F/2F/2(a)(b)(c)例如：如將一端或兩端的F變換為靜力等效的力,如圖(b),(c),(d).則只有虛線劃出的部分應(yīng)力分布有顯著改變,其余部分所受影響可不計(jì)。(d)F/AF/A圖(d)所示情況，由于面力連續(xù)均勻分布，邊界條件簡(jiǎn)單，應(yīng)力很容易求解并且解答很簡(jiǎn)單。而其他三種情況，由于面力不連續(xù)分布，甚至不知其分布方式，應(yīng)力難以求解。根據(jù)圣維南原理，可將(d)的應(yīng)力解答應(yīng)用于其他三種情況。應(yīng)用圣維南原理的條件是滿足靜力等效。即使物體一小部分邊界上的位移邊界條件不能滿足時(shí)，仍可以應(yīng)用圣維南原理。F/AF/AF(e)(d)圖(e)右端是固定端，有位移邊界條件(u)s

=u=0和(v)s

=v=0,把(d)的解答應(yīng)用于這一情況時(shí)，位移邊界條件不能滿足,但右端的面力靜力等效于過(guò)形心的力F(與左邊的力F平衡),滿足圣維南原理的條件,(d)的解答仍可應(yīng)用于這一情況時(shí),只是在靠近兩端處有顯著的誤差,而在較遠(yuǎn)處誤差可不計(jì)。如果物體一小部分邊界上的面力是一個(gè)平衡力系（主矢量和主矩都等于零），那么，這個(gè)面力就只會(huì)使近處產(chǎn)生顯著的應(yīng)力，而遠(yuǎn)處的應(yīng)力可以不計(jì)。這是因?yàn)橹魇噶亢椭骶囟嫉扔诹愕拿媪?，與無(wú)面力狀態(tài)是等效的，只在近處產(chǎn)生顯著的應(yīng)力。例如：FFFF4.圣維南原理還可以推廣到下列情形xyh/2h/2llO

在應(yīng)力邊界條件上應(yīng)用圣維南原理,就是在邊界上,將精確的應(yīng)力邊界條件代之以主矢相同,對(duì)同一點(diǎn)的主矩也相同的靜力等效條件。二.在局部邊界上應(yīng)用圣維南原理例如，厚度d=1的梁，h<<l,即左右端是小邊界.嚴(yán)格的邊界條件要求xxyfxfyxyydyxfxfy此式要求在邊界x=±l上的每一點(diǎn)（每一y值），應(yīng)力分量與對(duì)應(yīng)的面力分量必須處處相等。嚴(yán)格的邊界條件要求xyh/2h/2llOxxyfxfyxyydyxfxfy這種嚴(yán)格的邊界條件是很難滿足的。但h<<l,即左右端是小邊界，可以應(yīng)用圣維南原理，用靜力等效條件代替上式：在左右端小邊界上使應(yīng)力的主矢量等于面力的主矢量，應(yīng)力的對(duì)某點(diǎn)主矩等于面力對(duì)同一點(diǎn)的主矩（數(shù)值相同，方向一致）。因面力是已知的,所以面力的主矢量和主矩可求,因此,應(yīng)力的主矢量和主矩的絕對(duì)值應(yīng)分別等于面力的主矢量和主矩的絕對(duì)值,方向與面力的主矢量和主矩一致.表示為：xyh/2h/2llOxxyfxfyxyydyxfxfy如果在邊界上直接給出了面力的主矢量和主矩，就可以代替右邊各項(xiàng)。FSFNM將與相比，可以得出：前式是精確的，而后式是近似的；前式有兩個(gè)條件，一般是函數(shù)方程；而后式有三個(gè)積分條件，是代數(shù)方程。

在求解時(shí)，前式難以滿足，后式易滿足。在求解彈性力學(xué)平面問(wèn)題時(shí)，常在小邊界上用近似的三個(gè)積分邊界條件代替嚴(yán)格的邊界條件，使問(wèn)題的求解大大簡(jiǎn)化?！?.8按位移求解平面問(wèn)題我們已經(jīng)建立了彈性力學(xué)平面問(wèn)題的基本方程和邊界條件求解彈性力學(xué)的平面問(wèn)題，即求解：3個(gè)應(yīng)力分量x,y,xy=yx,3個(gè)應(yīng)變分量x,y,xy及2個(gè)位移分量u,v的未知函數(shù)，這些函數(shù)在區(qū)域內(nèi)必須滿足基本方程，在邊界上必須滿足邊界條件。由于未知函數(shù)及應(yīng)滿足的方程數(shù)目較多，問(wèn)題難以求解。為此，通常采用類似代數(shù)方程中的消元法進(jìn)行求解。按應(yīng)力求解的方法，又稱為應(yīng)力法。它是以x,y,xy=yx為基本未知函數(shù)，從方程和邊界條件中消去u,v和x,y,xy，導(dǎo)出只含x,y,xy=yx的方程和相應(yīng)的邊界條件，并求解出x,y,xy=yx

