ch7-FIR濾波器設計課件

數(shù)字信號處理

第七章FIR濾波器設計授課教師：胡雙紅聯(lián)系電話：1FIR濾波器設計數(shù)字濾波器預備知識線性相位窗口設計法加窗對頻率響應的影響頻率采樣設計法2第一次課數(shù)字濾波器預備知識線性相位3數(shù)字頻率w的概念定義：

其中：Ω=2πf為模擬角頻率T:抽樣時間間隔，fs:抽樣頻率

所以數(shù)字濾波器設計必須給出抽樣頻率數(shù)字頻率的2π等價于模擬抽樣頻率Ωs=2πfs由于濾波器的頻率特性具有2π的周期性和對稱性，其頻率特性只限于|w|<ws/2=π的范圍56數(shù)字濾波器的技術指標幅度要求：絕對指標要求：對幅度響應|H(ejw)|給出要求相對指標要求：以分貝dB形式給出7絕對指標(2)頻帶[0,wp]稱為通帶passband,δp是在理想通帶響應上可以接受的容度（或波紋）頻帶[ws,pi]稱為阻帶stopband,

δs

是相應的阻帶容度（或波紋）頻帶[wp,ws]稱為過渡帶transitionband,在這個頻帶內(nèi)幅度響應不作要求9二、相對指標要求(1)010相對指標(2)Rp:以dB計的通帶波紋As:以dB計的阻帶衰減兩種指標之間的關系：

Rp

和As的計算見P214ex7.1&ex7.211為什么只討論低通濾波器(LPF)上述指標都是針對低通濾波器的其他類型的頻率選擇性濾波器(如高通或帶通)也能給出類似要求濾波器設計最重要的參數(shù)是頻帶容限和頻帶邊緣頻率13FIR濾波器的優(yōu)點相位響應可以真正線性系統(tǒng)絕對穩(wěn)定，設計相對容易高效實現(xiàn)可用DFT實現(xiàn)實際應用時，我們感興趣的是線性相位的FIR濾波器14線性相位響應的優(yōu)點設計問題中僅有實數(shù)運算時延固定，沒有時延失真對長為M的濾波器，運算次數(shù)只有M/2量級15線性相位FIR濾波器的h(n)設h(n)是長為M的脈沖響應，0≤n≤M-1，則在原點z=0處有(M-1)階極點，在z平面其它處有M-1個零點，頻率響應函數(shù)可寫為17線性相位的脈沖響應形狀(1)因為頻率響應函數(shù)具有線性相位這里是恒定相位延遲(

constantphasedelay)，由第6章知，h(n)是對稱脈沖響應因此，h(n)關于對稱，根據(jù)M的奇偶有兩種對稱類型18線性相位的脈沖響應形狀(1)19線性相位的脈沖響應形狀(2)21對應頻率響應特性H(ejw)將M為奇和偶數(shù)結(jié)合對稱和反對稱的情況，得到四種類型的線性FIR濾波器對應每種類型其頻率響應特性都有獨特性質(zhì)，令其中，Hr(w)是連續(xù)的振幅響應函數(shù)，可正可負的實函數(shù)相位響應是一個不連續(xù)函數(shù)22例：設脈沖響應為h(n)={1，1，1，1}，求出并畫出頻率響應解：頻率響應函數(shù)為由方程可得：23I種線性相位：對稱脈沖響應，M為奇數(shù)這種情況下，beta=0，alpha=(M-1)/2是整數(shù)h(n)=h(M-1-n)，0≤n≤M-1將兩式比較可得：25II種線性相位:對稱脈沖響應，M為偶數(shù)這種情況下，beta=0，alpha=(M-1)/2不是整數(shù)h(n)=h(M-1-n)，0≤n≤M-1注意：Hr(pi)=0,因此不能采用這種類型設高通or帶阻濾波器26III種線性相位：反對稱脈沖響應，M為奇數(shù)這種情況下，beta=pi/2，alpha=(M-1)/2是整數(shù)h(n)=-h(M-1-n)，0≤n≤M-1Hr(0)=Hr(pi)=0,因此不適合設計低通或高通濾波器exp(jpi/2)=j，非常適合設計希爾伯特變換器和微分器27MATLAB實現(xiàn)Hr_type1:求I種線性相位的Hr(w)調(diào)用格式：[Hr,w,a,L]=Hr_type1(h)Hr_type2:求II種線性相位的Hr(w)調(diào)用格式：[Hr,w,b,L]=Hr_type2(h)Hr_type3:求III種線性相位的Hr(w)調(diào)用格式：[Hr,w,c,L]=Hr_type3(h)Hr_type4:求IV種線性相位的Hr(w)調(diào)用格式：[Hr,w,d,L]=Hr_type4(h)29小結(jié)了解了線性相位FIR濾波器的各種特性，便可根據(jù)實際需要選擇合適的FIR濾波器，同時設計時要遵循有關約束條件。如：第3、4種情況，對于任何頻率都有固定的π/2相移，一般微分器及90°相移器采用這兩種情況，而選頻性濾波器則用第1、2種情況。30(1)設計線性相位的低通DigtalFilter從幅度特性考慮，只能選擇第1種或第2種第一種：第二種31(2)設計線性相位的高通DF從幅度特性看，可用第一種或第四種第一種第四種32(3)設計線性相位的帶阻DF從幅度特性考慮，只能選擇第一種33(4)設計線性相位的帶通DF從幅度特性考慮，可以選擇任一種34線性相位濾波器的零點位置對實序列而言，零點是共軛出現(xiàn)的;對對稱序列而言，零點是鏡像出現(xiàn)的;令q=z–1,f(q)的系數(shù)與f(z)剛好倒序.由于h(n)的系數(shù)是對成的，倒序并不會改變系數(shù).如果zk是多項式的根，則pk=zk-1也是.35對稱系數(shù)多項式的鏡像零點如果zk滿足多項式:h0+h1zk-1+h2zk-2+..+hM-2zk-M+2+hM-1zk-M+1=0此時hM-1=h0,

