第6章線性系統(tǒng)的頻域分析法

第6章線性系統(tǒng)的頻域分析法Frequency-responseanalysisoflinearsystem頻率特性的基本概念頻率特性的表示方法典型環(huán)節(jié)的頻率特性系統(tǒng)開環(huán)頻率特性的繪制頻率域穩(wěn)定判據(jù)與穩(wěn)定裕度主要內(nèi)容本章重點通過本章學(xué)習(xí)，應(yīng)重點掌握頻率特性的概念與性質(zhì)、典型環(huán)節(jié)及系統(tǒng)開環(huán)頻率特性的奈氏圖和波特圖的繪制和分析方法、控制系統(tǒng)穩(wěn)定性的頻域分析法、系統(tǒng)穩(wěn)定裕度的概念和求法、閉環(huán)系統(tǒng)性能指標(biāo)的頻域分析法等。RC6.1頻率特性

6.1.1頻率特性的基本概念？RC

一個線性系統(tǒng)或元件，當(dāng)輸入為正弦函數(shù)，輸出的穩(wěn)態(tài)值也是一個相同頻率的正弦函數(shù)時，將輸出穩(wěn)態(tài)值與輸入量之比，稱為系統(tǒng)的頻率特性。一頻率特性的定義頻率特性的定義式：二、頻率特性的性質(zhì)

1、頻率特性反映了系統(tǒng)對正弦信號的三大傳遞能力:同頻變幅相移2、頻率特性是一種穩(wěn)態(tài)響應(yīng)3、與傳遞函數(shù)一樣,頻率特性也是一種數(shù)學(xué)模型（4）頻率特性具有明確的物理意義，它可以用實驗的方法來確定，這對于難以列寫微分方程式的元部件或系統(tǒng)來說，具有重要的實際意義。（5）由于頻率響應(yīng)法主要通過開環(huán)頻率特性的圖形對系統(tǒng)進(jìn)行分析，因而具有形象直觀和計算量少的特點。（6）頻率響應(yīng)法不僅適用于線性定常系統(tǒng)，而且還適用于傳遞函數(shù)不是有理數(shù)的純滯后系統(tǒng)和部分非線性系統(tǒng)的分析。微分方程頻率特性G(jω)傳遞函數(shù)G(s)系統(tǒng)jωjωss6.1.2頻率特性與傳遞函數(shù)及微分程之間的關(guān)系6.1.3頻率特性的表示方法三、對數(shù)幅相頻率特性曲線Nicholschart

二、對數(shù)頻率特性曲線Bodeplot一、幅相頻率特性曲線Nyquistplot橫軸：均按lgω分度，單位為rad/s（弧度/秒）縱軸：幅頻曲線：按L(ω)=20lg|G(jω)|=20lgA（ω）線性分度，單位是分貝（db）相頻曲線：按線性分度，單位為度（o）或弧度（rad）

對數(shù)幅頻特性的“斜率“，是指頻率改變倍頻或十倍頻時L（ω）的分倍數(shù)的改變量，常用單位是（分貝/十倍頻）二、對數(shù)頻率特性曲線（Bode圖）ω增加10倍lgω增加1個倍頻程L增加20dBω(rad/s)０.１１１０１００１０００l(fā)gω

－１０１２３L(ω)４０２００－２０－４０A增加十倍A(ω)１００１０１０.１０.０１ω(1/s)０.１１１０１００１０００(ω)180o90o-90o－180o6.2典型環(huán)節(jié)的頻率特性

1.比例環(huán)節(jié)①幅相頻率特性:傳遞函數(shù)：比例環(huán)節(jié)的頻率特性其中幅值|G（jω）|=k，相位移，并且均與ω?zé)o關(guān)，它表示輸出為輸入的k倍，且同相位。其相應(yīng)的用極坐標(biāo)圖表示的頻率特性為：

G(jω)=0°20lgK②對數(shù)幅頻特性L（ω）=20lg|G（jω）|=20lgK（dB）③對數(shù)相頻特性

2.積分環(huán)節(jié)傳遞函數(shù)：000-90o∞-101-90o1-∞0∞-90o0V()U()|G(j)|∠G(j)ImRe=∞=01相位滯后90o低頻放大，高頻衰減積分環(huán)節(jié)-20dB/dec3微分環(huán)節(jié)傳遞函數(shù)：∞0∞90o∞10190o100090o0V()U()|G(j)|∠G(j)ImRe=0=∞相位超前90°低頻衰減高頻放大Bode圖4.慣性環(huán)節(jié)傳遞函數(shù)：000-90o∞-0.50.50.707-45o1/T0110o0Q()P()|G(j)|∠G(j)∠G(j)|G(j)|

