數(shù)值分析Newton-Cotes公式

第二節(jié)Newton-Cotes公式4.2.1牛頓—柯特斯(Newton-Cotes)求積公式中,當(dāng)所取節(jié)點(diǎn)是等距時(shí)稱為牛頓-柯特斯公式。在插值求積公式其中插值多項(xiàng)式

求積系數(shù)

公式的推導(dǎo)設(shè)將積分區(qū)間[a,b]n等分，求積節(jié)點(diǎn)為那么，

令x=a+th，則t=(x-a)/h，且由可知．所以記：Cotes系數(shù)且則有：Newton-Cotes求積公式Cotes系數(shù)性質(zhì)幾種常用的Newton-Cotes求積公式梯形公式，辛普生公式，Cotes公式1.n=1時(shí)的梯形求積公式按Newton-Cotes系數(shù)公式計(jì)算得

abab故求積系數(shù)A0,A1為記求積公式為-----梯形求積公式容易驗(yàn)證梯形公式的代數(shù)精確度的次數(shù)為1.在[a,b]上積分，可得考慮梯形求積公式的誤差估計(jì)假定

用推廣的積分中值定理，將過(guò)(a,f(a)),(b,f(b))點(diǎn)的線性插值的余項(xiàng)

2.

n=2時(shí)的Simpson（拋物線）求積公式按Newton-Cotes系數(shù)公式可以計(jì)算出

ab容易驗(yàn)證Simpson求積公式具有３次的代數(shù)精確度．余項(xiàng)公式為：所以上述公式稱為Simpson求積公式。3.n=4時(shí)的Cotes求積公式按Newton-Cotes系數(shù)公式可以計(jì)算出由此可得Cotes求積公式：ab余項(xiàng)公式為：n階Newton-Cotes求積公式當(dāng)n為偶數(shù)時(shí)代數(shù)精度為n+1x00.250.50.751f(x)10.98961580.9588510.90885160.8414709例：分別用梯形公式，辛普生公式和柯特斯公式計(jì)算準(zhǔn)確值為：0.9460831解：利用梯形公式可得：x00.250.50.751f(x)10.98961580.9588510.90885160.8414709利用辛普生公式得：利用柯特斯公式得：例:用辛普森公式和柯特斯公式計(jì)算定積分的近似值,并估計(jì)其誤差(計(jì)算結(jié)果取5位小數(shù))解:辛普森公式由辛普森公式余項(xiàng)知其誤差為由于

柯特斯公式

誤差為該定積分的準(zhǔn)確值

這個(gè)例子告訴我們，對(duì)于同一個(gè)積分，當(dāng)n≥2時(shí)，公式卻是精確的，這是由于辛普森公式具有三次代數(shù)精度，柯特斯公式具有五次代數(shù)精度，它們對(duì)被積函數(shù)為三次多項(xiàng)式當(dāng)然是精確成立的。

誤差與區(qū)間長(zhǎng)度有關(guān)，區(qū)間長(zhǎng)度越長(zhǎng)，誤差越大。利用積分區(qū)間可加性，將較長(zhǎng)區(qū)間分成若干個(gè)小區(qū)間，在每個(gè)小區(qū)間上分別應(yīng)用Newton-Cotes求積公式，再相加，即可得到復(fù)化的積分公式。4.2.2復(fù)化求積公式及其收斂性常用復(fù)化求積公式

復(fù)化梯形公式2.復(fù)化辛普生公式3.復(fù)化柯特斯公式

1.復(fù)化梯形公式復(fù)化梯形公式復(fù)化梯形公式（單擊播放）2.復(fù)化辛普生（拋物線）公式復(fù)化辛普生（拋物線）公式

復(fù)化辛普生（拋物線）（單擊播放）3.復(fù)化柯特斯公式

仿照同樣的方法可得復(fù)化柯特斯公式：例：分別用復(fù)化的梯形公式，辛普生公式和柯特斯公式計(jì)算準(zhǔn)確值為：0.9460831解：利用復(fù)化梯形公式可得：x00.1250.250.3750.50.6250.750.8751f(x)10.99739780.98961580.97672670.9588510.93615560.90885160.87719250.8414709準(zhǔn)確值為：0.9460831利用復(fù)化辛普生公式得：x00.1250.250.3750.50.6250.750.8751f(x)10.99739780.98961580.97672670.9588510.93615560.90885160.87719250.8414709利用復(fù)化柯特斯公式得：x00.1250.250.3750.50.6250.750.8751f(x)10.99739780.98961580.97672670.9588510.93615560.90885160.87719250.8414709準(zhǔn)確值為：0.9460831

比較上面復(fù)化求積公式結(jié)果，它們都需要提供9個(gè)點(diǎn)上的函數(shù)值，計(jì)算量基本相同，然而精度卻差別很大，同積分的準(zhǔn)確值比較，復(fù)化梯形法的結(jié)果只有三位有效數(shù)字，而復(fù)化辛普生法的結(jié)果卻有六位有效數(shù)字。下面我們考察復(fù)化求積公式的截?cái)嗾`差。4復(fù)化求積公式的截?cái)嗾`差：定理1：例用復(fù)化梯形公式計(jì)算定積分問(wèn)區(qū)間[0,1]應(yīng)分多少等份,才能使誤差不超過(guò)