，再求出x,y,xy和u,v。此法類似于結(jié)構(gòu)力學(xué)中的力法。按位移求解的方法，又稱為位移法。它是以u(píng),v為基本未知函數(shù)，從方程和邊界條件中消去x,y,xy=yx和x,y,xy，導(dǎo)出只含u,v的方程和相應(yīng)的邊界條件，并求解出u,v，再求出x,y,xy和x,y,xy=yx。此法類似于結(jié)構(gòu)力學(xué)中的位移法。一.按位移求解平面應(yīng)力問(wèn)題的方程和邊界條件1.取u,v為基本未知函數(shù)由幾何方程看出，x,y,xy就是用u,v表示的。從物理方程求出x,y,xy=yx：2.用u,v表示x,y,xy

3.用u,v表示x,y,xy=yx再將幾何方程代入，得到用u,v表示的x,y,xy=yx4.求解位移分量的方程將上式代入平衡微分方程，得：這是按位移求解平面問(wèn)題的基本微分方程，也就是用位移表示的平衡微分方程。5.求解位移分量的邊界條件將代入化簡(jiǎn)，得在S上這是用位移表示的應(yīng)力邊界條件。這是按位移求解平面問(wèn)題時(shí)所用的應(yīng)力邊界條件。位移邊界條件仍為在Su上總結(jié)起來(lái)，按位移求解平面應(yīng)力問(wèn)題時(shí)，要使得位移分量在區(qū)域內(nèi)滿足微分方程并在邊界上滿足位移邊界條件或應(yīng)力邊界條件。在S上求出位移分量后，即可用求得形變分量。在Su上用求得應(yīng)力分量。二.按位移求解平面應(yīng)變問(wèn)題的方程和邊界條件平面應(yīng)變問(wèn)題與平面應(yīng)力問(wèn)題相比，除物理方程不同外，其它方程和邊界條件都相同。只要將上述各方程和邊界條件中的E換為，m

換為，就可以得出平面應(yīng)變問(wèn)題按位移求解的方程和邊界條件。如果已求得平面應(yīng)力問(wèn)題的解答，只需將E,m作同樣的轉(zhuǎn)換，就可得出對(duì)應(yīng)的平面應(yīng)變問(wèn)題的解答。在位移法中，是求解位移分量u和v的必須滿足的條件，，這些條件也是校核u和v是否正確的條件，對(duì)已求得的解答，可以利用這些條件進(jìn)行校核。三.位移法優(yōu)缺點(diǎn)1.優(yōu)點(diǎn)是能適應(yīng)各種邊界條件問(wèn)題的求解，它是彈性力學(xué)的一種基本解法，它在是彈性力學(xué)的各種近似數(shù)值解法有著廣泛的應(yīng)用。2.缺點(diǎn)是，從較復(fù)雜的方程在S上具體求解位移函數(shù)時(shí)，往往很困難，已得出的函數(shù)解答很少。四.例題hoxyrg上端固定，下端自由，受自重體力

fx=0,fy=rg，試用位移法求解此問(wèn)題。解：為簡(jiǎn)化，設(shè)u=0,v=v(y),泊松比m=0,代入第一式自然滿足，第二式成為由此解出將代入oxyrg上下邊的邊界條件分別要求hoxyrg將代入得B=0,得由此得再代入§2.9按應(yīng)力求解平面問(wèn)題相容方程按應(yīng)力求解平面問(wèn)題時(shí)，應(yīng)力分量x,

y,

xy取為基本未知函數(shù)，其它未知函數(shù)中x,y,

xy可以簡(jiǎn)單地用x,

y,

xy表示，即物理方程。要將位移分量u,v用應(yīng)力分量x,

y,

xy表示，需將物理方程代入幾何方程，然后通過(guò)積分運(yùn)算求出位移分量u,v.這種表達(dá)較為復(fù)雜,且其中包含了待定的積分項(xiàng).從而使用應(yīng)力分量x,

y,

xy表示十分復(fù)雜，且很難求解。所以，按應(yīng)力求解函數(shù)解答時(shí)，通常只求解全部為應(yīng)力邊界條件的問(wèn)題。（s=s,

su=0)平衡微分方程中應(yīng)力分量有3個(gè)—x,

y,

xy，而方程只有2個(gè)，因此需從幾何方程和物理方程中消去位移分量，導(dǎo)出只含應(yīng)力分量的補(bǔ)充方程。一.推導(dǎo)按應(yīng)力求解平面問(wèn)題的方程1.取x,

y,

xy為基本未知函數(shù)2.導(dǎo)出求解應(yīng)力的基本方程由于位移分量只在幾何方程中存在，先從幾何方程中消去位移分量。將ex對(duì)y的二階導(dǎo)數(shù)和ey對(duì)x的二階導(dǎo)數(shù)相加，得等式右邊，于是，得這個(gè)關(guān)系式稱為形變協(xié)調(diào)方程或相容方程。從相容方程看出，連續(xù)體的形變分量x,y,

xy不是相互獨(dú)立的，它們必須滿足相容方程，才能保證位移分量u,v的存在。從而得例如：取顯然不滿足相容方程的形變分量由幾何方程中的前兩式，得將gxy=Cxy