hM-2=h1,…那么rk=zk

–1同樣會滿足方程h0+h1rk+h2rk2+…+h1rkM-2+h0rkM-1=h0zkM-1+h1zkM-2+…+h2zk2+h1zk+h0=zkM-1(h0+h1zk-1+…+h1zk-M+2+h0zk–M+1)=0361/z11/conj(z1)z1conj(z1)37特殊的如果零點為實數(shù)，則只有兩個零點：z2,1/z2如果零點在單位圓上且為虛數(shù)，則只有兩個零點z3,z3*如果零點在單位圓上且為實數(shù)，則只有一個零點z438第二次課窗口設計法加窗對頻率特性的影響常用窗函數(shù)窗口設計法例題397.2窗口設計法設計思想設計步驟理想低通濾波器如何截斷窗口設計法40設計思想時域逼近使所設計濾波器的h(n)逼近理想濾波器的hd(n)41設計步驟根據(jù)濾波器類型得理想濾波器Hd(ejw)求IDTFT得hd(n)截斷得實際濾波器h(n)42理想濾波器的頻率響應Hd(ejw)設希望設計的濾波器傳輸函數(shù)為Hd(ejw)，對應脈沖響應為hd(n)，則它們滿足關系：一般情況下，Hd(ejw)逐段恒定，在邊界頻率處有不連續(xù)點，因而hd(n)是無限時寬的，且是非因果序列。43例：理想低通濾波器的傳輸函數(shù)Hd(ejw)無失真的理想低通的傳輸函數(shù)為相應的單位取樣響應hd(n)由上式可知，hd(n)無限長，且為非因果序列44理想低通濾波器的Hd(ejw)和h(n)波形45設實際實現(xiàn)的低通濾波器單位取樣響應為h(n)，長為N，其系統(tǒng)函數(shù)設計過程相當于找到一個有限長序列h(n)，去逼近理想低通的hd(n)，這必然會引入誤差——頻域的吉布斯(Gibbs)效應(截斷效應)后果：引起通帶和阻帶內(nèi)的波動效應，尤其是使阻帶衰減減小設計實現(xiàn)一個FIR濾波器H(ejw)46問題：如何截？砍頭去尾。要設計的FIR濾波器h(n)必須滿足：因果性：t<0時，h(n)=0-->砍頭線性相位：要求h(n)中心對稱或反對稱，由于砍頭，所以必須去尾，讓它們中心對稱。即用有限長的h(n)去逼近無限長的hd(n).47例：設計截止頻率wc=/3時延為6的具有線性相位的FIR低通濾波器為了構造一個長為N的線性相位濾波器，只有將hd(n)截取一段，并保證對(N-1)/2對稱設截取的段用h(n)表示，則其中W(n)：長為N的窗函數(shù)(這里取矩形序列)當τ=(N-1)/2時，截取的h(n)對(N-1)/2對稱，保證設計的濾波器具有線性相位48這里，hd(n)是以n=6為中心偶對稱的無限長序列現(xiàn)用一個有限長N=13的因果序列h(n)逼近它最簡單的方法：給hd(n)加矩形窗RN(n)，即令W(n)=RN(n)，則49低通濾波器脈沖響應波形截斷處理示意圖截斷處理后，由于h(n)滿足對稱脈沖響應，所以一定滿足第一類線性相位50小結(jié)先由Hd(ejw)求付里葉反變換hd(n).