∠G(j)=0Im0.5 1.0Re=∞0.5慣性環(huán)節(jié)∠G(j)|G(j)|P()Q()00o1101/T-45o0.7070.5-0.5∞-90o000（2）表明，慣性環(huán)節(jié)在高頻段1/T<ω<∞范圍內(nèi)是一條斜率為-20db/dec與ω軸相交于ω=1/T的漸進(jìn)線，它與低頻段漸進(jìn)線的交點為ω=1/T，稱為轉(zhuǎn)角頻率。注：（-20db/dec=-1-40db/dec=-2）②

慣性環(huán)節(jié)Bode圖0°-45°-90°0dB-20dB-40dB-20dB/dec20lg|G(j)|慣性環(huán)節(jié)漸近幅頻特性的修正-20dB/dec0dB-20dB-40dB20lg|G(j)|傳遞函數(shù)：5一階/比例/實用微分∞1∞90o∞111.41445o1/T0110o0V()U()|G(j)|∠G(j)一階微分∞1∞90o∞111.41445o1/T0110o0V()U()|G(j)|∠G(j)ImRe=0=∞11高頻放大相位超前0~90°Bode圖1/T6.振蕩環(huán)節(jié)傳遞函數(shù)：頻率特性：令s=jω000-180o∞-1/2

01/2

-90o1/T011-0o0V()U()|G(j)|∠G(j)振蕩環(huán)節(jié)圖01ReIm奈氏圖ωL(ω)1/T-2幅頻特性與關(guān)系幅頻特性與關(guān)系幅頻特性與關(guān)系幅頻特性與關(guān)系幅頻特性與關(guān)系圖5-13震蕩環(huán)節(jié)的對數(shù)幅頻特性曲線

幅頻特性與關(guān)系相頻特性與關(guān)系相頻特性與關(guān)系相頻特性與關(guān)系相頻特性與關(guān)系相頻特性與關(guān)系圖5-13二階因子(震蕩環(huán)節(jié))的對數(shù)相頻特性曲線

相頻特性與關(guān)系③二階振蕩環(huán)節(jié)的相頻特性也和阻尼比ξ有關(guān)，不同ξ的對數(shù)相頻特性曲線都是以轉(zhuǎn)角頻率ω=1/T處相角為-90o的點為斜對稱。Bode圖②二階振蕩環(huán)節(jié)的諧振頻率ωr和諧振峰值Mr

二階振蕩環(huán)節(jié)幅相頻率特性為：

幅頻特性為：

在附近,用漸近線得到的對數(shù)幅頻特性有較大誤差,時用漸近線得到:而準(zhǔn)確特性為:若A（ω）在某頻率ω處有峰值，則該頻率稱為諧振頻率，用ωr表示。求取A（ω）對ω的導(dǎo)數(shù)，并令其為0。得這里ω2=0，只說明M（ω）在ω2=0處斜率為0。

所以由前面ω的解可得諧振頻率∴A（ω）的諧振峰值Mr為

由式（2）可見，0≤ξ≤0.707時，ωr才為實數(shù)。只有0≤ξ≤0.707時，二階振蕩環(huán)節(jié)的對數(shù)幅頻特性曲線才具有峰值，其值由（3）決定。圖5-15與關(guān)系曲線

/dB7、二階微分環(huán)節(jié)傳遞函數(shù)1.幅相特性2.幅頻特性3.相頻特性4.對數(shù)幅頻特性5.對數(shù)相頻特性圖6-21二階微分環(huán)節(jié)與振蕩環(huán)節(jié)的對數(shù)頻率特性8.時滯環(huán)節(jié)傳遞函數(shù)：1.幅相特性2.幅頻特性3.相頻特性由此可見，當(dāng)從零到無窮大變化時，幅頻特性與無關(guān)，恒為1；而相頻特性是的線性函數(shù)，隨由零變化到無窮大。故延遲環(huán)節(jié)的幅相頻率特性曲線是以原點為圓心，以1為半徑的單位圓奈氏圖復(fù)習(xí)1.比例環(huán)節(jié)①幅相頻率特性:傳遞函數(shù)：G(jω)=0°20lgK②對數(shù)幅頻特性L（ω）=20lg|G（jω）|=20lgK（dB）③對數(shù)相頻特性