代入幾何方程的第三式，得顯然，式(a)和式(b)不能相容，互相矛盾。故函數(shù)x,y,

xy不能任意選取，必須滿足相容方程。現(xiàn)在用物理方程將相容方程中的形變分量消去，使相容方程只包含應(yīng)力分量x,

y,

xy對(duì)于平面應(yīng)力問(wèn)題將代入，得利用平衡微分方程消去txy。將平衡微分方程寫成將二式分別對(duì)x及y求導(dǎo),然后相加,并注意txy=tyx,得代入得到用應(yīng)力表示的平面應(yīng)力問(wèn)題的相容方程將用代替，得平面應(yīng)變問(wèn)題的相容方程現(xiàn)在，我們得到了求解應(yīng)力的基本方程

3.應(yīng)力邊界條件（s=s,

su=0)在s上其中假設(shè)只求解全部為應(yīng)力邊界條件的問(wèn)題。二.按應(yīng)力求解平面問(wèn)題時(shí)，應(yīng)力分量x,

y,

xy必須滿足的條件1.在區(qū)域A內(nèi)的平衡方程2.在區(qū)域A內(nèi)的相容方程3.在邊界上的應(yīng)力邊界條件其中假設(shè)只求解全部為應(yīng)力邊界條件的問(wèn)題。在s上4.對(duì)于多連體，還需考慮位移的單值條件（只有一個(gè)連續(xù)邊界的物體—單連體）。此四條件,是求解應(yīng)力、校核應(yīng)力是否正確的全部條件。對(duì)已有的解答，可以用這些條件進(jìn)行校核?！?.10常體力情況下的簡(jiǎn)化應(yīng)力函數(shù)很多工程問(wèn)題中，體力是常量，即體力分量fx和fy不隨坐標(biāo)x和y而變。例如，重力、常加速度下平動(dòng)的慣性力，都是常量的體力。常體力下，平面應(yīng)力問(wèn)題和平面應(yīng)變問(wèn)題的相容方程的右邊都為零拉普拉斯算子常體力情況下，sx+sy應(yīng)滿足拉普拉斯方程，即調(diào)和方程。sx+sy應(yīng)當(dāng)是調(diào)和函數(shù)。一.常體力情況下方程的簡(jiǎn)化注意，體力為常量時(shí)，三方程都不含彈性常數(shù)，因而得出的應(yīng)力分量必然與彈性常數(shù)無(wú)關(guān)。由此得出：在s上1.對(duì)于不同材料，x,

y,

xy的理論解答相同；用試驗(yàn)方法求應(yīng)力時(shí)，可用不同的模型材料代替。2.對(duì)兩種平面問(wèn)題，應(yīng)力分量x,

y,

xy的解答相同，即理論解可互相通用；用模型試驗(yàn)時(shí)，可用平面應(yīng)力問(wèn)題的模型代替平面應(yīng)變問(wèn)題的模型，使模型的制作和加載大大簡(jiǎn)化?？梢?jiàn)，在體力為常量情況下，按應(yīng)力求解應(yīng)力邊界問(wèn)題時(shí)，應(yīng)力分量應(yīng)滿足在s上1.先考察平衡微分方程二.應(yīng)力函數(shù)

特解可以取為也可取為這是一非齊次微分方程組，它的解答是，任一特解和齊次微分方程的通解之和。對(duì)應(yīng)的齊次微分方程為現(xiàn)求其通解，根據(jù)偏微分方程理論，知若設(shè)函數(shù)f=f(x,y),則有假如函數(shù)C和D滿足那么，一定存在某一函數(shù)f,使得將齊次微分方程改為根據(jù)上述微分方程的理論，一定存在某一個(gè)函數(shù)A，使得也一定存在某一個(gè)函數(shù)B，使得由此得即因而，有一定存在某一個(gè)函數(shù)F(x,y)，使得將代入；代入；代入，得將此通解與任一組特解疊加，即得平衡微分方程的全解：2.應(yīng)力函數(shù)應(yīng)滿足的條件稱為平面問(wèn)題的應(yīng)力函數(shù)，又稱艾里應(yīng)力函數(shù)。但它是未知函數(shù)。此解答不僅滿足了平衡方程，而且使平面問(wèn)題的求解大為簡(jiǎn)化：從求解3個(gè)應(yīng)力未知函數(shù)，變?yōu)榍蠼?個(gè)應(yīng)力函數(shù)