截斷得h(n)后果：吉布斯效應性能分析方法時域乘積對應頻域卷積h(n)=W(n)×hd(n)可見窗函數(shù)序列的形狀及長度的選擇是設計關鍵51窗口法主要任務尋找最有效的方法截斷hd(n)即用一個有限長度的窗口函數(shù)序列W(n)來截取hd(n)，使H(ejw)最逼近Hd(ejw)下面分析窗口形狀和長度對頻響的影響527.3加窗對系統(tǒng)頻率響應的影響根據(jù)頻域卷積定理，加窗后，濾波器的頻率響應現(xiàn)在我們以低通濾波器為例來討論：加窗后，頻率響應發(fā)生了什么變化加什么樣的窗，可以使變化減至最小537.3.1矩形窗矩形窗口的頻率特性為用幅度響應和相位響應的乘積表示為54矩形窗（2）當w很小時，當w很大時，WR(w)為周期函數(shù)主瓣55矩形窗處理后的頻率響應根據(jù)頻域卷積定理可得56H(wc)=0.5H(0)H(wc-2π/N)H(wc+2π/N)Hd(ejθ)W(ej（w-θ)H(0)卷積就是乘積下的面積57加窗后的低通濾波器頻譜58幾個特殊頻率點w=0處，響應值為窗函數(shù)頻譜Wr(w-θ)和理想低通濾波器頻率特性Hd(θ)的乘積的積分，可近似看作Wr(θ)在-π到π的全部積分面積w=wc處，Hd(θ)剛好與Wr(w-θ)的一半重疊，因此H(wc)=0.5H(0)w=wc-2π/N處，Wr(w-θ)的全部主瓣在Hd(θ)的通帶之內(nèi)，因此卷積結(jié)果有最大值，頻率響應出現(xiàn)正肩峰w=wc+2π/N處，Wr(w-θ)的全部主瓣在Hd(θ)的通帶之外，通帶內(nèi)的旁瓣負的面積大于正的面積，因此卷積結(jié)果有最負值，頻率響應出現(xiàn)負肩峰59幾個特殊頻率點（2）當w>wc+2π/N后，Wr(w-θ)的左邊旁瓣的起伏部分掃過通帶，卷積值圍繞零值而波動當w<wc+2π/N時，Wr(w-θ)的右旁瓣進入通帶，卷積值圍繞H(0)而波動60加矩形窗對理想低通濾波器的影響使理想頻率特性不連續(xù)點處邊沿加寬，形成過渡帶，過渡帶的寬度等于窗的頻譜主瓣寬度4π/N在截止頻率wc的兩邊處，H(w)出現(xiàn)肩峰，肩峰的兩側(cè)形成起伏振蕩，振蕩幅度取決于旁瓣相對幅度，振蕩多少，取決于旁瓣的多少增加截取長度，則主瓣附近的窗的頻率響應

可見改變N，只能改變窗的主瓣寬度，w坐標的比例和Wr(w)的絕對值大小，而不能改變主瓣與旁瓣的相對比例61矩形窗的頻譜示意圖626364各種窗函數(shù)矩形窗截斷造成負肩峰為8.95%，阻帶最小衰減為21dB，不符合工程需要為了加大阻帶衰減，只能改善窗函數(shù)形狀，使窗譜盡量逼近沖擊函數(shù)，即絕大部分能量集中在頻譜中點一般窗函數(shù)滿足兩項要求：窗譜主瓣盡可能的窄，以得到較陡的過渡帶盡量減少最大旁瓣的相對幅度一般而言，上面兩項要求不能同時滿足65矩形窗截斷后濾波器阻帶衰減最小值為21dB66三角形(BARTLETT)窗截斷后濾波器阻帶衰減最小值為25dB67升余弦窗（漢寧Hanning窗）-1左移右移倒余弦68升余弦窗（漢寧Hanning窗）-269升余弦窗（漢寧Hanning窗）-3頻譜由三個互有頻移、不同幅值的矩形窗譜相加而成，旁瓣大大抵消，能量有效集中在主瓣內(nèi)。代價:主瓣加寬一倍，過渡帶加大優(yōu)點：減少肩峰，余振，提高阻帶衰減。截斷后濾波器阻帶衰減最小值為44dB70改進的升余弦窗(漢明Hanning窗)-1其頻譜函數(shù)為其幅度函數(shù)為7172改進的升余弦窗（漢明Hamming窗）-2截斷后濾波器阻帶衰減最小值為53dB73二階升余弦窗(布拉克曼Blackman窗)74截斷后濾波器阻帶衰減最小值為71dB75濾波器階數(shù)(長度)M的選擇

