數(shù)值計算方法51

第五章常微分方程數(shù)值解計算機數(shù)值方法1第五章常微分方程數(shù)值解5.1引言(基本求解公式)5.2Runge-Kutta法5.3微分方程組和高階方程解法簡介2本章要點：本章作業(yè)本章主要研究基于微積分數(shù)值解法的常微分方程數(shù)值解，主要方法有線性單步法中的Euler方法、Simpson方法、Runge-Kutta方法高階微分方程和微分方程組的數(shù)值解法P208.1.3.4.7.8.10.11.12.3本章應(yīng)用題:驅(qū)逐艦在濃霧中搜索潛艇，其時發(fā)現(xiàn)潛艇在3英里的海面上，但潛艇立即下潛，驅(qū)逐艦速度兩倍于潛艇，且已知潛艇下潛后即以全速朝某一未知方向直線前進，問驅(qū)逐艦應(yīng)采取什么路線才能保證它會開過潛艇的上方以投放深水炸彈？提示取極坐標，并以發(fā)現(xiàn)潛艇時潛艇的位置為原點———反潛45.1引言(基本求解公式)在工程和科學(xué)技術(shù)的實際問題中，常需要求解微分方程只有簡單的和典型的微分方程可以求出解析解而在實際問題中的微分方程往往無法求出解析解在高等數(shù)學(xué)中我們見過以下常微分方程：-----------(1)-----------(2)5-----------(3)(1),(2)式稱為初值問題,(3)式稱為邊值問題-----------(4)另外,在實際應(yīng)用中還經(jīng)常需要求解常微分方程組:本課程主要研究問題(1)的數(shù)值解法,對(2)~(4)只作簡單介紹我們首先介紹初值問題(1)的解存在的條件6定理1.

對于問題(1),要求它的數(shù)值解7-----------(1)從(1)的表達式可以看出,求它的數(shù)值解的關(guān)鍵在于而數(shù)值微分或數(shù)值積分問題我們都已經(jīng)學(xué)習(xí)過8一、基于數(shù)值微分的常微分方程數(shù)值解法-----------(1)對于初值問題(1)在下列子區(qū)間上分別應(yīng)用兩點數(shù)值微分公式為了討論方便,假設(shè)以下節(jié)點為等距節(jié)點9--------(5)(一)Euler公式10由(5)式每組的前一半可得--------(6)--------(7)記其中(6)和(7)式稱為求解初值問題(1)的(前進)Euler公式和誤差項11由(5)式每組的后一半可得記其中--------(8)--------(9)(8)和(9)式稱為求解初值問題(1)的后退Euler公式和誤差項12從(6)或(8)式不難看出,這種類型的方法稱為單步格式或單步法Euler方法的幾何體現(xiàn):前進Euler公式后退Euler公式13Euler1.m例1.解:由前進Euler公式14得依此類推,有01.00000.10001.10000.20001.19180.30001.27740.40001.35820.50001.43510.60001.50900.70001.58030.80001.64980.90001.71781.00001.784815由于后退Euler公式是隱形公式,計算例1將很麻煩事實上大多數(shù)情況下用后退Euler公式都較困難就可得到新的Euler公式--------(10)此方法稱為預(yù)測—校正系統(tǒng)16用Euler公式的預(yù)測——校正系統(tǒng)求解例1.例2.解:由(10)式,有Euler1.m17依此類推,得01.00000.10001.09180.20001.17630.30001.25460.40001.32780.50001.39640.60001.46090.70001.52160.80001.57860.90001.63211.00001.6819比較不同的結(jié)果18(二)常微分方程數(shù)值解的截斷誤差評價一個微分方程求解公式的標準當然是其精度而在求解公式中誤差項19定義1.因為一般情況下,求解公式的每一步都存在誤差,因此有定義2.定義3.2021Euler公式的局部截斷誤差為具有1階精度后退Euler公式的局部截斷誤差為也具有1階精度顯然一個求解公式的精度越高,計算解的精確性也就越好從前面的分析可知,Euler法的精度并不算高因此有必要找尋精度更高的求解公式22二、基于數(shù)值積分的常微分方程數(shù)值解法-----------(1)對于初值問題-----------(11)23矩形求積公式梯形求積公式,誤差為Simpson求積公式,誤差為將以上求積公式代入(11)式,并加以處理就可得到相對應(yīng)的求解公式24(一)矩形求解公式由可得令-----------(12)(12)式稱為矩形公式(矩形法)實際上就是Euler求解公式25(二)梯形求解公式由可得令------(13)稱(13)式為梯形求解公式(梯形法)注意:(13)式是隱形公式26則梯形公式第k步的截斷誤差為顯然梯形法具有二階精度由于梯形公式為隱形公式,一般情況下不易顯化27------(14)以上公式稱為改進的Euler求解公式(改進Euler法),即------(15)28例3.用Euler公式、梯形公式和改進Euler公式求解初值問題,并比較結(jié)果的精度解:(1)Euler公式29(2)梯形公式3031(3)改進Euler公式xy01.00000.10.90500.20.81900.30.74120.40.67080.50.6071使用MATLAB軟件Euler2.m結(jié)果為320.90500.81900.74120.67080.6071Euler公式梯形公式改進Euler公式結(jié)果比較Euler法的精度不如梯形公式3334(三)Simpson求解公式將Simpson求積公式代入（11）簡化后,得------(16)35由Simpson求積公式