。(1)應(yīng)力函數(shù)應(yīng)滿足相容方程上式所表示的應(yīng)力分量應(yīng)滿足相容方程將上式代入相容方程，得fx,fy為常量,于是上式簡(jiǎn)化為將此式展開(kāi)成為這就是用應(yīng)力函數(shù)表示的相容方程。由此可見(jiàn)，應(yīng)力函數(shù)應(yīng)滿足重調(diào)和方程，也就是它應(yīng)是重調(diào)和函數(shù)。此方程可表示成(2)應(yīng)力函數(shù)應(yīng)滿足應(yīng)力邊界條件（假設(shè)全部為應(yīng)力邊界條件）在s上一般仍用此式表示。綜上所述，在常體力情況下，按應(yīng)力求解平面問(wèn)題，可歸納為求解一個(gè)應(yīng)力函數(shù)，它必須滿足1.在區(qū)域內(nèi)的相容方程2.在邊界上的應(yīng)力邊界條件(假設(shè)全部為應(yīng)力邊界條件)3.在多連體中，還須滿足位移單值條件。在s上求出應(yīng)力函數(shù)后，便可求出應(yīng)力分量，然后再求應(yīng)變分量和位移分量。例題

例1：試列出下列問(wèn)題的邊界條件。q1FFsMOxylh/2h/2(l>>h,=1)qF30oOxyb/2hgyb/2(h>>b,=1)(a)(b)解：對(duì)(a)問(wèn)題，在主要邊界y=±h/2，應(yīng)精確滿足下列邊界條件q1FFsMOxylh/2h/2(l>>h,=1)(a)在小邊界(次要邊界)x=0,應(yīng)用圣維南原理,列出三個(gè)積分近似邊界條件,當(dāng)板厚=1時(shí),在小邊界x=l處，當(dāng)平衡微分方程和其它各邊界都已滿足條件下，三個(gè)積分的邊界條件必然滿足，可以不必校核。qF30oOxyb/2hgyb/2(h>>b,=1)(b)對(duì)(b)問(wèn)題,在主要邊界y=0,b,應(yīng)精確滿足下列邊界條件在小邊界y=0,列出三個(gè)積分近似邊界條件,當(dāng)板厚=1時(shí),注意，在列力矩條件時(shí)，兩邊均是對(duì)原點(diǎn)O

的力矩來(lái)計(jì)算的。對(duì)于y=h的小邊界條件可以不必校核。FOxylh/2h/2(l>>h,=1)A例2：厚度=1的懸臂梁，在自由端受集中力F的作用。已求得其位移的解答是試檢查此組位移是否是該問(wèn)題的解答。解：此組位移若為此問(wèn)題的解答，則應(yīng)滿足下列條件1.在區(qū)域內(nèi)，滿足用位移表示的平衡微分方程在Su上2.在所有受面力的邊界s上,滿足應(yīng)力邊界條件。3.在su滿足位移邊界條件其中在小邊界上可以應(yīng)用圣維南原理，即用三個(gè)積分的邊界條件來(lái)代替。本題只需校核在邊界x=l的剛體約束條件A點(diǎn)(x=l及y=0)，例3：試考慮下列平面問(wèn)題的應(yīng)變分量是否存在，

x=Axy,y=By3,xy=C－Dy3

x=Ay2,y=Bx2y,xy=Cxy

x=y=0,xy=Cxy解：應(yīng)變分量存在的必要條件是滿足形變協(xié)調(diào)條件（相容方程）即(a)相容(b)須滿足B=0，2A=C(c)不相容只有C=0，

x=y=xy=

0,

例4：在無(wú)體力的情況下，試考慮下列應(yīng)力分量是否可能在彈性體中存在。

x=Ax+By,y=Cx+Dy,xy=Ex+Fy；

x=A(x2+y2),y=B(x2

+y2),,xy=Cxy解：彈性體中的應(yīng)力，在單連體中必須滿足在s上

此組應(yīng)力滿足相容方程，為滿足平衡微分方程，必須A=－F,D=－E，此外，還須滿足應(yīng)力邊界條件。(b)為滿足相容方程，其系數(shù)必須滿足A+B=0為滿足平衡微分方程,其系數(shù)必須滿足A=B=－C/2上兩式是矛盾的，故此組應(yīng)力不存在。(b)x=A(x2+y2),y=B(x2