2.積分環(huán)節(jié)傳遞函數(shù)：積分環(huán)節(jié)-20dB/dec3微分環(huán)節(jié)傳遞函數(shù)：Bode圖4.慣性環(huán)節(jié)傳遞函數(shù)：②

慣性環(huán)節(jié)Bode圖0°-45°-90°0dB-20dB-40dB-20dB/dec20lg|G(j)|傳遞函數(shù)：5一階/比例/實用微分Bode圖1/T6.振蕩環(huán)節(jié)傳遞函數(shù)：頻率特性：令s=jω振蕩環(huán)節(jié)Bode圖Bode圖6.3.最小相位系統(tǒng)與非最小相位系統(tǒng)定義開環(huán)傳遞函數(shù)的零點與極點全部位于S左半平面的系統(tǒng)為最小相位系統(tǒng)，否則稱為非最小相位系統(tǒng)。6.4開環(huán)頻率特性曲線的繪制

奈氏圖的繪制Bode圖的繪制方法一：（工程上不實用）6.4.1開環(huán)幅相曲線(奈氏圖)的繪制方法二：（工程上需要大致畫法，基本特征不變）

三句話：1抓兩頭2關(guān)鍵點要計算3中間特性段靠分析（分析特性變化趨勢）例：設(shè)

試?yán)L制系統(tǒng)概略開環(huán)幅相曲線解：

1抓兩頭

2關(guān)鍵點（與實軸交點）

3分析

圖中虛線為開環(huán)幅相曲線的低頻漸進(jìn)線。由于開環(huán)幅相曲線用于系統(tǒng)分析時，不需要準(zhǔn)確知道漸近線的位置，故可根據(jù)取漸近線為坐標(biāo)軸。曲線（2）為開環(huán)概略幅相曲線。１８４頁圖5-19１８5頁圖5-21例：已知單位反饋系統(tǒng)

試?yán)L制系統(tǒng)概略開環(huán)幅相曲線解：1抓兩頭

2關(guān)鍵點

當(dāng)時,ωx存在，乃氏曲線與實軸有交點，曲線位于II，III象限。

當(dāng)時,ωx不存在，乃氏曲線與實軸無交點，曲線位于Ⅲ象限,或第Ⅳ與Ⅲ象限。

3分析

185頁圖5-21三奈氏圖的繪制

三句話：1抓兩頭2關(guān)鍵點要計算3中間特性段靠分析（分析特性變化趨勢）6.4.2開環(huán)伯德圖的繪制

1.將開環(huán)頻率特性G(jω)H(jω)改寫成基本環(huán)節(jié)頻率特性的乘積的形式。Bode圖的繪制步驟：2.找出構(gòu)成開環(huán)傳遞函數(shù)的各個基本環(huán)節(jié)的交換頻率。一階環(huán)節(jié)交接頻率為,二階環(huán)節(jié)交接頻率為3.畫出對數(shù)幅頻特性的漸進(jìn)線。漸近線按從左到右的順序畫出。先做低頻段。以后每遇到一個交換頻率漸近線邊改變一次，斜率的改變量等于該交換頻率所屬基本環(huán)節(jié)的高頻段漸近線的斜率。二階斜率改變+40dB/dec4.畫出每個基本環(huán)節(jié)的對數(shù)相頻特性曲線并進(jìn)行代數(shù)相加，便得到整個系統(tǒng)的開環(huán)對數(shù)相頻特性曲線。C(S)R(S)_解：(1)(2)慣性環(huán)節(jié)轉(zhuǎn)折頻率10rad/s0dB-20dBL()11010020dB40dBL1-1L2L3-1-1-2L4(3)0dB-20dBL()11010020dB40dB-1-2L4-90°-135°-180°110100-45°0°(4)>>s=tf('s');>>G=1000/(s*(s+10));>>w=logspace(0,3);>>bode(G,w)解：將開環(huán)傳遞函數(shù)分解成各基本環(huán)節(jié)乘積的形式可見K=100,v=2(2)在坐標(biāo)軸上標(biāo)各個環(huán)節(jié)交接頻率2作圖：①在坐標(biāo)軸上標(biāo)各個環(huán)節(jié)交接頻率L1-1-2-2L2-2L3+110L4-11001L(ω)ω-180o-20-402040ω3.低頻漸近線的斜率為