名稱窗函數(shù)主瓣寬度旁瓣峰值衰減濾波器過渡帶寬最小阻帶衰減矩形4π/M13dB1.8π/M21dB巴特利特8π/M26dB6.1π/M25dB漢寧8π/M31dB6.2π/M44dB漢明8π/M41dB6.6π/M51dB布萊克曼12π/M57dB11π/M74dB取Kaiser窗時設定beta,再用kaiserord函數(shù)求得M76例：設計一個FIR理想低通濾波器，wc=0.25π,

分別取N=11,21,31,觀察加窗后對濾波器幅頻特性的影響理想低通濾波器的脈沖響應將hd(n)截短為N=2τ+1,并將截短后的hd(n)移位并將wc=0.25π代入得77（1）加矩形窗N=11h(n)={-0.045,0,0.075,0.1592,0.2251,0.25,0.2251,0.1592,0.075,0,-0.045}N=21h(n)={0.0318,0.025,0,-0.0322,-0.0531,-0.045,0,0.075,0.1592,0.2251,0.25,0.2251,0.1592,0.075,0,-0.045,-0.0531,-0.0322,0,0.025,0.0318}N=31h(n)={-0.0150,-0.0227,-0.0173,0,0.0205,0.0318,0.025,0,-0.0322,-0.0531,-0.045,0,0.075,0.1592,0.2251,0.25,0.2251,0.1592,0.075,0,-0.045,-0.0531,-0.0322,0,0.025,0.0318,0.0205,0,-0.0173,-0.0227,-0.0150}78加漢明窗N=11h(n)={-0.003600.02980.10860.20530.250.20530.10860.02980-0.0036}N=21h(n)={0.00250.00260-0.0087-0.0211-0.024300.06080.14520.220.250.220.14520.06080-0.0243-0.0211-0.008700.00260.0025}N=31h(n)={-0.0012-0.002-0.002100.00480.00990.00990-0.0189-0.0362-0.034700.06840.15280.22280.250.22280.15280.06840-0.0347-0.0362-0.018900.00990.00990.00480-0.0021-0.002-0.0012}7980818283例：設計一個數(shù)字FIR低通濾波器，技術指標如下:fp=2kHz，fstop＝3kHz，As＝40dB，fs=10kHz查表選擇滿足阻帶衰減的窗函數(shù)As＝40dB,至少應選擇漢寧窗根據(jù)過渡帶寬確定濾波器的階數(shù)△f=1kHz，轉(zhuǎn)換為數(shù)字頻率過渡帶寬△w=2πfc/fs=0.2π84確定截止頻率和延時fc=(fp+fstop)/2=2.5kHzwc=0.5π延時τ=(N-1)/2=15所以濾波器的沖激響應為8586第三次課帶寬換性能的凱塞窗濾波器設計的MATLAB實現(xiàn)Hilbert變換器和微分器設計頻率采樣設計法87凱塞窗（Kaiser窗）以上幾種窗函數(shù)是各以一定主瓣加寬為代價，來換取某種程度的旁瓣抑制，而凱窗則是：全面地反映主瓣與旁瓣衰減之間的交換關系，可以在它們兩者之間自由地選擇它們的比重。888990Matlab實現(xiàn)W=boxcar(M):產(chǎn)生M點的矩形窗W=triang(M):產(chǎn)生M點的Bartlett窗W=hanning(M)產(chǎn)生M點的Hanning窗W=hamming(M)產(chǎn)生M點的Hamming窗W=blackman(M)產(chǎn)生M點的Blackman窗W=kaiser(M,beta)產(chǎn)生beta值的M點Kaiser窗Examples91理想低通脈沖響應計算函數(shù)functionhd=ideal_lp(wc,M);%理想低通濾波器計算%--------------------------------%[hd]=ideal_lp(wc,M)%hd=0toM-1之間的理想脈沖響應%wc=截止頻率(弧度)%M=理想濾波器的長度%alpha=(M-1)/2;n=[0:1:(M-1)];m=n-alpha+eps;hd=sin(wc*m)./(pi*m);92計算絕對和相對幅度響應、相位響應和群時延響應的函數(shù)function[db,mag,pha,grd,w]=freqz_m(b,a);%freqz子程序的改進版本%------------------------------------%[db,mag,pha,grd,w]=freqz_m(b,a);%db=[0到pi弧度]區(qū)間內(nèi)的相對振幅(db)%mag=[0到pi弧度]區(qū)間內(nèi)的絕對振幅%pha=[0到pi弧度]區(qū)間內(nèi)的相位響應%grd=[0到pi弧度]區(qū)間內(nèi)的群遲延%w=[0到pi弧度]區(qū)間內(nèi)的501個頻率樣本向量%b=Ha(z)的分子多項式系數(shù)(對FIRb=h)%a=Ha(z)的分母多項式系數(shù)(對FIR:a=[1])93[H,w]=freqz(b,a,1000,'whole');H=(H(1:1:501))';w=(w(1:1:501))';mag=abs(H);db=20*log10((mag+eps)/max(mag));pha=angle(H);grd=grpdelay(b,a,w);94Hilbert變換器和微分器引導分析設計思路對照書上例題講解957.4頻率采樣設計法設計思想數(shù)學推導直接設計法最優(yōu)設計法96設計思想頻域逼近原理：系統(tǒng)函數(shù)H(z)能夠從頻率響應H(ejw)的樣本H(k)中恢復97設計步驟已知理想低通濾波器Hd(ejw)，選取濾波器長度為M[0，2π]對Hd(ejw)