+y2),,xy=Cxy例5：若f(x,y)是平面調(diào)和函數(shù)，即滿足拉普拉斯方程試證明函數(shù)f,xf,yf,(x2+y2)f都滿足重調(diào)和方程，因而都可以作為應(yīng)力函數(shù)使用。證明：上述函數(shù)作為應(yīng)力函數(shù)，均能滿足相容方程（重調(diào)和方程）例6：圖示梁受到均布載荷的作用，試用下列應(yīng)力表達(dá)式求解其應(yīng)力。qxylh/2h/2(l>>h,=1)qlO解：在s上本題是按應(yīng)力求解，因而，應(yīng)力分量必須滿足將應(yīng)力分量代入平衡微分方程和相容方程，兩者都能滿足。再校核邊界條件，在主要邊界上qxylh/2h/2(l>>h,=1)qlO將C1,C2代入應(yīng)力分量，得qxylh/2h/2(l>>h,=1)qlO再將應(yīng)力表達(dá)式代入次要邊界條件：可見(jiàn)，在次要邊界上的積分邊界條件均能滿足。qxylh/2h/2(l>>h,=1)qlO例7：材料力學(xué)中，當(dāng)矩形截面梁(厚度=1)受任意橫向載荷q(x)作用而彎曲時(shí)，彎曲正應(yīng)力公式為q(x)xylh/2h/2(l>>h,=1)O試由平衡微分方程(不計(jì)體力)導(dǎo)出切應(yīng)力xy和擠壓應(yīng)力x的公式(提示:注意積分后得出的任意函數(shù),可由梁的上下邊界條件來(lái)確定.)解：不計(jì)體力,將代入平衡微分方程第一式得q(x)xylh/2h/2(l>>h,=1)O兩邊對(duì)y積分，得再由上下邊界條件得其中將代入平衡微分方程第二式代入上式,得得q(x)xylh/2h/2(l>>h,=1)O兩邊對(duì)y積分，得再由上下邊界條件得由同樣得代入得上述解答已滿足平衡微分方程及y=±h/2的邊界條件,但一般不滿足相容方程,且尚未校核左右端的小邊界條件。2.當(dāng)q為常數(shù)時(shí),試檢驗(yàn)應(yīng)力分量是否滿足相容方程？試在x中加一項(xiàng)對(duì)平衡沒(méi)有影響的函數(shù)f

(y),再由相容方程確定f

(y),并校核梁的左右邊界條件。xylh/2h/2(l>>h,=1)Oq若q=常數(shù)，則xylh/2h/2(l>>h,=1)Oq于是代入相容方程，為滿足相容方程，令此時(shí)，和仍滿足平衡微分方程，再代入相容方程。xylh/2h/2(l>>h,=1)Oq積分得由x=l次要邊界條件得B=0；滿足。得由此得經(jīng)檢驗(yàn)，在小邊界x=0,l上剪力邊界條件亦滿足。第三章平面問(wèn)題的直角坐標(biāo)解答§3.1逆解法和半逆解法多項(xiàng)式解答§3.2矩形梁的純彎曲§3.3位移分量的求出§3.4簡(jiǎn)支梁受均布載荷§3.5楔形體受重力和液體壓力§3.1逆解法和半逆解法多項(xiàng)式解答在常體力情況下，按應(yīng)力求解平面問(wèn)題，可歸納為求解一個(gè)應(yīng)力函數(shù)，它必須滿足1.在區(qū)域內(nèi)的相容方程2.在邊界上的應(yīng)力邊界條件(假設(shè)全部為應(yīng)力邊界條件)3.在多連體中，還須滿足位移單值條件。在s上求出應(yīng)力函數(shù)后，便可求出應(yīng)力分量.然后再求應(yīng)變分量和位移分量。由于相容方程是偏微分方程，它的通解不能寫成有限項(xiàng)數(shù)的形式，一般不能直接求解問(wèn)題。只能采取逆解法和半逆解法。所謂逆解法，就是(1)先設(shè)定滿足的應(yīng)力函數(shù)；(2)根據(jù)求出應(yīng)力分量；(3)在給定的邊界形狀下，根據(jù)應(yīng)力邊界條件，由應(yīng)力反推出相應(yīng)的面力，即反過(guò)來(lái)得知所選取的應(yīng)力函數(shù)可以解決的問(wèn)題。（可解決的正是上述面力對(duì)應(yīng)的問(wèn)題）一.逆解法下面用逆解法求解幾個(gè)簡(jiǎn)單問(wèn)題的解答。假定體力可忽略不計(jì)(fx=fy=0)，應(yīng)力函數(shù)取為多項(xiàng)式。1.取應(yīng)力函數(shù)為一次式=a+bx+cy應(yīng)力函數(shù)