當(dāng)時，即低頻漸近線的斜率為，且過點（1，40）。4.從低頻段開始每經(jīng)過一次交接頻率，斜率變化一次。當(dāng)時，斜率變?yōu)?/p>

當(dāng)時，斜率變?yōu)?1-2-21L(ω)ω-20-4020405.繪制對數(shù)相頻特性曲線>>s=tf('s');>>G=(100*(s+10))/(s^2*(s+100));>>w=logspace(0,3);>>bode(G,w)6.5頻率穩(wěn)定判據(jù)奈氏穩(wěn)定判據(jù)應(yīng)用舉例系統(tǒng)的穩(wěn)定裕量6.5.1奈奎斯特穩(wěn)定判據(jù)(NyquistSta'bilityCri'terion)

?aii?

i?

閉環(huán)傳遞函數(shù)為為了保證系統(tǒng)穩(wěn)定，特征方程的全部根，都必須位于左半s平面。充要條件奈奎斯特穩(wěn)定判據(jù)正是將開環(huán)頻率響應(yīng)與在右半s平面內(nèi)的零點數(shù)和極點數(shù)聯(lián)系起來的判據(jù)。這種方法無須求出閉環(huán)極點，得到廣泛應(yīng)用。由解析的方法和實驗的方法得到的開環(huán)頻率特性曲線，均可用來進(jìn)行穩(wěn)定性分析

奈奎斯特穩(wěn)定判據(jù)是建立在復(fù)變函數(shù)理論中的圖形影射基礎(chǔ)上的

設(shè)開環(huán)傳遞函數(shù)其中A(s)為s的n階多項式，B(s)為s的m階多項式(n>m)特征函數(shù)方程為：式中：為F（S）的極點為F（S）的零點6.5.1特征函數(shù)2.特征函數(shù)F（s）的極點就是系統(tǒng)開環(huán)傳遞函數(shù)的極點。F（s）的零點就是系統(tǒng)的閉環(huán)傳遞函數(shù)的極點。3.由于F(s)和G(s)H(s)只差常數(shù)1,所以特征方程的閉合曲線可由開環(huán)傳遞函數(shù)的閉和曲線沿實軸正方向平移一個單位長度獲得。特征方程的閉合曲線包圍F(s)平面原點的圈數(shù)等于開環(huán)傳遞函數(shù)閉合曲線包圍F(s)平面(-1,j0)點的圈數(shù)。由此可見：F（S）的零點和極點的個數(shù)是相等的。二、控制系統(tǒng)的頻域穩(wěn)定性判據(jù)1.一階系統(tǒng)特征多項式:D(s)=s+ps=-p

R(ω)jI(ω)s=-pp>0系統(tǒng)穩(wěn)定R(ω)jI(ω)s=-pp<0系統(tǒng)不穩(wěn)定

設(shè):特征方程具有負(fù)實根,令s=jω則矢量:D(jω)=jω+p令:ω從0→∞,且

Ψ(ω)為當(dāng)

ω變化時,矢量D(jω)與橫軸的夾角

R(ω)jI(ω)-pω=0Ψ(ω)=0ω

↑

Ψ(ω)↑ω

→∞

Ψ(ω)=π/2Ψ(ω)∴當(dāng)ω從0→∞時,矢量D(jω)

逆時針旋轉(zhuǎn)π/2角度即:ΔArg[D(jω)]=π/2

同理:若特征根為正實根R(ω)jI(ω)當(dāng)ω從0→∞時,矢量D(jω)

順時針旋轉(zhuǎn)π/2角度即:ΔArg[D(jω)]=-π/2結(jié)論:對于一階系統(tǒng),如果系統(tǒng)是穩(wěn)定的,那么當(dāng)ω從0→∞時,矢量D(jω)