M等分采樣得H(k)離散傅里葉反變換得h(n)H(z)981.2類線性相位3.4類線性相位99PhaseforType1&2PhaseforType3&4100分類：直接設計法：直接利用基本思想，在近似誤差上不給出任何條件最優(yōu)設計法：通過改變過渡帶內(nèi)的樣本值將阻帶內(nèi)誤差減至最小101直接設計法(Naivedesignmethods)設計思想：令H(k)=Hd(ej2πk/M)，k=0,1,…,M-1，用h(n)=IDFT[H(k)]求得脈沖響應h(n)例：用頻率采樣法設計一個數(shù)字FIR低通濾波器，技術指標如下:wp=0.2π，Rp＝0.25dB，ws＝0.3π，As＝50dB102分析：取M=20，使在wp處有一個樣本，即k=2

wp=0.2π=(2π/20)2

下一個樣本在ws，即在k=3

wp=0.3π=(2π/20)3

這樣通帶內(nèi)[0≤w≤wp]內(nèi)有3個樣本，在阻帶[ws≤w≤π]內(nèi)有7個樣本

Hr(k)=[1,1,1,0,……,0,1,1]共15個零由于M=20，α=(M-1)/2=9.5，為II類線性相位濾波器再由IDFT可得h(n)103MATLAB編程解得M=20;alpha=(M-1)/2;l=0:M-1;w1=(2*pi/M)*l;Hdr=[1,1,0,0];wdl=[0,0.25,0.25,1];Hrs=[1,1,1,zeros(1,15),1,1];k1=0:floor((M-1)/2);k2=floor((M-1)/2)+1:M-1;angH=[-alpha*(2*pi)/M*k1,alpha*(2*pi)/M*(M-k2)];H=Hrs.*exp(j*angH);h=real(ifft(H,M));[db,mag,pha,grd,w]=freqz_m(h,1);[Hr,ww,a,L]=Hr_Type2(h);集中定義參數(shù)理想濾波器頻率特性采樣得到的幅度和相位值合成得到實際H(k)IDFT得h(n)驗證性能104直接設計法仿真結(jié)果105特點：采樣頻率點上近似誤差為0其它頻率點上的近似誤差取決于理想響應的形狀，理想響應愈陡峭，近似誤差越大靠近通帶邊緣的誤差較大，通帶內(nèi)誤差較小106最優(yōu)設計法(Optimumdesignmethod)設計方法：增大取樣點數(shù)M，并讓過渡樣本作為自由樣本，改變他們的值以得到在給定M的條件下的最大衰減及過渡帶寬例：利用最優(yōu)設計法設計一個比上例更好的低通濾波器增加取樣點數(shù)M=40，以使過渡帶內(nèi)(0.2

π<w<0.3π)有一個樣本，在k=5和k=35處，用T表示這兩個樣本值，其中0<T<1，則以采樣的振幅響應Hr=[1,1,1,1,1,T,0,……,0,T,1,1,1,1]共29個零107由于alpha=(M-1)/2=19.5，相位響應的樣本是現(xiàn)在我們考慮如何選取T值，以得到更好的最小阻帶衰減首先我們選取通帶和阻帶幅度的中值0.5用MATLAB編程