滿足相容方程由得應(yīng)力分量不論彈性體為何形狀，也不論坐標(biāo)軸如何選擇，由應(yīng)力邊界條件總是得出一次式=a+bx+cy對(duì)應(yīng)無(wú)體力，無(wú)面力，無(wú)應(yīng)力的狀態(tài)。把應(yīng)力函數(shù)加上一個(gè)線性函數(shù)，不影響應(yīng)力。2.取應(yīng)力函數(shù)為二次式=ax2+bxy+cy2應(yīng)力函數(shù)

滿足相容方程現(xiàn)分別考察每一項(xiàng)所能解決的問(wèn)題。對(duì)應(yīng)=ax2，應(yīng)力分量是(a)2axyO2a如圖矩形板和坐標(biāo)軸，當(dāng)板內(nèi)應(yīng)力為x=0,y

=2a,xy=yx=0,由應(yīng)力邊界條件可知，左右兩邊沒(méi)有面力，上下兩邊有均布面力2a?？梢?jiàn)，應(yīng)力函數(shù)=ax2

能解決矩形板在

y方向受均布力的問(wèn)題。b(b)bxyObb(c)2cxyO2c如圖矩形板和坐標(biāo)軸，當(dāng)板內(nèi)應(yīng)力為x=0,y

=0,xy=yx=－b,由應(yīng)力邊界條件可知，左右上下兩邊分別有與面相切的面力b?？梢?jiàn)，應(yīng)力函數(shù)=bxy

能解決矩形板受均布剪力的問(wèn)題。對(duì)應(yīng)=bxy，應(yīng)力分量是對(duì)應(yīng)=cy2，應(yīng)力分量是應(yīng)力函數(shù)=cy2

能解決矩形板在x方向受均布力的問(wèn)題。=ax2

+bxy+cy2

表示常量的正應(yīng)力和切應(yīng)力。4.如果取應(yīng)力函數(shù)為四次或四次以上的多項(xiàng)式，則其中的系數(shù)必須滿足一定的條件。應(yīng)力函數(shù)

滿足相容方程對(duì)應(yīng)=ay3，應(yīng)力分量是Oyx對(duì)于圖示矩形板和坐標(biāo)軸當(dāng)時(shí)，上下兩邊沒(méi)有面力；左右兩邊沒(méi)有y方向面力,只有按直線變化的水平面力，而每一邊的水平面力合成為一個(gè)力偶?？梢?jiàn)，應(yīng)力函數(shù)=ay3

能解決矩形梁純彎曲問(wèn)題。3.取應(yīng)力函數(shù)為三次式=ay3Oyxh/2h/2ll>>h5.例題例1：圖示矩形長(zhǎng)梁,l>>h,試考察應(yīng)力函數(shù)

能解決什么樣的受力問(wèn)題。解：按逆解法求解1.將代入相容方程，滿足相容方程2.將代入得應(yīng)力分量3.由邊界形狀和應(yīng)力分量反推邊界上的面力在主要邊界y=±

h/2

上因此，在上下邊界上無(wú)面力，即在次要邊界x=0,l

上x=0(負(fù)x面),x=l(正x面),xyxyxFFFl此應(yīng)力函數(shù)可以解決懸臂梁在x=0處受集中力作用的問(wèn)題。二.半逆解法半逆解法是針對(duì)實(shí)際問(wèn)題來(lái)求解的，半逆解法的具體步驟如下：逆解法沒(méi)有針對(duì)具體問(wèn)題進(jìn)行求解,而是找出滿足相容方程的應(yīng)力函數(shù),來(lái)考察它們能解決什么問(wèn)題。這種方法可以積累彈性力學(xué)的基本解答。1.根據(jù)彈性受力情況和邊界條件等，假設(shè)部分或全部應(yīng)力分量的函數(shù)形式；2.根據(jù)由應(yīng)力推出應(yīng)力函數(shù)的形式；3.將代入相容方程，求出的具體表達(dá)式；4.將代入，求出對(duì)應(yīng)的應(yīng)力分量。5.將應(yīng)力代入邊界條件在s上考察它們是否滿足全部邊界條件(對(duì)于多連體，還須滿足位移單值條件)。如果所有的條件均能滿足，上述解答就是正確的解答。否則，就要修改假設(shè)，重新進(jìn)行求解?！?.2矩形梁的純彎曲Oyxh/2h/2yMMh1xl設(shè)有矩形截面的長(zhǎng)梁(梁的長(zhǎng)度l>>