逆時針旋轉(zhuǎn)π/2角度2.二階系統(tǒng)特征多項式:矢量:若:特征方程具有負(fù)實根R(ω)jI(ω)

p1

p2∴當(dāng)ω從0→∞時,矢量D1(jω),

D2(jω)都逆時針旋轉(zhuǎn)π/2角度即:ΔArg[D(jω)]=ΔArg[D1(jω)]+ΔArg[D2(jω)]

=2·π/2若:特征根為一對具有負(fù)實部的共軛復(fù)根R(ω)jI(ω)

-p1

-p2-Ψ0Ψ0ΔArg[D(jω)]=2·π/23.n階系統(tǒng)特征多項式:矢量:①若所有的根均在S左半平面,當(dāng)ω從0→∞時,相角變化為:

ΔArg[D(jω)]=n·π/2②若n個根中有一個不在S左半平面,而在s右半平面,則相角變化為:ΔArg[D(jω)]=(n-1)·π/2-π/2=(n-2)·π/2≠n·π/2結(jié)論:n階系統(tǒng)穩(wěn)定的充要條件為,當(dāng)ω從0→∞時,特征矢量D(jω)的相角變化量為:ΔArg[D(jω)]=n·π/2即:特征矢量D(jω)逆時針旋轉(zhuǎn)n·π/2角度6.5.3奈奎斯特穩(wěn)定判據(jù)0型系統(tǒng)①開環(huán)是穩(wěn)定的系統(tǒng)

開環(huán)特征式D(s)所有的根均在S左半平面,

當(dāng)ω

從-∞→∞時,相角變化為:

ΔArg[D(jω)]=n·π

若閉環(huán)系統(tǒng)也是穩(wěn)定的,則閉環(huán)特征式DB(s)所有的根均在S左半平面,當(dāng)ω從-∞→∞時,

相角變化為:ΔArg[DB(jω)]=n·π

∵特征函數(shù)則相角變化為:

ΔArg[F(jω)]=ΔArg[DB(jω)]-ΔArg[D(jω)]

=n·π-n·π=0∴若已知開環(huán)系統(tǒng)是穩(wěn)定的,那么,當(dāng)ω從-∞→∞時,若

矢量F(jω)的相角變化為0,也就是F(jω)的軌跡不包圍原點,那么閉環(huán)系統(tǒng)特征方程式DB(s)的根全部在s左半平面,系統(tǒng)是穩(wěn)定的,否則系統(tǒng)是不穩(wěn)定的?！咔€對原點的包圍，恰等于軌跡對-1+j0點的包圍∴穩(wěn)定判據(jù)為：

當(dāng)開環(huán)系統(tǒng)穩(wěn)定時，使閉環(huán)穩(wěn)定的充分必要條件是當(dāng)ω從-∞→∞時，奈氏曲線G（jω）H(jω)不包圍（-1，j0）點。②開環(huán)是不穩(wěn)定的系統(tǒng)若開環(huán)特征式D(s)的n個根中，有p個根在S右半平面,則ω從-∞→∞時,相角變化為:ΔArg[D(jω)]=(n-p)·π+p(-π)=n·π-p·2π若閉環(huán)特征式DB(s)的n個根中，有z個根在S右半平面,則當(dāng)ω從-∞→∞時,相角變化為:

ΔArg[DB(jω)]=(n-z)·π+z(-π)=n·π-z·2π∴ΔArg[F(jω)]=ΔArg[DB(jω)]-ΔArg[D(jω)]=(p-z)·2π=R·2πp為開環(huán)傳函在S平面虛軸右邊極點個數(shù);Z為閉環(huán)傳函在S平面虛軸右邊極點個數(shù);R為矢量F(jω）包圍原點的圈數(shù)∴穩(wěn)定判據(jù)為：當(dāng)開環(huán)系統(tǒng)不穩(wěn)定時，開環(huán)系統(tǒng)特征式有p個根在S右半平面,則閉環(huán)系統(tǒng)穩(wěn)定的充分必要條件是：當(dāng)ω從-∞→∞時，奈氏曲線G（jω）H(jω)逆時針圍繞（-1，j0）點R=P圈。奈示判據(jù)閉環(huán)控制系統(tǒng)穩(wěn)定的充分必要條件是:奈氏曲線逆時針包圍(-1,j0)點的圈數(shù)R,等于開環(huán)傳函位于右半S平面的極點數(shù)P,即:Z=P-R=0,則閉環(huán)系統(tǒng)穩(wěn)定。（Z為閉環(huán)傳函位于S右半平面的極點數(shù)）