深度h)，它的寬度遠(yuǎn)小于深度和長(zhǎng)度(近似的平面應(yīng)力情況)，或遠(yuǎn)大于深度和長(zhǎng)度(近似的平面應(yīng)變情況),兩端受相反的力偶而彎曲，體力不計(jì)。（取=1）相應(yīng)的應(yīng)力分量為矩形截面梁純彎曲問(wèn)題，可借助由逆解法得出的應(yīng)力函數(shù)=ay3。顯然，滿足相容方程Oyxh/2h/2yMMh1xl1.考察上下兩個(gè)主要邊界的邊界條件上下邊都沒(méi)有面力，要求此邊界條件滿足。2.考察左右端次要邊界的邊界條件左右兩端沒(méi)有y向的面力，分別要求此邊界條件也滿足。x=0,l為小邊界，可以用圣維南原理，將關(guān)于x的邊界條件用主矢量和主矩的條件代替。這些應(yīng)力分量是否能滿足邊界條件？如能滿足，a取什么值？h1yOxh/2h/2yMMxl將代入上兩式前一式總能滿足，后一式要求代入得注意到得應(yīng)力分量與材力結(jié)果相同?！?.3位移分量的求出以純彎曲矩形梁為例，說(shuō)明如何由應(yīng)力分量求出位移分量。（求解步驟）h1yOxh/2h/2MMl將代入得形變分量1.將應(yīng)力分量分量代入物理方程2.將形變分量代入幾何方程,再積分求位移將代入得位移分量h1yOxh/2h/2MMl將前二式積分，得f1,f2為待定函數(shù)，可通過(guò)第三式求出。將上式代入，得移項(xiàng)，得等式左邊是y的函數(shù)，而右邊是x的函數(shù)，因此，只可能兩邊都等于同一常數(shù)。于是有h1yOxh/2h/2MMl積分，得代入得位移分量其中常數(shù),u0,v0表示剛體位移，由約束條件求得。h1yOxh/2h/2MMl3.由約束條件確定常數(shù),u0,v0如圖簡(jiǎn)支梁，約束條件是MMyOxlA代入求出

,u0,v0，就得到簡(jiǎn)支梁的位移分量有梁軸的撓度方程為與材料力學(xué)的結(jié)果相同。MMyOxl如圖懸臂梁，x=l處，對(duì)于h/2

y

h/2,要求u=0,v=0在多項(xiàng)式解答中這條件是無(wú)法滿足的。在工程實(shí)際中這種完全固定的約束也是不大能實(shí)現(xiàn)的。現(xiàn)在，假定固定端的中點(diǎn)不移動(dòng)，該點(diǎn)的水平線段也不轉(zhuǎn)動(dòng)。這樣，約束條件是代入有求解得得出懸臂梁的位移分量MMyOxl梁軸的撓度方程為與材料力學(xué)的結(jié)果相同。對(duì)于平面應(yīng)變情況下的梁，須把E換為，把換為。h1yOxh/2h/2MMl由可見(jiàn)，不論約束情況如何(不論,u0,v0取何值)鉛直線段的轉(zhuǎn)角都是同一橫截界面上x是常數(shù)，因而是常量。

xyOPBAP'A'B'于是可見(jiàn)，同一截面上的各鉛直線段的轉(zhuǎn)角相同，說(shuō)明橫截面保持為平面。4.對(duì)結(jié)果的討論由可見(jiàn)，梁的各縱向纖維的曲率為這是材料力學(xué)中求梁的撓度時(shí)所用的基本公式。§3.4簡(jiǎn)支梁受均布載荷設(shè)有矩形截面梁，深度為h，長(zhǎng)度為2l,，體力可以不計(jì)，受均布載荷q，由兩端的反力ql維持平衡。(=1)xylh/2h/2Oqlqlql此問(wèn)題用半逆解法，步驟如下：1.假設(shè)應(yīng)力分量的函數(shù)形式由材料力學(xué)知：彎應(yīng)力x主要是由彎矩M引起的，切應(yīng)力xy主要是由剪力Fs引起的，擠壓應(yīng)力y主要是由直接載荷q引起的。因q不隨x變，因而可以假設(shè)y不隨x變，也就是假設(shè)y只是y的函數(shù)：y=f(y)3.由相容方程求解應(yīng)力函數(shù)將

y=f(y)代入對(duì)x積分，得其中f(y),f1(y),f2(y)都是待定的y的函數(shù)。2.推求應(yīng)力函數(shù)的形式將代入得有這是x的二次方程，但相容方程要求它有無(wú)數(shù)多的根(全梁的x都應(yīng)該滿足它),可見(jiàn)它的系數(shù)和自由項(xiàng)都必須等于零，即前兩個(gè)方程要求這里f1(y)的常數(shù)項(xiàng)被略去，這是因?yàn)檫@一項(xiàng)在的表達(dá)式中成為x的一次項(xiàng)，不影響應(yīng)力分量。第三個(gè)方程要求即其中的一次項(xiàng)和常數(shù)項(xiàng)都被略去，因?yàn)樗鼈儾挥绊憫?yīng)力分量。將代入得應(yīng)力函數(shù)4.由應(yīng)力函數(shù)求應(yīng)力分量將代入xylh/2h/2Oqlqlql注意到y(tǒng)z面是梁和載荷的對(duì)稱面,所以,應(yīng)力分布應(yīng)對(duì)稱于yz面。這樣,x,y應(yīng)該是x的偶函數(shù),而