復(fù)習(xí)奈氏圖的繪制

三句話：1抓兩頭2關(guān)鍵點要計算3中間特性段靠分析（分析特性變化趨勢）1.將開環(huán)頻率特性G(jω)H(jω)改寫成基本環(huán)節(jié)頻率特性的乘積的形式。Bode圖的繪制步驟：2.找出構(gòu)成開環(huán)傳遞函數(shù)的各個基本環(huán)節(jié)的交換頻率。一階環(huán)節(jié)交接頻率為,二階環(huán)節(jié)交接頻率為3.畫出對數(shù)幅頻特性的漸進(jìn)線。漸近線按從左到右的順序畫出。先做低頻段。以后每遇到一個交換頻率漸近線邊改變一次，斜率的改變量等于該交換頻率所屬基本環(huán)節(jié)的高頻段漸近線的斜率。4.畫出每個基本環(huán)節(jié)的對數(shù)相頻特性曲線并進(jìn)行代數(shù)相加，便得到整個系統(tǒng)的開環(huán)對數(shù)相頻特性曲線。復(fù)習(xí)6.5.1.特征函數(shù)復(fù)習(xí)柰氏判據(jù)：設(shè)p為開環(huán)傳函在S平面虛軸右邊極點個數(shù),p=0開環(huán)穩(wěn)定；開環(huán)不穩(wěn)定設(shè)Z為閉環(huán)傳函在S平面虛軸右邊極點個數(shù),z=0閉環(huán)穩(wěn)定；閉環(huán)不穩(wěn)定1.當(dāng)p=0開環(huán)系統(tǒng)穩(wěn)定時，使閉環(huán)穩(wěn)定z=0的充分必要條件是當(dāng)奈氏曲線G（jω）H(jω)不包圍（-1，j0）點，即R=02．當(dāng)開環(huán)不穩(wěn)定，閉環(huán)穩(wěn)定的充分必要條件是當(dāng)奈氏曲線G（jω）H(jω)逆時針包圍（-1，j0）點p圈5.5.4奈氏判據(jù)在Ⅰ型與Ⅱ型系統(tǒng)中的應(yīng)用當(dāng)開環(huán)傳函在原點具有v重極點時，即由于開環(huán)極點經(jīng)過原點，開環(huán)系統(tǒng)臨界穩(wěn)定，所以不能直接應(yīng)用奈氏判據(jù)。

為使奈氏路徑不經(jīng)過原點，要以原點為圓心作一個半徑為無窮小的右半圓，按逆時針方向從右側(cè)繞過原點。即此時變量

沿著軸從運動到，變量沿著半徑為的半圓運動.圖1圖2GK(s)包含積分環(huán)節(jié)的奈氏路徑GK(s)包含1個積分環(huán)節(jié)時的奈氏路徑在GH平面上的影射A1'B1'1.對于Ⅰ型系統(tǒng)有2.對于Ⅱ型系統(tǒng)有

圖3GK(s)包含2個積分環(huán)節(jié)時的奈氏路徑在G(s)平面上的影射C'B'A1'B1'A'D'∴對于“Ⅰ”型,“Ⅱ”型系統(tǒng)，S平面上以原點為圓心，半徑為無窮小的右半圓，在θ′從的變化過程中，在G(S)平面上的影射軌跡為按與θ′變化方向相反的反時針方向從ω=0+變化到ω=0-分別轉(zhuǎn)過π及2π弧度，且半徑為無窮大的園弧。綜上所述，對于含有積分環(huán)節(jié)的系統(tǒng)，用奈氏判據(jù)判斷閉環(huán)系統(tǒng)是否穩(wěn)定時，一般只需繪制ω從0到∞時的開環(huán)幅相曲線，然后按其包圍（-1,j0）點的圈數(shù)N（逆正，順負(fù)），開環(huán)傳函在右半S平面的極點數(shù)P，依公式Z=P-2N確定閉環(huán)特征方程在右半S平面上的根的個數(shù)。若Z=0,則閉環(huán)系統(tǒng)穩(wěn)定。如果開環(huán)傳函包含v個積分環(huán)節(jié)，則繪制開環(huán)幅、相曲線后，應(yīng)從ω=0+對應(yīng)的點開始，反時針方向補畫個半徑為無窮大的圓，但圓的方向是順時針的。例一：設(shè)0型系統(tǒng)試判別閉環(huán)系統(tǒng)的穩(wěn)定性解：①由已知開環(huán)傳遞函數(shù)極點分別為–0.5,-1,-2∴極點均不位于右半s平面即p=0②畫開環(huán)傳函奈氏圖用奈氏穩(wěn)定判據(jù)判斷系統(tǒng)的穩(wěn)定性開環(huán)傳函奈氏圖為:R(ω)jI(ω)ω=0ω→-∞ω→+∞-0.445復(fù)習(xí)奈氏圖的繪制