xy應(yīng)該是x的奇函數(shù)。E=F=G=0于是，有5.考察邊界條件（確定待定系數(shù))通常梁的跨度遠(yuǎn)大于梁的深度，梁的上下兩個(gè)邊界是主要邊界。在主要邊界上應(yīng)力邊界條件必須完全滿足；次要邊界上如果邊界條件不能完全滿足，可引用圣維南原理用三個(gè)積分條件來(lái)代替。xylh/2h/2Oqlqlql先來(lái)考慮上下兩個(gè)主要邊界條件：將y,xy代入主要邊界條件，得xylh/2h/2Oqlqlql聯(lián)立求解，得將上述結(jié)果代入右邊三式，得xylh/2h/2Oqlqlql現(xiàn)在考慮左右兩邊的次要邊界條件；由于問(wèn)題的對(duì)稱性，只需考慮其中一邊，如右邊。邊界條件：當(dāng)x=l時(shí)，h/2yh/2,x=0,這是不可能滿足的，除非q=H=K=0xylh/2h/2Oqlqlql應(yīng)用圣維南原理，用三個(gè)積分條件代替邊界條件。將右邊sx,txy代入上式由前兩式得：第三式自然滿足。xylh/2h/2Oqlqlql代入并整理，得各應(yīng)力沿y方向分布h/2h/2xyxy6.比較彈性力學(xué)和材料力學(xué)關(guān)于簡(jiǎn)支梁受均布載荷的解答取梁寬d=1

時(shí)，I=h3/12,S=h2/8y2/2xylh/2h/2Oqlqlql代入右式：xylh/2h/2Oqlqlql長(zhǎng)度遠(yuǎn)大于深度(l>>h)的長(zhǎng)梁，應(yīng)力各項(xiàng)的數(shù)量級(jí)：彎應(yīng)力x

的第一項(xiàng)與同階大小,為主要應(yīng)力。與材料力學(xué)解答相同。第二項(xiàng)是材料力學(xué)沒(méi)有的，是修正項(xiàng)，但只是q級(jí)。切應(yīng)力xy

與同階大小,為次要應(yīng)力。與材料力學(xué)解答完全相同。擠壓應(yīng)力y

的第一項(xiàng)與q

同階大小,為更次要應(yīng)力。材料力學(xué)中不考慮。xylh/2h/2Oqlqlql由此可見(jiàn)，彈性力學(xué)與材料力學(xué)解答的區(qū)別，只反映在最小的q量級(jí)上，而,,量級(jí)的值完全相同。因此,對(duì)于長(zhǎng)梁(長(zhǎng)度：深度>4),材料力學(xué)的解答雖是近似的,但已足夠精確,符合工程上的要求。7.彈性力學(xué)和材料力學(xué)解法上的區(qū)別彈性力學(xué)的解法：嚴(yán)格滿足區(qū)域內(nèi)的平衡微分方程，幾何方程和物體方程，以及邊界上的全部邊界條件(小邊界上盡管應(yīng)用了圣維南原理，應(yīng)力邊界條件是近似滿足的，但只影響小邊界附近的局部區(qū)域)。材料力學(xué)的解方法:在許多方面都作了近似處理，只能得到近似解答。例如，在幾何條件中，材料力學(xué)引用了平面截面假設(shè)，由此導(dǎo)出位移，形變和應(yīng)力沿橫向均為線性分布；在平衡條件中，材料力學(xué)考慮的是有限大部分的物體(hdxb)的平衡條件，而不是微分體的平衡條件；材料力學(xué)中忽略了sy的影響，并且在主要邊界上沒(méi)有嚴(yán)格考慮邊界條件。這些都使得材料力學(xué)的解答成為近似解答。一般地說(shuō)，材料料力學(xué)的解法只適用于解決桿狀結(jié)構(gòu)的問(wèn)題，對(duì)于非桿狀結(jié)構(gòu)的問(wèn)題只能用彈性力學(xué)的解法來(lái)求解?！?.5簡(jiǎn)支梁受均布載荷xyO1g2g設(shè)有楔形體,下端無(wú)限長(zhǎng),受到重力和液體壓力,楔形體密度為1,液體密度為2

,試求應(yīng)力分量。解：采用半逆解法1.應(yīng)用量綱分析方法假設(shè)應(yīng)力分量的函數(shù)形式(1)因應(yīng)力與1g和2g成正比，而應(yīng)力量綱（L-1MT-2)只比1g和2g量綱(L-2MT-2)高一次冪的長(zhǎng)度量綱，因此，應(yīng)力只能是1g和2g