三句話：1抓兩頭2關(guān)鍵點要計算3中間特性段靠分析（分析特性變化趨勢）1.將開環(huán)頻率特性G(jω)H(jω)改寫成基本環(huán)節(jié)頻率特性的乘積的形式。Bode圖的繪制步驟：2.找出構(gòu)成開環(huán)傳遞函數(shù)的各個基本環(huán)節(jié)的交換頻率。一階環(huán)節(jié)交接頻率為,二階環(huán)節(jié)交接頻率為3.畫出對數(shù)幅頻特性的漸進(jìn)線。漸近線按從左到右的順序畫出。先做低頻段。以后每遇到一個交換頻率漸近線邊改變一次，斜率的改變量等于該交換頻率所屬基本環(huán)節(jié)的高頻段漸近線的斜率。4.畫出每個基本環(huán)節(jié)的對數(shù)相頻特性曲線并進(jìn)行代數(shù)相加，便得到整個系統(tǒng)的開環(huán)對數(shù)相頻特性曲線。復(fù)習(xí)6.5.1.特征函數(shù)復(fù)習(xí)柰氏判據(jù)：設(shè)p為開環(huán)傳函在S平面虛軸右邊極點個數(shù),p=0開環(huán)穩(wěn)定；開環(huán)不穩(wěn)定設(shè)Z為閉環(huán)傳函在S平面虛軸右邊極點個數(shù),z=0閉環(huán)穩(wěn)定；閉環(huán)不穩(wěn)定1.當(dāng)p=0開環(huán)系統(tǒng)穩(wěn)定時，使閉環(huán)穩(wěn)定z=0的充分必要條件是當(dāng)奈氏曲線G（jω）H(jω)不包圍（-1，j0）點，即R=02．當(dāng)開環(huán)不穩(wěn)定，閉環(huán)穩(wěn)定的充分必要條件是當(dāng)奈氏曲線G（jω）H(jω)逆時針包圍（-1，j0）點p圈6.5.2對數(shù)頻率穩(wěn)定判據(jù)1.正、負(fù)穿越的概念G(jω)H(jω)曲線對稱實軸。應(yīng)用中只畫部分。所謂“穿越”是指軌跡穿過段。正穿越：把G(jω)H(jω)曲線自上向下穿越(-1,j0)點左側(cè)的負(fù)實軸一次稱為正穿越（相角增加）,用表示.

正穿越負(fù)穿越：把G(jω)H(jω)曲線自下向上穿越(-1,j0)點左側(cè)的負(fù)實軸一次稱為負(fù)穿越（相角減少），用表示。

負(fù)穿越半次正穿越：把G(jω)H(jω)曲線自上向下止于或自上向下起于(-1,j0)點左側(cè)的負(fù)實軸稱為半次正穿越半次負(fù)穿越：把G(jω)H(jω)曲線自下向上止于或自下向上起于(-1,j0)點左側(cè)的負(fù)實軸稱為半次負(fù)穿越

如果G(jω)H(jω)按逆時針方向鐃(-1,j0)一周，則必正穿越一次。反之，若按順時針方向包圍點(-1,j0)一周，則必負(fù)穿越一次。這種正負(fù)穿越之和即為G(jω)H(jω)包圍（-1，j0）的圈數(shù)。故奈氏判據(jù)又可表述為：

閉環(huán)系統(tǒng)穩(wěn)定的充要條件是：當(dāng)由0變化到時G(jω)H(jω)曲線在（-1，j0）點以左的負(fù)實軸上的正負(fù)穿越之和為P/2圈。

P為開環(huán)傳遞函數(shù)在s右半平面的極點數(shù)。此時

Z=P-2N若開環(huán)傳遞函數(shù)無極點分布在S右半平面，即，則閉環(huán)系統(tǒng)穩(wěn)定的充要條件應(yīng)該是N=0：注意：這里對應(yīng)的ω變化范圍是。

例:某系統(tǒng)G(jω)H(jω)軌跡如下，已知有2個開環(huán)極點分布在s的右半平面，試判別系統(tǒng)的穩(wěn)定性。解：系統(tǒng)有2個開環(huán)極點分布在s的右半平面（P=2），G(jω)H(jω)軌跡在點(-1,j0)以左的負(fù)實軸有2次正穿越，1次負(fù)穿越，因為：N=,求得：Z=P-2N=2-2=0所以系統(tǒng)是穩(wěn)定系統(tǒng)。.例:兩系統(tǒng)取一半奈氏曲線，試分析系統(tǒng)穩(wěn)定性。解:(a):N=N+-N–=（0-1）=-1，且已知P

=0，所以Z=P-2N=2系統(tǒng)不穩(wěn)定。(b)：K>1時，N=N+-N-=1-1/2=1/2，且已知P=1，所以Z=P-2N=0，閉環(huán)系統(tǒng)穩(wěn)定；K<1時，N

=N+-N-=0-1/2=-1/2，且已知P

=1，所以Z=P-2N=2，閉環(huán)系統(tǒng)不穩(wěn)定；K=1時，奈氏曲線穿過(-1,j0)點兩次，說明有兩個根在虛軸上，所以系統(tǒng)不穩(wěn)定。

2.對數(shù)頻率穩(wěn)定判據(jù)(伯德圖上的奈氏判據(jù))

極坐標(biāo)圖 伯德圖 單位圓 0db線（幅頻特性圖） 單位圓以內(nèi)區(qū)域 0db線以下區(qū)域 單位圓以外區(qū)域 0db線以上區(qū)域 負(fù)實軸 -1800線（相頻特性圖）因此，奈氏曲線自上而下（或自下而上）地穿越（-1，j0）點左邊的負(fù)實軸，相當(dāng)于在伯德圖中當(dāng)L(ω)>0db時相頻特性曲線自下而上（或自上而下）地穿越-180°線。四、伯德圖上的奈氏判據(jù)正負(fù)穿越可根據(jù)對數(shù)幅頻特性曲線在大于0dB頻率范圍內(nèi)，對數(shù)相頻曲線穿越-180°線次數(shù)確定正穿越：把開環(huán)對數(shù)幅頻特性L(ω)>0時,相頻特性自下向上穿越(2k+1)π線一次稱為正穿越（或把ω增大時,相角增加的穿越稱為正穿越）.半次正穿越：把相頻特性自下向上止于或自下向上起于(2k+1)π線稱為半次正穿越。負(fù)穿越：把開環(huán)對數(shù)幅頻特性L(ω)>0時,相頻特性自上向下穿越(2k+1)π線一次稱為負(fù)穿越（或把ω增大時,相角減小的穿越稱為負(fù)穿越）。半次負(fù)穿越：把Γφ自上向下止于或自上向下起于(2k+1)π線稱為半次負(fù)穿越。對數(shù)穩(wěn)定判據(jù)：一個反饋控制系統(tǒng)其閉環(huán)特征方程正實部根個數(shù)Z可以根據(jù)開環(huán)傳函右半S平面極點數(shù)P和開環(huán)對數(shù)幅頻特性為正值的所有頻率范圍內(nèi)，對數(shù)相頻曲線與(2k+1)π線的正負(fù)穿越數(shù)之差N=N+-N-確定即：Z=P-2N,Z=0,閉環(huán)系統(tǒng)穩(wěn)定；否則不穩(wěn)定。例：某系統(tǒng)有兩個開環(huán)極點在S右半平面（P=2）N+-N-=1-2=-1P-2N=2-2(-1)≠0所以，系統(tǒng)不穩(wěn)定。例：反饋控制系統(tǒng)，其開環(huán)傳函為：試用對數(shù)頻率穩(wěn)